WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 |
МАТ Е МАТ ИКА СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И СКОРОСТЕЙ ВОЗРАСТАНИЯ ФУНКЦИЙ В. А. ИЛЬИН Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова ВВЕДЕНИЕ COMPARISON OF INFINITESIMAL В математике и ее приложениях постоянно приходится SEQUENCES AND OF THE RATES иметь дело с простейшими элементарными функциями lnx, x (при > 0), ax (при a > 1), а также с функцияOF FUNCTIONS' GROWTH ми (x) и xx, где (x) – так называемая гамма-функция V. A. IL'IN Эйлера, совпадающая при x = n + 1, где n – натуральное число, с числом n!.

Relying on the comparison of the simplest Каждая из указанных пяти функций неограниченinfinitesimal sequences, the rates of growth но возрастает на полупрямой 1 x < +. При этом (as x + ) for the most important сразу же возникает необходимость сравнения между собой скоростей возрастания при x + указанных functions: ln x, x ( for > 0), ax ( for a > 1), функций. Более тонкие исследования приводят к неx ( x ) and x, the Stirling formula обходимости изучения поведения при x + отно (x + 1- = -------------[1 + (x)] with an asymp- шения указанных функций. Примером такого иссле-------------------) 2 x дования может служить установление так называемой xx ex формулы Стирлинга, утверждающей, что при больших x 1 totic expansion of (x) in the powers of -- is x (x + 1) 2 x -------------------- = -------------[1 + (x)], established.

xx ex где функция (x) стремится к нулю при x +, то Опираясь на сравнение простейших есть является бесконечно малой при x + функбесконечно малых последовательносцией.

тей, мы сравнили скорости возрастания Еще более глубокий анализ позволяет написать при x + важнейших функций ln x, сколько угодно членов разложения указанной бескоx (при > 0), ax (при a > 1), (x) и xx, а нечно малой при x + функции (x) по степеням также установили формулу Стирлинга 1 -- (такое разложение в математике принято называть (x + 1- = -------------[1 + (x)] с асимптотиче- x -------------------) 2 x асимптотическим).

xx ex В статье мы проведем изучение всех перечисленных вопросов, опираясь только на аппарат сравнения ским разложением (x) по степеням --.

x между собой бесконечно малых последовательностей чисел и на использование формулы бинома Ньютона.

СОРОСОВСКИЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ЖУРНАЛ, ТОМ 6, №1, Ильин В.А., © МАТ Е МАТ ИКА ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ является бесконечно малой.

Определение 1. Последовательность чисел a1, a2, …, Естественно возникает вопрос о сравнении скороan, …, кратко обозначаемая символом {an}, называется стей стремления к бесконечности каждой из трех функбесконечно малой, если для любого как угодно малого ций (1) при x + или, что то же самое, о сравнеположительного числа найдется номер N такой, что нии скоростей стремления к нулю каждой из трех все элементы an этой последовательности с номерами n, функций (2) при x +. В терминах последовательпревосходящими N, удовлетворяют неравенству |an| <.

ностей этот вопрос приводит к сравнению скоростей Из этого определения следует, что последовательстремления к нулю трех последовательностей (3).

ность {an} является бесконечно малой, если существует равный нулю предел lim an = 0.

Определение 3. Если две определенные на полупряn мой 1 x < + функции f(x) и g(x) являются бесконечОпределение 2. Функция f(x), определенная на поно большими (соответственно бесконечно малыми) лупрямой 1 x < +, называется бесконечно малой (соответственно бесконечно большой) при x +, при x +, то будем говорить, что функция g(x) явесли для любого как угодно малого положительного ляется при x + бесконечно большой более высочисла (соответственно для любого как угодно болького порядка (соответственно бесконечно малой бошого положительного числа A) найдется число x0 > f (xтакое, что для любого значения аргумента x, удовлетволее высокого порядка), чем f(x), если отношение ----------) g(x) ряющего условию x x0, справедливо неравенство | f(x)| < (соответственно | f(x)| > A).

g(x) (соответственно отношение ---------- ) является бесконечЭлементарно проверяется, что если функция f(x) f (x) является бесконечно большой при x +, то функно малой при x + функцией.

ция ---------- является бесконечно малой при x +.

