WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |

C = ro, k = voC0,9 = voro Теперь с учетом найденных значений C и k можно написать закон растекания капли вязкой жидкости по гладкой горизонтальной поверхности:

9 r = (10voro t + ro0)0,или t r = ro( +1)0,1, (1) to ro где to = – характерное время процесса растекания.

10vo Подставляя в закон растекания (1) заданные начальные условия ro = 1см, vo = 0,1см/с, получим r = (t +1)0,1 (см) В момент времени t = 10 мин. = 600 с радиус растекания капли составит r = (600 +1)0,1 1,9 см.

Таким образом, радиус пятна контакта капли жидкости с подложкой за время растекания увеличится почти в два раза по сравнению со своим начальным значением.

Замечание. Отметим, что согласно полученному в задаче закону растекания (1), радиус капли неограниченно увеличивается со временем, т.е. в задаче имеет место случай, так называемого, полного смачивания. Для случая частичного смачивания, характерного, в частности, для многих углеводородных жидкостей, капля со временем стремится занять положение с конечным радиусом пятна смачивания. Примеры для самостоятельного решения.

1. (1+ x2) y - 2xy = 2(1+ x2)2, 2. yy - ( )y = y4, y(0) = 2, y (0) = 0 y(0) = 1, y (0) = yy 3. xy cos = y cos + x 4. y = x( y - x cos x) x x 5. y - xy = 0 6. (x2 y + x) y = y Домашнее задание.

1. y = + e3x 2. y (1+ x2) = x 3. 2xyy = y 4. 2 yy = y2 + y ( )2 ( ) y 5. xy = y + xsin 6. y 2 y + x = ( ) x 7. yy = yy + y 8. xy - y = ( )Занятие шестое Темы:

«Однородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами».

«Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью вида f (x) = Pn(x)eax (#) Сведения из теории:

Дифференциальные уравнения вида y + py + qy = f (x), где p и q – постоянные, называются линейными дифференциальными уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. В случае f(x) = 0 уравнение называется однородным, а при f(x) 0 – неоднородным.

Для решения однородного уравнения y + py + qy = 0 (I) следует записать его характеристическое уравнение k2 + pk + q = 0 () Дискриминант этого квадратного уравнения обозначим через D = p2 - 4q В зависимости от вида корней характеристического уравнения могут возникнуть три различных случая:

1) D > 0. Уравнение () имеет два различных действительных корня:

- p ± D k1,2 = ; (k1 k2) В этом случае общее решение однородного уравнения (I) записывается в виде y = C1ek1x + C2ek2x 2) D = 0. Уравнение () имеет два совпадающих действительных корня:

- p k1,2 = ; (k1 = k2 = k) В таком случае общее решение однородного уравнения (I) имеет вид y = (C1x + C2)ekx 3) D < 0. Характеристическое уравнение () имеет пару комплексно сопряженных корней:

- p ± D - p ± (-1)(-D) - p ± i -D k1,2 == = 22 или k1,2 = ± i где - p -D =, = соответственно, действительная и мнимая часть корня.

Общее решение однородного уравнения (I) в этом случае имеет вид y = e x C1cos x + C2 sin x () Для решения неоднородного уравнения y + py + qy = f (x) (II) нужно найти какое-либо его частное решение yч. Тогда общее решение уравнения (II) записывается в виде y = yч + yo, где yo – общее решение соответствующего однородного уравнения (I).

Если правая часть f(x) дифференциального уравнения (II) имеет специальный вид, существует общий подход к поиску его частного решения.

Для правой части вида f (x) = Pn(x)eax, (#) где Pn(x) – многочлен степени n, частное решение ищется в различных видах в зависимости от соотношения между показателем степени a и корнями k1 и kхарактеристического уравнения ():

1) В случае a k1 k2 частное решение уравнения (II) имеет вид yч = Qn(x)eax, где Qn(x) – многочлен степени n с неопределенными коэффициентами. (Поиск неопределенных коэффициентов проводится путем подстановки выражения для yч в исходное дифференциальное уравнение (II)).

