WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 |
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К. Л. САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ © К. Л. Самаров, 2009 © ООО «Резольвента», 2009 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 СОДЕРЖАНИЕ 1. ЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ МЕЖДУНАРОДНОЙ ТОРГОВЛИ………………..4 1.1. Исходные предположения модели…………....……………………….4 1.2. Расчетные уравнения……….…………………………....……………..4 2. СТАТИЧЕСКАЯ n - СЕКТОРНАЯ БАЛАНСОВАЯ МОДЕЛЬ В. ЛЕОНТЬЕВА…...…………………………………………………………..7 2.1. Исходные предположения модели……………………………………7 2.2. Расчетные уравнения………..........……………………………………8 3. ДИНАМИЧЕСКИЕ ОДНОСЕКТОРНЫЕ БАЛАНСОВЫЕ МОДЕЛИ В. ЛЕОНТЬЕВА...……………………………………………………………..11 3.1. Модель Леонтьева с дискретным временем...………………………11 3.1.1. Случай переменного потребления. Исходные предположе- ния...…………………………………………………………….11 3.1.2. Расчетные уравнения.………………..…………...…………….12 3.1.3. Случай постоянного потребления. Исходные предположе- ния..……………………………….………………………....….12 3.1.4. Расчетные уравнения………………………………………...…12 3.2. Модель Леонтьева с непрерывным временем………………………14 3.2.1. Случай переменного потребления. Исходные предположе- ния……………………………………..………………...………14 3.2.2. Расчетное уравнение.…………………………………………..14 3.2.3. Случай постоянного потребления. Исходные предположе- ния…………………………....………………………………….15 3.2.4. Расчетное уравнение……………………………...……………15 4. МОДЕЛЬ ОПТИМИЗАЦИИ СОСТАВА ПОКУПКИ………………………16 4.1. Исходные предположения модели………....…………………………16 4.2. Бюджетное множество. Поверхности безразличия..…………...……16 4.3. Примеры решения задач………………………………………………18 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 2 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-5. МОДЕЛЬ РЫНКА ОДНОГО ТОВАРА...……………………………………5.1. Функции спроса и предложения. Понятие эластичности...…………5.2. Средние и предельные значения функций...…………………………6. МОДЕЛИ ЭВАНСА УСТАНОВЛЕНИЯ РАВНОВЕСНОЙ ЦЕНЫ НА РЫНКЕ ОДНОГО ТОВАРА……………………………………………..6.1. Модель Эванса с непрерывным временем...………………………… 6.1.1. Исходные предположения модели……………………………. 6.1.2. Расчетное уравнение…………………………………………...6.2. Модель Эванса с дискретным временем.…..………………………... 6.2.1. Исходные предположения модели……………………………. 6.2.2. Расчетные уравнения......……………………………………....7. МОДЕЛЬ ВЫПУСКА ПРОДУКЦИИ………………………………………..7.1. Понятие производственной функции………………………………...7.2. Производственная функция Кобба-Дугласа…………………………8. ОДНОСЕКТОРНАЯ МОДЕЛЬ СОЛОУ С ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ФУНКЦИЕЙ КОББА-ДУГЛАСА……………………………………………8.1. Исходные предположения модели……………………………………8.2. Расчетные уравнения...………………………………………………..ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ..…………………………………………ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ.…………………………ЛИТЕРАТУРА...…………………………………………………………………ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-1. ЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ МЕЖДУНАРОДНОЙ ТОРГОВЛИ 1.1. Исходные предположения модели Изучаемая модель основана на следующих предположениях:

1. Рассматривается n стран S1,S2,...,Sn, национальный доход которых, выраженный в одной и той же валюте, равен x1, x2,..., xn денежных единиц, соответственно.

2. Считается, что весь национальный доход каждой из стран расходуется на закупки товаров, как внутри страны, так и у других стран.

3. Известна структурная матрица международной торговли A = (aij ), каждый элемент aij которой равен доле национального дохода, которую страна S расходует на закупку товаров у страны Si :

j a11 a12... a1n a21 a22... a2n A =. (1.1.1)............

an1 an2... ann 4. Считается, что для каждой страны выполнено условие бездефицитной торговли, заключающееся в том, что выручка от внешней и внутренней торговли оказывается не меньшей, чем национальный доход страны.

5. Известен суммарный национальный доход D всех n стран.

Требуется найти вектор национальных доходов всех стран:

x ur x X =.

