WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 8 |
Российский государственный университет нефти и газа имени И. М. Губкина Кафедра высшей математики В.В. Калинин, И.В. Петрова, В.Т. Харин МАТЕМАТИКА в нефтегазовом образовании ТЕОРИЯ И ЗАДАЧИ ВЫПУСК 3. Часть 1.

Неопределенные и определенные интегралы Москва 2005 В.В. Калинин, И.В. Петрова, В.Т. Харин МАТЕМАТИКА в нефтегазовом образовании ТЕОРИЯ И ЗАДАЧИ ВЫПУСК 3. Часть 1.

Неопределенные и определенные интегралы Допущено Учебно-методическим объединением по высшему нефтегазовому образованию в качестве учебного пособия для студентов вузов нефтегазового профиля РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина Москва 2005 УДК 517.9:516:512.8:622.27 К 18 Калинин В.В., Петрова И.В., Харин В.Т.

К 18 Математика в нефтегазовом образовании. Теория и задачи: Учеб. пособие. - М.: РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина, 2005. Вып. 3. Часть 1: Неопределенные и определенные интегралы. - 117с.

Пособие продолжает серию учебно-методических изданий по курсу высшей математики. Третий выпуск посвящен одному из фундаментальных понятий математики – понятию интеграла. В пособии подробно изучены всевозможные приложения интегрального исчисления, разобраны многочисленные примеры, приведены теоретические вопросы и задачи для самостоятельного решения.

Пособие предназначено для студентов всех специальностей нефтегазового образования, а также магистрантов, аспирантов, занимающихся исследованиями, связанными с применениями математических методов.

Издание подготовлено на кафедре высшей математики РГУ нефти и газа им.

И.М. Губкина.

Рецензенты:

проф. кафедры высшей математики РГУ нефти и газа им. И.М.

Губкина Т.С. Соболева, проф. кафедры математики МИФИ (технический университет) д.ф.-м.н. Н.В. Мирошин © Калинин В.В., Петрова И.В., Харин В.Т., 2005 © Издательство «Нефть и газ» РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина, 2005 Из предисловия к выпуску 2.

Пособие «Математика. Теория и задачи», выпущенное на кафедре высшей математики РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина, представляется изданием, которое позволит читателю (студенту, аспиранту, специалисту, преподавателю) остановиться, чтобы осмыслить великую и «ужасную» науку - МАТЕМАТИКУ. Пособие уникально в том смысле, что оно может быть полезно и для тех читателей, кто в данное время изучает вузовский курс высшей математики, и для тех из них, которые этот курс формально (давно или недавно) завершили и даже получили вполне устраивающие их оценки, но при этом хотят понять: чему же их, собственно, обучали на заре их студенческой юности - на первом-втором курсах. Несомненна польза этой книги при подготовке к аспирантуре и магистратуре: ведь многим в процессе дальнейшего обучения предстоит решать задачи, связанные с серьезным математическим аппаратом. А уж специалисты, профессионально работающие в математике - преподаватели, исследователи - несомненно, найдут для себя много новых, нестандартно представленных подходов, и получат истинное удовольствие от прочтения рукописи.

Это издание задумал и начал воплощать в жизнь замечательный человек и ученый, заведующий кафедрой высшей математики РГУ нефти и газа им.

И.М. Губкина, профессор Виталий Тимофеевич Харин. В книге представлен результат его многолетнего опыта преподавания математики в нашем университете и в институтах зарубежных стран.

Предисловие к выпуску 3.

Мы предлагаем читателю третий выпуск пособия «Математика в нефтегазовом образовании. Теория и задачи». Этот выпуск посвящен одному из самых фундаментальных понятий в математике – понятию интеграла. Термин «интегральное исчисление» впервые был введен в обиход И. Бернулли в самом конце XVII века, а его современное обозначение обязано своим происхождением Лейбницу. Это, кстати, было частью компромисса между двумя великими учеными: Лейбниц отказался от названия “calculus summatorius” в пользу “calculus integralis”, введенного И. Бернулли, но зато сохранил свое обозначение – стилизованное латинское «S».

С тех пор понятие интеграла является широко востребованным в самых разных разделах математики: математическом анализе, дифференциальных уравнениях, функциональном анализе, etc. О важности этого понятия знал даже Лев Толстой. В "Анне Карениной" он писал: "Когда бы в университете мне сказали, что другие понимают интегральное вычисление, а я не понимаю, – тут самолюбие. Но тут надо быть убежденным прежде, что нужно иметь известные способности для этих дел и, главное, в том, что все эти дела важны очень." Авторы надеются, что настоящее пособие будет востребовано людьми творческими, желающими узнать предмет больше и глубже, не ограничиваясь лишь формальным и сухим изложением втузовского учебника, имеющими, как герой Л. Толстого, самолюбие, чтобы овладеть им, или, при возникновении такой необходимости, повторить аппарат интегрального исчисления и его приложений.

