WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 10 |

Образующий элемент, изображенный в левом верхнем углу, покрывает единичный отрезок и преобразуется с двумя коэффициентами подобия r1 = 2/ 5 и r2 = 1/ разбивает единичный отрезок на две части, расположенные под прямым углом друг к другу. Длинный катет изменяется с масштабным множителем r1 = 2 / 5, а короткий – с другим масштабным множителем, r2 = 1/ 5. В этом случае мы уже не можем при определении размерности подобия использовать формулу (1.10). Мандельброт определил размерность подобия D как размерность, для которой выполняется соотношение D = 1. (1.11) ri i В рассматриваемом случае D = 2. Верно также, хотя и не доказано, утверждение о том, что эта размерность совпадает с размерностью Хаусдорфа – Безиковича данного фрактального множества. Кроме того, при использовании соотношения (1.11) возникает вопрос о том, как быть с перекрывающимися частями кривой. Впрочем, стоит лишь перейти от простейших фракталов к чуть более сложным, как возникает множество далеко не простых вопросов.

1.6 Кривые Мандельброта – Гивена и Серпинского Построение кривых Коха, изображенное на рис. 1.13, принадлежит Мандельброту и Гивену. Образующий элемент для этой кривой делит прямолинейный отрезок на части длиной r = 1/3 и соединяет их в петлю, состоящую из трех частей, к которой пристраиваются две ветви.

Мандельброт и Гивен использовали эту кривую и аналогичные кривые в качестве моделей перколяционных кластеров. Кривая Мандельброта – Гивена интересна тем, что имеет петли всех возможных размеров и ветви (выступы) всех возможных размеров. И выступы, и петли декорированы петлями и выступами и т.д. При каждой итерации (переходе от одного поколения предфракталов к следующему) образующий элемент производит замену каждого прямолинейного звена в предфрактале на N = 8 звеньев, уменьшенных с r = 1/3. Используя формулу (1.10) для размерности подобия, мы заключаем, что кривая Мандельброта – Гивена имеет фрактальную размерность D = ln8 / ln3 = = 1,89....

Пусть кривая Мандельброта – Гивена изготовлена из какого-нибудь электропроводного материала, и ток течет от левого конца кривой к правому. Ясно, что ни в одной ветви, возникающей из двух вертикальных отрезков образующего элемента, тока не будет. Ток будет течь только по остову по кривой, которая получится, если от кривой Мандельброта – Гивена отсечь все ветви, соединенные с исходным прямолинейным отрезком (затравкой) только одной связью.

Отбросив все ветви, мы получим кривую, изображенную на рис. 1.14.

Рис. 1.13 Последовательные этапы построения кривой Мандельброта – Гивена. Высота образующего элемента несколько уменьшена, чтобы можно было проследить структуру кривой.

Фрактальная размерность Dв = ln 8 / ln 3 = 1,89....

Мандельброт и Гивен описывают также случайные варианты этой кривой При построении этой кривой образующий элемент применялся в таких направлениях, чтобы углы получающейся ломаной не соприкасались между собой. Фрактальная размерность такой кривой без свободных («висячих») концов равна Dв = ln 6 / ln 3 = 1,63..., так как образующий элемент заменяет каждый прямолинейный отрезок N = 6 отрезками, уменьшенными (r = 1/3) копиями заменяемого отрезка. В скольких местах можно перерезать ординарную (односвязную) связь, чтобы концы затравки оказались разъединенными Каждый раз, применяя образующий элемент, мы порождаем N = 2 односвязных связей, поэтому эти связи образуют множество точек с фрактальной размерностью Dsc = ln 2 / ln 3 = 0,63....

Рис. 1.14 Построение кривой Мандельброта – Гивена без ветвей.

Эта кривая получена с помощью образующего элемента с одной петлей. Фрактальная размерность Dв = ln 6 / ln 3 = 1,63...

Кривые Мандельброта – Гивена обладают многими интересными геометрическими свойствами, которые не находят отражения в фрактальной размерности кривой как целого. Действительно, такие подмножества, как остов, односвязные связи и другие, также являются фрактальными множествами со своими собственными фрактальными размерностями. Многие физические процессы естественным образом выбирают те подмножества структур, на которых они происходят, и поэтому при рассмотрении таких процессов необходимо использовать много фрактальных размерностей.

