WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 18 |
Российский государственный университет нефти и газа имени И. М. Губкина Кафедра высшей математики В.Т. Харин, М.Г. Голицына, Е.С. Калашникова, И.С. Новикова МАТЕМАТИКА в нефтегазовом образовании ТЕОРИЯ И ЗАДАЧИ ВЫПУСК 2 Дифференциальное исчисление функций одной переменной Аналитическая геометрия Линейная алгебра Москва 2003 Предисловие Высшая математика в среде студентов традиционно считается одной из наиболее трудных для усвоения дисциплин. Сложность, в основном, связана с использованием математического аппарата, методов исследования, приемов решения задач, которые значительно выходят за рамки описаний, принятых и применяющихся в привычной, «нематематизированной», жизни. Особенно трудно приходится тем, которые, обучаясь в средней школе, по каким-либо причинам упустили основы используемых там понятий элементарной математики. Насыщенная программа вузовского обучения практически оставляет очень мало времени на восстановление имеющихся пробелов.

Времени обычно не хватает даже на осмысление вновь проходимого материала:

лекции, практические занятия, контрольные, зачеты, экзамены - гонка, завершающаяся только на третьем курсе, когда математика уже “пройдена”. … А дальше - другие заботы. Оглянуться назад некогда. Вот как описывается разница в восприятии времени подростком и пожилым человеком. Для подростка это: первый урок, перемена, второй урок, опять перемена …. Для человека, умудренного годами, время бежит в другом темпе: зима, весна, лето, осень, …. Студенты, скорее всего, занимают промежуточное положение. В результате к середине вузовского периода жизни у многих из них возникает некоторая сумятица, неуверенность в себе, истинное или кажущееся неумение решать даже сравнительно простые задачи, слабое представление об использовании математики в смежных и специальных дисциплинах.

А ведь всё это, как принято сейчас говорить, «лечится»! Надо только остановится в гонке, и осмыслить ту информацию, которая была получена ранее в курсе высшей математики. При этом вовсе не обязательно вникать в суть доказательств приводящихся утверждений и теорем, скорее, более важно обратить внимание на введенные определения, на ход рассуждений, на приемы решения задач. В любом возрасте, на каждом этапе жизненного пути, такие краткие остановки иногда необходимы.

Пособие «Математика. Теории и задачи», выпущенное на кафедре высшей математики РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина, как раз и представляется изданием, которое позволяет читателю (студенту, аспиранту, специалисту, преподавателю) остановиться, чтобы осмыслить великую и «ужасную» науку - МАТЕМАТИКУ. Пособие уникально в том смысле, что оно может быть полезно и для тех, кто в данное время изучает вузовский курс высшей математики, и для тех, которые этот курс формально давно (или недавно) завершили и даже получили вполне устраивающие их оценки, но при этом хотят понять: чему же их, собственно, обучали на заре их студенческой юности - на первом-втором курсах (когда, по терминологии, принятой на Западе, они были “freshmen”, или, по-нашему, «свеженькими»). Несомненна польза этой книги при подготовке к аспирантуре и магистратуре: ведь многим в процессе дальнейшего обучения предстоит решать задачи, связанные с серьезным математическим аппаратом. А уж специалисты, профессионально работающие в математике - преподаватели, исследователи - несомненно, найдут для себя много новых, неожиданно осмысленных подходов, и получат истинное удовольствие от прочтения рукописи.

Второй выпуск пособия, в основном, посвящен математическим понятиям, стоящим на стыке школьной и вузовской программ, и изучаемым в самом начале вузовского курса высшей математики. Однако даже известные из средней школы положения здесь рассмотрены без присущей школьному курсу поверхностности. В издание, кроме того, включены некоторые вопросы, традиционно изучаемые в курсах функционального анализа, которые преподаются далеко не на каждой специальности и не на каждом факультете.

Дело вкуса читателя, с какой степенью внимательности и тщательности работать над этой книгой. Ее можно читать как беллетристику, можно прорабатывать и разбирать интересующие разделы, пытаясь ответить на приведенные в каждой главе теоретические вопросы, можно рассматривать как руководство по решению задач.