2) В случае a = k1 k2 частное решение уравнения (II) следует искать в виде yч = x Qn(x)eax 3) В случае a = k1 = k2 частное решение уравнения (II) имеет вид yч = x2 Qn(x)eax Теоретические вопросы:

1. Какие из написанных ниже дифференциальных уравнений являются однородными линейными уравнениями 2-го порядка с постоянными коэффициентами Какие из них имеют правую часть вида (#) Укажите степень n многочлена Pn(x):

а) 3y - y = б) xy - y + 2 y = в) 2 y - 3y + y = xe2x г) y - y + 4 y = д) 3y - 7y + y = e-3x е) y + 8y - 6y = x2 - 2. Написать общий вид однородного линейного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Что называется его характеристическим уравнением 3. Какой вид имеет решение однородного линейного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами для трех возможных случаев корней его характеристического уравнения 4. Какова структура общего решения неоднородного линейного дифференциального уравнения 5. В каком виде следует искать частное решение неоднородного линейного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью вида (#) для случаев:

а) число a не совпадает с корнями характеристического уравнения;

б) число a совпадает с одним из корней характеристического уравнения;

в) число a совпадает с обоими корнями характеристического уравнения.

ПРИМЕР 1. Решить уравнение 2 y - 3y + y = 0.

Решение. Имеем однородное линейное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Запишем и решим его характеристическое уравнение:

2k2 - 3k +1 = 3 ± 9 - k1,2 = k1 = 1; k2 = ; (k1 k2) Поскольку корни характеристического уравнения действительные и различные, общее решение исходного дифференциального уравнения имеет вид y = C1ek1x + C2ek2x, где C1 и C2 – произвольные постоянные.



Тогда, окончательно, имеем общее решение уравнения y = C1ex + C2ex / 2 ПРИМЕР 2. Решить уравнение y + 6y + 9 y = Решение. Это однородное линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Решим соответствующее характеристическое уравнение:

k2 + 6k + 9 = -3 ± 9 - k1,2 = k1 = k2 = -3; (k1 = k2) Корни уравнения действительные и совпадающие, следовательно, общее решение дифференциального уравнения записывается в виде y = C1 + C2x ekx, () где k = k1 = k2.

Подставив значение k, получим y = C1 + C2x e-3x () ПРИМЕР 3. Решить уравнение y - 6y + 25y = Решение. В данном случае характеристическое уравнение имеет два комплексно сопряженных корня:

k2 - 6k + 25 = k1,2 = 3 ± 9 - 25 = 3 ± -16 = = 3 ± 16(-1) = 3 ± 4 -1 = 3 ± 4i Таким образом, здесь = 3; = 4, где – действительная часть корня, – мнимая часть.

Общее решение дифференциального уравнения в случае комплексных корней характеристического уравнения записывается в виде y = e x C1cos x + C2 sin x () или, с учетом найденных значений и, y = e3x C1cos4x + C2 sin 4x () Примеры для самостоятельного решения.

1. 2 y + 7 y + 5y = 0 2. y +10y + 6y = 3. 4y +12 y + 9 y = 0 4. y + 25y = 5. y + 25y = 0 6. y + 4 y + 29 y = ПРИМЕР 4. Решить уравнение y + 2 y = (3x +1)ex Решение. Данное неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет правую часть вида (#).

Решение задачи будет состоять из трех пунктов.

1) Решим соответствующее однородное уравнение y + 2 y = Его характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня:

k2 + 2k = 0 k1 = 0, k2 = -2; (k1 k2) Тогда общее решение однородного уравнения имеет вид yo = C1e0x + C2e-2x, или yo = C1 + C2e-2x 2) Найдем какое-либо частное решение неоднородного уравнения. Его правая часть имеет вид (#):

f (x) = (3x +1)ex, причем a = 1, n = 1, a k1, a kВ данном случае частное решение уравнения следует искать в виде yч = Q1(x)eax где Q1(x) – многочлен 1-ой степени с неопределенными коэффициентами:

Q1(x) = Ax + B Тогда yч = (Ax + B)ex 2 yч = Aex + (Ax + B)ex yч = Aex + Aex + (Ax + B)ex Подставим полученные выражения в исходное неоднородное уравнение (для удобства слева от вертикальной черты выписываем коэффициенты, с которыми соответствующие производные неизвестной функции входят в левую часть дифференциального уравнения):

2Aex + (Ax + B)ex + 2 Aex + (Ax + B)ex = (3x +1)ex ( ) Или, сокращая обе части равенства на ex, 4A + 3B + 3Ax = 3x +В соответствии с идеей метода неопределенных коэффициентов нужно приравнять коэффициенты, стоящие перед одинаковыми степенями переменной x в левой и правой частях полученного равенства:

x1 : 3A = x0 : 4A + 3B = Решая получившуюся систему алгебраических уравнений, находим значения неизвестных: A = 1, B = – 1. Теперь может быть записано частное решение неоднородного уравнения:

yч = (x -1)ex 3) Общее решение исходного неоднородного дифференциального уравнения представляет собой сумму общего решения yo однородного уравнения и частного решения yч неоднородного уравнения:

y = yч + yo.