Определение 4. Если {an} и {bn} – две бесконечно f (x) малые последовательности, то будем говорить, что поДействительно, фиксировав произвольное > 0 и следовательность {bn} является бесконечно малой более взяв A = 1/, получим, что в силу того, что функция f(x) является бесконечно большой при x +, найдется высокого порядка, чем {an}, если последовательность число x0 такое, что для всех x, удовлетворяющих усло bn вию x x0, справедливо неравенство | f(x)| > A = 1/, ---- является бесконечно малой, то есть если сущестan которое эквивалентно неравенству |1/f(x)| <.

Далее заметим, что если функция f(x), определенbn ---- = 0.

вует равный нулю предел lim ная на полупрямой 1 x < +, является бесконечно an n малой при x +, то числовая последовательность { f(n)} является бесконечно малой.

СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ Из курса средней школы известно, что каждая из ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ трех функций lnx, x (при > 0), ax (при a > 1) (1) Начнем со сравнения между собой бесконечно малых монотонно возрастает на полупрямой 1 x < + и последовательностей (3), добавив к ним еще две бескостремится к бесконечности при x +. Отсюда и из 11определения 2 вытекает, что каждая из трех функций нечно малые последовательности ---- и ---- 1. Ины n! nn (1) является бесконечно большой при x +. Поэтому каждая из трех функций ми словами, будем сравнивать между собой следующие пять бесконечно малых последовательностей:



1 1- --------, ---- (при > 0), ---- (при a > 1) (2) ln x x ax 11Бесконечная малость последовательностей ---- и ---- выявляется бесконечно малой при x +. Отсюда, в n! nn свою очередь, следует, что каждая из трех числовых по1- следовательностей текает из справедливых для всех номеров n неравенств ---- -n! n 1 1 1 1- 1 --------, ----- (при > 0), ---- (при a > 1) (3) ---- -- и бесконечной малости последовательности --.

и - ln n n n an nn n ИЛЬИН В.А. СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И СКОРОСТЕЙ ВОЗРАСТАНИЯ ФУНКЦИЙ МАТ Е МАТ ИКА n 1 1 1lim n = 1. (11) --------, ----- (при > 0), ---- (при a > 1) n ln n n an n (4) Так как при n > 1 справедливо неравенство n > 1, то для любого n > 1 существует число > 0 такое, что 1- 1n ----, ----.

n! nn n n = 1 +. (12) n Теорема 1. Каждая из пяти последовательностей Возводя обе части равенства (12) в степень n и исполь(4), начиная со второй, является бесконечно малой более зуя формулу бинома Ньютона (5), получим высокого порядка, чем последовательность, стоящая слева от нее. n(n – 1) n = (1 + )n = 1 + n + ------------------- + n n n Единственное, что нам понадобится для доказательства теоремы 1, – это формула бинома Ньютона, ут+ еще положительные члены.

верждающая, что для любого номера n и любого числа h Так как все члены правой части последнего равенnh n(n – 1)h - (1 + h)n = 1 + -- + ------------------- + … ства положительны, то, отбрасывая в правой части это1 1 го равенства все члены, кроме подчеркнутого, получим n(n – 1)…(n – k + 1) n!h n справедливое для любого n > 1 неравенство … + ---------------------------------------------------hk + … + ----. (5) k! n! -------------------n < n(n – 1) 2, Некоторое время назад эта важная формула была n исключена из обязательной программы средней школы, и мы предлагаем читателю самому доказать ее меиз которого следует, что < -----------, то есть что послетодом математической индукции, то есть проверить ее n n – справедливость при n = 1 и, предположив, что эта фордовательность { } является бесконечно малой. Отсюда n мула справедлива для номера n 1, убедиться, что в тав силу (12) вытекает существование предела (11), а поком случае эта формула справедлива и для следующего тому и предела (10), то есть существование предела (6) номера n + 1.

при = 1.

Для доказательства теоремы 1 в силу определения Для любого x > 1 обозначим символом [x] наибольдостаточно доказать существование четырех пределов:

шее целое число, содержащееся в x 2. Тогда если полоln n жить номер n равным [x], то будут справедливы неравен-------- = 0 (при > 0), lim (6) n n ства n x < n + 1. Из этих неравенств, из того, что n + 2n для всех номеров n, и из возрастания логарифмичеn---- ской функции получим для всех x > 1 неравенство lim = 0 (при > 0, a > 1), (7) n an ln x + 1) ln(2n- = ln2 ln n n -------- < ln(n ---------------) -------- + --------. (13) ---------------------- ax n n n n ---- = 0, lim (8) n! n Так как при x + и номер n = [x] также стреn! мится к бесконечности, то из неравенства (13), из уже ---- = 0.