Существует еще одно построение, порождающее кривую с петлями всех размеров. Это салфетка Серпинского, изображенная на рис. 1.15. При каждом применении образующего элемента треугольник, рассматриваемый вместе с внутренними точками, заменяется N = 3 треугольниками, уменьшенными с коэффициентом r = 1/2, поэтому из соотношения (1.10) следует, что размерность подобия в этом случае равна D = ln 3 / ln 2 = 1,.... С салфеткой Серпинского тесно связана другая кривая – так называемый ковер Серпинского. Он изображен на рис. 1.16. Бесконечно много поколений предфракталов порождают фрактальную кривую.

«Толстые» (черные) участки предфракталов при переходе к предельной фрактальной кривой исчезают, а полный периметр дыр в ковре Серпинского становится бесконечным.

Рис. 1.15 Построение треугольной салфетки Серпинского.

Затравка-треугольник со всеми внутренними точками. Образующий элемент исключает из затравки центральный треугольник.

Справа: четвертое поколение предфракталов; фрактальная кривая получается в пределе при бесконечно большом числе поколений и имеет фрактальную размерность D = ln 3 / ln 2 = 1,58...

Рис. 1.16 Построение ковра Серпинского. Затравка-квадрат, а образующий элемент (слева) состоит из N = 8 квадратов, полученных из затравки преобразованием подобия (сжатием) с коэффициентом подобия r = 1/3. Справа: четвертый этап построения;

размерность подобия D = 1n 8 / 1n 3 = 1,89...

Кривые Серпинского использовались в качестве моделей многих физических явлений.

1.7 Еще о скейлинге К обсуждению масштабной инвариантности, или скейлинга, часто бывает полезно подходить с другой точки зрения. Рассмотрим изображенную на рис. 1.8 кривую Коха как график некоторой функции f (t). Этот график представляет собой геометрическое место точек (x1, x2) плоскости, заданное соотношением (x1, x2) = (t, f (t)). Если = r = (1/3)N при N = 0, 1, 2,... есть масштабный множитель, то триадная кривая Коха обладает тем свойством, что f(t) = f (t) с показателем = 1. Заметим, что в случае кривой Коха функция f(t) неоднозначна. Тем не менее скейлинговое соотношение выполняется для любой точки множества. Аналогичное построение применимо и к функциям, заданным на всех положительных действительных числах. Например, степенная функция f (t) = bt удовлетворяет соотношению однородности f (t) = f (t) (1.12) при всех положительных значениях масштабного множителя K. Функции, удовлетворяющие соотношению (1.12), принято называть однородными. Однородные функции играют очень важную роль в описании термодинамики фазовых переходов. Многое из того, что удалось достичь в последние годы в понимании критических явлений вблизи фазовых переходов второго рода, укладывается в следующее утверждение: критическая часть свободной энергии y таких систем удовлетворяет скейлинговому соотношению Fc(t) = 2 – Fc(t). (1.13) Здесь t = |Tc – T| / T есть относительная температура, измеряемая от температуры фазового перехода Tc, а в данном случае – критический показатель удельной теплоемкости. Выбирая так, чтобы выполнялось равенство t = 1 (такой выбор масштабного множителя допустим, поскольку соотношение (1.13) выполняется при любом значении ), получаем критическую часть свободной энергии в виде Fc(t) = 2 – Fc(t).

Из термодинамического определения теплоемкости C = –T 2F / t 2 следует, что при t 0 удельная теплоемкость ведет себя как С ~ t– (такое поведение согласуется с экспериментальными данными).

Аналогичная скейлинговая зависимость описывает статистические свойства протекания, или перколяции, вблизи порога протекания. Современная ренормгрупповая теория критических явлений объясняет, почему свободная энергия имеет скейлинговую форму и позволяет вычислять критические показатели.

Разумеется, и степенная функция, и многие другие функции, удовлетворяющие скейлинговому соотношению, не являются фрактальными кривыми. Однако масштабно-инвариантные фракталы обладают изящной скейлинговой симметрией, и большинство рассматриваемых Мандельбротом фракталов в том или ином смысле масштабно-инвариантны. Мандельброт отмечает, что масштабноинвариантные фракталы могут использоваться в качестве приближения при описании природы – аналогично тому, как ранее использовались при описании природных тел прямые, плоскости и другие гладкие кривые и поверхности.