Подставив сюда полученные в пп. 1) и 2) выражения для функций yo и yч, получим общее решение заданного уравнения:

y = (x -1)ex + C1 + C2e-2x, где C1 и C2 – произвольные постоянные. ПРИМЕР 5. Решить уравнение y - 4 y + 4 y = 10e2x с начальными усло виями y(0) = 3, y (0) = 7.

Решение. Имеем задачу Коши для неоднородного линейного дифференциального уравнения с правой частью вида (#). Её решение распадается на 4 пункта:

1) Решим соответствующее однородное уравнение y - 4y + 4 y = Его характеристическое уравнение имеет два совпадающих корня:

k2 - 4k + 4 = 0 k1,2 = 2 ± 4 - 4, k1 = k2 = Общее решение однородного уравнения для такого случая записывается в виде yo = (C1x + C2)ekx или yo = (C1x + C2)e2x, где С1 и С2 – произвольные константы.

2) Правая часть неоднородного уравнения имеет вид (#):

f (x) = 10e2x Здесь a = 2 (коэффициент в показателе степени экспоненты), n = 0 (степень многочлена, стоящего перед экспонентой). Поскольку имеет место случай a = k1 = k2, частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде yч = x2Qo(x)eax, где Qо(x) – многочлен нулевой степени с неопределенными коэффициентами:

Qo(x) = A Тогда yч = Ax2e2x -4 yч = 2Axe2x + 2Ax2e2x = 2A(x + x2)e2x yч = 2A(1+ 2x)e2x + 4A(x + x2)e2x = 2A(1+ 4x + 2x2)e2x Подставляя полученные выражения для yч, yч, yч в исходное дифференциальное уравнение, получим тождество:

Ae2x 2(1+ 4x + 2x2) - 8(x + x2) + 4x2 = 10e2x;

( ) 2Ae2x = 10e2x;

A = Таким образом, найдено частное решение исходного неоднородного дифференциального уравнения:

yч = 5x2e2x (Это частное решение, естественно, не является решением задачи, т.к. не удовлетворяет заданным начальным условиям).

3) Теперь можно записать общее решение исходного неоднородного дифференциального уравнения:

y = yч + yo y = 5x2e2x + (C1x + C2)e2x 4) Осталось найти произвольные постоянные С1 и С2 так, чтобы удовле творить начальным условиям y(0) = 3, y (0) = 7.

Подставляя в общее решение значения x = 0, y = 3, получим 3 = CТеперь найдем производную от общего решения:

y = 5x2e2x + (C1x + C2)e2x y = 10x +10x2 + C1 + 2C1x + 2C2 e2x ( ) Подставив сюда значения x = 0, y = 7, получим 7 = C1 + 2C2 C1 = 7 - 2C2 = 7 - 2 3 = Теперь, зная значения С1 и С2, можно записать решение поставленной задачи Коши:





y = 5x2e2x + (x + 3)e2x = (5x2 + x + 3)e2x Примеры для самостоятельного решения.

1. 2 y + 3y - 5y = 10 2. y + 3y - 4 y = (10x +17)ex 3. y - 5y + 6y = 4e-x 4. y - 5y - 6y = 3e-x 5. y - 2 y - 8y = x2 + 3 6. y - 6y - 8y = 3e3x Домашнее задание.

1. y - 4 y = 0 2. y - 4 y = 3. 2 y - y - y = 0 4. 3y + y + 2 y = 5. y - 8y +16y = 4 6. y -10y + 26y = x 7. y + y = xex 8. y + 3y + 2 y = (x - 2)e-x Занятие седьмое Тема:

«Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью вида f (x) = Pn(x)cosbx + Qm(x)sin bx eax ( ) () Сведения из теории:

Если неоднородное линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами y + py + qy = f (x) (II) имеет правую часть вида f (x) = Pn(x)cosbx + Qm(x)sinbx eax, () где Pn(x), Qm(x) – многочлены соответствующей степени, то поиск его частного решения проводится по следующему правилу:

1) В случае, если комплексное число z = a + bi является корнем характеристического уравнения (), то частное решение имеет вид yч = eax(SN (x)cosbx + TN (x)sinbx), где SN (x), TN (x) – многочлены степени N с неопределенными коэффициентами, а их степень N представляет собой наибольшую из степеней n и m: N = max (n, m) 2) Если комплексное число z = a + bi совпадает с одним из корней характеристического уравнения (), то частное решение уравнения (II) следует искать в виде yч = x eax(SN (x)cosbx + TN (x)sinbx).

