WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 10 |

в – модель обобщенною сетевого трафика Отождествим интервал ON с передаваемой серией пакетов, а интервал OFF – с отсутствием передачи пакетов. Высказанные соображения без конкретизации пока вида функции распределения ON/OFF интервалов взяты за основу построения модели сетевого трафика. Для упрощения решения задачи полагаем далее, что последовательность пакетов в ON интервале имеет регулярный стационарный характер, а сама случайность в сетевом трафике обусловлена только статистическим характером ON/OFF интервалов.

Одним из важных моментов в разработке моделей сетевого трафика является анализ соответствия поведения этих моделей опытным данным, указывающим на коррелированность значений трафика в широком временном диапазоне или, о чем уже упоминалось в предыдущем разделе, на протяженную зависимость (ПЗ) его корреляционной функции. Анализу различных подходов и решений по выявлению этого соответствия экспериментальным данным, снятым на пакетном уровне с различных внутренних коммутаторов в современных высокоскоростных сетях, посвящен ряд вышедших в последнее время работ [12 – 15]. Определяющим фактором наличия этого свойства для рассматриваемой ON/OFF модели является так называемое «тяжелое» распределение, характеризующее тот факт, что вероятности длинных ON и OFF интервалов порядка Т (длинных серий пакетов и межсерийных интервалов) могут быть значительными P(T > t) t–, t, 0 < < 1.

Дисперсии этих интервалов оказываются большими или даже стремятся к бесконечности. В расчетной практике эта трудность преодолевается введением ограничений, например, указанием конечных значений пределов интегрирования. Таким образом, опытные данные ясно указывают на своеобразное поведение сетевого трафика, не укладывающееся в рамки поведения известных моделей очередей (пуассоновских, марковских, модулированных и т.д.). Для последних моделей коррелированность событий обнаруживается на ограниченных отрезках времени. Для таких случайных процессов в отличие от протяженных зависимостей вводится понятие короткопротяженных (КЗ) корреляционных зависимостей.

Поведение функций со степенным законом убывания и дробным показателем степени обсуждалось в первом разделе. Было отмечено, что вместе с протяженной зависимостью тесно связанное с ним свойство самоподобия определяют фрактальный характер этой функции. В отличие от ранее рассмотренных детерминированных функций обсуждаемые процессы являются случайными и понятия протяженной зависимости и самоподобия теперь относятся к статистикам второго порядка (корреляционной функции, спектральной плотности, дисперсии). Именно поведение выборочных значений этих статистик является определяющим при решении вопроса, обладает ли сетевой трафик фрактальными свойствами.

Хотя протяженная зависимость и самоподобие по-разному характеризуют сетевой трафик (в первом случае – «хвост» корреляционной функции, во второй – масштабное поведение этой функции), будем исходить из сложившейся в теории фрактальных процессов эквивалентности этих понятий: протяженная зависимость предполагает наличие самоподобия и наоборот. Обратим внимание на специфическую особенность понятия самоподобия. Применительно к статистикам второго порядка точечного процесса оно понимается в асимптотическом смысле (асимптотическое подобие второго порядка), т.е. при интервалах наблюдения больше определенного порогового значения (фрактального времени установки) и при агрегировании (суперпозиции) потока данных, что предполагает введение масштабирующих параметров. Высказанные выше соображения относились к простой ON/OFF модели обмена информации между парой источник – приемник. Очевидно, для более полного описания работы компьютерной сети, лучшего приближения к реальным процессам в отдельных узлах этой сети более подходит модель, предполагающая одновременное функционирование многих пар источник – приемник, чему соответствует генерации обобщенного графика. Модель обобщенного графика можно получить в результате агрегирования (суперпозиции) большего числа независимых одинаково распределенных стационарных точечных процессов восстановления (рис. 3.1, в). Предполагая строгое чередование интервалов, получим последовательность этих интервалов по всей совокупности потока точек. Описывая поведение этих случайных интервалов «тяжелым» распределением, приходим к обобщенному сетевому графику, обладающему фрактальными свойствами.

В заключение этого раздела отметим, что учет фрактальных свойств сетевого графика позволяет расширить арсенал методов проектирования на базе компьютерных сетей информационноуправляющих систем, а применительно к самим сетям эффективней распорядиться сетевыми ресурсами при решении задачи прогнозирования и управления производительностью (пропускной способностью) сети.