1.8 Функция Вейерштрасса – Мандельброта В качестве примера масштабно-инвариантной фрактальной кривой рассмотрим фрактальную функцию Вейерштрасса – Мандельброта W(t), определяемую соотношением t 1- eibn ein W(t) =. (1.14) b(2- D)n n=Следует заметить, что W(t) зависит от b тривиальным образом, так как только параметр b определяет, какая часть кривой видна, когда аргумент t изменяется в заданном интервале. Параметр D должен принимать значения в диапазоне 1 < D < 2, N – произвольная фаза (каждый выбор фазы N соответствует другой функции W(t)). Функция Мандельброта – Вейерштрасса непрерывна, но не дифференцируема ни в одной точке. Простая разновидность этой функции получается, если положить N = 0. Косинусной фрактальной функцией Вейерштрасса – Мандельброта называется действительная часть функции W(t):

+ (1- cos bnt) C(t) = Re W(t) =. (1.15) b(2- D)n n=Принято считать, что эта функция фрактальна с размерностью D. Известно, что она действительно имеет размерность D, если под этим термином понимать клеточную размерность, но, по-видимому, не размерность Хаусдорфа – Безиковича. Фрактальная размерность D(Wb) функции ВейерштрассаМандельброта заключена в пределах D – (B/b) [D(Wb)] D.

Входящая в это неравенство постоянная В достаточно велика для того, чтобы оно выполнялось и при больших b. Были вычислены значения функции Вейерштрасса – Мандельброта при нескольких значениях параметров в интервале «времени» 0 t 1 (рис. 1.17). При малых значениях D функция по существу гладкая, но когда D возрастает до 2, начинает сильно флуктуировать и напоминает шум в электронных цепях. Этот шум накладывается на общий тренд к возрастанию. Функция С(t) – однородная и удовлетворяет соотношению однородности C(bt) = b2 – DC(t). (1.16) Следовательно, если мы знаем функцию C(t) на некотором интервале значений t, то тем самым она известна при любых t. В качестве примера сравним функцию C(t) при b = 1,5 и D = 1,8 (рис. 1.18, а) с той a) D = 1,b = 1,t б) D = 1,b = 1,t в) D = 1,b = 1,t Рис. 1.17 Фрактальная функция Вейерштрасса – Мандельброта C(t) с b = 1,5:

а – D = 1,2; б – D = 1,5; в – D = 1,C ( t ) C ( t ) C ( t ) а) D = 1,b = 1,t б) D = 1,b = 1,t в) D = 1,b = 1,b4 t Рис. 1.18 Косинусоида Вейерштрасса – Мандельброта с D = 1,8 и b = 1,5:

а – 0 t 1; б – 0 t b–4;

в – кривая из примера б, преобразованная к отрезку [0, 1] же функцией, вычисленной в интервале 0 t b-4 (рис. 1.18, б). Нетрудно видеть, что графики на обоих рисунках подобны. Действительно, из соотношения (1.16) следует, что если в кривой, изображенной на рис. 1.18, б, заменить t на b4t и C(t) на b4(2 – D) C(t), как это сделано на рис. 1.18, в, то в результате получится исходная функция, изображенная на рис. 1.18, а. В этом и проявляются скейлинговые свойства функции C(t).

Следует подчеркнуть, что кривая C(t) не самоподобна, а самоаффинна, так как и в направлении оси t, и в направлении оси C(t) мы использовали различные масштабные множители r.

Функцию Вейерштрасса-Мандельброта можно использовать для получения случайных фрактальных кривых, выбирая случайным образом фазу N из интервала (0, 2).

Анализ результатов экспериментальных исследований поведения сетевого трафика, представленный в работах [18, 23 – 25], позволил сделать вывод, что ему присуще свойство самоподобности.

В связи с обнаружением этих особенностей сетевых процессов особую актуальность приобретают вопросы разработки конструктивных методов исследования фрактальности применительно к современным компьютерным приложениям и учета влияния на характер формирования управляющих воздействий при передаче пакетного трафика.