В ходе подготовки к печати выпуска 3 пособия «Математика в нефтегазовом образовании. Теория и задачи» авторы столкнулись с тем, что объем представленного материала по разделу «Интегральное исчисление» оказался достаточно большим, что создавало определенные сложности в использовании книги. Кроме того, интегральное исчисление в курсе высшей математики обычно изучается студентами в течение нескольких семестров, а некоторая его часть остается вообще за пределами вузовской программы у ряда специальностей, не требующих особо глубокой математической подготовки.

Поэтому было принято решение разбить выпуск 3 пособия на две части. Часть выпуска содержит материал по неопределенным, определенным, несобственным интегралам и интегралам, зависящим от параметра. В части излагается теория, связанная с кратными (двойными и тройными), криволинейными и поверхностными интегралами.



Материалы, связанные с данным изданием, можно найти на сайте кафедры высшей математики РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина:

http://kvm.gubkin.ru/index.html ОГЛАВЛЕНИЕ Из предисловия к выпуску 2 Предисловие к выпуску 3 Оглавление Глава 1. Неопределенный интеграл. 1.1. Первообразная и неопределенный интеграл 1.2. Интегрирование рациональных дробей 1.3. Рационализация интегралов Теоретические вопросы к главе 1. Задачи к главе 1. Глава 2. Определенный интеграл. 2.1. Понятие определенного интеграла 2.2. Вычисление определенного интеграла 2.3. Геометрические приложения определенного интеграла Теоретические вопросы к главе 2. Задачи к главе 2. Глава 3. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра. 3.1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования 3.2. Свойства несобственных интегралов 3.3. Признаки сходимости несобственных интегралов с бесконечными пределами интегрирования 3.4. Несобственные интегралы от неограниченных функций 3.5. Интегралы, зависящие от параметра Теоретические вопросы к главе 3. Задачи к главе 3. Глава 1. Неопределенный интеграл.

1.1. Первообразная и неопределенный интеграл.

Изучая дифференциальное исчисление, мы, в частности, рассматривали следующую задачу: на интервале числовой оси задана функция, надо найти ее производную. Приступая к интегральному исчислению, начнем с обратной задачи: по заданной на интервале производной найти саму функцию (ту, производная которой задана).

Где может возникнуть такая задача Например, если нужно по известной зависимости скорости движения от времени найти закон движения точки по прямой.

Итак, пусть на интервале I числовой оси R задана числовая функция f x. Функция F x, определенная на том же интервале, называется первооб( ) ( ) разной функции f x, если на I выполнено условие ( ) F x = f x (1) ( ) ( ) Например, при x > 0 функция ln x есть первообразная для.

x Какой должна быть функция f x : I для того, чтобы существовала ( ) ее первообразная Достаточное условие для этого дает Теорема 1. Непрерывная на интервале функция имеет на нем первообразную.

К этой теореме мы вернемся несколько позже.

В отличие от задачи дифференцирования, обратная задача – нахождение первообразной – имеет не одно, а много решений.

Теорема 2. Функция f x : I либо вовсе не имеет первообразной, ( ) либо имеет множество первообразных. Все это множество выражается в виде F x + C, где F x какая-либо первообразная, а C - произвольная постоянная.

( ) ( ) Доказательство. Пусть F x – какая-либо первообразная для f x, ( ) ( ) т.е. F x = f x на интервале I. Тогда, взяв любое фиксированное число С, ( ) ( ) мы видим, что F(x) + C = F (x) + C = f (x), т.е. F x + C тоже первообраз() ( ) ная для f x. Итак, все функции вида F x + C - первообразные для f x.

( ) ( ) ( ) Других функций в множестве первообразных нет. В самом деле, если x ( ) первообразная для f x, то функция g(x) = F(x) -(x) для любого значения ( ) x обладает свойством g (x) = F (x) - (x) = f (x) - f (x) = 0. Теперь, применив теорему Лагранжу для функции g(x) на некотором отрезке [a, x], получим g(x) - g(a) = g ( ) (x - a), (a, x). Но g ( ) = 0, поэтому g(x) = g(a) для любого x, т.е. g(x) = F(x) - x есть постоянная на I.

