WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 |

Число z = a + bi = 2i является корнем характеристического уравнения, следовательно частное решение нужно искать в виде yч = xeax(SN (x)cosbx + TN (x)sin bx) или yч = x(S0(x)cos2x + T0(x)sin 2x) (Здесь N = max (n, m) = 0).

Многочлены нулевой степени по x представляют собой константы, поэтому yч = x(Acos2x + Bsin 2x) Дифференцируя yч, получаем yч = Acos2x + Bsin 2x + x(-2Asin 2x + 2B cos2x) yч =-4Asin 2x + 4B cos2x + x(-4Acos2x - 4Bsin 2x) Теперь подставим выражения для функции yч и ее производных в исходное дифференциальное уравнение:

yч + 4 yч = -4Asin 2x + 4B cos2x + x(-4Acos2x - 4Bsin 2x) + +4x( Acos2x + Bsin2x) = 4sin2x;

-4Asin 2x + 4B cos2x = 4sin 2x Приравняем коэффициенты при одинаковых функциях в левой и правой частях полученного тождества:

sin 2x : -4A = cos2x : 4B = Отсюда находим значения коэффициентов: A = -4/ 7, B = 0, что дает возможность записать частное решение неоднородного уравнения:

yч =- x cos2x (Интересно заметить, что хотя в правой части уравнения была функция sin 2x, частное решение уже содержит функцию cos2x – известное в механике изменение фазы вынужденных колебаний).

3) Общее решение исходного неоднородного дифференциального уравнения получается суммированием функций, найденных в пп. 2) и 3):

y = yo + yч = - x cos2x + C1cos2x + C2 sin 2x Примеры для самостоятельного решения.

1. Указать вид частного решения уравнений:

а) y + 4 y +13y = e-2xxsin x б) y - 2 y + y = ex cos x в) y + 4 y + 4 y = e3x(sin 2x + x2 cos2x) 2. Решить уравнения:

а) y - y = 3sin5x б) y + 81y = 5cos9x в) y + 2 y + y = ex cos x г) y - 3y = xsin 2x д) y + 9y = 2cos x + 3sin3x е) y + 5y = (x - 4)sin5x Домашнее задание.

1. Указать вид частного решения уравнений:

а) y + 2 y - 8y = xsin x + 2cos x e2x () б) y + 4 y + 5y = sin x + (x - 3)cos x e-2x () в) 3y - 2 y - y = x2 cos x + e2x sin x 2. Решить уравнения:

а) y + y = sin 4x б) y + 2 y + 2 y = 3cos x в) y - 2 y + 5y = 3ex cos2x г) y + y = 2sin x + e-x Задача о нехорошем мальчике.

Нехороший мальчик выкинул из окна 15-го этажа кашу «Геркулес», которую бабушка сварила ему на завтрак. Известно, что сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости полета каши. Через четыре секунды каша пролетела мимо окна 8-го этажа. Выясните, через сколько секунд каша попадет на новую шляпку прогуливающейся у дома тети Жени, если высота каждого этажа дома, где живет мальчик, равна 2,5 метрам Решение задачи о нехорошем мальчике.

Пусть x(t) – перемещение каши по направлению к земле за время t после ее вылета из окна, а m – масса каши. Используя второй закон Ньютона, запишем уравнение, описывающее движение каши:

mx =-k x + mg, где k – коэффициент пропорциональности, g – ускорение силы тяжести, а точdx d x кой обозначена производная по времени t, т.е. x =, x =.

dt dt Перепишем уравнение движения в виде k x + x = g, =, m Полученное уравнение – неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Правая часть уравнения представляет собой постоянную, т.е. многочлен нулевой степени. Решая уравнение уже знакомым методом, получим его общее решение:

g x = C1 + C2e-t + t В начальный момент времени перемещение и вертикальная составляющая скорости равны нулю:

x(0) = 0, x(0) = поэтому gg C1 + C2 = 0, - C2 + = 0 C1 =-C2 =-, и закон движения выброшенной каши, т.е. зависимость её перемещения x от времени t, имеет вид g x =- 1- t - e-t (*) ( ) Для нахождения коэффициента имеем условие:

x = 72,5 (м) при t = 4 (с) (ведь до окна 8-го этажа каше пришлось преодолеть семь этажей по 2,5 метра).

Получаем тогда из (*) алгебраическое уравнение:

g 17,5 =- 1- 4 - e-4, ( ) которое, однако, невозможно решить аналитически. А вот приближенное решение этого уравнения найти не сложно! Действительно, заметим, что величина e-4 мала при 1, а величина ускорения g силы тяжести приблизительно равна 10 (м/с2). Тогда приходим к уравнению 1- 17,5 =- () Решая это квадратное уравнение, получим = 2 (1/c).

