WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 9 |
Бурятский государственный университет Кафедра математических и естественных наук Рыбдылова Д.Д., Лубсанова Л.Б., Габеева Л.Н.

Подготовка к ЕГЭ по математике Улан-Удэ 2008г.

Описание курса Предлагаемый курс подготовлен преподавателями кафедры математических и естественных наук Бурятского государственного университета. Он призван помочь ученикам одиннадцатых классов подготовиться к ЕГЭ по математике. Подобранный материал позволяет повторить важнейшие вопросы школьной программы, закрепить умения, необходимые для успешного выполнения тестовых заданий на экзамене. На основе опыта подготовки школьников к выпускным экзаменам авторы подобрали задачи, привели их решения с пояснениями и обоснованием основных шагов рассуждений. После повторения определенной порции учебного материала ученик должен самостоятельно решить приведенные задачи. Большинство заданий дано в тестовой форме, есть также и задания, в которых требуется привести рассуждения, доказательства.

Материал пособия разбит на 32 темы. К каждой теме прилагается глоссарий, который поможет школьнику систематизировать знания по геометрии, алгебре, началам анализа. На эти знания необходимо опираться при решении задач. Формулы, формулировки теорем, свойств, правил и др., которые также являются основой решения задач, приведены в текстах объяснений. Кроме рекомендованной в данном пособии литературы можно пользоваться и другими книгами, в т.ч. школьными учебниками. Авторы постарались показать, как важно уметь использовать теоретические знания при решении конкретных математических задач, дали практические рекомендации, обратили внимание на факторы, способствующие успешному выполнению заданий.

Надо помнить, что математику невозможно выучить за те несколько дней, которые отведены на подготовку к экзамену. К успеху приведут регулярные систематические занятия.

Содержание 1. Действия над действительными числами. Алгебраические выражения, тождественные преобразования выражений.

2. Решение неравенств с одной переменной. Системы и совокупности неравенств. Дробно-линейные неравенства. Решение рациональных неравенств методом промежутков.

3. Модуль числа. Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля, неравенства с модулями.

4. Корень п-й степени. Степень с рациональным показателем.

5. Линейная функция. Обратная пропорциональность. Квадратичная функция. Квадратные уравнения.

п 6. Функция у = х. Степенная функция.

7. Свойства функций. Построение графиков функций с помощью преобразований известных графиков.

8. Прогрессии.

9. Тригонометрические функции. Формулы тригонометрии.

10. Тригонометрические уравнения. Тригонометрические неравенства.

11. Производная. Формулы дифференцирования. Правила дифференцирования.

12. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной.

Физический смысл производной.

13. Исследование функций с помощью производной.

14. Первообразная. Неопределенный интеграл. Определенный интеграл.

15. Декартовы координаты. Уравнение прямой.

16. Векторы.

17. Многоугольники. Треугольники. Теорема косинусов. Теорема синусов.

Признаки подобия треугольников. Замечательные линии в треугольнике.

18. Четырехугольники. Свойства параллелограмма. Ромб.

19. Прямоугольник. Свойства трапеции.

20. Окружность и круг.

21. Прямые и плоскости в пространстве. Теоремы, используемые для обоснования чертежа.

22. Пирамида.

23. Призма.

24. Тела вращения.

25. Преобразование рациональных выражений. Преобразование иррациональных выражений.

26. Иррациональные уравнения.

27. Логарифмы.

28. Показательная и логарифмическая функции.

29. Показательные и логарифмические уравнения.

30. Иррациональные неравенства.

31. Показательные и логарифмические неравенства.

32. Текстовые задачи.

Тема I. Действия над действительными числами. Алгебраические выражения, тождественные преобразования выражений. (Формулы разложения на множители).

Алгебраическим выражением называется совокупность конечного количества чисел, обозначенных буквами или цифрами, соединенных между собой знаками алгебраических действий и знаками последовательности этих действий (скобками).

Одночленом называется алгебраическое выражение, в котором числа и буквы связаны только двумя действиями – умножением и возведением в натуральную степень.

Многочленом называется алгебраическая сумма нескольких одночленов.

Одночлены, из которых состоит многочлен, называются его членами.

Одночлен есть частный случай многочлена.

Два выражения называются тождественно равными на данном множестве, если на этом множестве они имеют смысл и все их соответственные значения равны.

