WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 6 |
Министерство образования Российской Федерации РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА Кафедра прикладной математики и компьютерного моделирования Э.П. Чен-Син, Л.Н. Панюшева МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ЛАБОРАТОРНЫМ РАБОТАМ ПО КУРСУ КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МОСКВА 2004 Министерство образования Российской Федерации РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА Кафедра прикладной математики и компьютерного моделирования Э.П. Чен-Син, Л.Н. Панюшева МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ЛАБОРАТОРНЫМ РАБОТАМ ПО КУРСУ КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ Допущено Учебно-методическим объединением вузов Российской Федерации по нефтегазовому образованию в качестве учебного пособия для подготовки бакалавров и магистров по направлению 553600 “Нефтегазовое дело”, а также для подготовки дипломированных специалистов по специальностям 090600 “Разработка и эксплуатация нефтяных и газовых месторождений”, 090700 “Проектирование, сооружение и эксплуатация газонефтепроводов и газонефтехранилищ” и 090800 “Бурение нефтяных и газовых скважин” направления 650700 “Нефтегазовое дело” МОСКВА 2004 УДК 681.3:622.691.4+681.3:622.692.4 Чен-Син Э.П., Панюшева Л.Н. Методические указания к лабораторным работам по курсу Компьютерное моделирование: Учебное пособие. – М.: РГУ нефти и газа, 2004. –92 с.

В данном пособии приводятся задания к лабораторным работам по вариантам в виде технологических задач, требующих решения на компьютере с применением известных численных методов. Для облегчения усвоения материала и лучшего понимания сути применяемых методов решения каждая тема предваряется описанием метода и примерами расчетов.

Авторы выражают благодарность профессору Лурье М.В. за помощь в подборе предлагаемых студентам технологических задач.

Пособие ориентировано на студентов, изучающих проблемы транспорта нефти и газа, но может с успехом быть использовано и студентами других специальностей, изучающих применение численных методов для решения проблем нефтегазового дела.

Утверждено Советом факультета А и ВТ в качестве учебного пособия.

Рецензенты – Е.В. Гливенко, д.т.н., проф. каф. ПМ и КМ РГУ нефти и газа им.

И.М. Губкина, Т.М. Александриди, проф. каф. АСУ МАДИ © Российский государственный университет нефти и газа им. И.М. Губкина, 1. Погрешности вычислений 1.1. Основные определения и свойства Все вычисления, проводимые при решении какой-либо задачи, страдают приближенностью. Это происходит потому, что используемые в этих вычислениях величины несут в себе неточность измерения, определяемую единицей измерения прибора, а также потому, что в процессе вычисления могут производиться округления величин, приводящие также к накоплению погрешности вычисляемых величин. Это надо обязательно учитывать, чтобы всегда иметь представление о величине ошибки полученного результата.

Различают два вида погрешностей – абсолютную и относительную.

Абсолютная погрешность некоторой величины равна разности между ее истинным значением и приближенным значением, полученным в результате измерения или вычисления. Относительная погрешность – это отношение абсолютной погрешности к модулю приближенного значения величины.

Таким образом, если а – приближенное значение величины х, то выражения для абсолютной и относительной погрешностей запишутся соответственно в виде х=х-а, х=х/| а | Но так как истинное значение величины х обычно неизвестно, то за величину абсолютной погрешности значения а принимают предельную погрешность а, равную верхней оценке модуля абсолютной погрешности, т.е.

x a. В этом случае истинное значение х находится в интервале (а – а, а +а). Аналогично поступают с относительной погрешностью.

Исходя из полученных определений погрешностей, можно доказать несколько свойств их, полезных для оценок погрешностей величин, полученных в результате арифметических операций над приближенными значениями.