( ) Определение. Совокупность всех первообразных функции f x на ин( ) тервале I называется неопределенным интегралом этой функции на этом интервале и обозначается символом f (x)dx. Учитывая теорему 2, можно напи сать f (x)dx = F(x) + C, x I, (2) где F(x) – какая-либо первообразная функции f(x).

Причина столь сложного и непонятного обозначения неопределенного интеграла прояснится несколько позже.

Приведем несколько простейших примеров вычисления неопределенного интеграла. Эти примеры получаются, если читать "справа налево" таблицу производных основных элементарных функций.

ПРИМЕР 1.

0dx = C = const, x. (1) ПРИМЕР 2. dx = x + C, x. x +ПРИМЕР 3. x dx =+ C, -1, x > 0, или x < 0, или x ( ) +(в зависимости от показателя степени ).

+n+xn n n n В частности, при x > 0 : x dx = + C = x + C. n ++n 1 ПРИМЕР 4. dx = ln x + C (при x > 0), dx = ln(-x) + C (при x < 0), x x или, короче, dx = ln x + C, x 0. x ax ПРИМЕР 5. axdx = + C, a > 0, a 1, x, () ln a в частности, exdx = ex + C, x.

ПРИМЕР 6.

sin xdx =-cos x + C, cos xdx = sin x + C, x. dx ПРИМЕР 7. = tg x + C, + k < x < + (k + 1), k, cos2 x dx =-ctg x + C, k < x < (k + 1), k.

sin2 x dx ПРИМЕР 8.

1+ x2 = arctg x + C, x.

dx ПРИМЕР 9. = arcsin x + C, -1 < x < 1. 1 - x( ) Знаком здесь и далее обозначается завершение решения примера.

Если вид первообразной заданной функции не очевиден, то для ее нахождения можно воспользоваться свойствами неопределенного интеграла, с которыми мы начинаем знакомиться.

Теорема 3. 1) Пусть функция f x имеет первообразную на интервале ( ) I, и = const 0. Тогда f x также имеет первообразную на I, причем ( ) f (x)dx. (3) f (x)dx = 2) Если функции f x и g x имеют первообразные на интервале I, то сумма ( ) ( ) f x + g(x) также имеет на нем первообразную, причем ( ) f (x) + g(x) dx = f (x)dx + g(x)dx. (4) [] Доказательство. 1) Пусть F x ( )- какая-либо первообразная для функции f x. Тогда aF x есть первообразная для af x, поскольку aF(x) = ( ) ( ) ( ) [] = aF (x) = a f x. Поэтому левая часть (3) есть множество всех функций вида ( ) aF x + C1, где C1 произвольная постоянная, а правая часть – это множество ( ) всех функций вида a F(x) + C2 = aF(x) + aC2, где C2 - произвольная посто[] янная. Ясно, что оба эти множества совпадают, и утверждение (3) доказано.





2) Пусть теперь F x и G x первообразные для функций f x и g x, ( ) ( ) ( ) ( ) соответственно. Тогда F x + G(x) - первообразная для f x + g(x), т.к.

( ) ( ) F(x) + G(x) = F (x) + G (x) = f x + g(x).

[] ( ) Таким образом, слева в (4) записано множество вида F x + G(x) + C1, а справа ( ) – множество вида F(x) + C2 + G(x) + C3 = F x + G(x) + C4, где все значе() ( ) ( ) ния С с индексами – произвольные постоянные. Поэтому означенные множества совпадают, что и требовалось доказать.

Теорема 3 позволяет несколько расширить класс функций, для которых неопределенные интегралы могут быть найдены на основе таблицы производных основных элементарных функций:

1 ПРИМЕР 10. 4x5 - + dx = x sin2 x dx dx = 4 x5dx - + = x6 - ln x - 2ctg x + C.

x sin2 x Теорема 4 (интегрирование по частям). Пусть функции u(x) и v(x) непрерывно дифференцируемы на интервале I. Тогда на этом интервале имеет место следующая формула интегрирования по частям:

v(x)u (x)dx. (5) u(x)v(x)dx = u(x)v(x) - Иногда эту формулу записывают в виде v(x)du(x), u(x)dv(x) = u(x)v(x) - используя выражение дифференциала функции через ее производную.

Доказательство. Левая часть равенства (5) – это множество функций, имеющих на интервале I производную u(x)v (x). Правая часть есть множество функций, имеющих на интервале I производную u(x)v(x) v(x)u (x) = u (x)v(x) + u(x)v (x) v(x)u (x), []- [ ]- т.е. такую же, что и функции в левой части. Значит, оба множества совпадают, что и доказывает теорему.

