WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 ||

В заключительной части статьи мы познакомим читатеДля доказательства существования предела (28) ля с весьма актуальной для различных разделов матемаобозначим для любого x 1 символом n = [x] наиболь- тики и ее приложений идеей получения так называемого СОРОСОВСКИЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ЖУРНАЛ, ТОМ 6, №1, МАТ Е МАТ ИКА асимптотического разложения функции. Эту идею lim g(y) = –, lim g(y) = +.

y –1 y + проиллюстрируем на модели получения асимптотичесНо при этих условиях для функции = g(y), определен (x + 1) кого разложения при x + функции --------------------, xx ной на полупрямой - 1 < y < +, существует обратная функция, которую обозначим символом y = ( ), опстоящей под знаком предела (30).

ределенная и возрастающая на бесконечной прямой Мы уже знаем, что эта функция является бесконеч- < < + и также имеющая в каждой точке проно малой при x +. Более глубокий анализ привоизводные любого порядка.

дит к необходимости выделения главной части этой Далее так как из (34) вытекает, что g(0) = 0, то и бесконечно малой функции и разложению этой глав (0) = 0, и поэтому функция y = ( ) отрицательна при 1.

ной части по степеням - < 0 и положительна при > 0.

x Фиксируем достаточно малое положительное чисКак известно, функция (x + 1) определяется интело a (выбор его будет уточнен ниже) и положим b = гралом (23):

= (- a), c = (a), так что a = g(c) = - g(b). Тогда b и c + удовлетворяют условиям - 1 < b < 0, c > 0.

(x + 1) = txe–tdt.

Разобьем интеграл, стоящий в правой части (35), на сумму трех интегралов:

Если сделать в этом интеграле замену переменной + b c + интегрирования, то есть от переменной интегрирова2 2 –xg2(y) e–xg (y)dy = e–xg (y)dy + dy + e–xg (y)dy. (37) ния t перейти к новой переменной y, определяемой ра e –1 –1 b c t венством t = x(1 + y), то, поскольку dt = xdy, y = -- – 1, x Из того, что функция g2(y) убывает при - 1 < y < 0 и возe- t = e- xe- xy, tx = xx(1 + y)x = xxexln(1 + y), получим, что растает при y > 0, и из равенства g2(b) = g2(c) = a2 выте+ кает, что первый и третий интегралы в правой части xx + (x + 1) = ---------- e–x[y – ln (1 + y)]dy. (33) (37) имеют при больших x порядок e–xa. Символически ex –это записывают как Введем в рассмотрение функцию g(y), определяеb + мую равенством 2 2 2 e–xg (y)dy = O(e–xa ), e–xg (y)dy = O(e–xa ), –1 c y – ln (1 + y) при 0 y < +, g(y) = (34) – y – ln (1 + y) при –1 < y < 0.

понимая под символом O(e–xa ), что для этой величины существует постоянная C (быть может, зависящая от a), Тогда g2(y) = y - ln(1 + y) для всех y > - 1 и интеграл (33) 2 можно переписать в виде такая, что O(e–xa ) Ce–xa.

+ Итак, равенство (37) можно переписать в виде xx + (x + 1) = ---------- e–xg (y)dy. (35) ex –+ c 2 –xg2(y) e–xg (y)dy = dy + O(e–xa ). (38) e Из того, что производная функции g2(y) –1 b d 1 y -----[g2(y)] = 1 – ----------- = ----------- (36) - -, Сделаем теперь в интеграле, стоящем в правой dy 1 + y 1 + y части (38), замену переменной интегрирования y на вытекает, что эта производная отрицательна при - 1 < новую переменную с помощью равенства y = ( ), < y < 0 и положительна при 0 < y < +. Отсюда следует, где y = ( ) – функция, обратная к функции = g(y).

