WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 10 |

Приведенное разбиение отрезка не является единственно возможным. Так, при разбиении исходного (единичного) отрезка на k более мелких отрезков, сумма длин которых k < 1 (для предыдущего случая 2 < 1), фрактальная размерность канторовского множества оказывается равной = ln k / ln (1 / ). К другому варианту этого множества можно прийти при разбиении исходного отрезка на µ неодинаковых µ отрезков, но так, чтобы выполнялось неравенство < 1. Можно построить канторовское множество и i i=µ для случайных значений i при выполнении µ < 1, где среднее значение =.

i µ i=Весьма полезным оказывается использование идей фрактальной геометрии канторовских множеств для понимания особенностей поведения процессов с так называемой неполной памятью. В теории линейных систем известно соотношение, связывающее выходной процесс системы с входным (интеграл свертки) t u(t)= - )f ()d, (2.1) h(t где импульсная переходная функция h(t) определяет полную память системы, т.е. на состояние u(t) в момент времени t оказывают влияние все предыдущие значения f (), 0 < < t.

К другому крайнему случаю можно прийти, если в качестве импульсной переходной функции использовать дельта-функцию. Подставляя в формулу (2.1) выражение h(t – ) = (t – ), на основании фильтрующих свойств этой функции получаем u(t) = f (t), что говорит об отсутствии памяти, так как на протекание процесса u(t) не оказывают влияние предыдущие значения f (), 0 < < t. Оказывается, существуют системы с неполной памятью. Процессы в них занимают промежуточное положение. В ходе функционирования этих систем при формировании выходного процесса участвуют не все состояния системы: система как бы невозвратно теряет часть своих состояний на некоторых интервалах времени. Поэтому вполне логичным является использование для описания функционирования таких систем канторовского множества.

Выберем импульсную переходную функцию вида 1/ t, (0, t);

h()= 0, < 0, > t, t которая пронормирована на единицу:

h()d = 1. Процессу u(t) на выходе системы с полной памятью соответствует процедура усреднения на интервале (0, t) временной оси t u(t) = f ()d. (2.2) t Исходным для построения канторовского множества служит упомянутый временной интервал величины t (рис. 2.1). На каждом этапе разбиения производится перенормировка на единицу оставшихся состояний интеграла. Как и для предыдущего построения, выбираем = 1/3. Исходный интервал делится на три части. Отбрасывают среднюю часть, оставляя слева и справа от нее два подынтервала длиной t. Координаты оставшихся подынтервалов (0, t) и (2, t). В результате перенормировки на единицу плотности состояний после первого этапа разбиения 1/2t. Продолжая эту процедуру, на втором этапе имеем четыре подынтервала длиной t 2 с координатами (0, t 2), (2t 2, 3t 2), (6t 2, 7t 2), (8t 2, 9t 2) и плотностью 1/(2t)2t. На n-м этапе разбиения имеем 2n подынтервалов, каждый (n) (n) (n) длиной nt с координатами ( tm, tm + nt ), m = 1, 2n, где tm – начальная координата оставшихся подынтервалов, t1(n) = 0 для всех n.

Плотность состояний определяется выражением 1/(2)nt. Интеграл (2.2) на n-м этапе разбиения с учетом вклада оставшихся подынтервалов и нормировки принимает вид t (n) (n) u(t)= f () [1(tm < tm + nt)]d, m = 1, 2n, (2.3) n (2) t где единичная функция (tm, tm + nt);

1, (n) n (n) (n) 1(tm, tm + nt) = (n) < tm, (n) + ntm.

0, m После предельного перехода n (операции свертки интеграла на канторовское множество), используя методику работы [8], получаем одну из форм записи дробного интеграла.

t t -u(t)= B (2.4) (t - ) f ()d.

Г() Запись вида (1.5) справедлива, если f (t) является постоянной величиной или стационарным случайным процессом. В последнем случае с его помощью определяют статистики первого и второго порядка фрактального стационарного случайного процесса. Запишем соотношение (2.3) в форме интеграла свертки t u(t)= - ) f ()d, (2.5) h(t где h() = K0 – 1, (2.6) импульсная переходная функция, удовлетворяющая условию нормировки h()d = 1, K0 = BГ–1()t –.

