WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 13 |
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА Факультет вычислительной математики и кибернетики ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО ФИЗИКЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ- МАТЕМАТИКОВ ЧАСТЬ IV В.П. Кандидов, А.Ю. Чикишев ФИЗИКА ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ МОСКВА 2007 МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА Факультет вычислительной математики и кибернетики ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО ФИЗИКЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ- МАТЕМАТИКОВ Под редакцией профессора В.А. Макарова ЧАСТЬ IV В.П. Кандидов, А.Ю. Чикишев ФИЗИКА ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ МОСКВА 2007 Оглавление 3 Оглавление Предисловие редактора..................................... 4 §1. Бегущие волны......................................... 6 §2. Волны на границе раздела................................ 24 §3. Поляризация волн...................................... 37 §4. Спектры............................................... 43 §5. Спектральный анализ на компьютере...................... 57 §6. Дисперсия волн. Передача информации.................... 70 §7. Интерференция. Когерентность........................... 85 §8. Многолучевая интерференция. Радиотелескопы............. 99 §9. Дифракция волн........................................ 108 Справочные данные........................................ 129 4 Предисловие редактора Предисловие редактора Настоящий том является четвертым в серии из пяти томов, составленных на основе более чем тридцатилетнего опыта преподавания физики студентам факультета вычислительной математики и кибернетики (ВМК) МГУ им. М.В. Ломоносова. Первый том («Механика») и третий том («Электричество и магнетизм») вышли в 2006 году.

На примере электромагнитных и звуковых волн курс знакомит с основными закономерностями волновых явлений. В начале каждого раздела дается краткое изложение теории в объеме, необходимом для решения задач, далее приводится решение и анализ нескольких типовых примеров, затем формулируются задания для самостоятельной работы. При составлении сборника авторы стремились к тому, чтобы примеры и задачи не только закрепляли теоретические знания в области волновых явлений, но и способствовали формированию у студентов неразрывной связи между учебным материалом и реальными волновыми процессами окружающего мира. Поэтому во многих случаях предлагается рассмотреть природные явления или провести физический анализ конкретных устройств современной науки и техники, выполнить расчеты в размерных единицах.

В сборник включено более 150 задач и примеров. Часть из них позаимствована из известных учебных пособий. Они могут быть использованы при проведении традиционных семинарских занятий. Однако для решения значительной части оригинальных заданий, составленных авторами, необходима указанная справочная и дополнительная литература, консультации преподавателя. Эти задания предназначены для углубленной самостоятельной работы студента. Результаты их выполнения целесообразно представлять в виде небольшого научного отчета. У номера каждого задания в скобках указана ее степень трудности, которая оценивается в баллах от 1 (наименьшая трудность) до 3 (наивысшая трудность).

Задачи первого параграфа "Бегущие волны" призваны помочь в усвоении основных понятий волнового процесса и закрепить знания о кинетических и энергетических характеристиках бегущей волны. Во втором параграфе "Волны на границе раздела" рассмотрены закономерности отражения и прохождения волн на границе раздела двух сред, в частности, полное внутреннее отражение волн и его проявление в природе. В третьем параграфе анализируются возможные состояния поляризации Предисловие редактора электромагнитных волн. Параграф "Спектры" посвящен спектральному аппарату в анализе волновых пакетов и сигналов. Основное внимание здесь уделяется демонстрации на конкретных примерах основных соотношений между параметрами сигнала и его спектра, в частности, анализу связи длительности и формы сигнала с шириной спектра. В отдельном параграфе "Спектральный анализ на компьютере" собраны задания, призванные познакомить с особенностями дискретного преобразования Фурье, которое используется при компьютерных вычислениях. Здесь основное внимание уделено физической интерпретации результатов спектрального анализа. В шестом параграфе "Дисперсия" рассматриваются примеры распространения волн в распределенных колебательных системах, волноводах, оптических волокнах. Ряд задач посвящен анализу влияния дисперсии на скорость передачи информации в волноводах и оптических линиях связи. Задачи параграфа "Интерференция. Когерентность" должны закрепить основные представления о явлении интерференции и познакомить с понятием когерентности на классических и хорошо известных примерах. В восьмом параграфе "Многолучевая интерференция. Радиотелескопы" собраны задания, раскрывающие особенности интерференции многих волн на классических примерах и демонстрирующие ее применение для расчета диаграмм направленности астрофизических антенн и систем сотовой связи.

