WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 14 |
ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТИХООКЕАНСКИЙ ИНСТИТУТ ДИСТАНЦИОННОГО ОБРАЗОВАНИЯ И ТЕХНОЛОГИЙ П. Н. Корнюшин ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ © Издательство Дальневосточного университета 2002 ВЛАДИВОСТОК 2002 г.

2 СОДЕРЖАНИЕ СОДЕРЖАНИЕ........................................................................................................................................................... 1 Аннотация.................................................................................................................................................................... 4 Рецензия на учебное пособие П.Н. Корнюшина «Численные методы»................................................................. 4 Методические указания для студентов..................................................................................................................... 4 Модуль 1. Введение. Разностные уравнения............................................................................................................ 5 1.0. Введение............................................................................................................................................................... 5 1.1. Разностные уравнения....................................................................................................................................... 10 1.1.1. Сеточные функции...................................................................................................................................... 10 1.1.1.1. Сеточные функции и действия над ними........................................................................................... 10 1.1.1.2. Разностные аналоги формул дифференцирования произведения и интегрирования по частям.. 10 1.1.2. Разностные уравнения................................................................................................................................ 11 1.1.2.1. Разностные уравнения......................................................................................................................... 1.1.2.2. Уравнение первого порядка................................................................................................................ 1.1.2.3. Неравенства первого порядка............................................................................................................. 1.1.2.4. Уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами........................................................ 1.1.2.5. Примеры................................................................................................................................................ 1.1.2.6. Разностное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами. Задача Коши и краевая задача.................................................................................................................................................................. 1.1.3. Решение разностных краевых задач для уравнений второго порядка.................................................... 1.1.3.1. Решение разностных краевых задач методом прогонки................................................................... 1.1.3.2. Устойчивость метода прогонки.......................................................................................................... 1.1.3.3. Другие варианты метода прогонки..................................................................................................... Модуль 2. Решение уравнений и задачи интерполяции........................................................................................ 2.2. Численное решение алгебраических и трансцендентных уравнений........................................................... 2.2.1. Задача отделения корней............................................................................................................................ 2.2.2. Вычисление значений корня с заданной точностью. Метод итераций.................................................. 2.2.3. Метод итераций для системы уравнений.................................................................................................. 2.2.4. Принцип сжатых отображений.................................................................................................................. 2.2.5. Об одном принципе нахождения сходящихся итерационных процессов.............................................. 2.2.6. Метод хорд (секущих) и метод деления пополам.................................................................................... 2.2.7. Метод Ньютона (метод касательных)....................................................................................................... 2.2.8. Вычисление значений алгебраического полинома.................................................................................. 2.2.9. Метод Лобачевского нахождения корней алгебраических многочленов.............................................. 2.3. Теория интерполирования................................................................................................................................. 2.3.1. Задача интерполирования в линейном пространстве.............................................................................. 2.3.2. Интерполяционный полином Лагранжа.................................................................................................... 2.3.3. Формула остаточного члена полинома Лагранжа.................................................................................... 2.3.4. Оценка остаточного члена формулы Лагранжа.......................................................................................



2.3.5. Понятие о разделенных разностях............................................................................................................. 2.3.6. Интерполяционная формула Ньютона...................................................................................................... 2.3.7. Основные задачи в теории интерполирования......................................................................................... 2.3.8. Сплайн-интерполяция................................................................................................................................. Модуль 3. Численное интегрирование и решение систем алгебраических уравнений...................................... 3.4. Численное интегрирование............................................................................................................................... 3.4.1. Задача приближенного вычисления определенного интеграла.............................................................. 3.4.1.1. Квадратурные формулы с наилучшей точностью для данного класса функций............................ 3.4.1.2. Квадратурные формулы с наилучшей степенью точности.............................................................. 3.4.1.3. Интерполяционные квадратурные формулы..................................................................................... 3.4.1.4. Замечания к использованию квадратурных формул......................................................................... 3.4.2. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса................................................................................................ 3.4.3. Частные случаи формулы Ньютона-Котеса.............................................................................................. 3.4.3.1. Формула прямоугольников................................................................................................................. 3.4.3.2. Формула трапеций............................................................................................................................... 3.4.3.3. Формула парабол (Симпсона)............................................................................................................. 3.4.4. Квадратурные формулы Гаусса................................................................................................................. 3.5. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений............................................................... 3.5.1. Системы линейных алгебраических уравнений....................................................................................... 3.5.1.1. Системы уравнений............................................................................................................................. 3.5.1.2. Частные случаи систем........................................................................................................................ 3.5.1.3. Прямые и итерационные методы........................................................................................................ 3.5.2. Прямые методы........................................................................................................................................... 3.5.2.1. Метод Гаусса........................................................................................................................................ 3.5.2.2. Метод квадратного корня.................................................................................................................... 3.5.2.3. Связь метода Гаусса с разложением матрицы на множители.......................................................... 3.5.3. Итерационные методы................................................................................................................................ 3.5.3.1. Метод итераций для решения системы линейных алгебраических уравнений.............................. 3.5.3.2. Метод простой итерации..................................................................................................................... 3.5.3.3. Метод Зейделя...................................................................................................................................... 3.5.3.4. Метод релаксации................................................................................................................................ Модуль 4. Линейное программирование................................................................................................................ 4.6. Основы линейного программирования............................................................................................................ 4.6.1. Основы математического программирования.......................................................................................... 4.6.1.1. Оптимальное планирование и линейное программирование........................................................... 4.6.1.2. Математическая модель задачи линейного программирования...................................................... 4.6.1.3. Классификация задач линейного программирования....................................................................... 4.6.2. Графический способ решения задачи линейного программирования................................................... 4.6.2.1. Геометрический смысл линейных неравенств.................................................................................. 4.6.2.2. Геометрический смысл задачи линейного программирования........................................................ 4.6.2.3. Задачи....................................................................................................................................................





