WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 6 |

-1 50 30 662 100 0.902 -2 30 50 630 200 1.110 -3 70 30 580 50 0.425 -4 40 60 600 120 0.402 -5 60 40 550 180 0.350 -6 60 30 570 80 0.425 -7 30 50 662 120 0.902 -8 70 30 630 50 1.110 -9 60 40 580 180 0.425 -10 60 30 550 50 0.350 2.2.3. Задача № Состояние реального газа может быть описано уравнением Ван-дерВаальса:

a (P + )(V - b) = RT, где V a = 27R2Tc2 /(64Pc ), b = RTc /(8Pc ), R – универсальная газовая постоянная, T – температура газа, Pc – критическое давление, Tc – критическая температура, V – молярный объем газа.

Воспользовавшись методом хорд для нахождения корня нелинейного уравнения, найти молярный объем данного газа V при заданных значениях давления P и температуры T.

Величины критических параметров Pc и Tc отдельных газов приведены с следующей таблице:

газ метан этан пропан n-бутан i-бутан n-пентан CH4 C2H6 C3H8 n - C4H10 i - C4H10 n - C5HTc, K 190,55 305,43 369,82 408,13 425,16 469,Pс, МПа 4,695 4,976 4,333 3,871 3,719 3,Газ i-пентан n-гексан i - C5H12 n - C6HTc, K 460,39 507,Pс, МПа 3,448 3,Задания по вариантам:

№ вар. 1 2 3 4 5 Газ Метан этан пропан n-бутан i-бутан n-пентан Т, К 305 508 490 760 530 Р, МПа 2,200 3,700 1,570 1,800 1,250 2, № вар. 7 8 9 10 11 газ i-пентан n-гексан метан этан n-бутан пропан Т, К 560 720 311 620 560 Р, МПа 2,250 2,500 1,750 2,370 1,600 1,2.3. Лабораторная работа №Решение нелинейного уравнения методом Ньютона 2.3.1. Задача №Вычислить перепад давления p, который необходим для того, чтобы перекачивать с расходом Q по трубопроводу радиусом r = 0,1 м, длиной l = 1 км в ламинарном режиме высоковязкий застывающий мазут плотностью = 870 кг/м3, если он при выбранной температуре бингамовский пластик с предельным напряжением сдвига 0 и кинематической вязкостью.

Известна формула Букингема, связывающая p и Q:

r2p 4 20l 1 20l Q = - +.

8l 3 rp 3 rp Вычисления провести, воспользовавшись методом Ньютона для решения нелинейного уравнения.

Задания по вариантам:

№ варианта 0, Па Q, м3/ч, м2/c 1 120 30 2 140 25 3 150 20 № варианта 0, Па Q, м3/ч, м2/c 4 200 20 5 170 35 6 180 30 7 160 20 8 100 50 9 110 40 10 125 40 11 115 25 12 200 25 13 175 30 14 180 40 15 160 40 16 135 50 17 150 45 18 150 30 19 130 30 20 120 25 21 120 40 22 185 25 23 190 35 24 105 50 2.3.2. Задача №Резервуар для нефти имеет форму лежащего цилиндра радиусом 1м и длиной 3м. Для определения степени заполнения резервуара нефтью в него опускается вертикально в отверстие сверху измерительный стержень.

Необходимо рассчитать шкалу для этого стержня, на которой были бы нанесены отметки о заполнении резервуара в долях q от его полного объема (для q= 0.02; 0.04; 0.06;…; 0.50, т.е. для заполнения на 2%, 4%, 6%, …, 50%).

Для этого надо определить высоты всех указанных уровней заполнения.

Решение:

Пусть l – длина резервуара, – угол при вершине треугольника, образованного при соединении центра окружности поперечного сечения резервуара и концов линии поверхности жидкости ( рис. 3).

Рис. При этом заполненный объем V есть функция угла :

V = r l( - sin) (1) Высота уровня жидкости вычисляется по формуле h = r(1 - cos( / 2)) (2) С другой стороны имеем V = r lq (3) Из формул (1) и (3) получаем уравнение - sin - 2q = 0, (4) решая которое методом Ньютона, найдем.

Подставив значение в формулу (2), найдем h.