С позиций теории массового обслуживания управление сетевым трафиком можно интерпретировать как задачу повышения производительностей очередей серий пакетов с «тяжелым» распределением при обеспечении полной надежности передаваемой информации.

3.2 Случайные точечные процессы.

Методы определения статистик Как следует из разд. 3.1, процедура формирования моделей сетевого графика базируется на идеях и представлениях теории случайных точечных процессов (потоков). Этот процесс образуют неразличимые события (точки), выпавшие по случайным законам на временной оси. Реализацию случайного точечного процесса на временной оси t можно представить в виде неубывающей ступенчатой функции t N0 = {N, 0 < t}, принимающей неотрицательные целочисленные значения, моменты роста (смены состояния) которой являются случайными, а величина ступенек из-за условия ординарности равна единице (рис. 3.2).

Nt t1 t2 ti t Рис. 3.2 Реализация случайного точечного процесса Этот точечный процесс аналитически можно представить в виде N = - i ), (3.1) 1( i где единичная функция 1, i ;

1( - i ) = 0, < i.

Далее для описания поведения сетевого трафика рассматривается специальный класс случайных точечных процессов – потоки восстановления, для которых случайные временные интервалы независимы и имеют одинаковое распределение вероятностей. Параметры потоков восстановления можно получить, привлекая известные в теории случайных процессов функциональные преобразования: характеристический (v, T) и производящий L(u, T) функционалы. Характеристический функционал (ХФ) является обобщением Фурье-преобразования плотности вероятности конечномерного случайного процесса {(ti), i = 1, 2,..., n} при неограниченном увеличении числа отсчетов процесса, соответствующих моментам времени ti (0, T), n и определяется отношением [16] T (v; T)= M j (3.2) exp v(t)(t)dt, где М{} обозначает операцию определения математического ожидания; v(t) – вспомогательная действительная функция.

ХФ может быть представлен на интервале (0, Т) в виде разложения в функциональные ряда относительно моментных mn(t) и корреляционных kn(t) функций n-го порядка:

T T n jn [v; T]= 1+ n v(tr m (t1,..., tn ) )dt1... dtn ; (3.3) n! n=1 r=0 T T n jn [v; T]= exp n v(tr m (t1,..., tn ) )dt1... dtn. (3.4) n! n=1 r=0 Сравнивая выражения (3.3) и (3.4), можно получить соотношения, связывающие моментные и корреляционные функции:

m1(t) = k1(t);

m2(t1, t2) = k2(t1, t2) + k1(t1) k1(t2);

m3(t1, t2, t3) = k3(t1, t2, t3) + k1(t1) k2(t2, t3) + k1(t2) k2(t1, t3) + + k1(t3) k2(t1, t2) + k1(t1) k2(t2) k3(t3); (3.5) … ;

k1(t) = m1(t);

k2(t1, t2) = m2(t1, t2) – m1(t1) m1(t2);

k3(t1, t2, t3) = m3(t1, t2, t3) – m1(t1) m2(t2, t3) – m1(t2) m2(t1, t3) – – m1(t3) m2(t1, t2) – 2m1(t1) m1(t2) m1(t3); (3.6) ….

Для описания точечных процессов используются локальные характеристики: моментные fn() и корреляционные gn() функции, которые назовем соответственно функциями плотности и корреляции плотности n-го порядка. Функция плотности n-го порядка fn(t1,..., tn) характеризует совместную вероятность появления n точек в каждом из неперекрывающихся подынтервалов ti безотносительно к появлению дополнительного числа точек на остальных t – подынтервалах интервала (0, Т):

pn = fn(t1, …, ti, …, tn)t1 … ti … tn 0(t), 0(t) где t = max ti, i = 1, n, lim = 0.

tt Функция f1(t) имеет особое значение и называется интенсивностью точечного процесса (средней скоростью счета). Функции корреляции плотности вводятся, если существуют статистические связи между моментами появления точек. Например, для функций второго порядка можно записать g2(t1, t2) = f2(t1, t2) – f1(t1)f2(t2).

Функция f2(t1, t2) характеризует совместную вероятность появления точек вблизи моментов t1 и t2 и при разнесении аргументов стремится к произведению сомножителей f1(t1)f1(t2), каждый из которых характеризует вероятность независимых событий. Следовательно, функция g2(t1, t2) при разнесении аргументов стремится к нулю, что означает ослабление корреляционных связей.