(Объясните самостоятельно, почему второй корень квадратного уравнения оказался лишним!) Теперь окончательно можно записать закон движения каши:

g x =- 1- 2t - e-2t (**) ( ) Теперь можно выяснить, когда каша долетит до шляпки тети Жени. Для этого в закон (**) надо подставить значение x = 152,5 (м), g 10 (м/с2) и опять отбросить малый экспоненциальный член e-2t :

1- 2t t 8(с).

37,5 - ( ) (Кстати, легко проверить, что при найденном значении времени t отброшенный нами в правой части равенства (**) член e-2t имеет величину e-2t e-16 0,00000011, т.е. действительно мал по сравнению с оставленным членом 1 – 2t).

Таким образом, каша «Геркулес», выброшенная нехорошим мальчиком, будет лететь до земли примерно 8 секунд. Отметим, что за это время тетя Женя вполне может удалиться от падающей каши на безопасное расстояние! Приложение Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений, не вошедшие в основной курс.

Выше в пособии были представлены методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений, наиболее часто встречающиеся на практике и входящие в основной курс высшей математики технических ВУЗ’ов. Однако этими методами и рассмотренными типами уравнений не исчерпываются все возможные случаи, когда дифференциальное уравнение может быть решено аналитически. Круг таких уравнений значительно шире. В приложении 1 описываются некоторые дополнительные методы и приемы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Уравнения, сводящиеся к однородным.



Сведения из теории:

Уравнение вида ax + by + c y = f mx + ny + p можно свести к однородному, если произвести сдвиг неизвестной функции y и независимой переменной x по формулам:

x = x - xo y = y - yo где значения xo и yo определяются из решения системы алгебраических уравнений axo + byo + c = (1) + nyo + p = mxo x + y + ПРИМЕР 1. Решить уравнение y = x - y - Решение. Заданное дифференциальное уравнение 1-го порядка можно свести к однородному. Решая систему xo + yo +1 = x - yo - 3 = o получим xo = 1, yo = – 2. Выполняя замену переменных x = x - y = y + dy d( y - 2) dy и учитывая, что y = = =, получим из исходного уравнения dx d(x +1) dx однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка:

dy x +1+ y - 2 +1 x + y == dx x +1- y + 2 - 3 x - y Для его решения вводим новую неизвестную функцию u = u(x):

ydy du u = ; y = ux; = x + u x dx dx В результате уравнение принимает вид du 1+ u x + u = dx 1- u Теперь можно разделить переменные:

du 1+ u 1+ u2 (1- u)du dx x =- u = = dx 1- u 1- u 1+ u2 x и проинтегрировать обе части:

(1- u)du dx = arctgu - ln(1+ u2) = ln | x | +C x 1+ uДля того чтобы получить общий интеграл исходного уравнения, осталось лишь вернуться к исходным переменным:

y 1 y arctg - ln1+ = ln | x | +C x 2 x y + 2 y + arctg - ln1+ = ln | x -1| +C x -1 x - Примеры для самостоятельного решения.

x + y - 2 y - 2x - 3 y - 1. y = 2. y = tg + 2x - y -1 x +1 x + y + 3 y - 3. y = 2 4. (x + 3) y = ( y - 2)cosln x + y x + 2x + y - 5. y = 6. ( y -1+ xy - x + y -1)dx = (x +1)dy 4x + 2 y - Уравнения в полных дифференциалах.

Сведения из теории:

Уравнение вида P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 (2) называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции F(x, y) двух переменных.

Функции P(x, y) и Q(x, y) при этом должны удовлетворять условию P Q = y x Чтобы решить уравнение (2) нужно найти функцию F(x, y), полный дифференциал которой стоит в левой части уравнения:

F F dF = dx + dy = P(x, y)dx + Q(x, y)dy, x y после чего общее решение уравнения (2) записывается в виде F(x, y) = С Замечание. В некоторых случаях дифференциальное уравнение вида (2) можно свести к уравнению в полных дифференциалах с помощью почленного умножения на некоторую функцию двух переменных (x, y) 0, называемую интегрирующим множителем. Общих методов поиска интегрирующего множителя не существует. Иногда его можно найти в виде (x, y) = xa yb.

ПРИМЕР 2. Решить уравнение 2xydx + (x2 + 3y2)dy = Решение. Поскольку выполнено условие (2xy) (x2 + 3y2) =, y x заданное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Найдем функцию F(x, y), дифференциал которой стоит в левой части уравнения. Имеем F F = 2xy, = x2 + 3y2. (3) x y Поэтому F(x, y) = 2xy dx = x2 y + ( y) (Заметим, что поскольку интегрирование велось по переменной x, то произвольная постоянная интегрирования является функцией переменной y).