Каждый студент должен выполнить расчет уровня жидкости h для заданного значения q. Затем вся группа строит искомую шкалу.

Задания по вариантам:

№ вар. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 q.02.06.10.14.18.22.26.30.34.38.42.2.3.3. Задача № Состояние реального газа в простейшем случае может быть описано уравнением Редлиха-Квонга:

RT a P = -, где 0,V - b T V (V - b) 2 2, a = 0,42747R T / P, c c b = 0,08664RTc / Pc, R – универсальная газовая постоянная, T – температура газа, Pc – критическое давление, Tc – критическая температура, V – молярный объем газа.

Воспользовавшись методом Ньютона для нахождения корня нелинейного уравнения, найти молярный объем данного газа при заданных значениях P и T.

Критические параметры отдельных газов даны в следующей таблице:

газ метан этан Пропан n-бутан i-бутан n-пентан CH4 C2H6 C3H8 n - C4H10 i - C4H10 n - C5HTc, K 190.55 305.43 369.82 408.13 425.16 469.Pс, МПа 4.695 4.976 4.333 3.871 3.719 3. газ i-пентан n-гексан i - C5H12 n - C6HT, K 460.39 507.c P, МПа 3.448 3.с Задания по вариантам:

№ вар. 1 2 3 4 5 газ метан этан пропан n-бутан i-бутан n-пентан Т, К 305 508 490 760 530 Р, МПа 2.200 3.700 1.570 1.800 1.250 2.№ вар. 7 8 9 10 11 газ i-пентан n-гексан метан этан n-бутан Пропан Т, К 560 720 311 620 560 Р, МПа 2.250 2.500 1.750 2.370 1.600 1. 3. Методы решения систем линейных уравнений 3.1. Основные понятия Рассмотрим систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными:

a11x1 + a12x2 +... + a1nxn = b a x1 + a22x2 +... + a2nxn = b....................

an1x1 + an2x2 +... + annxn = bn В ней aij – коэффициенты при неизвестных xj. Решением этой системы называется такой набор значений неизвестных xj, который удовлетворяет системе.

Коэффициенты aij можно записать в виде матрицы (таблицы):

a11a12...a1n b r a a22...a2n b 21 A =, правую часть системы в виде вектора b =..............., а a an2...ann b n1 n x xr неизвестные в виде вектора x =. Тогда систему можно записать в виде...

xn r r матрично-векторного уравнения Ax = b.



Известно, что такая система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда матрица системы невырожденная, т.е. det(A) 0 (дискриминант матрицы A не равен нулю).

Для решения таких систем используются как прямые методы, в которых получают точные значения неизвестных после применения заранее известного числа операций, так и итерационные методы, в которых число шагов (итераций) заранее неизвестно, и на каждом шаге получают некоторое приближенное решение системы до тех пор, пока не будет получено решение с нужной точностью.

3.1.1. Метод Гаусса Этот метод относится к прямым методам решения линейных систем. Он основан на приведении матрицы системы к треугольному виду путем последовательного исключения неизвестных из уравнений системы (прямой ход метода Гаусса) и последующем решении этой треугольной системы, начиная с последнего уравнения (обратный ход метода Гаусса).

Сначала с помощью первого уравнения исключается x из всех последующих уравнений системы. Затем с помощью второго уравнения исключается x из третьего и всех последующих уравнений и т.д. При этом, если в уравнении с номером k отсутствует неизвестная x ( a = 0 ), то k kk производится перестановка этого уравнения с любым нижестоящим уравнением, содержащим эту переменную.

Этот процесс называется прямым ходом Гаусса и продолжается до тех пор, пока в левой части последнего (n-го) уравнения не останется лишь один член с неизвестным xn.

Если на каком-то этапе этого процесса оказывается, что очередной исключаемой переменной уже нет ни в одном из последующих уравнений, то матрица системы является вырожденной, и метод Гаусса в этом случае неприменим.

Обратный ход метода Гаусса состоит в последовательном вычислении неизвестных. Решая последнее уравнение, находят единственное неизвестное x. Далее, используя это значение, из предыдущего уравнения вычисляют x и n n-т.д. Последним находят x1 из первого уравнения.