(В приводимых ниже формулах договоримся оценку абсолютной погрешности величины а обозначать а, а оценку относительной погрешности этой же величины как а.) Вот эти свойства:

1. Оценка абсолютной погрешности суммы или разности двух приближенных величин равна сумме оценок их абсолютных погрешностей (a ± b) = a + b 2. Если k – точное значение сомножителя некоторой приближенной величины а, то оценка абсолютной погрешности произведения ka равна умноженной на k оценке абсолютной погрешности данной величины (ka) = k a 3. Оценка относительной погрешности произведения или частного двух приближенных величин равна сумме оценок их относительных погрешностей (ab) = a + b (a /b) = a + b 4. Оценка относительной погрешности приближенной величины, возведенной в степень, равна произведению оценки относительной погрешности этой величины на показатель степени k (a ) = k a 5. Если k – точное значение сомножителя некоторой приближенной величины, то оценка относительной погрешности произведения равна оценке относительной погрешности данной величины (ka) = a 6. Оценка относительной погрешности приближенной величины равна отношению оценки ее абсолютной погрешности к модудю приближенного значения этой величины a = a / a 7. Если известна оценка относительной погрешности величины, то оценку абсолютной погрешности ее можно найти, умножив оценку относительной погрешности на модуль приближенного значения величины a = a a 1.2. Пример Пусть необходимо вычислить значение величины y,а также оценить погрешность этого вычисления. При этом известны оценки абсолютных погрешностей используемых в вычислении величин a + b Дано: y =, x (1 - x) a = 25.2, a = 0. b =10.24, b = 0.x = 0.5, x = 0. Тогда проделаем следующие расчеты:



(a + b) = 0.1 + 0.02 = 0. (a + b) = (a + b) / a + b = 0.12/35.44 = 0. (x ) = 2 x = 2 x / x = 2 0.1/ 0.5 = 0.(1 - x) = (1) + x = 0 + 0.1 = 0. (1 - x) = (1 - x) /1 - x = 0.1/ 0.5 = 0.a + b ( ) = (a + b) + (x ) + (1 - x) = x (1 - x) = 0.003386 + 0.4 + 0.2 = 0. ( y) = 0.603386 = 0.25.2 + 10. y = = 283.52 =16.0.5 (1 - 0.5) y = y y = 0.301693 16.838052 = 5. 1.3. Лабораторная работа №Оценка погрешностей результата вычислений Оценить абсолютную и относительную погрешности результатов вычисления выражений ( V, S, Y ), если известны оценки абсолютных погрешностей измерения участвующих в выражениях величин:

a - b V = Dd S= Y = D4-d m(20 - a) № D D m d d a b 8.23 36.5(±0.1) 26.35(±0.05) 2.786(±0.006) 0.28(±0.06) 10. (±0.5) (±0.01) (±0.03) 9.3.41.4(±0.2) 31.75(±0.03) 3.108(±0.003) 0.46(±0.02) (±0.04) (±0.3) (±0.02) 7.34 52.6(±0.1) 48.39(±0.01) 11.45 4.431(±0.002) 0.75(±0.03) (±0.5) (±0.01) (±0.01) 7.34 36.5(±0.1) 21.35(±0.05) 2.785(±0.005) 0.26(±0.03) 11. (±0.3) (±0.01) (±0.02) 7.34 41.4(±0.2) 36.75(±0.01) 3.108(±0.003) 0.46(±0.02) 8. (±0.7) (±0.01) (±0.03) 8.23 41.5(±0.2) 31.75(±0.03) 4.431(±0.002) 0.75(±0.03) 12. (±0.3) (±0.01) (±0.03) 8.23 36.5(±0.1) 26.35(±0.05) 2.786(±0.006) 0.28(±0.06) 10. (±0.4) (±0.01) (±0.05) 8.23 42.5(±0.2) 31.75(±0.03) 3.108(±0.003) 0.46(±0.02) 7. (±0.3) (±0.01) (±0.02) 3.41.4(±0.2) 36.35(±0.05) 4.431(±0.002) 0.75(±0.03) 10. (±0.5) (±0.02) (±0.03) 3.36.5(±0.1) 31.75(±0.03) 2.786(±0.006) 0.28(±0.06) 9.(±0.3) (±0.02) (±0.03) 34 6.53.6(±0.1) 41.75(±0.03) 3.108(±0.003) 0.46(±0.02) 10.(±0.1) (±0.03) (±0.03) 5.23 62.6(±0.1) 56.35(±0.05) 4.431(±0.002) 0.75(±0.03) 10.(±0.2) (±0.01) (±0.02) 6.36.5(±0.1) 26.35(±0.05) 2.786(±0.006) 0.28(±0.06) 9.(±0.3) (±0.03) (±0.03) 7.34 42.6(±0.1) 26.35(±0.05) 3.108(±0.003) 0.46(±0.02) 8.(±0.1) (±0.01) (±0.02) 5.23 52.6(±0.1) 45.35(±0.05) 4.431(±0.002) 0.75(±0.03) 11.(±0.5) (±0.01) (±0.03) 6.42.6(±0.5) 36.45(±0.04) 2.786(±0.006) 0.28(±0.06) 10.(±0.5) (±0.03) (±0.03) 5.23 53.6(±0.1) 47.35(±0.05) 3.108(±0.003) 0.46(±0.02) 10.(±0.8) (±0.01) (±0.05) 6.42.6(±0.1) 33.67(±0.05) 4.431(±0.002) 0.75(±0.03) 7.(±0.3) (±0.03) (±0.03) 5.23 32.6(±0.1) 26.35(±0.05) 2.786(±0.006) 0.28(±0.06) 9.(±0.3) (±0.01) (±0.03) 8.23 42.8(±0.1) 33.35(±0.09) 3.108(±0.003) 0.46(±0.02) 8.(±0.3) (±0.01) (±0.03) 76 3.27 42.6(±0.8) 38.35(±0.05) 4.431(±0.002) 0.75(±0.03) 10.(±0.7) (±0.02) (±0.03) 6.52.6(±0.2) 45.35(±0.01) 2.786(±0.006) 0.28(±0.06) 10.(±0.3) (±0.03) (±0.03) 8.52.6(±0.2) 38.35(±0.05) 3.108(±0.003) 0.75(±0.03) 10.(±0.4) (±0.01) (±0.03) 3.32.6(±0.1) 26.35(±0.05) 2.786(±0.006) 0.46(±0.02) 10.(±0.2) (±0.02) (±0.03) 2. Методы решения нелинейных уравнений 2.1. Общие сведения Мы рассмотрим здесь лишь некоторые наиболее используемые методы решения нелинейных уравнений. Эти методы относятся к итерационным методам, т.е. методам получения последовательности точек {xn}, которая сходится к решению уравнения F(x) = 0.

При этом итерационный процесс останавливается тогда, когда достигается заданная точность полученного результата. Говоря о точности, можно требовать получения такого приближения корня уравнения, что модуль значения функции F(x) отличается от нуля не больше, чем на заданную малую величину, т.е. F(x ) <.

n А можно требовать локализации самого корня уравнения на отрезке так, чтобы ошибка определения корня была не больше, т.е. остановка будет производиться при нахождении такого отрезка [an,bn], содержащего корень, что длина его будет не больше 2. Тогда, взяв в качестве корня середину этого отрезка, можно быть уверенным, что истинный корень уравнения отличается от найденного не больше, чем на, т.е.

bn - an < 2, xn = (bn + an ) / 2.

2.1.1. Метод хорд Этим методом можно пользоваться в том случае, если функция F(x) непрерывна в некоторой окрестности корня уравнения.

Для начала ищется отрезок [a1,b1] в этой окрестности, который содержал бы только один искомый корень уравнения, а значения функции на концах его были бы разных знаков. Так как функция непрерывна на этом отрезке, то ее график обязательно где-то внутри этого отрезка пересечет ось абсцисс. Эту точку х пересечения графика функции с осью ОХ, являющуюся корнем уравнения, и нужно найти.