Девятый параграф "Дифракция" содержит как классические задачи, так и задания по Фурье-оптике. В конце пособия приведены основные справочные данные, которые могут понадобиться при выполнении заданий.

Руководство факультета ВМК уделяет большое внимание преподаванию специальных разделов физики, необходимых выпускникам факультета ВМК в их дальнейшей работе. Неоценимую помощь в отборе материала, формировании уровня требований и методики преподавания оказали советы акад. РАН Е.И. Моисеева, чл.-корр. РАН Д.П. Костомарова, профессоров А.М. Денисова и М.М. Хапаева, доцентов Б.И. Березина и В.Г. Сушко. От лица авторов пособия выражаю также благодарность всем преподавателям и научным сотрудникам кафедры Общей физики и волновых процессов, ведущим занятия на факультете ВМК и способствовавшим становлению этого курса. Глубоко признателен профессорам А.М. Салецкому и С.М. Аракеляну, взявшим на себя труд по рецензированию рукописи, и О.Г. Косаревой за помощь при подготовке материалов сборника.



В.А. Макаров 6 §1. Бегущие волны §1. Бегущие волны Краткие теоретические сведения Волновые процессы имеют общие закономерности независимо от их физической природы и механизма возникновения. Звук это волна сжатия и растяжения упругой среды. Звуковая волна образуется вследствие коллективного движения ее частиц. Электромагнитная волна это взаимосвязанные электрическое и магнитное поля, которые меняются в пространстве и времени. Волны возникают в массовых потоках – на автомагистралях и конвейерах, в трубопроводах и системах массового обслуживания. Волновой характер носит процесс установления концентрации вещества при химических реакциях, плотности особей в популяциях. Волны распространяются по нервным клеткам, обеспечивая жизнедеятельность живых организмов.

Волну можно определить как любое различимое возмущение или сигнал, распространяющиеся в пространстве. Возмущение это отклонение измеряемой величины от равновесного значения, например, смещения, скорости частиц, или давления в звуковой волне, напряженности электрического и магнитного поля в электромагнитной волне, концентрации субстанций в массовых потоках, химических реакциях.

Поскольку возмущение (r,t) в волне меняется в пространстве и времени, волновой процесс описывается уравнением в частных производных. При малых возмущениях, когда свойства среды не меняются под воздействием волны, волновое уравнение является линейным:

2(r,t) - c2(r,t) = 0, (1.1) tгде c – фазовая скорость волны. В одномерном случае волна бежит вдоль одной пространственной координаты и волновое уравнение для возмущения (x,t) принимает вид:

(x, t) 2(x, t) - c2 2 = 0.

(1.2) t x В гармонической волне возмущение выражается зависимостью, которое для волны, бегущей по оси OX может быть записано следующим образом:

(1.3) (x,t) = a0 cos(t - kx + 0 ) §1. Бегущие волны или в комплексной форме (1.4) (x,t) = Re{a0ei(t -kx+0 )}.

Здесь a0 – амплитуда возмущения в волне, 0 – начальная фаза возмущений, символ Re означает реальную часть от выражения в фигурных скобках. Круговая частота связана с периодом T колебаний во времени соотношением:

(1.5) = 2 / T.

Кроме определяют также частоту волны, равную (1.6) = 1/T = / 2.

Волновое число k выражается через длину волны :

(1.7) k = 2 /.

Длина волны равна:

= cT. (1.8) Из (1.5), (1.7) и (1.8) следуют соотношения:

(1.9) k = / c и = c /.

Выражения (1.3) и (1.4) описывают прямую волну, то есть бегущую в положительном направлении по оси OX. Для обратной волны, которая распространяется в обратном направлении по оси OX, возмущение (x,t) описывается выражением:

(1.10) (x,t) = Re{a0ei(t +kx+0 )}.