Рассмотрим применение метода Гаусса для системы из трех уравнений:

a11x1 + a12x2 + a13x3 = b a x1 + a22x2 + a23x3 = b(1) a x1 + a32x2 + a33x3 = b Для исключения x из второго уравнения прибавим к нему первое, умноженное на - a21 / a11. Затем, умножив первое уравнение на - a31 / a11 и прибавив результат к третьему уравнению, также исключим из него x.

Получим равносильную систему уравнений вида:

a11x1 + a12x2 + a13x3 = b ' ' ' a22x2 + a23x3 = b2 (2) ' ' ' a32x2 + a33x3 = b ai' aij = aij - a1 j, i, j = 2,aaibi' = bi - b1, i = 2,aТеперь из третьего уравнения системы (2) нужно исключить x. Для этого ' ' умножим второе уравнение на - a / a и прибавим результат к третьему.

32 Получим:

a11x1 + a12x2 + a13x3 = b ' ' ' a22x2 + a23x3 = b2 (3) " " a33x3 = b ' ' a32 ' " ' a32 ' " ' a33 = a33 - a23, b3 = b3 - b' ' a22 aМатрица системы (3) имеет треугольный вид. На этом завершается прямой ход метода Гаусса.

Заметим, о чем уже говорилось выше, что в процессе исключения неизвестных приходится выполнять операции деления на a, a и т.д.

11 Поэтому они должны быть отличны от нуля; в противном случае необходимо соответственным образом переставить уравнения системы.

Обратный ход начинается с решения третьего уравнения системы (3):

" " x = b a 3 3 Используя это значение, можно найти x2 из второго уравнения, а затем x1 из первого:

1 ' ' x = (b - a x ), x = (b - a x - a x ) 2 2 23 3 1 1 12 2 13 ' a a 22 Аналогично строится вычислительный алгоритм для линейной системы с другим числом неизвестных.

3.1.2. Итерационные методы Для применения итерационных методов необходимо предварительно исходную систему уравнений привести к виду:

x1 d r x2 r d2 nn r r r bi x = Cx + d, где x =, d =, di =, C = (cij),......

aii d xn n - aij aii, i j,aii cij = i = j 0, Этот вид получается, если из первого уравнения выразить x1, из второго x2 и т.д.:

x1 = (b1 - a12x2 -... - a1nxn ), ax2 = (b2 - a21x1 - a23x3 -... - a2nxn ), a..............

xn = (bn - an1x1 -... - an,n-1xn-1).

ann r ( ( ( Пусть x(0) = (x10), x20),..., xn0) )T – некий произвольно задаваемый вектор начального приближения к решению системы. Тогда для нахождения r последующих приближений x(m), где m – номер итерации, а r ( ( ( x(m) = (x1m), x2m),..., xnm) )T, можно применить один из следующих известных методов: метод простой итерации, метод Гаусса-Зейделя, метод верхней релаксации.

1) Метод простой итерации r В этом методе коэффициенты вектора x(m) рассчитываются по формуле:

n (m) (m-1) x = x + d, i =1 n c i ij j i j=2) Метод Гаусса-Зейделя r В этом методе коэффициенты вектора x(m) рассчитываются по формуле:

i-1 n (m) (m) (m-1) x = x + x + d, i =1 n c c i ij j ij j i j=1 j=i+Для сходимости итерационного процесса достаточно, чтобы модули диагональных коэффициентов для каждого уравнения системы были не меньше сумм модулей всех остальных коэффициентов:

n a a, i =1,2,...,n ij ii j=ji При этом хотя бы для одного уравнения неравенство должно выполняться строго.

Эти условия являются достаточными, но не необходимыми, т.е. для некоторых систем итерационный процесс сходится и при нарушении этих условий.

Процесс итерационных вычислений прекращают, когда разница между двумя последовательными приближенными решениями становится достаточно (m+1) (m) малой, т.е. z <, где - заданная точность, а z = max x - x, либо i i 1in n (m+1) (m) z = (x - x ).





i i i=3.1.3. Пример Найдем решение следующей линейной системы методом Гаусса:

2x1 + 3x2 + 4x3 = 6 (1) 2x + 4x2 + 8x3 =(2) 4x -1x2 + 1x3 = -(3) Сначала с помощью первого уравнения исключим x1 из второго и третьего уравнений. Это можно сделать так, как было описано выше.