Указанные системы функций можно получить из производящего функционала (ПФ), который по определению имеет вид [17] n L(u, T) = M (3.7) (1+ u(t1)), i=где М{} обозначает операцию определения математического ожидания по числу n и моментам t, появления точек на интервале (0, Т); u(t) – вспомогательная действительная функция.

ПФ выражается через функции fn() и gn() в форме функциональных рядов T T n L(u, T)= 1+ fn(t1,..., tn) (tr )dt1...dtn ; (3.8) u n! n=1 r =0 T T n L(u, T) = exp gn(t1,..., tn) (tr )dt1... dtn. (3.9) u n! n=1 r = 0 Сравнивая выражения (3.8) и (3.9), можно прийти к аналогичным по форме, что и для моментных и корреляционных функций, соотношениям, связывающим fn() и gn():

f1(t) = g1(t);

f2(t1, t2) = g2(t1, t2) + g1(t1) g1(t2);

f3(t1, t2, t3) = g3(t1, t2, t3) + g1(t1) g2(t2, t3) + g1(t2) g2(t1, t3) + + g1(t3) g2(t1, t2) + g1(t1) g2(t2) g3(t3); (3.10) … ;

g1(t) = f1(t);

g2(t1, t2) = f2(t1, t2) – f1(t1) f1(t2);

g3(t1, t2, t3) = f3(t1, t2, t3) – f1(t1) f2(t2, t3) – f1(t2) f2(t1, t3) – – f1(t3) f2(t1, t2) – 2f1(t1) f1(t2) f1(t3); (3.11) ….

Следующим этапом на пути определения характеристик потоков восстановления является обращение к так называемой случайной интенсивности, которую можно трактовать как случайный процесс скорости счета точечного процесса.

Реализация случайной интенсивности представляет собой поток дельта-импульсов, полученных в результате дифференцирования случайного точечного процесса (3.1):

dNt (t)= = - ti ), (3.12) (t dt i где {ti} – координаты появления точек на временной оси; дельта-функция ti+ ; t = ti;

(t - ti ) = 0; t ti, (t - ti )dt = 1.

ti Подставляя (3.12) в выражение (3.2), используя фильтрующие свойства дельта-функции, получаем n n [v; T]= M j ) = M exp v(ti exp jv(ti ).

i i Произведя замену exp jv(ti) = u(ti) + 1, имеем n [v; T]= M u(ti )]. (3.13) [1+ i Но выражение справа от знака равенства формулы (3.13) является ПФ (3.7).

На основании изложенного можно получить соотношение, связывающее ХФ и ПФ:

(v, T) = L{exp [jv(t) – 1]}.

Используя эту формулу, а также выражения ХФ (3.4) и ПФ (3.9), после логарифмирования приходим к следующему соотношению TT T jj (t)v(t)dt + 1 k k (t1,t2)v(t1)v(t2)dt1dt2 +... = 00 T = g1(t){exp[jv(t)]-1}dt + T T + g2(t1,t2) {exp[jv(t1)]-1} {exp[jv(t2)]-1}dt1dt2 +...

0 Разложим экспоненциальные члены в ряд по степеням v(t) и, приравнивая члены с одинаковыми степенями, получим k1(t) = g1(t);

k2(t1, t2) = g1(t1) (t1 – t2) – g2(t1, t2);

k3(t1, t2, t3) = g1(t1) (t1 – t2) (t1 – t3) + g2(t1, t3) (t1 – t2) + + g2(t2, t3) (t2 – t1) + g2(t1, t2) (t1 – t3) + g3(t1,t2, t3); (3.14) ….

где () – дельта-функция.

T T T T При выводе этих соотношений члены вида g1(t)v2(t)dt, g1(t)v3(t)dt, g2(t1,t2)v2(t1)v(t1)dt1dt2 и т.д. на 0 0 0 основании фильтрующих свойств дельта-функции были заменены на тождественно равные им соотношения:

T T T g1(t)v2(t)dt = g1(t1)(t1 - t2)v(t1)v(t2)dt1dt2 ;

0 0 T T T T g1(t)v3(t)dt = g1(t1)(t1 - t2)(t1 - t3)v(t1)v(t2)v(t3)dt1dt2dt3 ;

0 0 0 T T T T T 2 g (t1,t2)v2(t1)v(t1)dt1dt2 = d (t1,t2)(t1 - t3)v(t1)v(t2)v(t3)dt1dt2dt3.