Свойство тождественно равных выражений: если два выражения тождественно равны одному и тому же выражению, то они тождественно равны между собой.

Равенства, в которых левая и правая части - тождественно равные выражения, называются тождествами.

Тождественное преобразование выражения – это замена выражения другим, тождественно равным ему.

Одним из видов тождественных преобразований выражений является разложение многочленов на множители, которое включает в себя три вида:

вынесение общего множителя за скобки, способ группировки, применение формул сокращенного умножения, разность и сумма кубов двух выражений.

Разложить многочлен на множители – это значит представить многочлен в виде произведения одночлена и многочлена или произведения двух и более многочленов, которое тождественно данному многочлену.



1. Вынесение общего множителя за скобки Правило. Чтобы вынести общий множитель за скобки, нужно каждый член многочлена разделить на общий множитель и делитель взять одним из множителей произведения, а вторым множителем произведения будет многочлен, составленный из частных.

Например, 4 = 6х4 - +424 х 6х4х4 2 2х +( - 4) 1 412 2х1 4 многочлен произведен ие одночлена многочлена Разложить многочлен на множители вынесением общего множителя за скобки возможно, только если такой множитель есть в каждом члене многочлена.

2. Способ группировки Правило. Способ группировки предполагает перевод многочлена в тождественное заданному многочлену произведение многочленов.

Из нескольких одночленов, объединив их в группы (многочлены в многочлене), нужно вынести общий множитель для каждой группы, а многочлены «из остатков» (частных) должны быть одинаковы.

Одинаковые многочлены-множители в группах составят общий множитель для заданного многочлена. Его записываю первым множителем произведения.

«Остатки» или частные (общие множители для каждой группы многочленов) нужно записать многочленом – вторым множителем произведения.

Например, 3х3 + 5у3 - 5х3 - 3у3 = 3(х3 - у3) – 5(х3 - у3) = (х3 - у3)(3 – 5) = -2(х3 - у3) = = -2 (х – у)(х2 + ху + у2) = 2 (у – х)(х2 + ху + у2) 3. Применение формул сокращенного умножения Формулы сокращенного умножения Правило. По формулам сокращенного умножения не всякий многочлен можно перевести в произведение, а только те многочлены, которые после всех преобразований полностью соответствуют многочлену формулы.

Например, многочлены, разлагаемые на множители по формулам:

1) х3 + 2у3 + 2ху2 +х2у – 3у3 + ху2 – 4х2у = х3 - 3х2у +3ху2 – у3 = (х – у)2) 2х2 + ху + ху – х2 + у2 = х2 + 2ху+ у2 = (х + у)Многочлены, не разлагаемые на множители по формулам:

х3 + 2у3 + 2ху2 – 3у3 + ху2 – 4х2у = х3 - 4х2у +3ху2 – у3 = х3 - у3 + ху(3у – 4х) = (х –у)( х2 + ху + у2) + ху(3у – 4х) 4. Разность и сумма кубов двух выражений Формулы разности и суммы кубов могут быть представлены в многочлене так, что каждый член многочлена представляет собой алгебраическое выражение.

Вычисление по формулам сокращенного умножения сводится к записи членов многочлена в виде выражений и дальнейшего их преобразования как двух множителей-многочленов (раскрыть скобки, привести подобные члены в каждом многочлене), сохраняя произведение.

Правило. Разность и сумма кубов двух выражений по формулам сокращенного умножения преобразуется в произведение двух многочленов или в произведение многочлена и одночлена.

Например, (х2 + у2)3 + (х2 - у2)3 = ((х2 + у2) + (х2 - у2))((х2 + у2)2 - (х2 + у2)(х2 - у2) +(х2 - у2)= (х2 + у2 + х2 - у2)(х4+ 2х2у2 + у4 - х4 + у4 + х4 - 2х2у2 + у4) = 2х2(3у4+ х4) Задания для самопроверки с ключами:

1. Упростите выражение, отметив правильный ответ:

-6х + 5ху -2(х + 2ху) А. -8х + ху Б. -8х – ху В. -4х + ху Г. -4х + 7ху.