Иная форма записи интеграла (2.3) при сохранении его значения, равного значению интеграла (2.2), а также другой вид импульсной переходной функции является следствием эволюции состояний системы не на всем непрерывном интервале (0, t), а на неплотном канторовском множестве точек (на остальных «потерянных» участках этого интервала у системы отсутствует память). Для этого случая функционирования системы с неполной памятью интеграл от f (t) на непрерывном интервале (0, t) заменяется на интеграл от этой функции, умноженной на бесконечную последовательность -функций с координатами в точках канторовского множества и интенсивностями, равными в сумме единице. Хотя топологическая мера этого интеграла в силу свойств канторовского множества равна нулю, значение его теперь определяется суммой бесконечно малых скачков этой функции в точках канторовского множества.

Рассмотрим соотношение вида t u(t), где u(t) определяется выражением (2.3). Переходя обратно к допредельному случаю (параметр разбиения n – конечная величина), а также учитывая, что согласно (1.2) мера канторовского множества t должна заменяться на величину (2)nt – сумму длин оставшихся на n-м этапе разбиения подынтервалов, приходим к выражению t (n) (n) f ()[1(tm < tm + nt)]d, которому соответствует исходный интеграл другого вида t (t) = f ()d. (2.7) Таким образом, умножению исходного интеграла (2.2) на t соответствует умножение дробного интеграла (2.3) на t :

t (t) (t - )-1 f ()d, (2.8) K где K1 = BГ–1().

При этом значение вновь полученного дробного интеграла (2.8) на интервале (0, t) оказывается меньше значения интеграла (2.7). Это является следствием потери части состояний и отсутствия для ее компенсации процедуры перенормировки. Очевидно, для достижения значения интеграла (2.7) дробный интеграл (2.8) должен интегрироваться в более широких временных пределах. Таким образом, процессы при дробном интегрировании становятся как бы протяженными. А скорости их нарастания описываются уравнениями с дробными производными. Имеются многочисленные примеры использования моделей фрактальных процессов для описания ряда физических явлений, например, сверхмедленных процессов переноса [9], вытеснения жидкостей в пористых средах [10], теплообмена [11] и т.д.

В качестве примера рассмотрим упрощенную модель передачи информации регулярными пакетными сериями (неслучайной последовательностью пакетов с постоянной интенсивностью ) через систему (канал связи), обладающую фрактальными свойствами. Исходным для построения канторовского множества является прямоугольник с площадью, равной размеру файла Х = t – числу посланных за время t пакетов (рис. 2.2). Ему соответствует результат интегрирования (2.7) при f () =.

n = X3 = 42t n = X2 = 2t X1 = t = 1/t Рис. 2.2 Упрощенная модель передачи информации На первом этапе разбиения при = 1/3 число переданных пакетов – 2t, потерянных – t. На n-м этапе разбиения соответственно (2)nt и t [l – (2)n]. После предельного перехода n число переданных пакетов вычисляется из выражения (1.8), которое после замены переменных t – = y и f () = принимает вид t t 0 y-1dy. (2.9) K Интеграл в выражении (2.9), как следует из (2.6), нормирован на единицу, поэтому число переданных пакетов t оказывается меньше числа посланных – t. На передачу недосланных пакетов при регулярной их посылке необходимо затратить дополнительное время t 1/ – t.

Действительно, после свертки интеграла (2.6) с верхним пределом t1/на канторовское множество число переданных пакетов становится t.

Остановимся на важных характеристиках фрактального процесса – масштабируемости его структуры и тесно связанных с ней свойством самоподобия. Начнем рассмотрение, как и в предыдущем случае, с изучения этих свойств на примерах отрезка прямой, площади поверхности и т.д. в евклидовом пространстве. Разделим отрезок (длина его принимается равной единице) на несколько частей N (rL(N) = 1/N – масштабный множитель, rL < 1), так, чтобы путем параллельного переноса этой частью отрезка 1/rL раз, не пересекаясь, полностью покрыть исходный отрезок. В этом случае исходный отрезок самоподобен с коэффициентом подобия (масштабным множителем) rL. Аналогично, прямоугольник (его площадь принимается равной единице) можно покрыть уменьшенными копиями общим числом N, если длины сторон копий уменьшены в N 1/2 раз. Здесь исходный прямоугольник самоподобен с коэффициентом подобия rS(N) = 1 / N 1/2. Для куба коэффициент подобия rV(N) = 1 / N 1/3.