Это издание задумал, разработал и воплотил в жизнь замечательный человек и ученый, заведующий кафедрой высшей математики РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина, профессор Виталий Тимофеевич Харин. В книге - результат его многолетнего опыта преподавания математики и смежных с ней дисциплин в нашем ВУЗ’е и в институтах зарубежных стран, где ему довелось работать.

Он всегда верил, что в каждой студенческой группе есть люди, которые относятся к изучаемым предметам (и к математике, в частности) не просто как к ничего не значащей, формальной ступеньке, обозначенной лишь строчкой в зачетной книжке, а - творчески, с желанием узнать, откуда берется то или иное понятие, и чему оно приводит. Такие студенты, как переживал Виталий Тимофеевич, иногда находятся в своих группах, на своем факультете в меньшинстве, но именно они должны определять лицо института, и именно они, зачастую, недополучают знаний в процессе своего обучения. Ведь, что греха таить, основная работа преподавателей ВУЗ’а ориентирована на тех, кто послабее, кто самостоятельно не может справиться с курсом. А на ребят, желающих узнать предмет больше и глубже, мы, преподаватели, зачастую обращаем значительно меньше внимания. Вот для таких творческих и ищущих личностей и написана эта книга. Профессор В.Т. Харин не успел только самую малость - собрать материал этого выпуска воедино и окончательно отредактировать рукопись. Это пособие было его последней остановкой и взглядом назад. Постараемся доделать задуманное им.



В.В. Калинин Материалы, связанные с данным изданием, можно найти на сайте кафедры высшей математики РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина:

http://kvm.gubkin.ru/Index.html ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Оглавление Глава 1. Теория пределов 1.1. Числовые последовательности 1.2. Предел функции 1.3. Свойства непрерывных функций 1.4. Асимптотическое сравнение функций Теоретические вопросы к главе 1. Задачи к главе 1. Глава 2. Производные и дифференциалы 2.1. Исходные понятия 2.2. Основные правила дифференцирования 2.3. Теоремы о конечных приращениях 2.4. Производные и дифференциалы высших порядков.

Формула Тейлора Теоретические вопросы к главе 2. Задачи к главе 2. Глава 3. Исследование функций с помощью производных 3.1. Экстремумы и монотонность 3.2. Выпуклость и точки перегиба 3.3. Наклонные асимптоты. Общая схема исследования функции Теоретические вопросы к главе 3. Глава 4. Точки и векторы. Метод координат 4.1. Геометрические векторы 4.2. Векторные пространства 4.3. Системы линейных алгебраических уравнений и их исследование методом Гаусса 4.4. Координаты точек 4.5. Аналитическое представление прямой линии 4.6. Аналитическое представление плоскости 4.7. Полярные координаты Теоретические вопросы к главе 4. Глава 5. Измерения в векторном пространстве 5.1. Скалярное умножение геометрических векторов 5.2. Ориентация в пространстве. Векторное умножение геометрических векторов. Смешанное умножение 5.3. Определители 5.4. Приложения теории определителей к изучению матриц и систем линейных уравнений 5.4.1. Ранг матрицы 5.4.2. Критерий совместности систем линейных уравнений 5.4.3. Крамеровские системы уравнений 5.4.4. Анализ линейной системы уравнений общего вида Теоретические вопросы к главе 5. Глава 6. Линейные операторы 6.1. Определения. Действия над линейными операторами 6.2. Линейные операторы в конечномерных пространствах 6.3. Обращение линейных операторов и матриц 6.4. Преобразование координат вектора и матрицы оператора при смене базиса 6.5. Собственные числа и собственные векторы линейного оператора Теоретические вопросы к главе 6. Глоссарий Глава 1. Теория пределов 1.1. Числовые последовательности Пусть дано некоторое множество Х. Сопоставим каждому натуральному числу n какой-либо определенный элемент xn X. Получится функция xn = f (n) : X. (1) Такая функция называется бесконечной последовательностью элементов из X. Для краткости мы будем в дальнейшем говорить просто последовательность.

Чтобы знать последовательность, достаточно знать все элементы x1, x2, x3, …, xn, … (члены последовательности для всех номеров 1, 2, 3, …, n, …). Поэтому последовательность часто определяют как упорядоченный (т.е. пронумерованный последовательными натуральными числами) набор элементов из множества X.

В этой главе мы будем рассматривать только числовые последовательности, т.е. такие, что xn - это числа.

