WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |

y = 20, t = 10 20 = 1000 - 998e-10k Отсюда 980 e-10k = -10k = ln k 0,998 Теперь можно окончательно записать закон изменения количества y(t) ежедневно продаваемой пасты «Бленд-а-мед» от времени t, прошедшего с начала телевизионной рекламы:

y = 1000 - 998e-0,00182t Найденный закон позволяет ответить на вопросы задачи:

а) найдем объем продаж через 2 месяца = 60 дней:

y = 1000 - 998e-0,0018260 105 (тюбиков в день) б) чтобы объем продаж достиг уровня y = 500 (тюбиков в день), должно быть выполнено равенство 500 = 1000 - 998e-0,00182t 500 e-0,00182t = - 0,00182t = ln 998 Откуда t 380(дней), т.е. интересующий производителей объем продаж зубной пасты потребует более одного года рекламной кампании. Домашнее задание.

1. x2 y = cos2 2 y 2. e3x y = y2 - 3. (x2 + 4) y = tg y 4. ( y2 - 4)dx + 3 - x2 ydy = x4 y y + x 5. y - = 6. y = y - x y4 x x 7. x ln 8. xy = y + x2 + 3y dy - ydx = y 9. 3x2 + 6xy + 3x2 dx + 2x2 + 3xy dy = ( ) ( ) Занятие Второе Тема:

«Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка».

Сведения из теории:

Уравнение вида y + P(x)y = Q(x) называется линейным дифференциальным уравнением 1-го порядка. Решить такое уравнение можно, проведя замену неизвестной функции и ее производной по формулам:

y = uv; y = u v + uv.

Тогда получаем u v+uv + P(x)uv = Q(x) или v u + P(x)u + uv = Q(x) (*) ( ) Функцию u выберем таким образом, чтобы она обращала в нуль выражение, стоящее в скобках в левой части равенства (*):

du u + P(x)u = 0 = -P(x)u dx Решение полученного для функции u дифференциального уравнения с разделяющимися переменными du du =-P(x)dx =- P(x)dx uu ln | u |=- P(x)dx u = e- P(x)dx следует подставить в уравнение (*). В результате получим для неизвестной функции v уравнение с разделяющимися переменными. Его решение позволяет найти исходную неизвестную функцию y по формуле y = uv.

Теоретические вопросы:

1. Каков общий вид линейного дифференциального уравнения 1-го порядка 2. Какие из перечисленных уравнений являются линейными дифференциальными уравнениями 1-го порядка:

sin x а) y =+ ex y б) (x + 3) y = arctg x y + x2 + в) x2 y = 1+ y lg x + y г) y =+ arcsin x x + sin x 3. Какая замена неизвестной функции производится при решении линейного дифференциального уравнения 1-го порядка 4. Почему при нахождении функции u(x), т.е. первой из двух новых введенных функций, в ходе интегрирования не записывается произвольное слагаемое C ПРИМЕР 1. Решить уравнение xy + y = x Решение. Данное уравнение представляет собой линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка. Произведем замену неизвестной функции y(x), введя две новые функции u(x) и v(x) по формуле:

y = uv; y = u v + uv Тогда получаем уравнение x(u v + uv ) + uv = xu v + xuv + uv = x10 xСгруппируем слагаемые, содержащие функцию v:

v(xu + u) + xuv = (*) xНайдем сначала функцию u(x), которая обратила бы в нуль выражение, стоящее в скобках в левой части уравнения (*):

du du dx xu + u = 0 x = -u = - dx u x В результате интегрирования получаем du dx =- ux ln | u |= - ln | x | !!! u = x (Последние две строки выделены в связи с тем, что в них особенно часто допускаются ошибки).