В общем случае коэффициент подобия R(N) = 1/N 1/, (2.10) где – размерность подобия, всегда равная целому числу, совпадающему с топологической размерностью евклидова пространства.

Рассмотрим канторовское множество на n-м этапе разбиения единичного отрезка. Масштабный множитель при = 1/3 равен rL(N) = (1/3)n. (2.11) Число «покрывающих» исходный отрезок частей N = 2n. Подставляя полученное из этого соотношения выражение n = ln N / ln 2 в (2.11) и далее приравнивая его коэффициенту подобия общего вида (2.10), получаем уравнение (3ln N / ln 2)–1 = N–1/, откуда размерность подобия канторовского множества = –ln N / ln rL(N) = ln 2 / ln 3.

Можно говорить, что исходный отрезок при канторовском разбиении на n-м этапе в некотором смысле самоподобен его части при коэффициенте подобия rL(N) = 1 / N ln 2 / ln 3.

Заметим также, что размерность подобия совпадает с фрактальной размерностью канторовского множества.

Для получения результатов более общего характера представим поведение частей исходного отрезка в виде огибающей некоторой функции U(t) от аргумента t. Так, при разбиении на части исходного отрезка в евклидовом пространстве график огибающей имеет вид, представленный на рис. 2.3, а. Откуда для rL-й части огибающей выполняется условие U(rLt)= U(t). (2.12) N При разбиении исходного отрезка на канторовское множество график огибающей представлен на рис. 2.3, б, n = 2.

U(t) U(t) U(r1t) U(r1t) t t N частей N частей а) б) Рис. 2.3 График огибающей функции U(t):

а – в евклидовом пространстве; б – на канторовском множестве Соотношение (2.12) при U(t) = 1 преобразуется в тождество на этапе разбиения n = 2 (N = 22, rL = 1/32), если выполняется на основании (2.10) условие (1/32) = (1/2)1/. Отсюда = ln 2 / ln 3.

Для n-го этапа разбиения был бы получен аналогичный результат из выражения (1/3n) = 1/2n при = ln 2 / ln 3 – размерности подобия канторовского множества.

Приведенные данные относятся к структуре с заведомо известными фрактальными свойствами. Однако задачу можно сформулировать иначе. Какой вид должна иметь функция U(t), описывающая фрактальные объекты, чтобы уравнение (2.12) при всех положительных rL и N имело бы единственное решение Очевидно, эта функция должна иметь вид U(t) = At–. Действительно, после подстановки этого соотношения в (2.12) получим тождество при = ln N / ln rL. Описывающая масштабно-инвариантные свойства фракталов, убывающая с дробным показателем степенная функция U(t) в последнее время широко используется при анализе объектов природного и искусственного происхождения.

Один класс функций указанного вида – импульсная переходная функция (2.6), ранее рассматривалась при определении дробного интеграла. В следующем разделе он будет дополнен для описания фрактальных свойств процессов в компьютерных сетях статистиками первого и второго порядков, а также функциями распределения временных интервалов.

3 МОДЕЛИРОВАНИЕ СЕТЕВОГО ТРАФИКА СЛУЧАЙНЫМ ТОЧЕЧНЫМ ПРОЦЕССОМ 3.1 Методы формирования моделей Исследование новых методов и средств повышения производительности компьютерных сетей приводит к необходимости научно обоснованной постановки задач анализа и синтеза этих сетей, а также разработке методов их конструктивного решения. На практике реализация этих методов наталкивается на серьезные трудности. Как показывают экспериментальные данные, протекающие в указанных сетях процессы достаточно сложны и не поддаются наглядной интерпретации в рамках известных моделей.

Последнее затрудняет понимание механизма передачи и обмена информации и, в конечном счете, приводит к возобладанию феноменологических подходов. В связи с этим актуальными являются систематизация экспериментальных данных, определение необходимого и достаточного минимума наиболее характерных или, как их еще называют, фундаментальных параметров и разработка на их основе математических моделей процессов в сетях.