...

xn 1.2. Расчетные уравнения Если обозначить символом ti выручку, полученную страной Si от внутренней и внешней торговли, то будет справедливо соотношение:

ti = ai1x1 + ai2x2 +...+ ainxn. (1.2.1) ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-Из предположения 4 вытекает, что для всех значений i =1, 2,..., n выполняется неравенство ti xi, а из предположений 2 и 3 вытекает, что сумма элементов в каждом столбце матрицы A равняется 1.

Отсюда, используя соотношение (1.2.1), получаем:

n n ti - xi = ai1x1 + ai2x2 +...+ ainxn - xi = ( ) ( ) i=1 i=n n n n = x1 + x2 +...+ xn - = ai1 i=1 ain xi aii=1 i=1 i=n n n = x1 + x2 +...+ xn - = - =0.

xi xi xi i=1 i=1 i=Следовательно, для всех значений i =1, 2,..., n выполнено равенство ti = xi, т.е.

ai1x1 + ai2x2 +...+ ainxn = xi. (1.2.2) Таким образом, справедливо матричное уравнение:

a11 a12... a1n x1 x a21 a22... a2n x2 x =, (1.2.3)......

............

an1 an2... ann xn xn которое означает, что вектор x uur x X =...

xn является собственным вектором матрицы A с собственным значением 1.

ur Из уравнения (1.2.3) вытекает, что вектор X удовлетворяет уравнению ur A ( - E X = 0, (1.2.4) ) где символом E обозначена единичная матрица n - го порядка. Это уравнение дает возможность определить национальный доход каждой из стран, позволяющий осуществлять бездефицитную торговлю. В координатах уравнение (1.2.4) имеет вид:



ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-a -1 a12... a1n x1 a21 a22 -1... a2n x =. (1.2.5)............

......

an1 an2... ann -1 xn Задача 1.2.1. Известна структурная матрица торговли трех стран:

1 4 1 1.

A = 2 2 1 1 2 4 Суммарный национальный доход трех стран равен 900. Найти национальный доход каждой из стран, позволяющий осуществлять бездефицитную торговлю.

Решение. В рассматриваемом случае матричное уравнение (1.2.5) имеет вид:

1 - 4 x1 1 1 x2 = 0. (1.2.6) 2 2 x3 1 1 - 2 4 Записывая уравнение (1.2.6) в форме системы линейных уравнений, получим:

1 -x1 + x2 + x3 = 0, 4 -12x1 + 3x2 + 4x3 = 0, 1 1 x1 - x2 + x3 = 0, 3x1 - 3x2 + 2x3 = 0, 2 2 6x1 + 3x2 -8x3 = 0, 1 1 x1 + x2 - x3 = 0, 2 4 -12x1 + 3x2 + 4x3 = 0, -12x1 + 3x2 + 4x3 = 0, -9x2 +12x3 = 0, -3x2 + 4x3 = 0, 9x2 -12x3 = 0, ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28- x1 = d, -12x1 +8x3 = 0, x2 = d, -3x2 + 4x3 = 0, x3 = d, где символом d обозначено произвольное число.

Теперь можно найти значения национальных доходов стран:

2 x1 + x2 + x3 = d + d + d = 3d = 3 d = 300, x1 = 200, x2 = 400, x3 = 300.

Ответ. x1 = 200,x2 = 400,x3 = 300.

2. СТАТИЧЕСКАЯ n - СЕКТОРНАЯ БАЛАНСОВАЯ МОДЕЛЬ В. ЛЕОНТЬЕВА 2.1. Исходные предположения модели Изучаемая модель основана на следующих предположениях:

1. Рассматривается замкнутый производственный комплекс, состоящий из n секторов S1,S2,...,Sn, производящих и частично потребляющих произведенную комплексом продукцию.

2. Известна технологическая матрица производственного комплекса A = (aij ), каждый элемент aij которой (коэффициент прямых затрат) равен доле выпуска продукции сектора Si, потребляемой для нужд сектора S.

j 3. Комплекс должен поставить внешнему потребителю вектор конечной продукции (конечный продукт) c u r c C =,...

c n ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-где символами c1, c2,…, cn обозначены объёмы продукции, поставляемой секторами S1,S2,...,Sn, соответственно.

Требуется найти вектор выпуска продукции (валовой продукт) x ur x X =,...

xn где символами x1, x2,…, xn обозначены объёмы продукции, произведенной секторами S1,S2,...,Sn, соответственно.