Подставим теперь полученную функцию u(x) в уравнение (*):

11 dv x v = = x-xdx xРазделение переменных и интегрирование дает вторую из введенных функций, а именно v(x):

x-dv = x-10dx v = - + C Теперь может быть получена искомая функция y(x), представляющая собой общее решение заданного дифференциального уравнения:

1 y = uv y = - + C x 9x Замечание. На первом этапе производился поиск любой функции u(x), обращающей в нуль выражение в скобках из уравнения (*). Поэтому в ходе интегрирования постоянную можно было выбрать произвольным образом. В частности, в примере 1 (и везде далее) ее было удобно выбрать равной нулю. При нахождении функции v(x) произвольная постоянная интегрирования должна быть обязательно записана, иначе вместо общего решения исходного уравнения было бы найдено лишь какое-то из его частных решений! ПРИМЕР 2. Решить уравнение (2x + y2) y = y.

Решение. Очевидно, что данное уравнение не является линейным относительно неизвестной функции y(x). Тем не менее, оно может быть сведено к таковому. Действительно, запишем уравнение в виде dy dx (2x + y2) = y y = 2x + ydx dy Теперь, если считать переменную x неизвестной функцией аргумента y, то полученное равенство есть линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка относительно функции x(y). Для его решения произведем замену неизвестной функции x(y), введя две новые функции u(x) и v(x) по формуле:

dx x = uv; = u v + uv dy Заметим, что здесь знак () представляет собой знак дифференцирования по переменной y. Уравнение теперь запишется в виде y(u v+uv) = 2uv + yПроведем перегруппировку слагаемых:

yu v + yuv = 2uv + y2 yu v - 2uv + yuv = y2, и v( yu - 2u) + yuv = y2 (*) Найдем функцию u(y), которая обратила бы в нуль выражение в скобках:

du du dy yu - 2u = 0 y = 2u = dy u y Интегрируя, получаем du dy = 2 ln | u |= 2ln | y | ln | u |= ln | y | uy Отсюда находим функцию u(y):

u = yПодставим полученную функцию u(y) в уравнение (*):

dv 1 dy y y2v = y2 = dv =, dy y y или, после интегрирования:

dy dv = v = ln | y | +C y Теперь может быть найдена искомая функция x(y):

x = uv x = y2(ln | y | +C), В результате получен общий интеграл исходного дифференциального уравнения (ведь, формально, переменная y осталась не выраженной явно через переменную x). Примеры для самостоятельного решения.



1. xy - y = x5 2. xy - 2 y = ln x 1 ex 3. y + y tg x = 4. y - y = cos x x 5. (x2 +1) y - 2xy = 3(x2 +1)4 6. ( y - x) y = Домашнее задание.

2 y y 1. y + = x2 + 3 2. y -= x + ( )x x + x 3. y + 3y = e6 4. 2xy - y = x - 5. xy + y = 2x ln x, y(1) = 1 6. y (2x + y3 cos y) = y Занятие третье Тема:

«Уравнения Бернулли».

Сведения из теории:

Уравнения вида y + P(x) y = Q(x)y, 0, называются уравнениями Бернулли. Решаются уравнения Бернулли аналогично линейным дифференциальным уравнениям 1-го порядка. Проводится замена неизвестной функции и ее производной по формулам:

y = uv; y = u v + uv Тогда уравнение преобразуется к виду u v+uv + P(x)uv = Q(x)(uv).

Или, после группировки членов, содержащих множитель v:

v u + P(x)u + uv = Q(x)u v (*) ( ) Выбираем функцию u так, чтобы она обращала в нуль выражение, стоящее в скобках в равенстве (*):

du u + P(x)u = 0 = -P(x)u dx du du =-P(x)dx =- P(x)dx uu ln | u |=- P(x)dx Тогда u = e- P(x)dx Найденная функция подставляется в уравнение (*). В результате для неизвестной функции v получается уравнение с разделяющимися переменными. После его решения исходная неизвестная функция y находится по формуле y = uv Теоретические вопросы:

1. Написать общий вид уравнения Бернулли.