Но мы для простоты понимания проделаем это в два этапа. Сначала сделаем коэффициенты перед переменной x1 во всех уравнениях равными единице, поделив каждое уравнение на коэффициент, стоящий перед этой переменной. Т.е. поделив первое на 2, второе на 2, а третье на 4.

Поместив слева схему производимых действий, запишем полученную систему, эквивалентную исходной:

(1) : 2 1x1 + 1.5x2 + 2x3 = 3 (1) 1x + 2x2 + 4x3 = 5.(2) : 2 (2) 1x - 0.25x2 + 0.25x3 = -0.5 (3) (3) : Теперь избавимся от переменной x1 во втором и третьем уравнениях, вычтя из них первое:

(1) 1x1 + 1.5x2 + 2x3 = 3 (1) (2) - (1) 0.5x2 + 2x3 = 2.5 (2) -1.75x2 -1.75x3 = -3.5 (3) (3) - (1) Теперь нам нужно с помощью второго уравнения избавиться от переменной x2 в третьем уравнении. Сделаем это тоже в два этапа. Сначала поделим второе уравнение на 0.5, а третье уравнение на -1.75. Получим систему:

(1) 1x1 + 1.5x2 + 2x3 = 3 (1) (2) : 0.5 (2) 1x2 + 4x3 = (3) : (-1.75) (3) 1x2 + 1x3 = Далее преобразуем третье уравнение, вычтя из него второе:

(1) 1x1 + 1.5x2 + 2x3 = 3 (1) (2) (2) 1x2 + 4x3 = (3) - (2) - 3x3 = -3 (3) На данном этапе система приведена к треугольному виду. Найдем значения неизвестных, начиная с третьего уравнения.

x3 = -3/(-3) =x2 = 5 - 4x3 =x1 = 3 -1.5x2 - 2x3 = -0.Сделаем проверку, подставив полученные значения неизвестных в левые части уравнений системы, чтобы убедиться в выполнении условий:

2 (-0.5) + 3 1 + 4 1 = 2 (-0.5) + 4 1 + 8 1 =4 (-0.5) -11 + 11 = -3.1.4. Пример Найдем решение той же системы методом простой итерации, предварительно преобразовав ее так, чтобы выполнялись достаточные условия сходимости.

Имеем систему:

2x1 + 3x2 + 4x3 = 6 (1) 2x + 4x2 + 8x3 =(2) 4x -1x2 + 1x3 = -(3) Поставим в ней третье уравнение на первое место, второе уравнение – на третье место, а на втором месте запишем разность второго уравнения и удвоенного первого:

(3) 4x1 (1) -1x2 + 1x3 = - (2) - 2 (1) (2) - 2x1 - 2x2 = -2x + 4x2 + 8x3 =(2) (3) Для такой системы достаточные условия сходимости уже выполняются.

Выразим неизвестные из уравнений, как это предлагается в методе:

x1 = (-2 + 1x2 -1x3) x2 = (-1 + 2x1) - x3 = (11 - 2x1 - 4x2 ) r Пусть первым приближением решения будет вектор x(0) = (1,1,1)T. Тогда следующее приближение рассчитаем по полученным формулам:

( x11) = (-2 + 11 -11) = -0.( x21) = (-1 + 2 1) = -0.- ( x31) = (11 - 2 1 - 4 1) = 0.Таким образом, имеем следующее приближение решения:

r x(1) = (-0.5, - 0.5, 0.625)T. Следующее приближение:

( x12) = (-2 +1 (-0.5) -1 (0.625)) = -0.( x22) = (-1 + 2 (-0.5)) =- ( x32) = (11 - 2 (-0.5) - 4 (-0.5)) =1.r Таким образом, x(2) = (-0.78125, 1, 1.75)T. Далее ( x13) = (-2 + 11 -11.75) = -0.( x23) = (-1 + 2 (-0.78125)) =1.- ( x33) = (11 - 2 (-0.78125) - 4 1) = 0.r Таким образом, x(3) = (-0.6875, 1.28125, 0.9453125)T.