Теперь, используя второе из условий (3), получаем F (x2 y + ( y)) == x2 + = x2 + 3yy y y Отсюда находим функцию (y):

= 3y2 ( y) = 3y2dy + C = y3 + C y Таким образом, искомая функция F(x, y) имеет вид F(x, y) = x2 y + yТеперь можно записать общий интеграл исходного дифференциального уравнения:

x2 y + y3 = C ПРИМЕР 3. Решить уравнение 3y(x +1)dx + x(3x + 4)dy = 0 (4) Решение. Попробуем найти для уравнения интегрирующий множитель вида (x, y) = xa yb. При почленном умножении (4) на (x, y) должно получиться уравнение в полных дифференциалах:

3xa yb+1(x +1)dx + xa+1yb(3x + 4)dy = 0, т.е. должно быть выполнено тождество 3xa yb+1(x +1) xa+1yb(3x + 4) ( ) ( ) = y x Отсюда 3(b +1)xa yb(x +1)= 3(a + 2)xa+1 + 4(a +1)xa yb ( ) Сократив тождество на xa yb, получим 3(b +1)(x +1)= 3(a + 2)x + 4(a +1) Отсюда следует, что должны быть выполнены соотношения 3(b +1) = 3(a + 2) 3(b +1)= 4(a +1) Из этой системы получаем: a = 2, b = 3. Это означает, что уравнение 3x2 y4(x +1)dx + x3y3(3x + 4)dy = является уравнением в полных дифференциалах. Решаем его изложенным ранее методом:

F = 3x2 y4(x +1) F(x, y) = x4 y4 + x3y4 + ( y) x F = x3y3(3x + 4) 3x4 y3 + 4x3y3 + ( y) = x3y3(3x + 4) y Отсюда ( y) = 0 ( y) = const. Тогда F(x, y) = x4 y4 + x3y4, и общий интеграл исходного уравнения записывается в виде x4 y4 + x3y4 = C Примеры для самостоятельного решения.

1. (2 - 3xy)xdx + (7 - x3)dy = 0 2. 2 ydx + x( y4 + 2ln x)dy = 3. e- ydx - (2 y + xe- y )dy = 0 4. y(1+ xy)dx - x dy = 5. y2dx + (xy - tg(xy))dy = 0 6. y2dx + (xy - 5)dy = Уравнения, не разрешенные относительно производной.

Сведения из теории:

Дифференциальные уравнения вида y = f (x, y ) (5) можно решить методом введения параметра p = y (6) Тогда, взяв полный дифференциал от обеих частей уравнений (5), и учитывая зависимость dy = pdx, получим дифференциальное уравнение вида M (x, p)dx + N (x, p)dp = Если удается найти его решение x = ( p), то решение исходного уравнения записывается в параметрическом виде x = ( p) y = f (( p), p) Дифференциальные уравнения вида x = f ( y, y ) (7) также решаются методом введения параметра (6).

Дифференцирование обеих частей уравнения (7) и использование соотноdy шения dx = сводит задачу к уравнению p M ( y, p)dy + N ( y, p)dp = Его решение y = ( p) вместе с соотношением (7) параметрически задают решение исходного уравнения:

x = f (( p), p) y = ( p) Уравнения вида (5) и (7) могут иметь также особое решение, для каждой точки которого нарушается единственность решения. Для нахождения особого решения уравнения (5) нужно решить систему уравнений y = f (x, y ) (8) f (x, y ) = y Для нахождения особого решения уравнения (7) записывается система x = f ( y, y ) (9) f ( y, y) = y Исключение из систем (8) или (9) переменной y приводит к зависимости между переменными x и y, которая может оказаться особым решением исходного уравнения (а может и не оказаться!). Подтвердить или опровергнуть этот факт позволяет непосредственная подстановка полученного решения в исходное уравнение.





ПРИМЕР 4. Решить уравнение y = xy + 3 y.

( ) Решение. Введем параметр p = y Тогда уравнение принимает вид y = xp + 3pПосле дифференцирования получаем dy = xdp + pdx +12 p3dp Учитывая, что dy = pdx, приходим к уравнению с разделяющимися переменными x +12 p3 dp = ( ) Здесь возможны два случая:

1) dp = 0 p = C.