2. Какие из приведенных уравнений являются уравнениями Бернулли:

а) y sin x + y cos x = y2 y x б) y + = x yx в) xy + = y tg x y г) xy + x2 y = y3 +3. Что называется общим решением дифференциального уравнения А частным решением 4. Что называется общим интегралом дифференциального уравнения 5. Может ли функция y = sin x + 2 tg x представлять собой общее решение дифференциального уравнения 6. Может ли общее решение дифференциального уравнения иметь вид 2x y = Какое это уравнение x2 + C 2 y x ПРИМЕР 1. Решить уравнение y + = с начальным условием x yy(1) = 2.

Решение. Имеем уравнение Бернулли с показателем степени = – 2. Выполняем замену неизвестной функции:

y = uv; y = u v + uv Тогда 2uv x u v + uv + = x (uv)Группируем члены, содержащие множитель v (в первой степени):

2ux u v + + uv = (*) x (uv)Как и при решении линейных уравнений 1-го порядка, выбираем функцию u(x), которая обратила бы в нуль выражение в скобках:

2u du 2u du 2dx u + = 0 = -= x dx x u x Тогда du 2dx = ln | u |=-2ln | x | u = x-ux Подставим найденную функцию в уравнение (*):

x 1 dv x x-2v == (x-2v) x2 dx vРазделяя переменные и интегрируя, получим v3 x8 C v2dv = x7dx v2dv = x7dx = + 3 8 C Запись постоянной интегрирования в виде обусловлена удобством дальнейших преобразований:

v = x8 + C Теперь может быть записано общее решение дифференциального уравнения:

y = uv y = x-2 x8 + C Найдем требуемое частное решение уравнения, удовлетворяющее условию y(1) = 2. Для этого подставим в общее решение значения y = 2, x = 1:

33 3 2 = 1 + C + C = 23 C = 8 - = 88 8 Подставив теперь найденное значение постоянной C в общее решение, получим искомое частное решение:

3 61 1 y = x-2 x8 + y = 3x2 + 88 xПримеры для самостоятельного решения.

y 1 y 4x 1. y + = x2 y4 2. 2y - = x 3 x y 3. (1+ x2) y = 2xy + x2 y2 4. y - 2 y =- y3; y(0) = 5. xy + 2y = xy4 6. x3 sin ydy = xdy - 2 ydx Домашнее задание.

x y 1. xy' - 2 y = 2. y - = 3y2x yy x2 3y 3. y - = 4. y' + = 5x3yx x y 5. y' + 2 y = 3y2ex 6. (2x2 + y3)y = xy Занятие четвертое Тема:

«Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка».

Сведения из теории:

1) Дифференциальные уравнения вида y(n) = f (x) могут быть решены последовательным интегрированием:

y(n-1) = y(n)dx = f (x)dx + C y(n-2) = y(n-1)dx = f (x)dx + C1 dx = f (x)dx dx + C1x + C2, () ) ( … И так далее, пока не будет найдена сама функция y(x).

2) Дифференциальные уравнения вида y = f (x, y ) не содержат явно неизвестную функцию y. Их порядок может быть понижен с помощью замены y = p(x), y = p (x) Новая неизвестная функция p(x) удовлетворяет дифференциальному уравнению 1-го порядка:

p = f (x, p) Если удается его решить, то решение исходного уравнения получается из соотношений:

y = p(x) y = p(x)dx 3) Дифференциальные уравнения вида y = f (y, y ) не содержат явно независимую переменную x. Их порядок понижается с помощью замены y = p(y), dp(y) y = p dy Новая неизвестная функция p(y) удовлетворяет дифференциальному уравнению 1-го порядка:

dp p = f (y, p) dy Если найдено его решение p(y), то исходная неизвестная функция y(x) может быть найдена из соотношения y = p(y).