Затем строится хорда, соединяющая точки графика функции, отвечающие концам имеющегося отрезка. Вычисляется точка пересечения этой хорды с осью ОХ. Назовем эту точку х1. Затем определяется, на каком из отрезков [a1, x1] или [x1,b1] лежит корень уравнения. Если F(a1) F(x1) < 0, то корень лежит на отрезке [a1, x1] и x1 становится правым концом нового (уже меньшего) отрезка локализации корня, а a1 – левым концом этого отрезка. При этом производят переименование a2 = a1 и b2 = x1.

Если F(b1) F(x1) < 0, то корень – на отрезке [x1,b1] и x1 становится левым концом нового отрезка локализации корня, а b1– правым концом этого отрезка, т.е. a2 = x1 и b2 = b1.

Теперь имеется уже новый отрезок локализации корня. С ним проделывается та же процедура построения хорды и поиска точки ее пересечения с осью ОХ – точки x2. Остановка производится при нахождении отрезка [an,bn], длина которого не больше 2. Тогда в качестве корня берут середину этого отрезка.

Этот процесс можно увидеть на рис.1.

Рис. Формула для получения точки пересечения хорды с осью ОХ на каждом шаге имеет следующий вид:

(bn - an ) F(an ) xn = an - F(bn ) - F(an ) 2.1.2. Метод касательных Ньютона Этот метод можно использовать в случае выполнения следующих требований к функции F(x) :





1) На найденном отрезке локализации корня [a,b] F(x) должна иметь единственный корень и значения функции на концах этого отрезка должны быть разных знаков, т.е. F(a) F(b) < 0.

2) F(x) должна иметь непрерывную вторую производную на этом отрезке.

3) Кроме того, на отрезке [a,b] вторая производная функции F (x) должна сохранять свой знак.

Тогда в качестве начального приближения корня выбирается x1 по следующему правилу:

a, если F(a) F (x) > x1 = b, если F(b) F(x) > Затем в точке с абсциссой x1 строится касательная к графику функции F(x). Точка пересечения этой касательной с осью ОХ берется в качестве следующего приближения корня x2. И так процесс продолжается до тех пор, пока не будет достигнута нужная точность.

Если достаточно получить точку, в которой F(x) не превышает по модулю заданное число, то производят остановку при выполнении этого условия.

Если же надо получить приближение корня, отстоящее от истинного его значения не более чем на, то процесс останавливают тогда, когда выполняется следующее условие:

1/ xn - xn < (2m / M ), где + m = min F (x) M = max F (x) и на [a,b] на [a,b] Процесс можно увидеть на рис.2.

Рис. Формула для вычисления точки пересечения касательной с осью ОХ имеет следующий вид:

xn+ = xn - F(xn ) / F (xn ) 2.1.3. Пример 3 Вычислим с помощью метода хорд корень уравнения x - 3x + 9x - 8 = с точностью = 0.1. Под точностью будем понимать отклонение модуля функции от нулевого значения.

Выберем в качестве левой границы отрезка a1 = 0. При этом F(a1) = -8. В качестве правой границы можно взять b = 3. При этом 3 F(b ) = 3 - 3 3 + 9 3 - 8 =19. Выполняется необходимое условие F(a ) F(b ) < 0.

1 (3 - 0) (-8) Найдем первое приближение корня x = 0 - = 19 - (-8) Найдем значение функции в этой точке 3 F(x ) = (24/ 27) - 3 (24/ 27) + 9 (24/ 27) - 8 = -1.Проверим, не надо ли прекратить вычисления:

-1.668 > 0.1, значит, точность еще не достигнута.

Т.к. F(b ) F(x ) < 0, следующим отрезком будет a = x = 24/ 27, b = b = 3.

1 1 2 1 2 Найдем второе приближение корня (3 - 24/ 27) (-1.668) x = 24/ 27 - =1.19 - (-1.668) Найдем значение функции в этой точке 3 F(x ) =1.06 - 3 1.06 + 9 1.06 - 8 = -0.64.

- 0.64 > 0.1, поэтому продолжаем вычисления.

Т.к. F(b ) F(x ) < 0, следующим отрезком будет 2 a3 = x2 =1.06, b3 = b2 = 3. И т.д. до достижения заданной точности.