Замечание. Здесь и далее будем считать, что все объемы продукции измерены в единицах стоимости.

2.2. Расчетные уравнения Фундаментальный экономический закон, выраженный формулой:

Валовой Конечный = Затраты +, продукт продукт и предположения, лежащие в основе рассматриваемой модели, приводят к следующей системе уравнений:

n xi = x + ci, i = 1,2,...,n. (2.2.1) 1a ij j j= Записывая уравнения (2.2.1) в матричной форме:

ur ur u r X = AX + C, (2.2.2) получаем:

ur u r E ( - A X = C, (2.2.3) ) ur u r -X = E - A C, (2.2.4) ( ) где символом E обозначена единичная матрица n - го порядка.

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-Формула (2.2.4) позволяет определить неизвестный вектор выпуска проr ur u дукции X по известному вектору конечного продукта C и известной матрице коэффициентов прямых затрат А.

Если ввести в рассмотрение матрицу -B = E - A, (2.2.5) ( ) называемую матрицей коэффициентов полных затрат, то формула (2.2.4) принимает вид ur u r X = BC. (2.2.6) Замечание. Элементы aij матрицы A являются числами, заключенными в пределах от нуля до единицы, причем сумма элементов каждой строки матрицы A не превосходит единицы.

Задача 2.2.1. Технологическая матрица замкнутого производственного комплекса, состоящего из трех секторов S1, S2 и S3, имеет вид:

0.12 0.17 A = 0.36 0.24 0..

0.2 0 0. Вектор конечной продукции 80. u r C = 42.8.

ur Найти вектор выпуска продукции X.

Решение. Поскольку 1 0 0 0.12 0.17 0 0.88 - 0.17 E - A = 1 0 - = - 0.36 0.76 - 0.14, 0 0.36 0.24 0.0 0 1 0.2 0 0.4 - 0.2 0 0. то матричное уравнение (2.2.3), имеющее вид:

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-0.88 - 0.17 0 x1 80. - 0.36 0.76 - 0.14 x2 = 42., - 0.2 0 0.6 x3 можно переписать в виде следующей системы линейных уравнений:

0.88x1 - 0.17x2 = 80.1, - 0.36x1 + 0.76x2 - 0.14x3 = 42.8, - 0.2x+ 0.6x3 = 96.

Решим полученную систему уравнений методом Гаусса. С этой целью умножим первые два уравнения на 100, а последнее уравнение – на 10.

88x -17x2 = 8010 8081 (a), - 36x1 + 76x2 -14x3 = 4280 4306 (b), - 2x1 + 6x3 = 960 964 (c).

Справа за вертикальной чертой сформируем столбец сумм коэффициентов каждого из уравнений (для контроля правильности вычислений), а первое, второе и третье уравнения системы обозначим символами (а), (b) и (с) соответственно.

Исключая теперь переменную х1 из уравнений (а) и (b) с помощью уравнения (с) по схеме:





(a) + 44(c), (b) - 18(c), получим систему из двух уравнений с двумя неизвестными -17x2 + 264x3 = 50250 50497 (a1), 76x -122x3 = -13000 -13046 (b1).

Исключая переменную х2 из уравнения (а1) с помощью уравнения (b1) по схеме:

76 a1 +17 b1, ( ) ( ) получим уравнение с одной неизвестной 17990x3 = 3598000 3615790 (a2).

Из уравнения (a2) находим неизвестное x3:

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-x3 = = 200.

Воспользовавшись уравнением (b1), находим неизвестное x2 :

122x3 -13000 24400 -x2 = = =.

76 Воспользовавшись уравнением (c), находим неизвестное x1:

6x3 - 960 1200 - x1 = = = 120.

2 Ответ: x1 =120, x2 = 150, x3 = 200.

3. ДИНАМИЧЕСКИЕ ОДНОСЕКТОРНЫЕ БАЛАНСОВЫЕ МОДЕЛИ В. ЛЕОНТЬЕВА 3.1. Модель Леонтьева с дискретным временем 3.1.1. Случай переменного потребления. Исходные предположения Изучаемая модель основана на следующих предположениях:

1. Рассматривается производственный сектор, производящий и частично потребляющий произведенную продукцию.

2. Сектор работает k лет (k - натуральное число).

3. Выпуск продукции сектора в i - м году i = 1, 2,..., k обозначается ( ) символом xi.