2. Какое из четырех равенств не является тождеством:

1) х3 – 27 = (х - 3)( х2 + 3х + 9) 2) х3 +8 = (х+2) (х2 - 2х + 4) 3) х2 -10х + 25 = (х - 5)4) х2 + 3ху + 9у2 = (х + 3у) А. Первое Б. Второе В. Третье Г. Четвертое 3. Разложите на множители и выберите правильный ответ:

1) 2/3у5 – 2у4 + 5/6у3 + 8у А. 2/3у(у4 – 1/3у3 + 5/2у + 8) Б. 2/3у(у4 + 5/2у2 - 3у3 + 8) В. у(5/6у2 + 2/3у4 - 2у3 + 8) Г. у(2/3у4 - 2у3 + 5/6у + 8) 3 a a a a 2) b2 +4 - 4 b2 - a a a a a А. b ( -1)( +1)(b-2)(b+2) Б. (b-1)(b+1) ( -2)( +2) a a a a a В. b(b-1)(b+1) ( -2)( +2) Г. ( -1)( +1)(b-2)(b+2) 3) х3 - у3 + 0,5хА. (х –у)(х2 + ху + у2) Б. (х –у)( х2 - ху + у2) В. (х+у)( х2 + ху + у2) Г. (х + у)( х2 - ху + у2) 4) х2(у - z) + у2(z – х) + z2(х – у) А. (х –у)(z – х)(у – х) Б. (у - х)(z – х)(х – z) В. (х –у)(z – у)(z – х) Г. (у - х)(z – у)(х – z) Тема II. Решение неравенств, содержащих одну переменную. Системы и совокупности неравенств. Дробно-линейные неравенства. Решение рациональных неравенств методом промежутков.

Решением неравенства с одной переменной называется значение этой переменной, удовлетворяющее данному неравенству. Решить неравенство – значит найти все его решения или доказать, что их не существует.

Часто, решая данное неравенство, полезно заменить его более простым, эквивалентным (равносильным) неравенством.

Два неравенства называются эквивалентными (равносильными), если они имеют одни и те же решения (или не имеют их вовсе).

Свойства неравенств, содержащих одну переменную:

Пусть дано неравенство вида f(x) < g(x), определенного на множестве А.

Свойство 1. Если к обеим частям неравенства определенного на множестве А, прибавить(или вычесть)одно и то же выражение h(x), имеющее смысл на множестве А, то получится неравенство f(x)+h(x) = g(x) + h(x), равносильное данному.

Следствие. Если какое-нибудь слагаемое перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, то получится неравенство, равносильное данному.

Свойство 2. Если обе части неравенства f(x) > g(x), определенного на множестве А, умножить или разделить на одно и то же выражение h(x), которое имеет смысл на множестве А и положительно при всех значениях x А, и знак неравенства оставить без изменения, то получится неравенство равносильное данному.

Свойство 3. Если обе части неравенства f(x) > g(x), определенного на множестве А, умножить или разделить на одно и то же выражение h(x), которое имеет смысл на множестве А и отрицательно при всех значениях х А и при этом поменять знак неравенства на противоположный, то получится неравенство f(x)·h(x)





Следствие. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменяется на противоположный.

5х х - Например, + 5 > Перенесем в левую часть неравенства члены, содержащие переменную x, а в правую - не содержащие x.

5х х - Получим - > -После приведения подобных слагаемых в левой части, неравенство примет вид:

х - 5х -1 > -Перенесем число -1 в правую часть неравенства, поменяв знак числа на противоположный, и найдем значение выражения:

- 4х > -Обе части неравенства умножаем на 2:

-4х > -Далее, обе части неравенства делим на одно и то же число -4, меняя знак неравенства на противоположный:

х < Таким образом, х < Системы и совокупности неравенств с одной переменной Общий вид системы неравенств:

f1(х) > 1(x) f2 (х) > 2 (x) 5x - 2 2x + Например, 2x + 3 > 18x - Решением системы неравенств с одной переменной называется значение переменной, удовлетворяющее каждому неравенству системы.

Решить систему неравенств – значит найти все ее решения или доказать, что их нет.

х 5x - 2 2x + 3х нет решения 2x + 3 > 18x - х -16х > 6 < Общий вид совокупности неравенств:

f1(х) > 1(x) f2 (х) > 2 (x) 2х - 3 > 5х + Например, 7 - 7х > 5х - Решением совокупности неравенств с одной переменной называется значение переменной, удовлетворяющее первому или второму неравенству совокупности. Решить систему неравенств – значит найти все ее решения или доказать, что их нет.