4.6.2.4. Обобщение геометрической интерпретации на многомерный случай........................................... 4.6.2.5. Алгебраическая характеристика вершины многогранника ограничений....................................... 4.6.3. Симплексный метод.................................................................................................................................... 4.6.3.1. Геометрическая подготовка................................................................................................................ 4.6.3.2. Жордановы исключения...................................................................................................................... 4.6.3.3. Опорное решение, опорный план....................................................................................................... 4.6.3.4. Улучшение опорного плана................................................................................................................ Глоссарий................................................................................................................................................................. Литература............................................................................................................................................................... Аннотация Учебное пособие содержит основные положения численных методов, относящихся к решению разностных и алгебраических уравнений, приближению функций, интегрированию, задачам алгебры и оптимизации, решению обыкновенных дифференциальных уравнений.

Пособие предназначено для студентов вузов, изучающих основы вычислительной математики.

Рецензия на учебное пособие П.Н. Корнюшина «Численные методы» Написать учебное пособие по численным методам при наличии трудов таких классиков вычислительной математики, как Н.С. Бахвалов, И.С. Березин, Н.П. Жидков, А.А. Самарский и др.

– задача очень неблагодарная, поскольку все основные методы вычислений описаны с различными уровнями подробности. Правда, пока еще не встречалось учебного пособия, предназначенного для дистанционного обучения. К тому же, данное учебное пособие предназначено для студентов, только начинающих освоение элементов вычислительной математики. Поэтому перед автором стояла непростая задача при сохранении относительной строгости изложения сделать материал в достаточной мере доступным для понимания. Поэтому, по-видимому, не следует требовать в каждом конкретном случае строгости при доказательстве теорем существования и единственности, если задача изложена на понятном качественном уровне.

Цель, поставленная автором пособия, на мой взгляд, достигнута. Пособие написано достаточно понятным языком. Изложены Основные методы вычислений. К тому же, по сравнению с традиционным содержанием, в курс включены разделы линейного программирования, что особенно важно для студентов экономических специальностей.

В целом, издание учебного пособия, в особенности в электронном виде (с учетом дефицита именно такой продукции), – необходимо и актуально.

Методические указания для студентов 1) Консультации можно получить по адресу: г. Владивосток, ул. Суханова 8, ДВГУ, ауд. 76 или по электронной почте: korn@ifit.phys.dvgu.ru.

2) Форма аттестации по курсу – компьютерное тестирование в соответствии с прилагаемыми тестами.

3) Нормы аттестации: сдача каждого из 4-х тестирований, соответствующих 4-м модулям, не менее чем на «удовлетворительно».

Модуль 1. Введение. Разностные уравнения 1.0. Введение Бурное развитие средств вычислительной техники привело к подлинно революционному преобразованию науки вообще и математики в особенности. Увеличение возможностей теоретического изучения привело к изменению технологии научных исследований. Решение крупных научно-исследовательских проблем, таких как проблемы овладения ядерной энергией и освоения космоса, стало возможным лишь благодаря применению математического моделирования и новых численных методов, предназначенных для компьютеров.

В настоящее время можно говорить о появлении нового способа теоретического исследования сложных процессов, допускающих математическое описание, – вычислительный эксперимент, т.е. исследование проблем средствами вычислительной математики. Существо этого способа можно пояснить на примере решения некоторой проблемы.

На первом этапе формулируется задача, которую надо решать. Сначала выбирается некоторое приближение или содержательная модель процесса (физического, биологического, экономического и т.п.), решается вопрос о том, какие факторы надо учесть, а какими можно пренебречь.

Содержательной модели ставится в соответствие математическая модель, т.е.

математическое описание процесса с помощью алгебраических, дифференциальных, интегральных и других уравнений. Полученную математическую модель необходимо исследовать соответствующими математическими методами. Надо установить, правильно ли поставлена задача, хватает ли исходных данных, не противоречат ли они друг другу, существует ли решение поставленной задачи и единственно ли оно. На этом этапе используются методы классической математики.

Второй этап вычислительного эксперимента состоит в построении приближенного численного метода решении задачи, т.е. в выборе вычислительного алгоритма. Под вычислительным алгоритмом понимают последовательность арифметических и логических операций, при помощи которых находится приближенное численное решение математической задачи, сформулированной на первом этапе.

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 14 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.