lim (9) n nn доказанного существования предела (10) и бесконеч lnА. Начнем с доказательства существования предела ной малости последовательности -------- вытекает су n (6). Сначала рассмотрим частный случай = 1, то есть докажем существование предела ществование предела функции ln n ln x -------- = 0.

lim (10) lim -------- = 0. (14) n n x + x Убедимся теперь в том, что из существования пре-------- = ln Так как ln n n n, то в силу непрерывности логарифn дела функции (14) вытекает, что при любом фиксиромической функции y = lnx в точке x = 1 (то есть в силу ванном > 0 существует и предел функции того, что существует предел этой функции при x 1, Ибо положительная степень числа, большего единицы, явравный ее значению в точке x = 1: lim(ln x) = ln 1 = 0 ) x ляется числом, большим единицы.

достаточно доказать существование предела Число [x] обычно называют “антье x” (от фр. entier – целый).

СОРОСОВСКИЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ЖУРНАЛ, ТОМ 6, №1, МАТ Е МАТ ИКА ln x 1lim -------- = 0. (15) обе последовательности {an} и ---- являются беско x + n! x нечно малыми, а потому и их произведение является Действительно, сделав замену y = x, x = y1/, получим, бесконечно малой последовательностью.

что Обозначим символом [a] наибольшее целое число, ln x y1 - = ---ln y -------- = ln 1 --------. (16) -------------- содержащееся в a 1. Тогда для любого номера n, больx y y шего [a] + 2, справедливо равенство Из существования предела (14), неравенства (16) и из n a- = a a…------- ---------------- ---------------- a a. (21) a a a того, что y = x при любом фиксированном > 0 стре---- -- -- - -…----------- -- - n! 1 2 [a] [a] + 1 [a] + 2 n – 1 n мится к + при x +, вытекает существование предела функции (15), а из него, в свою очередь, вытеУчитывая, что в фигурных скобках в (21) стоит произкает существование предела последовательности (6) ведение положительных дробей, каждая из которых при любом > 0.

меньше единицы, мы получим для любого номера n, Б. Перейдем к доказательству существования пребольшего [a] + 2, неравенство дела (7). Так как a > 1, то существует число > 0 такое, n что a = 1 +. Обозначим через k наибольшее целое чис- a- a[a] + 1 1, ---- ------------- -ло, содержащееся в > 0, то есть положим k = [ ]. Ис- n! [a]! n пользуя формулу бинома Ньютона (5) для любого ноиз которого сразу вытекает существование равного нумера n, удовлетворяющего условию n > k + 2, получим лю предела (8).





an = (1 + )n = 1 + n + … Г. Докажем, наконец, существование предела (9).

Так как для любого номера n > 2 справедливо n(n – 1)(n – 2)…(n – k – 1) k + … + -------------------------------------------------------------------- + (k + 2)! n! = 1 2 3…---n---- -- -- -- (22) - - - + еще положительные члены. (17) nn n n n n! Оставляя в правой части (17) только один подчеркнуи так как в фигурных скобках в (22) стоит произведение тый член, получим неравенство положительных дробей, каждая из которых не превосходит единицы, то для любого номера n > -------------------------------------------------------------------an > n(n – 1)(n – 2)…(n – k – 1) k + 2. (18) (k + 2)! n! ---- 1, - -Далее заметим, что так как k = [ ], то справедливо неnn n равенство < k + 1 и потому для любого номера n имеет что и доказывает существование предела (9).

место неравенство n nk + 1. (19) СРАВНЕНИЕ СКОРОСТЕЙ ВОЗРАСТАНИЯ Из (18) и (19) вытекает, что для любого номера n, ПРИ x + ВАЖНЕЙШИХ ФУНКЦИЙ удовлетворяющего условию n > k + 2, справедливо неПерейдем к сравнению скоростей возрастания при равенство x + трех бесконечно больших при x + элеn- < (k + 2)! nk + 1 ментарных функций (1), добавив к ним еще две функ---- -------------------------------------------------------------------------------------- = k + n(n – 1)(n – 2)…(n – k – 1) ции: гамма-функцию Эйлера (x + 1) и функцию xx.

an Прежде всего дадим определение и кратко опишем простейшие свойства функции (x + 1). Эта функция 1 ------------------ = (k ++2)! -- -------------------------------------------------------------------. (20) k 2 для всех x > - 1 может быть определена через так назыn 1 2 k + 1 – -- 1 – -- … 1 – ----------- - ваемый несобственный интеграл - n n n + Так как номер k = [ ] фиксирован, то при n + txe–tdt, (23) дробь, стоящая в (20) в фигурных скобках, стремится к единице, а потому из неравенства (20) вытекает сущекоторый можно понимать как сумму двух пределов ствование равного нулю предела (7).