Теоретические вопросы:

1. В каких случаях может быть понижен порядок дифференциального уравнения F(x, y, y, y ) = 0 2. Может ли быть понижен порядок дифференциального уравнения F( y, y ) = 0 Каким образом 3. Какие из написанных уравнений допускают понижение порядка:

а) xy + y = arcsin x ( ) cos y ( ) б) y sin y += y в) y = 5y г) xy - 7 y + 3y = д) y + 3y = x4. Как решается дифференциальное уравнение вида y(n) = f (x) ПРИМЕР 1. Решить уравнение y = x + sin 2x.

Решение. Данное дифференциальное уравнение решается последовательным интегрированием:

y = x + sin 2x y = (x + sin 2x)dx = x2 - cos2x + 2C1;

( ) 11 1 y = y dx = ( x2 - cos2x + 2C1)dx = x3 - sin 2x + 2C1x + C2 ;

22 6 И, наконец, интегрируя последний раз, получаем общее решение уравнения:

1 y = x3 - sin 2x + 2C1x + C2 dx = 6 = x4 + cos2x + C1x2 + C2x + C24 Заметим, как и следовало ожидать для дифференциального уравнения 3-го порядка, его общее решение содержит три произвольные постоянные. ПРИМЕР 2. Решить уравнение xy - 2 y = x2.





Решение. Дифференциальное уравнение имеет 2-й порядок и не содержит явно неизвестную функцию y. Его порядок можно понизить, если ввести новую неизвестную функцию p(x) по формулам y = p(x) y = p (x) Тогда получаем xp - 2 p = x2, т.е. линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка для неизвестной функции p(x).

Чтобы решить полученное уравнение, выполним замену p = uv; p = u v + uv Получим xu v + xuv - 2uv = x2;

v(xu - 2u) + xuv = x2 (*) Приравниваем к нулю выражение, стоящее в скобках:

du du dx xu - 2u = 0 x = 2u = dx u x После интегрирования находим функцию u(x):

du dx = 2 ln | u |= 2ln | x |;

ux u = xПодставляем найденную функцию u(x) в уравнение (*):

dv 1 dx x3v = x2 = dv = ;

dx x x v = ln | x | +3CТеперь можно записать выражение для введенной выше функции p(x):

p = uv = x2(ln | x | +3C1) Исходную неизвестную функцию y(x) можно найти, используя соотноше ние y = p(x) :

y = x2(ln | x | +3C1) Тогда, выполняя интегрирование, получим y = ln| x | +3C1x2)dx = ln| x | dx3 + C1x3 = (x= x3 ln | x | - x3d ln | x | + C1x3 = x3 ln | x | - x2dx + C1x ( ) ( ) Теперь, окончательно, находим общее решение исходного дифференциального уравнения 2-го порядка (оно, как это следует из теории, содержит две произвольные постоянные):

y = x3 ln | x | - x3 + C1x3 + C ПРИМЕР 3. Решить уравнение yy - ( )2 ( )y + y y = Решение. Данное дифференциальное уравнение 2-го порядка не содержит явно переменную x. Порядок уравнения можно понизить, если ввести новую неизвестную функцию p(y) по формулам y = p( y) dp y = p dy Новая функция p(y) удовлетворяет дифференциальному уравнению dp dp yp - p2 + yp3 = 0 p y - p + yp2 = dy dy Здесь возможны два случая:

1) p = 0. Тогда y = 0, или y = C ;

dp 2) y - p + yp2 = 0. Это выражение представляет собой дифференциdy альное уравнение Бернулли с показателем степени = 2 относительно неизвестной функции p(y). Для его решения выполняем замену p = uv; p = u v + uv (Здесь штрих означает производную по переменной y).