Спрашивается, какой смысл заменять вычисление u(x)v(x)dx вычисле нием v(x)u (x)dx. Ответ прост: часто случается, что первый из интегралов мы не умеем вычислять, а второй – умеем.

ПРИМЕР 11. Вычислить интеграл xdx, (x > 0).

ln Перепишем его в виде ln xdx и положим ln x = u(x), 1 = v (x). Тогда в качестве v(x) можно взять x. По формуле (5) имеем x dx = x ln x - x + C.

ln xdx = x ln x - x Можно представить наши рассуждения в этом примере следующим образом:

u = ln x, dv = dx, = x ln x - x dx = ln xdx = du = dx, v = x x x = x ln x - x + C = x ln x -1 + C..

() ПРИМЕР 12.

u = x2, dv = exdx, x2exdx == x2ex - 2xexdx = x2ex - 2 xexdx. du = 2xdx, v = ex К последнему интегралу снова примним интегрирование по частям:

u = x, dv = exdx, xexdx = = xex exdx = xex - ex + C.

du = dx, v = ex В результате получаем:

x 2 x x2exdx = x2ex - 2 - ex + C (xe )=(x - 2x + 2)e + C1, где C1 – произвольная постоянная. Из двух последних примеров видно, что интегрирование по частям "в сторону понижения степени" полезно, в частности, при интегрировании функций вида xmax, xm cos x, xm sin x при натуральных m. Конечно, только этим сфера применения рассматриваемого метода не ограничивается.

cos x u = x, dv = dx, x cos x sin3 x ПРИМЕР 13. dx = = sin3 x du = dx, v = 2sin2 x x 1 dx x =- + =- - ctg x + C. 2sin2 x sin2 x 2sin2 x ПРИМЕР 14. Вычислить интегралы I1 = cosbxdx ; I2 = sin bxdx.

eax eax Решение. Вычисляем интеграл I1 по частям:

u = eax, dv = cosbxdx, I1 = cosbxdx = = eax du = aeaxdx, v = sin bx b aa = eax sin bx eax sin bxdx = eax sin bx - I2.

bb bb Аналогично вычисляем интеграл I2 :

u = eax, dv = sin bxdx, I2 = sin bxdx = = eax du = aeaxdx, v = - cosbx b aa =- eax cosbx + eax cosbxdx =- eax cosbx + b I1.

bb b Подставим этот результат в результат предыдущей выкладки. При этом учтем, что выражения для I1 в первой и второй выкладках различаются на произвольную постоянную. В первом случае I1 = F(x) + C1, где F(x) – некоторая первообразная для eax cosbx, а C1 – произвольная константа, то во втором это I1 = F(x) + C2, где C2 – произвольная константа, значения которой не обязаны зависеть от значений C1. В результате получаем уравнение для I1:

1 a 1 a I1 = eax sin bx - - eax cosbx + 1 + C2.

bb b b Отсюда eax bsin bx + a cosbx ( ) I1 =+ C.

a2 + bТеперь легко выписать и второй искомый интеграл:

eax asin bx - bcosbx ( ) I2 =+ C.

a2 + bТеорема 5 (интегрирование методом замены переменной, или подстановки). Пусть непрерывно дифференцируемая функция x = (t) определена на интервале I числовой оси Ot (рис.1), а её значения заполняют интервал J числовой оси Ox. Пусть, кроме того, на интервале J задана непрерывная функция f (x). Тогда f (x)dx = f (t) (t)dt. (6) ( ) x x = (t) J O I t Рис.1. К теореме 5.

Другими словами, если в левом интеграле (6) переменную x заменить ее выражением через t и то же сделать с дифференциалом dx, то полученное множество первообразных как функций переменной t, определенных на интервале I совпадает с множеством первообразных функции f (x), определенных на интервале J.

Доказательство. Пусть F(x) – некоторая первообразная для f (x) на интервале J, т.е. F (x) = f (x) на этом интервале. Тогда по теореме о производ ной сложной функции F((t)) будет первообразной для функции f (t) (t) ( ) на I. В самом деле:

( ) ( ) ( ) F (t) = F (t) (t) = f (t) (t).

Тем самым F(x) + C (левая часть (6)) и F((t)) + C (правая часть) совпадают, если x и t связаны равенством x = (t).

ПРИМЕР 15. Вычислить интеграл dx (на любом интервале, где опctgx ределена подынтегральная функция).

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 8 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.