Существуют два способа наглядной интерпретации числовой последовательности xn = f (n). Первый из них – геометрический. Это просто график функции xn = f (n), представляющий собой неподвижную картинку. Второй можно назвать кинематическим: на оси x отмечаются все значения xn, и около каждого из них отмечается номер n, которому это значение соответствует. При желании n можно понимать как дискретные значения времени (например, 1 с, 2 с., 3 с и т.д.), а xn – как положение движущейся (перескакивающей со временем из одного положения в другое) точки.

ПРИМЕР 1. Стационарная последовательность, или константа (рис.1) a, a, a,..., (2) где а – фиксированное число.

xn a а n x1, x2, x3, …, xn, … 1 2 3 4 (б) (а) Рис.1 Стационарная последовательность ПРИМЕР 2. Арифметическая прогрессия xn = a + d(n -1), (3) где а, d - фиксированные числа (параметры прогрессии). Рис.2 а,б соответствует прогрессии с d > 0, а рис. 2 в,г – прогрессии с d < 0.

xn xn 1 2 3 4 5 6 а 1 2 3 4 5 6 (а) (в) … x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 … xn … x7 x6 x5 x4 x3 x2 x1 … xn (б) (г) Рис. 2. Арифметическая прогрессия ПРИМЕР 3. Геометрическая прогрессия xn = aqn-1, (4) где a, q - фиксированы. См. рис.3 а,б,в,г.

xn xn q = – 1/q = 1/n 1 2 3 4 5 6 n 1 2 3 4 5 6 (а) (в) … x4 x3 x2 x1 xn x2 x4 x5 x3 x1 xn (б) (г) Рис.3. Геометрическая прогрессия.

ПРИМЕР 4. Последовательности десятичных приближений к числу с недостатком 3; 3,1; 3,14; 3,141; 3,1415; 3,14159; 3,141592; 3,1415926;...

и с избытком 4; 3,2; 3,15; 3,142; 3,1416; 3,14160; 3,141593; 3,1415927;....

Этот пример напоминает нам, что бесконечные последовательности изучаются не из абстрактных соображений: конкретное (и весьма важное для практики) число может быть введено только как результат бесконечного количества приближений к нему. Конечной последовательностью тут не обойдешься.

Именно поведение последовательности при неограниченно растущих номерах её членов (как говорят, асимптотическое поведение последовательности при n ) имеет главное значение.

Одна из характеристик асимптотического поведения последовательности – это ее "ограниченность" или "неограниченность".

Числовая последовательность называется ограниченной (ограниченной снизу, ограниченной сверху), если ограничено (ограничено снизу, ограничено сверху) множество значений этой последовательности.

Напомним, что множество M точек числовой оси называется ограниченным сверху (ограниченным снизу), если все числа, принадлежащие множеству M, меньше или равны (больше или равны) некоторого фиксированного числа C. Множество M называется просто ограниченным, если оно ограничено и сверху и снизу.





ПРИМЕР 5. Стационарная последовательность (2) ограничена. В самом деле, множество ее значений состоит из единственного числа а.

ПРИМЕР 6. Арифметическая прогрессия (3) ограничена снизу и неограничена сверху в случае d > 0 (действительно, добавляя к а число d достаточно много раз, мы, очевидно, превысим любое заранее заданное число).

Если же d < 0, то арифметическая прогрессия неограничена снизу и ограничена сверху по аналогичной причине.

Любая арифметическая прогрессия неограничена. (Любая ли Может быть, есть исключение) ПРИМЕР 7. Геометрическая прогрессия (4) ограничена, если q 1 и не ограничена, если q > 1.

n- В самом деле, xn = a q. Поэтому xn a при q 1. Если же q > 1, то q = 1+, где > 0, и тогда (n -1)(n - 2) n-n-q = (1+)n-1 = 1+ (n -1) + 2 +...+ > 1+ (n -1) по формуле бинома Ньютона. Тем самым xn растет быстрее, чем некоторая арифметическая прогрессия.

ПРИМЕР 8. Обе последовательности примера 4 ограничены. Например, первая потому, что все ее члены не меньше 3, но, очевидно, не более 4.

Заметим, что любая конечная числовая последовательность ограничена.