0 0 0 0 Дальнейшее изложение будет проводиться в рамках корреляционной теории и для стационарных процессов. Это означает, что, во-первых, рассматриваются статистики не выше второго порядка (математическое ожидание, корреляционная функция, дисперсия, спектральная плотность). Во-вторых, из-за условия стационарности указанные характеристики не зависят от текущего времени: математическое ожидание имеет постоянное значение, а корреляционная функция зависит от разности аргументов = t– t1.

Для этого случая корреляционные функции первого (математическое ожидание) и второго порядков случайной интенсивности на основании (3.14) записываются в виде ki = gi = fi = = const; (3.15) k2() = () + g2(), (3.16) где – принятое в теории фрактальных процессов обозначение интенсивности точечного процесса.

Как уже ранее отмечалось, функция корреляции плотности отражает наличие статистических связей между моментами появления точек. Учет этой функции приводит к разным моделям точечных процессов, в том числе и к тем, которые описывают поведение сетевого трафика. Отметим, что для пуассоновского точечного процесса из-за статистической независимости моментов появления точек g2() = 0 и статистики случайной интенсивности принимают вид k1 =, k2() = ().

Используя (3.11), с учетом f2(t1, t2) = f(t2|t1) f1(t1) представим функцию g2() в форме g2() = f2(t1, t2) – f12 = [f (t2|t1) – ] = [f () – ], так как для стационарных процессов f (t2|t1) = f (t2 – t1) = f ().

Условная функция плотности f () характеризует вероятность появления точки в окрестности момента времени t2 при условии существования точки в момент t1, t2 > t1. Ее можно определить из интегрального уравнения восстановления, которое для стационарных точечных процессов имеет вид [18] f ()= ()+ - t) f (t)dt. (3.17) ( Здесь () – плотность распределения вероятностей временных интервалов между точками. Таким образом, задаваясь этой функцией, можно из уравнения (3.17) определить условную функцию плотности f (), а на основании ее – функцию g2() и соответственно корреляционную функцию случайной интенсивности k2() (3.16).

По этой функции находят остальные статистики сетевого трафика: спектральную плотность случайной интенсивности, а также корреляционную функцию и дисперсию числа отсчетов. Если для функции () существует преобразование Лапласа – (s), то, применяя к обеим частям уравнения (3.17) это преобразование, после упрощений получаем (s) F(s)=. (3.18) 1- (s) Осуществляя обратное преобразование, определяют по F (s) условную плотность f (). Можно предложить более общий путь определения этой функции. Учитывая |(s)| < 1, соотношение (3.18) представим как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем, k равными (s): F(s)= (s).

k = Осуществляя обратное преобразование Лапласа, получаем F()= (), где k() определяется чеk k=рез интеграл свертки k () = ( ) ( - )d, k 2 и 1() = ().

k - Применяя к корреляционной функции (3.16) Фурье-преобразование (формула Хинчина – Винера), получаем спектральную плотность центрированной составляющей случайной интенсивности S() = ()exp{- j}d = + g2()exp{- j}d. (3.19) k - Приведем еще одно определяемое с помощью уравнения восстановления и формулы Хинчина – Винера выражение спектральной плотности этой составляющей случайной интенсивности [19] 1+ () S() = Re, (3.20) 1- () где характеристическая функция случайных интервалов времени между точками определяется как Фурье-преобразование плотности распределения ()= (3.21) ()exp{j}d.

При анализе рассматриваемых в этом и следующем разделах моделей используются статистики числа отсчетов (приращений) точечного процесса на интервалах заданной длительности Т (счетные статистики). Обозначим число выпавших на интервале (tn, tn – T) точек через Хn. Сместим этот интервал на kT (k 1) и обозначим число выпавших на интервале (tn + k, tn + k – T) точек через Хn + k. Корреляционная функция числа отсчетов в разнесенных на время, равное kT, указанных интервалах определяется соотношением C(k, T) = M{Xn Xn + k} – (T)2. (3.22) Дисперсия числа отсчетов равна при k = D(T) = C(0, T). (3.23) Процедуры определения статистик (3.22) и (3.23) опираются на интегральные соотношения, связывающие искомые функции и процессы с известными статистическими характеристиками. Предварительно получим выражение статистик для непрерывного времени. Пусть (t) – стационарный случайный процесс с известными математическим ожиданием m1 и корреляционной функцией k2(u).

Математическое ожидание и корреляционная интеграла от этого процесса на заданном интервале (t, t t – T) xT(t) = (t)dt соответственно равны [16]:

t-T t m1x = M{xT (t)}= {(t)}dt = m1T ;

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 10 |






















© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.