В этом случае общее решение исходного уравнения может быть найдено в явном виде:

p = C y = Cx + 3C4.

y = xp + 3p 2) x +12 p3 = 0 x = -12 pРешение исходного уравнения в этом случае записывается параметрически в виде x =-12 p3 x =-12 p y = xp + 3p4 y =-9 p Исключая из этой системы параметр p, получаем решение в явной форме y3 99x=- y =-3 (10) x4 Решение (10) является особым. Его, как указывалось выше, можно было также получить, решая систему (8):

y = xy + 3 y ( ) ( )0 = x +12 y Решение этой системы, как несложно заметить, совпадает с (10):

y = xy + 3 y ( )1/ 3 4 / xx y = -x + 3, 1/ 12 x y =- или 9xy =-Проверка показывает, что найденная функция (10) удовлетворяет исходному дифференциальному уравнению. Примеры для самостоятельного решения.

1. x = y + ( y )3 2. y = y + 4 y ( )2 ( ) 3. y = y + ln y 4. y = 1+ y x + 3 y ( ) ( ) ( ) 4 y 5 y - 1+ ( y )5. x = - 6. x = y y y ( )Обобщенно однородные уравнения.

Сведения из теории:

Если дифференциальное уравнение не изменяется при замене переменной x на величину kx, а переменной y на величину kmy, (m = const), то оно называется обобщенно однородным. Для решения обобщенно однородного уравнения производится замена переменных x = et (11) y = z emt где z = z(t) – новая неизвестная функция, а t – новая независимая переменная.

Полученное в новых переменных дифференциальное уравнение не содержит явно аргумент t и, следовательно, допускает понижение порядка.

Замечание. На практике, для того, чтобы выяснить, является ли дифференциальное уравнение обобщенно однородным, и найти соответствующее число m, нужно приравнять показатели степени c основанием k для каждого из слагаемых в уравнении. При этом для переменной x соответствующий показатель есть 1, для функции y показатель степени равен m, для функции y показатель равен m – 1, для функции y показатель m – 2 и т.д. Так, например, обобщен но однородным является уравнение 3x2 y + xy = 5x6, поскольку приравнивание степеней c основанием k для его слагаемых дает 2 + (m - 2) = 1+ (m -1) = 6, откуда m = 6.

ПРИМЕР 5. Решить уравнение x2 y = 2 y + 3x2.

Решение. Проверим, является ли заданное уравнение обобщенно однородным, и найдем показатель m:

2 + (m - 2) = m = Отсюда m = 2.

Для решения уравнения выполним замену x = et (12) y = z(t) e2t Тогда d z e2t dx ( ) dy y = = : = z e2t + 2z e2t : et = z + 2z et, () ( ) dx dt dt d z + 2z et dx () ( ) dy y = = : = z + 3z + 2z et : et = z + 3z + 2z () dx dt dt Здесь точкой обозначена производная функции по переменной t, т.е.

dz d z z =, z =.

dt dtПосле проведенный замены переменных исходное уравнение примет вид z + 3z + 2z e2t = 2ze2t + 3e2t () или, после упрощения, z + 3z = Это дифференциальное уравнение не содержит явно переменную t, т.е. его порядок можно понизить. Однако проще найти общее решение уравнения, воспользовавшись тем, что оно оказалось линейным уравнением 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Процедура решения таких дифференциальных уравнений рассматривалась выше в занятии 6. Выпишем решение этого уравнения, опуская выкладки:

z = C1 + C2e-3t + t Теперь можно вернуться к исходным переменным, приняв во внимание зависимость (12):

y = z(t) e2t y = C1e2t + C2e-t + te2t Теперь, учитывая, что t = ln x, окончательно получаем общее решение исходного уравнения:

y = C1x2 + C2x-1 + x2 ln x Примеры для самостоятельного решения.

1. xyy + x y = 3 2. x2 y = 2 y ( ) 3. xyy =- y ( y + y x) 4. yy = 2x( y )2 - 3xyy 5. x2 yy = x2( y )2 + 2 y2 6. 4x2 y3y = x2 - yПриложение Решение обыкновенных дифференциальных уравнений в компьютерной системе “Mathematica”.

В основной части данного пособия были рассмотрены обыкновенные дифференциальные уравнения первого и второго порядков, для которых общее решение может быть получено аналитически. Класс таких «решаемых» уравнений достаточно ограничен. Некоторое расширение класса «решаемых» дифференциальных уравнений описано в приложении 1. Возникает вопрос, а существуют ли еще какие-нибудь типы обыкновенных дифференциальных уравнений младших порядков, которые могли бы быть решены аналитически. Оказывается, существуют, но их не так много. Помимо этого существуют также дифференциальные уравнения, решения которых могут быть представлены через специальные функции, не выражаемые с помощью элементарных. В то же время и для сравнительно простых типов уравнений, в том числе и рассмотренных в настоящем пособии, нахождение решения дифференциального уравнения часто связано со значительным числом сложных математических преобразований.

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.