что функция g2(y) убывает при - 1 < y < 0 и возрастает Так как при этом dy = '( )d, g(b) = - a, g(c) = a, то мы при 0 < y < +, а это означает, что сама функция g(y), получим, что определяемая равенством (34), возрастает на всей поc a лупрямой - 1 < y < +. –xg2(y) e–x '( )d. (39) e dy = Кроме того, можно убедиться, что у функции g(y) в b –a любой точке y полупрямой - 1 < y < + существуют производные любого порядка и для этой функции Из равенств (35), (38) и (39) получим, что ИЛЬИН В.А. СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И СКОРОСТЕЙ ВОЗРАСТАНИЯ ФУНКЦИЙ МАТ Е МАТ ИКА a 2 2 Используя символ суммирования, можно запи xx + (x + 1) = ---------- e–x '( )d + O(e–xa ). (40) сать формулу (41) более компактно:

ex –a 2n – (k + 1) Напомним, что функция ( ) имеет на всей бес (0) k 2n '( ) = --------------------- + O( ). (41') конечной прямой (и, в частности, в окрестности точk! k = ки = 0) производные любого порядка.

Будем теперь считать, что фиксированное нами Отсюда следует, что, какой бы номер n мы ни фиквыше положительное число a выбрано настолько масировали, для функции '( ) для всех достаточно малых лым, что всюду на интервале (- a, a) справедлива форпо модулю справедливо представление мула (41').

(2) (3) (0) (0) Вставляя (41') в правую часть (40), получим '( ) = '(0) + ---------------- + ---------------- + … 1! 2! a 2n – (k + 1) (2n) xx + 1 (0) k (0)- – 1 2n 2n (x + 1) = ---------- --------------------- e–x d + … + --------------------- + O( ), (41) (2n – 1)! ex k = 0 k! –a 2n 2n где O( ) обозначает величину порядка. a 2 2n + O(1) e–x d + O(e–xa ). (44) Формулу (41) называют в анализе формулой Мак лорена. Мы установим эту формулу, для простоты за–a высив требования, достаточные для ее справедливости.

Заметим, что интеграл в симметрических пределах Так как у функции ( ) в точке = 0 существует от - a до a от нечетной функции равен нулю, а от четной (2n + 1) производная (0), то, по определению, существует функции – двум интегралам в пределах от нуля до a.

предел Поэтому в правой части (44) отличны от нуля будут только слагаемые с четным k и, положив 2k = m, можно (2n) (2n) ( ) – (0) ------------------------------------------- = (2n + 1)(0).

переписать (44) в виде lim a n – 1 (2m + 1) Это означает, что функция аргумента xx +- (0) 2m (x + 1) = --------- ------------------------ 2 e–x d + ex m = 0 (2m)! (2n) (2n) (2n + 1) ( ) = ( ) – (0) – (0) ------------------------------------------a 2 2n + O(1) e–x d + O(e–xa ). (45) является бесконечно малой при 0, то есть спра- ведливо равенство (2n) (2n) (2n + 1) Убедимся теперь в том, что для каждого m = 1, 2, … ( ) = (0) + (0) + ( ). (42) справедливо равенство В этом равенстве два последних слагаемых представляa ют собой величину O( ) порядка, так что (42) можно 2 2m ----------------------------2 e–x d = (m + 11 2 2) + O(e–xa ). (46) переписать в виде xm + (2n) (2n) ( ) = (0) + O( ). (43) a Формула (41) получается из равенства (43) посредДействительно, представляя интеграл в виде разно ством (2n - 1)-кратного интегрирования равенства (43) по переменной в пределах от нуля до достаточно ма+ + лого t =. Так, интегрируя (43) один раз по в пределах сти интегралов – и замечая, что первый из этих от нуля до достаточно малого t, получим равенство 0 a (2n - 1) (2n - 1) (2n) (t) = (0) + (0)t + O(t2).

интегралов после замены переменной интегрирования Заменяя в последнем равенстве t на и снова проводя на новую переменную t, определяемую равенством интегрирование по в пределах от нуля до t, получим t = x, будет + + t t(2n – 2) (2n – 2) (2n – 1) (2n) (t) = (0) + (0)---- + (0)---- + O(t3). 2m -----------------------------, 1! 2! e–x d = ------------------ tm – 1 2e–tdt = (m + 11 2 2) 2xm + 1 2 xm + 0 Производя указанную процедуру 2n - 1 раз, мы и выведем формулу (41), справедливую для всех достаточно а второй из указанных интегралов при всех x 1 удовмалых по модулю. летворяет условию СОРОСОВСКИЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ЖУРНАЛ, ТОМ 6, №1, МАТ Е МАТ ИКА + + Дифференцируя далее (49), найдем 2 2 2 2m 2m e–x d e–(x – 1)a2 e– d Ce–xa = O(e–xa ), (3) 2 '( ) "( ) + "( ) '( ) + ( ) ( ) = a a = 2 '( ) + 2 '( ) + 2 "( ).