Пример 1:

2х - 3 > 5х + 3 - 3х > 6 х < - х < 7 - 7х > 5х - 5 х < -12х > -Пример 2:

1 3 7 7 7 2 2 2 - х + > > > 1 -1 > 0 > х 4х 8 4х 8 х х х или 2 - х > 0 х < х > 0 х > 0 0 < х < - х < 0 х > х < х < Таким образом, решением является промежуток 0 < х < Метод интервалов (метод промежутков) Рассмотрим неравенство вида: (х-х1)(х-х2)·…·(х-хn) > 0, где х1,х2,…хn – действительные числа, для которых выполняются следующие условия: х1 <х< х3 <…< хn. Тогда для х > хn все множители левой части неравенства будут положительны и их произведение также. Для хn-1< х < хn последний множитель – отрицательный, но все остальные множители остаются положительными, и поэтому все произведение будет отрицательно.

Аналогично, для хn-2< х < хn-1 только последний и предпоследний множители будут отрицательны, все же другие сохранят положительное значение и произведение в целом тоже. Продолжая последовательно исследовать все остальные интервалы, приходим к заключению, что знак левой части неравенства будет меняться от интервала к интервалу.

Метод интервалов состоит в разделении числовой оси на интервалы, во внутренних точках которых выражения (или множители) не меняют знака.

Например, в предыдущем примере неравенство, полученное на промежуточном этапе решения, можно решить методом интервалов:

2 - х х - 2 (х - 2)х > 0 < 0 < 0 х(х - 2) < 0, т.к. х2 > х х хПервый множитель и второй множитель обращаются в нуль в точках х= 0 и х2 = 2. соответственно. Проверив знаки выражения в интервалах ( ;0);

(0;2); (2; ), которые чередуются, начиная с «+», окончательно получим интервал: (0;2).

х - Неравенство вида < 0 является дробно-линейным.

х Правило: Чтобы решить дробно-линейное неравенство вида х + b a > 0(< 0), где, b, c, d – действительные числа, х – неизвестное число, сх + d нужно:

1) умножить на знаменатель сх + d как числитель, так и знаменатель х + b дроби, сх + d 2) отбросить знаменатель и решить получившееся неравенство методом интервалов.

Замечание 1: При решении дробно-линейных неравенств методом интервалов следует учитывать ОДЗ (область допустимых значений переменной).

Замечание 2: К вышеперечисленным свойствам неравенств, содержащих переменные, следует добавить: если f(х) 0 и (х) 0 и f(х) > (х), то f2(х) > (х) Задания для самопроверки с ключами:

1. Решите систему неравенств и выберите правильный ответ:

2х +10 > 1- 3х > А. ( ;-5) (-4; ) Б. (-5; -4) В. ( ;-4) Г. (-5; ) 2. Решите совокупность неравенств:

1 2 х + 9 5 - 7 4 х 2 6 - х < 5 х - 3 А. [-16 ;-1 ) Б. Нет решения 31 В. [-16 ; ) Г. (-1 ; ) 31 3. Сколько решений неравенства (х - 2)(2х - 1) 0 содержится среди чисел -2, 0, 1, 3 А. 1 Б. В. 3 Г. 1 4. Решите неравенство < х А. х < 2 Б. х > В. 0 < х < 2 Г. х < 0; х > - 5. Решите неравенство > (х + 4)(3 -10х) А. ( ; -4) (0,3; ) Б. ( ; 0,3) В. (-4; ) Г. ( ; ) 2х - 6. Решите неравенство < (5х - 2)(х - 4) 1 А. ( ; -3 ) ( ; ) Б. ( ; 4) 2 2 1 2 В. ( ; 3 ) (4; ) Г. ( ; ) (3 ; 4) 5 2 5 Тема III. Модуль числа. Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля, неравенства с модулями Модулем действительного числа называется расстояние от начала отсчета до точки на числовой оси, которая изображает это число.

Модулем положительного числа и нуля называют само это число, а модулем отрицательного - число, ему противоположное, то есть:

если x x, x= -x, если x < Например, -6 =-(-6) = Модуль числа называют абсолютной величиной числа.

Правила “знаков”.

1) Суммой двух действительных чисел с одинаковыми знаками называется действительное число того же знака, модуль которого равен сумме модулей слагаемых.

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 9 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.