Для бесконечной же последовательности свойство быть ограниченной (в том или ином смысле) не меняется, если отбросить любое конечное число ее первых членов. Это подтверждает, что свойство ограниченности – асимптотическое свойство последовательности.

Мы подошли к самому важному определению настоящего раздела.

Числовая последовательность xn называется сходящейся к числу а, если разность между xn и а с ростом номера п становится как угодно малой (см. рис.4). Точнее – если для любого заданного числа > 0 найдется номер N такой, что при n N выполняется соотношение xn - a <.

( ) ( ) При этом число а называется пределом последовательности xn.

С помощью сокращающих символов (для любого) и (найдется) это определение выражается следующим образом:

> 0 N( ) : {n N( )} { xn - a < }. (5) Его можно сформулировать еще и так: последовательность xn сходится к а, если для любого > 0 все ее члены, начиная с некоторого номера, лежат в -окрестности точки а.

Факт сходимости xn к а записывается одним из следующих способов:

a = lim xn; xn a при п. (6) п Символ lim – это сокращение латинского слова limes – предел.

Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся.

Геометрически (на графике функции xn = f (n) ) утверждение (6) означает: какую бы полосу a - < x < a + вокруг прямой х = а мы ни выбрали, найдется номер N( ) такой, что при n N( ) все точки графика попадают в указанную полосу (см. рис. 4).

xn а n N(1) N(2) N(3) Рис. 4. К определению предела последовательности.

ПРИМЕР 9. Доказать, что lim = 0.

п nРешение. Выберем произвольное число > 0. Надо доказать, что неравенство - 0 < выполняется для всех натуральных n, начиная с некотороnго. Для этого следует просто решить это неравенство относительно п, считая заданным. Очевидно, это неравенство переписывается в виде < или, еще n1 проще, в виде n2 >. Отсюда n >. Т.е. исходное неравенство выполняет ся для всех натуральных чисел, превосходящих 1\. Например, при = 0,должно быть n >= 10 = 3,16.... Значит, начиная с номера 0,N = N 0,1 = 4, неравенство верно. Если же = 0,01, то ( ) ( ) n >= 100 = 10. Следовательно, N 0,01 = 11.

( ) 0,n ПРИМЕР 10. Доказать, что 1 при п.

n +Решение. Аналогично предыдущему примеру имеем неравенство n n - (n +1) -1 <. Упрощая его, получаем последовательно: <, n +1 n +1 1 1 1 - <, <, n +1 >, n > -1. Очевидно, N = 10, n +1 n + 1 N = 100, N = 1000.

100 Рассмотрим теперь основные общие свойства предела последовательности.

Теорема 1 (о единственности предела). Последовательность может сходиться только к одному пределу.

Доказательство. Пусть последовательность сходится к двум разным пределам а и a. Выберем меньше половины расстояния между ними, т.е.

положим < a - a. Найдутся номера N1 и N2 такие, что при ( ) ( ) n N1 будет xn - a <, а при n N2 будет xn - a <. Поэтому при ( ) ( ) п большем, чем N1 и N2, точка должна попадать в - окрестность ( ) ( ) числа а и в - окрестность числа a, что невозможно, т.к. эти окрестности не имеют общих точек.

Теорема 2. Сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство. Пусть последовательность xn сходится к пределу а.

Рассмотрим какую-либо -окрестность точки а. Все числа xn, начиная с некоторого номера N, попадают в нее, т.е.

( ) a - < x < a + при n N.

( ) Поэтому любой член xn последовательности не превосходит наибольшего из чисел x1, x2,…, xN( )-1, a +. Значит, последовательность xn ограничена сверху. Аналогично доказывается ее ограниченность снизу.

Обратная теорема не имеет места, т.е. существуют ограниченные, но расходящиеся последовательности, например, xn = (-1. Таким образом, класс )n сходящихся числовых последовательностей составляет лишь часть класса ограниченных последовательностей. Иными словами, последовательность может расходиться либо потому, что она неограничена, либо потому, что, хоть она и ограничена, но колебания значений xn не уменьшаются до нуля с ростом номера п.

ПРИМЕР 11. Стационарная последовательность xn = a = const очевидным образом сходится, и lim а = а.

п ПРИМЕР 12. Арифметическая прогрессия при d 0 расходится, т.к.

она неограничена.

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 18 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.