Посчитаем разницу между двумя последними приближенными (m+1) (m) решениями, взяв в качестве z : z = max x - x. Тогда i i 1in z = max( - 0.6875 + 0.78125, 1.28125 -1, 0.9453125 -1.75) z = 0.09375. В этом случае, если точность, например, = 0.1, то процесс вычислений останавливается. Если же требуется более точное приближение, то вычисления продолжают.

3.2. Лабораторная работа №Решение системы линейных уравнений Решить систему линейных уравнений Ax = b а) методом Гаусса, б) методом простой итерации.

Данные по вариантам:

0.7 9.1.7 2.8 1.9 9.1 5.6 7. 1. A = 2.1 3.4 1.8 = 2. A = 3.8 5.1 2.8 =, b 1.1, b 6. 5.4.2 -1.7 1.3 2.8 4.1 5.7 1. 10.7.6 5.8 4.7 5. - 2.3 3. - 3. 3. A = 3.8 4.1 2.7 = 9.7 4. A = 4.2 1.7 - 2.3 = 2., b, b 2.9 2.1 3.8 7.8 3.4 2.4 7.4 1. 2.5.6 2.7 -1.7 1.9 4. - 3.5 7. 5. A = 3.4 - 3.6 - 6.7, b = 2.4 6. A = 3.1 - 0.6 - 2.3, b = - -1. 0.8 1.3 3.7 1.2 0.8 7.4 - 0.5 6. 5. - 6.2 - 0.5 0.52 3.2 6. - 2.5 3. 7. A = 3.4 2.3 0.8 = 0.8 8. A = 0.34 1.7 = 0., b - 0.5, b 1.6 2.3 -1. 4.2.4 -1.1 3.8 1. 3.3.6 1.8 - 4.7 3.8 2.7 0.9 -1. 9. A = 2.7 - 3.6 1.9 = 0.4 10. A = 4.5 - 2.8 6.7 = 2., b, b -1.6 - 0.1.5 4.5 3.3 5.1 3.7 -1. 3.8 4.1 - 2.3 4.8 4.2.8 3.8 - 3. 11. A = 2.1 3.9 - 5.8 = 2.5 - 2.8 3.3 = -, b 3.3 12. A =, b 7. 5.8 6.1.8 1.1 - 2.1 6.5 - 7.1 4. 7.0 7.7.1 6.8 6.1 4.1 5.2 - 5. 13. A = 5.0 4.8 5.3 = 3.8 - 3.1 4.0 =, b 6.1 14. A =, b 5. 5.8 5.8.2 7.8 7.1 7.8 5.3 - 6. 6.3 5.2 - 0.6 1.5 0.9 2.7 - 3.8 2. 15. A = 3.4 - 2.3 3.4 = 2.7 16. A = 2.5 5.8 - 0.5 = 3., b, b - 2.3 -1.0.8 1.4 3.5 4.5 - 2.1 3. 5.5 3.2 2.5. - 2.4 3. -11.5 3. 17. A = 2.5 6.8 -1.1 = 4.3 18. A = 0.8 1.3 - 6.4 = 6., b, b - 3.5 2.7 - 0.6 1.5 2.4 7.2 -1.2 4. 9.8 10.9.1 5.6 7.8 7.6 5.8 4. 19. A = 3.8 5.1 2.8 = 20. A = 3.8 4.1 2.7 = 9., b 6.7, b 5.8 4.1 5.7 1.2 2.9 2.1 3.8 7. 2.5 5.4. - 3.5 7.4 0. - 6.2 - 0. 21. A = 3.1 - 0.6 - 2.3, b = 22. A = 3.4 2.3 0.8 = 0. -1.5, b 0.8 7.4 - 0.5 6.4 2.4 -1.1 3.8 1. 4.2.8 3.8 - 3.2 3.6 1.8 - 4.7 3. 23. A = 2.5 - 2.8 3.3 = 24. A = 2.7 - 3.6 1.9 = 0., b 7.1, b 6.3 -1.6.5 - 7.1 4.8 1.5 4.5 3. 4. Решение систем нелинейных уравнений 4.1. Основные понятия В общем случае систему нелинейных уравнений можно представить в виде:

F1(x1, x2,..., xn ) = F (x1, x2,..., xn ) = (1)...........................

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 6 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.