мы и получим соотношение (46).

Вставляя (46) в (45) и учитывая, что для любого ноПолагая в последнем равенстве = 0 и учитывая, что мера n величина O(e–xa ) тем более является величиной (0) = 0, '(0) = 2, получим, что 3 2 "(0) = 4 2, откуда "(0) = 4/3.

O -------------- (в силу существования при любых > 0 и a > xn + 1 Продолжая эти рассуждения далее, последователь(3) (4) равного нулю предела (28)), получим, что для любого но получим, что (0) = 2 3, (0) = –16 45, (5) номера n (0) = 2 9,...

(x + 1) = В заключение запишем равенство (47) для случая, n – когда x равно целому числу n, то есть (n + 1) = n!, вы(2m + 1) xx + 1 (0) (m + 1 2) писав в нем пять первых членов асимптотического раз= ---------- ------------------------------------------------------ + O --------------. (47) ex m = 0 (2m)!xm + 1 2 ложения:

xn + 1 Равенство (47) и дает искомое асимптотическое n 2 1 1 -- - - -- 139 - - n! = n 2 n 1 + ----- -- + -------- 1 – --------------- -- – - 12 n 288 n 51 840 n --------------------.

разложение для отношения (x + 1) При этом следует e xx отметить, что все входящие в (47) значения (m + 1/2) 4 571 1 (2m + 1) - – ----------------------- -- + O --.

и (0) последовательно вычисляются. При m = 2 488 320 n n + значение (1 2) = -----e–tdt заменой u = t приво В качестве литературы по этой теме рекомендуем t [1, гл. 3; 2, гл. 9, § 5] и для более углубленного изучения + 2 монографии [3, 4].

дится к известному интегралу Пуассона 2 e–u du = ЛИТЕРАТУРА =. Все последующие значения (m + 1/2), отвечаю1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа.

щие m = 1, 2, …, вычисляются с помощью (1 2) = 5-е изд. М.: Физматлит, 1998. Т. 1. 616 с.

и формулы (x + 1) = x (x).

2. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа.

3-е изд. М.: Физматлит, 1998. Т. 2. 448 с.

Для последовательного вычисления значений '(0), (2) (3) 3. Олвер Ф. Асимптотика и специальные функции. М.: Наука, (0), (0), … может быть использовано равенство 1990. 528 с.

(36). Действительно, учитывая, что функция y = ( ) 4. Олвер Ф. Асимптотические методы и специальные функявляется обратной по отношению к функции = g(y) и ции. М.: Наука, 1978. 376 с.

d g(y)что -----[g2(y)] = 2g(y)g'(y) = 2------------, придадим равенdy '( ) Рецензент статьи А.П. Маркеев ству (36) вид 2 ( ) * * * ------------ = --------------------, '( ) 1 + ( ) Владимир Александрович Ильин, доктор физико-маэквивалентный равенству тематических наук, профессор, зав. кафедрой общей математики факультета вычислительной математики ( ) '( ) = 2 + 2 ( ). (48) и кибернетики МГУ, главный научный сотрудник МатеПоследовательно дифференцируя равенство (48) и матического института им. В.А. Стеклова РАН, дейстполагая после каждого дифференцирования = 0, по вительный член РАН. Лауреат Государственной преочереди вычислим все производные функции ( ) в мии СССР. Автор более 230 научных публикаций по точке = 0. Так, дифференцируя (48) один раз, получим теории функций, теории дифференциальных уравнений и математической физике, университетских учеб[ '( )]2 + ( ) "( ) = 2 + 2 ( ) + 2 '( ). (49) ников по математическому анализу, аналитической Полагая в этом равенстве = 0 и учитывая, что (0) = 0, геометрии и линейной алгебре и монографии по спекполучим из него, что [ '(0)]2 = 2, то есть '(0) = 2. тральной теории дифференциальных операторов.

ИЛЬИН В.А. СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И СКОРОСТЕЙ ВОЗРАСТАНИЯ ФУНКЦИЙ

Pages:     | 1 ||






















© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.