Тогда уравнение перепишется в виде y(u v + uv ) - uv + y(uv)2 = yu v + yuv - uv + yu2v2 = v( yu - u) + yuv + yu2v2 = 0 (*) Как обычно, будем искать функцию u(y), которая бы обратила в нуль выражение в скобках:

du du dy yu - u = 0 y = u = dy u y Отсюда ln | u |= ln | y | u = y Подставляем найденную функцию в уравнение (*):

dv dv y2v + y3v2 = 0 y2 = - y3v2 - = ydy dy vКак будет понятно из следующей строки, знак «минус» здесь удобней оставить в левой части уравнения:

1 y2 C= + v 2 (Еще одна частая ошибка, совершаемая студентами в этом месте, это «перево1 y2 C1 2 рачивание дробей»: = + v = +, что, разумеется, v 2 y2 Cневерно). На самом деле, чтобы найти функцию v(y), нужно провести преобразования:

1 y2 + C1 = v = v y2 + CТаким образом, функция p(y) найдена:

2 y p = uv = y2 + CТеперь осталось только вспомнить, как была определена эта функция:

2 ydy 2 y p( y) = y y = = dx y2 + C1 y2 + CРазделяя переменные и интегрируя, получаем общий интеграл исходного дифференциального уравнения:

y2 + C1 dy ( ) C= 2dx y + dy = 2 dx yy y2 + C1ln | y |= 2x + C2.

Примеры для самостоятельного решения.

1. y = x2 + cos3x + 2 2. y - y = xx 3. y (ex +1) + y = 0, 4. y2 + ( y )2 - 2 yy = 0, y(0) = 2, y (0) = 2 y(0) = 1, y (0) = 5. 2 yy + ( y )2 = 0 6. y = ( y ) Домашнее задание.

y 1. x3y(IV) = 4 - x 2. xy = y + xsin x 3. xy = y + x y + x3 4. xy ln x = y ( )2 ( )3/ 5. 3y = 1+ y 6. y = y ln y ( )() 7. yy = 1+ y 8. yy" + ( y')2 = ( )Занятие пятое Тема:

«Решение дифференциальных уравнений разных типов».

Теоретические вопросы:

1. Определить тип дифференциальных уравнений (не решая их):

y а) y sin x += ln x tg2x y y x б) + = x2 x3 y y в) xy - = x ln x x x2 - 3xy - y г) y = 2x2 + xy + y y д) yy + = yy е) xy + 3y = x3 + xy2 + 2 y ж) yy + y2 x +1 = cos x з) y + x y = y (x ) 2. Как можно понизить порядок уравнений а) y = y ( ) б) y - xy = б) yy - ( y )2 = в) y - 2 y = x + г) y = sin 2x + x Задача о растекании капли вязкой жидкости.

На гладкую горизонтальную поверхность нанесена осесимметричная капля вязкой жидкости. На рис. 1 представлено вертикальное сечение капли, проходящее через ось ее симметрии. Пятно контакта капли с поверхностью представляет собой круг радиуса r(t), где t – время. Из гидродинамики известно, что скорость растекания капли обратно пропорциональна девятой степени радиуса пятна контакта. В начальный момент времени капля имела радиус ro = 1см и скорость растекания vo = 0,1см/c. Найти, каков будет радиус растекания капли через 10 минут после начала процесса Решение. По условию задачи скорость растекания капли v(t) пропорциональна радиусу растекания r(t) в минус девятой степени, т.е.

v(t) = k r-9, где k – коэффициент пропорциональности.

v (t) r(t) Рис. 1. К задаче о растекании вязкой капли.

Скорость движения, как известно, представляет собой производную по времени dr от перемещения тела, т.е. v =. Тогда радиус растекания капли удовлетворяdt ет дифференциальному уравнению первого порядка dr = k r-dt с начальными условиями r(0) = ro, r (0) = vo Разделяя в уравнении переменные, получим r10 C r9dr = kdt = kt + 10 r = (10kt + C)0,В начальный момент времени имеем t = 0, r = ro, v = vo. Тогда ro = C0,1, dr vo == k(10kt + C)-0,9 = k C-0,dt t=t=Отсюда находим постоянную интегрирования C и коэффициент пропорциональности k:

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.