2.1.4. Пример Вычислим с помощью метода Ньютона корень уравнения 3 x - 3x + 9x - 8 = 0 с точностью = 0.1.

Под точностью будем понимать отклонение модуля функции от нулевого значения.

Выберем в качестве левой границы отрезка a =1.06. Значение функции в этой точке равно F(a ) = -0.64. В качестве правой границы можно взять b = 3.

Значение функции в этой точке равно F(b ) =19. А значит, выполняется необходимое условие применения метода F(a) F(b) < 0.

Кроме этого выполняется требование непрерывности второй производной функции: F (x) = 6x - 6 – непрерывная функция.

А также на выбранном отрезке вторая производная функции F (x) не меняет знак. Действительно, F (x) = 6x - 6 больше нуля на всем отрезке [1.06,3].

Выберем в качестве первого приближения x = b, т.к. F(b) F (x) > 0.

Найдем второе приближение корня x2 = x1 - F(x1) / F (x1) = = 3 - (33 - 3 32 + 9 3 - 8) /(3 32 - 6 3 + 9) =1.Значение функции в этой точке равно 3 F(x ) =1.94 - 3 1.94 + 9 1.94 - 8 = 5.5.47 > 0.1 поэтому продолжаем и ищем третье приближение корня x3 = x2 - F(x2 ) / F (x2 ) = =1.94 - (1.943 - 3 1.942 + 9 1.94 - 8) /(3 1.942 - 6 1.94 + 9) =1.Значение функции в этой точке равно F(x ) = 1.1.59 > 0.1 поэтому продолжаем и ищем четвертое приближение корня x4 = x3 - F(x3) / F (x3) = = 1.31- (1.313 - 31.312 + 91.31- 8) /(31.312 - 6 1.31+ 9) = 1.Значение функции в этой точке равно F(x ) = -0.- 0.64 > 0.1.И так далее до достижения точности.

2.2. Лабораторная работа №Решение нелинейного уравнения методом хорд 2.2.1. Задача №Воспользовавшись методом хорд для нахождения корня нелинейного уравнения, вычислить коэффициент гидравлического сопротивления при течении жидкости в трубопроводе с относительной шероховатостью внутренней стенки для заданного числа Рейнольдса Re.

Универсальный закон сопротивления для развитого турбулентного течения имеет вид:

1 11.2Re = 0.884ln - 2. 2 2 + 0.31 Re Данные по вариантам:

№ варианта шероховатость число Рейнольдса Re -4 2 10 2.5 -4 3 10 -4 4 10 5 -4 5 10 -4 6 10 5 -4 7 10 -4 2 10 2.5 -4 3 10 5 -4 4 10 5 -4 5 10 2.5 -4 6 10 -4 7 10 -4 2 10 5 -4 3 10 5 -4 4 10 -4 5 10 2.5 -4 6 10 5 -4 7 10 -4 2 10 5 -4 3 10 -4 4 10 2.5 -4 5 10 5 -4 6 10 5 -4 7 10 2.2.2. Задача № Воспользовавшись методом хорд для нахождения корня нелинейного уравнения, вычислить расход дизельного топлива Q(м / ч ) плотностью = 840 кг/м и кинематической вязкостью =10 cCm =10- 5 м2 / с при перекачке по участку трубопровода длиной L= 125 км, диаметром d = 514 мм и с шероховатостью внутренней стенки = 0.0005, если насосная станция работает с двумя последовательно включенными насосными агрегатами.

Уравнение баланса напоров для участка трубопровода имеет вид:

0.11 L( + )4Q /d (hn + (a - bQ2 ) + z1) - (hk + z2 ) =, 2 8Q2 / d g где hn и hk – подпор перед станцией и напор в конце участка соответственно;

a и b – коэффициенты, определяемые типом и количеством насосов;

z1 и z2 – высотные отметки сечений трубопровода в начале и в конце участка.

Данные по вариантам:

№ hn, м hk, м a, м z1, м z2, м чb, мвар.

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 6 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.