Аргументом гармонических функций (1.3), (1.4) и (1.10) является текущая фаза волны (x,t), которая меняется в пространстве и времени.

Поверхность равных значений фазы в некоторый момент времени t = t* является волновым фронтом. Волны вида (1.3), (1.4), (1.10) называются плоскими, так как их волновой фронт является плоскостью, перпендикулярной оси OX.

Волна, расходящаяся от точечного источника, является сферической, ее волновой фронт имеет вид сферы. Амплитуда возмущения в сферической волне (r,t) обратно пропорциональна расстоянию в соответствии с выражением:

(1.11) a(r,t) = ei(t -kr +0 ), r где r – радиальная координата в сферической системе координат.

Для расходящейся волны с цилиндрическим волновым фронтом, создаваемой источником в виде тонкой нити, справедливо:

8 §1. Бегущие волны a(r,t) = ei(t -k+0 ), (1.12) где – радиус вектор в полярной системе координат.

Волновой вектор k перпендикулярен волновому фронту и по величине совпадает с волновым числом.

Закон сохранения энергии в волне записывается следующим образом в дифференциальной форме (1.13) w + (divS) = 0, t и в интегральной форме (1.14) wd+ Sd = 0, t где w – объемная плотность энергии в волне, S – вектор плотности потока энергии переносимой волной, и – объем и замкнутая поверхность его ограничивающая, соответственно.

В изотропных средах вектора S и k сонаправлены. Плотность энергии w и величина плотности потока энергии S в бегущей волне связаны соотношением:

S = cw. (1.15) Параметры волны имеют следующие размерности:

[t] = с, [] = Гц, [] = рад/с, [] = м, [k] = м–1, [c] = м/c, [w] = Дж/м3, [S] = Вт/м2.

Звуковая волна В звуковой волне возмущения плотности и давления p в среде связаны простым соотношением p = c0 и подчиняются уравнению, получаемому в приближении линейной акустики:

- c0 = 0.

(1.16) tСкорость звука с0 в среде определяется ее сжимаемостью и равновесной плотностью 0 :

(1.17) с0 =.

§1. Бегущие волны Процессы сжатия и растяжения в звуковой волне являются быстрыми по сравнению с теплопередачей, и их можно считать адиабатическими. В результате скорость звука в газах равна:





(1.18) pс0 =, где p0 – давление в равновесном состоянии, а – показатель адиабаты.

В воздухе показатель адиабаты 1,4 и при нормальных атмосферных условиях ( p0 =1,01105 Па; 0 =1,3кг/м3) скорость звука c0 330 м/с.

Акустический импеданс среды Zак, характеризующий ее волновое сопротивление для волны сжатия–растяжения, определяется выражением:

(1.19) Zак = 0c0.

Скорость движения частиц V и возмущение давления p в звуковой волне связаны соотношением, которое следует из линеаризованного уравнения движения упругой среды:

(1.20) p = ZакV.

Объемная плотность энергии w и вектор плотности потока энергии S выражаются следующим образом:

(1.21) 1 w = 02 + p2 S = pV (1.22) Для плотности энергии w и величины плотности потока энергии S имеют место формулы:

(1.23) p 2 w = 0V ; w = p2 ; S = 0c0V ; S =.

0cИз приведенных формул следует соотношение (1.15) для объемной плотности энергии w и плотности потока энергии S в звуковой волне:

S = cw (1.24) Интенсивность звука I, определяемая как средняя за период плотность потока энергии, равна (1.25) Zак 2 I = Vmax или I = pmax, 2 2Zак где pmax и Vmax – амплитуда колебаний давления и скорости частиц в упругой среде.

10 §1. Бегущие волны Полоса звуковых частот, воспринимаемых человеком, простирается от 16 Гц до 20 кГц. Слух человека имеет наиболее высокую чувствительность на частотах = 2 - 3 кГц. Порог слышимости, или наименьшая интенсивность звука этого частотного диапазона, которую способен воспринять человек, составляет I0 =10-12 Вт/м2. Интенсивность звука измеряется также в децибелах (дБ) – логарифмической шкале относительного превышения порога слышимости I0 и обозначается символом A:

(1.26) A =10lg(I / I0).