При разработке моделей необходимо руководствоваться следующими соображениями. Во-первых, учесть, с одной стороны, основные особенности поведения процессов, согласованного (не противоречащего на макроскопическом уровне) с экспериментальными данными, с другой – «физически» объяснить наблюдаемые закономерности, во-вторых, предложить относительно несложный инструментарий для эффективного исследования информационных ресурсов. И уже в рамках параметризированной модели попытаться сформулировать основные задачи по прогнозированию и управлению компьютерными сетями.

Перейдем к описанию основных этапов разработки моделей процессов в сети.

Полагаем, что обмен информации осуществляется между распределенными в пространстве случайно соединенными сетью источниками и приемниками. Такое обозначение пользователей является условным, поскольку в зависимости от конкретной ситуации последние могут выступать как в роли источника, так и приемника.

Технология передачи информации предусматривает, что поток байтов разбивается на отдельные пакеты (пакетизируется) фиксированной длины и информация далее передастся на пакетном уровне по дуплексному (двунаправленному) каналу взаимодействия. На приемном конце данные снова собираются в поток байтов. Сетевая конфигурация включает в себя узлы, в которых расположены сетевые устройства (буфера, маршрутизаторы, коммутаторы и т.д.), обеспечивающие требуемые маршруты прохождения пакетов.

Транспортирование и распределение информации в сетях производится пакетными сериями (пачками пакетов). Технология генерации прерывистого потока пачек (сетевого трафика) осуществляется через механизм управления, который реализуется с помощью протоколов как прикладного, так и транспортного/сетевого уровней (например, протоколами TCP/IP сети Интернет).

Укажем наиболее существенные причины, приводящие к формированию пачечности сетевого трафика.

Допустим, что источник-пользователь обслуживает несколько приемников. В случае, если даже источник генерирует регулярный поток пакетов, информация до каждого приемника из-за ограничений на скорость работы сетевых устройств, например, из-за ограниченного объема памяти буферов и возникающих в связи с этим очередей, доставляется пакетными сериями. С точки зрения приемника-пользователя получаемые данные задерживаются из-за невозможности их передачи на некоторых интервалах (состояниях) времени. В качестве еще одного примера формирования пачечности сетевого трафика можно указать определяемый вышеуказанными протоколами механизм определения оценки пропускной способности сети для какой-либо пары источник-приемник. Этот механизм реализуется путем пробных и локальных воздействий (фазы медленного старта TCP-соединения), определения текущего окна перегрузки (разрешенных к передаче числа пакетов до прихода пакетов подтверждения). Вследствие этого для надежной (безошибочной) доставки пакетов необходимо затратить дополнительное время на передачу пакетов подтверждения и повторения передачи потерянных пакетов. Очевидно, на указанном отрезке времени процесс передачи информации блокируется. Отметим также, что из-за нерегулярного влияния перечисленных факторов при передаче и распределении информации поведение сетевого графика приобретает случайный характер, т.е. трафик в сети формируется случайным образом.

Для наглядной интерпретации вышеуказанных особенностей поведения процессов в сети и поиска путей параметризации этих процессов наиболее предпочтительным является моделирование сетевого трафика режимом ON/OFF.

Рассмотрим протекающий во времени стационарный случайный точечный процесс восстановления, у которого интервалы между точками – независимые случайные величины, имеющие одинаковую плотность распределения (рис. 3.1, а). Этому процессу можно придать колебательную форму (рис. 3.1, б).

Пусть началу интервала ON (R > 0) соответствует какая-либо точка. Тогда следующей точке будет соответствовать окончание интервала и наступление интервала OFF (R = 0).

В результате получаем последовательность чередующихся ON/OFF интервалов, длительности которых случайны, независимы и для каждого из ON или OFF интервалов одинаковы распределены.

t а) R б) в) Рис. 3.1 Моделирование сетевого трафика режимом ON/OFF:

а – случайный точечный процесс восстановления;

б – колебательная форма процесса восстановления;

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 10 |






















© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.