4. Известен выпуск продукции сектора x1.

5. Известна доля a выпуска продукции сектора, потребляемая самим сектором, т.е. число, заключенное в пределах 0 < a < 1.

6. В i - м году i = 1, 2,..., k конечный продукт сектора полностью ( ) расходуется на инвестиции Ii и потребление Pi, которые определяются по формулам Ii = q(xi+1 - xi ), Pi = pxi с известными числовыми коэффициентами q и p.

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-Требуется найти последовательность выпусков продукции xi, i =1, 2,..., k.

3.1.2. Расчетные уравнения На основании приведенных в предыдущем параграфе предположений составим следующее рекуррентное уравнение модели:

xi - axi = q(xi+1 - xi ) + pxi, i = 1, 2,... (3.1.1) Преобразовав уравнение (3.1.1) к более удобному виду:

1- a - p + q xi+1 = xi, i =1, 2,..., (3.1.2) q заметим, что формула (3.1.2) задает геометрическую прогрессию с первым 1- a - p + q членом x1 и знаменателем. Следовательно, q n-1- a - p + q xn = x1, n = 1, 2,.... (3.1.3) q Формула (3.1.3) завершает исследование рассматриваемого случая модели.

3.1.3. Случай постоянного потребления. Исходные предположения В изучаемой модели выполняются все предположения, приведенные в параграфе 3.1.1, за исключением предположения 6, которое заменяется сле дующим предположением 6 :

6. В i - м году i = 1, 2,..., k конечный продукт сектора полностью ( ) расходуется на инвестиции Ii и потребление Pi, которые определяются по формулам:

Ii = q(xi+1 - xi ), Pi = p, где q и p - известные числа.

3.1.4. Расчетные уравнения На основании предположений, описанных в параграфе 3.1.3, составим следующее рекуррентное уравнение модели:

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-xi - axi = q(xi+1 - xi ) + p, i = 1, 2,... (3.1.4) Преобразуем уравнение (3.1.4) к более удобному виду:

1- a + q p xi+1 = xi -, i = 1, 2,... (3.1.5) q q Введем новую переменную по формуле:

yi = xi +, (3.1.6) где - некоторое число, которое мы определим чуть позже, и совершим в уравнении (3.1.5) замену переменных xi = yi -, x = yi+1 -. (3.1.7) i+В результате уравнение (3.1.5) примет следующий вид:

1- a + q (a -1) - p yi+1 = yi +, i = 1, 2,... (3.1.8) q q Если теперь в качестве числа выбрать число p =, (3.1.9) a -то уравнение (3.1.8) преобразуется к следующему виду:

1- a + q yi+1 = yi, i =1, 2,... (3.1.10) q Формула (3.1.10) задает геометрическую прогрессию с первым членом y1 и 1- a + q знаменателем. Поэтому, q n-1- a + q yn = y1, n = 1, 2,..., (3.1.11) q откуда с помощью формул (3.1.6) и (3.1.9) получаем:

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-n-p p 1- a + q xn + = x1 +, n = 1, 2,..., a -1 a -1 q n-p 1- a + q p xn = x1 - +, n = 1, 2,.... (3.1.12) 1- a q 1- a Формула (3.1.12) дает возможность найти валовой продукт xn, n = 1, 2,..., если известен валовой продукт за первый год x1, и завершает исследование модели.

3.2. Модель Леонтьева с непрерывным временем 3.2.1. Случай переменного потребления. Исходные предположения Изучаемая модель основана на следующих предположениях:

1. Рассматривается производственный сектор, производящий и частично потребляющий произведенную продукцию.

2. Выпуск продукции сектора в момент времени t t 0 обозначает( ) ся символом x = x(t).

3. Известна доля a выпуска продукции сектора, потребляемая самим сектором, т.е. число, заключенное в пределах 0 < a < 1.

4. Конечный продукт сектора полностью расходуется на инвестиции I = I(t) и потребление P = P(t), которые определяются по формулам I(t) = qx (t), P(t) = px(t) с известными числовыми коэффициентами q и p.

Требуется найти формулу для выпуска продукции x = x(t), если известно значение x(0) = x0.

3.2.2. Расчетное уравнение На основании приведенных в предыдущем параграфе предположений заключаем, что в рассматриваемой модели выпуск продукции является решением следующей задачи Коши:

Pages:     || 2 | 3 | 4 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.