Болевой порог для слуха человека наступает в указанном частотном диапазоне при интенсивности, равной Iбол = 1014 I0, то есть при A = 140 дБ.

Параметры акустических сред и звуковой волны имеют следующие размерности: [] = кг/м3; [] = м2/н; [Zак ] = кг/(м2с) = Пас/м, [p] = н/м2, [V] = м/с.

Электромагнитная волна Из системы уравнений Максвелла для идеального однородного изотропного диэлектрика в отсутствии свободных электрических зарядов следует волновое уравнение для напряженности электрического Е и магнитного H полей электромагнитной волны:

2E - c2E = 0.

(1.27) tСкорость распространения электромагнитной волны с в системе единиц СИ выражается следующим образом:

с =, (1.28) 0µµгде 0 = 8,8510-12 (Ас)/(Вм) – электрическая постоянная, µ0 = 1,2610-6 (Вс)/(Ам) – магнитная постоянная, и µ – диэлектрическая и магнитная проницаемости среды. В вакууме, где = 1 и µ = 1, скорость электромагнитной волны равна:

(1.29) с0 = 2,998108 м/c.

Показатель преломления среды n определяется как отношение скоростей c0/c, поэтому §1. Бегущие волны (1.30) n = µ.

Волновое сопротивление или импеданс среды Z для электромагнитной эм волны выражается через и µ следующим образом:

µµZ =. (1.31) эм Импеданс вакуума равен Z0 = 377 Ом.

Величины напряженностей электрического E и магнитного H полей связаны соотношением:

(1.32) E = Zэм H.

Напряженности полей направлены таким образом, что вектора k,E, H образуют правую тройку в электромагнитной волне, распространяющейся в свободном пространстве.

Видимая область электромагнитных волн лежит в оптическом диапазоне и простирается от длины волны = 0,39 мкм, соответствующей фиолетовому цвету, до = 0,76 мкм, соответствующей красному цвету.

Наибольшую чувствительность человеческое зрение имеет в желто-зеленой области спектра с 0,55 мкм.

Для прозрачных диэлектриков (стекло, кварц, полиэтилен, газы, воздух) в оптическом диапазоне магнитная проницаемость µ = 1, поэтому n = и согласно (1.30) и (1.31) для показателя преломления n и импеданса Zэм среды следуют соотношения:

(1.33) 1 µ0 Zэм = =.

n 0 nc Объемная плотность w и вектор плотности потока энергии S электромагнитной волны определяются выражениями:

(1.34) 0 µµ0 w = E2 + H или w = 0E2, w = µµ0H, 2 (1.35) S = [EH].

С учетом (1.30)–(1.33) для величины S имеют место формулы:

(1.36) S = c0E2 или S = cµµ0H.

12 §1. Бегущие волны Из (1.34) и (1.36) следует соотношение между объемной плотностью энергии w и плотностью потока энергии S электромагнитной волны такое же, как и в случае звуковой волны:

S = cw. (1.37) Интенсивность электромагнитной волны I (средняя за период плотность потока энергии) обычно выражается через амплитуду напряженности электрического поля E0 :

(1.38) 1 c0n0 I = E0 или I = E0.

2Zэм Электромагнитная волна оказывает давление p при падении на поверхность среды. Это давление обусловлено силой Ампера, с которой магнитное поле волны действует на токи проводимости, возникающие в среде под действием электрического поля. Для полностью поглощающей среды давление p электромагнитной волны равно:

(1.39) p = w cos(ek,d), где ek – единичный вектор в направлении волнового вектора k падающей волны, а d – вектор нормали к поверхности. В случае нормального падения на поверхность среды с коэффициентом отражения RI давление электромагнитной волны определяется выражением:

(1.40) p = (1+ RI )w, где w – объемная плотность энергии в падающей волне.

Солнечная постоянная SС равна плотности потока энергии Солнечного излучения, которое падает на верхние слои Земной атмосферы:

(1.41) SC = 1,37 кВт/м2.

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 13 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.