1 A В. Докажем теперь существование предела (8).

x x Прежде всего заметим, что существование этого преде- lim e–tdt + lim e–tdt. (24) t t 0 A + ла нужно доказывать только при a 1, ибо при 0 < a < ИЛЬИН В.А. СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И СКОРОСТЕЙ ВОЗРАСТАНИЯ ФУНКЦИЙ МАТ Е МАТ ИКА Можно показать, что первый из пределов (24) сущест- шее целое число, содержащееся в x. Тогда в силу того, вует для любого x > - 1, а второй из этих пределов – для что n x < n + 1 и n + 1 2n, получим любого x.

x- < (n + 1) ------------ n-.

----x ------------------- (2n)- = 2 ---Таким образом, функция (x + 1) определяется неa an an an собственным интегралом (23) для любого x > - 1.

Из последнего неравенства, из того, что n = [x] Далее легко видеть, что + при x +, и из существования предела + A последовательности (7) вытекает существование пре–t (1) = e–tdt = lim dt = lim [1 – e–A] = 1.

дела (28).

e A + A + 0 Существование предела (29) нужно доказывать Кроме того, интегрированием по частям взятого для только при a 1, ибо при 0 < a < 1 обе функции ax и любого x > 0 интеграла (23) устанавливается формула -------------------- являются бесконечно малыми при x +.

(x + 1) = x (x). (x + 1) Из этой формулы и из того, что (1) = 1, получаем, что Для доказательства существования предела (29) при для любого натурального числа n a 1 снова обозначим символом n = [x] наибольшее целое число, содержащееся в x, и заметим, что n x < (n + 1) = n!.

< n + 1. Из последних неравенств и неравенств (25) поБолее тонкий анализ показывает, что функция (x + 1) лучим, что возрастает на полупрямой 1 x < +.

+ 1 n ax - ---------- = aa-.

Отсюда следует, что для любого натурального n -------------------- an --- (x + 1) n! n! значения функции (x + 1), отвечающие значениям x, лежащим на сегменте n x n + 1, удовлетворяют неИз последнего неравенства, из того, что n = [x] + равенствам при x +, и из существования предела последовательности (8) вытекает существование предела (29).

n! (x + 1) (n + 1)!. (25) Остается доказать существование предела (30). СноЗаймемся теперь сравнением скоростей возрастава обозначим символом n = [x] наибольшее целое чисния при x + следующих пяти бесконечно больло, содержащееся в x. Используя неравенства n x < ших при x + функций:

< n + 1, n + 1 2n, xx nx nn и неравенства (25), полуlnx, x (при > 0), ax (при a > 1), (x + 1), xx. (26) чим, что для любого x > Теорема 2. Каждая из пяти функций (26), начиная (x + 1) (n + 1)! = 2 3 4…n n + 1. (31) со второй, является при x + бесконечно большой -------------------- ------------------ -- -- -- -- ----------- - - - - - более высокого порядка, чем функция, стоящая слева от xx nn n n n n n нее.

Так как все сомножители, стоящие в (31) в фигурДля доказательства теоремы 2 в силу определения достаточно доказать существование четырех пределов -----------ных скобках, не превосходят единицы, а дробь n + 1 не n ln x превосходит двух, то из (31) получим -------- = 0 (при > 0), lim (27) x x (x + 1) 4.

-------------------- -- (32) - xx n x- = lim ----x (при > 0, a > 1), (28) x a Из неравенства (32), из того, что n = [x] + при x +, и из бесконечной малости последоваax lim -------------------- = 0, (29) x (x + 1) тельности -- вытекает существование предела (30).

n (x + 1) - Теорема полностью доказана.

lim -------------------- = 0. (30) x xx ПОНЯТИЕ Существование предела (27), совпадающего с преОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ РАЗЛОЖЕНИЯХ делом (15), уже установлено выше (при доказательстве теоремы 1).

Pages:     || 2 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.