В этом случае ключевым звеном в структуре распределенного сетевого управления процессами должна стать система прогнозирования состояния виртуальных соединений, в которой учитываются особенности стохастической природы сетевого трафика.

C ( t ) C ( t ) 4(2 – 0) b C ( t ) В этих условиях разработка новых сетевых технологий и повышение эффективности работы современных телекоммуникационных систем требуют создания математических моделей, наиболее полно отражающих отмеченные выше свойства сетевых процессов.

2 ФРАКТАЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ При исследовании различных объектов природного происхождения уже длительное время предметом пристального внимания являются характерные для этих объектов определенные уровни регулярности и фрагментации. Эти свойства проявляются, например в том, что профиль горы имеет сходство с контурами образующих ее холмов, контуры берегов рек и морей – с отдельными составляющими береговую линию фрагментами, профиль дерева имеет сходство со структурой ветвей и т.д. Для анализа геометрических свойств рассматриваемых структур были введены математические объекты – фракталы. С формальной точки зрения фракталы это объекты, которые обнаруживают некоторую форму самоподобия: части целого могут характеризовать все целое путем масштабирования своей структуры. Связь между масштабируемостью и фрактальностью обнаруживается не только для геометрических объектов, но и в различных физических явлениях, при химических превращениях, а также во многих других наблюдаемых объектах, в том числе и в случайных процессах. Данные вопросы достаточно подробно рассматривались в гл. 1.

Подчеркнем еще раз, что геометрические факторы и характеризующие их некоторые параметры, например размерность меры, имеют важное значение при описании как природных объектов, так и объектов искусственного происхождения, полученных в результате интеллектуальной деятельности человека. Оказывается, при более детальном изучении макро(микро)поведения систем необходимы нетрадиционные подходы, выходящие за рамки евклидовой геометрии [5 – 7]. Предметом исследования становятся геометрические объекты с дробной размерностью, занимающие промежуточное положение между точкой и кривой, кривой и поверхностью и т.д. Круг новых, идей, связанных с изучением необычайных, с точки зрения общепринятых представлений, физических или технических объектов, оформился в специальное научное направление – фрактальную геометрию.

Для их описания, формирования результатов общего характера необходимо подобрать достаточно универсальную математическую конструкцию. Рассматриваемые ниже канторовские множества являются именно теми математическими моделями, позволяющими проиллюстрироватъ особенности поведения фракталов. Образующим элементом для построения одного из вариантов канторовских множеств служит отрезок единичной длины. Разделим этот отрезок на три равные части ( = 1/3). Отбрасываем открытую среднюю часть, оставляя слева и справа от нее два отрезка длины 1/3. Применим эту процедуру к оставшимся отрезкам, получаем четыре отрезка длины (1/3)2. Продолжая далее эту процедуру разбиения на отрезки, приходим для n-го этапа разбиения к отрезкам длины i = (1/3)n, i = 1, N общим числом N = 2n. Мера определяется при L0 = 1 в соответствии с выражением вида n L = lim N() = lim 2n(1/ 3) = - B.

0 n Эта мера не расходится или не стремится к нулю, если = В. Указанному условию соответствует 2n (1 / 3)n = 1 или = ln 2 / ln (1 / ) = ln 2 / ln 3. Таким образом, канторовское множество является фракталом, его размерность имеет дробную величину. Заметим, что, во-первых, топологическая размерность канторовского множества равна нулю (мера неплотного множества точек, покрытых элементарными отрезками, равна нулю), во-вторых, при = 1/2 ( = 1) множество перестает быть фрактальным. Нетрудно дать геометрическое истолкование эволюции канторовского множества. В процессе разбиения исходного отрезка часть состояний (отрезков) невозвратно теряется. На n-м этапе разбиения отношение оставшихся состояний 2n к общему количеству состояний 3n в дважды логарифмическом масштабе точно равняется размерности канторовского множества. Обобщим полученные результаты на случай разбиения исходного отрезка длины t. Имеем после nго этапа разбиения число оставшихся отрезков 2n, длина каждого из которых i = (1 / 3)nt, i = 1, N. Мера канторовского множества равна n L = lim N() = lim 2n(1/ 3) t = -B.

0 n Так как 2n(1/3)n = 1, получаем при = B L = L0 = t.

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 10 |






















© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.