Теоретические вопросы:

1. Какие из написанных ниже дифференциальных уравнений представляют собой неоднородные линейные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами и имеют правую часть вида ( ) Укажите степени n и m многочленов, а также значения параметров a и b:

а) y + 3y - y = x cos3x + (x2 - 2)sin 3x б) y + 3y = e-2xxsin5x в) y - 2 y + y = e3x(xsin5x - 2cos2x) г) y - 7 y + 4 y = e-x(4cos x + x3 sin x) 2. В каком виде следует искать частное решение неоднородного уравнения с правой частью вида ( ) в случаях:

а) число z = a + bi не является корнем характеристического уравнения;

б) число z = a + bi является корнем характеристического уравнения 3. Как следует искать частное решение неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, если его правая часть представляет сумму нескольких слагаемых вида (#) из занятия 6 или вида ( ) из занятия 7 ПРИМЕР 1. Указать вид частного решения (не находя значений неопреде ленных коэффициентов) уравнения y + 4 y +13y = e-x(x cos3x + sin 3x).

Решение. Правая часть заданного линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид ( ).

Решаем характеристическое уравнение k2 + 4k +13 = 0 k1,2 = -2 ± -9- = -2 ± 3i Правая часть уравнения имеет вид ( ) со значениями коэффициентов:

a = – 1; b = 3; n = 1; m = 0.

Число z = a + bi = -1+ 3i не является корнем характеристического уравнения.

Следовательно, частное решение следует искать в виде yч = eax(SN (x)cosbx + TN (x)sin bx), где N = max (n, m) = 1 представляет собой степень многочленов с неопределенными коэффициентами.

Подставляя значения параметров, получим искомый вид частного решения уравнения:

yч = e-x(S1(x)cos3x + T1(x)sin 3x) или yч = e-x((Ax + B)cos3x + (Cx + D)sin 3x) Заметим, что неопределенные коэффициенты многочленов S1 и T1, вообще говоря, различны, поэтому при их записи должны использоваться разные буквенные обозначения. ПРИМЕР 2. Указать вид частного решения уравнения y - 2 y + 2 y = x3ex cos x Решение. Находим корни характеристического уравнения:

k2 - 2k + 2 = 0 k1,2 = 1± 1- 2 = 1± i Правая часть дифференциального уравнения имеет вид ( ), причем a = 1; b = 1; n = 3; m = 0.

Число z = a + bi = 1+ i есть корень характеристического уравнения. В этом случае частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде yч = xeax(SN (x)cosbx + TN (x)sin bx) (т.е. с дополнительным множителем x).

Подставляя значения параметров a, b и величину N = max (n, m) = 3, получим вид частного решения неоднородного уравнения:

yч = xex(S3(x)cos x + T3(x)sin x) или yч = xex (Ax3 + Bx2 + Cx + D)cos x + ( +(Ex3 + Fx2 + Gx + H )sin x ) Заметим, что вычисление восьми неопределенных коэффициентов представляет собой весьма громоздкую задачу, в ходе которой необходимо решить систему из восьми линейных алгебраических уравнений. Эту задачу лучше поручить компьютеру. Используя программу «Mathematica», принципы работы с которой описаны в Приложении 2, можно быстро найти требуемые значения коэффициентов. Приведем их для сведения:

1 3 1 A = 0, B =, C = 0, D = -, E =, F = 0, G = -, H = 0. 4 8 8 ПРИМЕР 3. Решить уравнение y + 4 y = 7sin 2x.

Решение. Имеем неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, правая часть которого имеет вид ( ).

1) Сначала решим соответствующее однородное уравнение y + 4 y = Его характеристическое уравнение имеет два комплексно сопряженных корня:

k2 + 4 = 0 k1,2 = ± -4 = ±2i, т.е. здесь = 0, = 2.

Для данного случая общее решение однородного уравнения записывается в виде:

yo = C1cos2x + C2 sin 2x 2) Правая часть исходного неоднородного уравнения имеет вид ( ):

f (x) = 7sin 2x Здесь a = 0 (множитель еax отсутствует); b = 2; n = m = 0 (многочлены имеют нулевую степень).

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.