WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


МАТ Е МАТ ИКА МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В. А. БРУСИН Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет 1. ВВЕДЕНИЕ. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИСТЕМЫ MATRICES AND SYSTEMS В МАТРИЧНОЙ ФОРМЕ И РЕШЕНИЕ В НЕОСОБОМ СЛУЧАЕ OF LINEAR EQUATIONS Будем рассматривать систему из трех уравнений с треV. A. BRUSIN мя неизвестными:

a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1, The paper is a continuation of the paper a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2, (1) “Matrices as linear operators” and it is devoted a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3.

to matrix apparatus application to linear system solutions. In particular, if no such precise Если изначально имеется только одно или два уравнеsolution exists, then a solution of location ния, то недостающие уравнения можно приписать, повторив уже имеющиеся. Аналогично если имеются три problems is given. If no such minimal location уравнения, но только два неизвестных x1 и x2, то можно solution exists, then their innumerable set is дополнить эти уравнения членами с неизвестным x3 и given either.

нулевыми коэффициентами ai3, приведя систему к виду (1).

Статья является продолжением статьи Как известно [2, 3], решением системы (1) называ“Матрицы как линейные операторы” и по- ется тройка чисел (x1, x2, x3), которая после подстановки в систему (1) обращает каждое уравнение в тождестсвящена применению матричного аппараво. Известно также, что система (1) может иметь та к решению систем линейных уравнений.

единственное решение, бесчисленное множество реВ частности, дается решение проблем нашений или не иметь решений вообще. Ниже, испольхождения наилучшего приближенного резуя матричный аппарат и интерпретацию матриц как шения, если точных решений не существу- операторов [1], мы дадим геометрическую трактовку этим трем случаям.

ет, и нахождения минимальных решений, Введем в рассмотрение квадратную матрицу A, если их бесчисленное множество.

столбцы b и x:

a11 a12 a13 b1 x A = a21 a22 a23, b = b2, x = x2. (2) a31 a32 a33 b3 x Согласно правилам действий с матрицами [1, 2] (формула (8) из [1]), система (1) будет эквивалентна одному уравнению Ax = b. (3) Решением уравнения (3) считается столбец x (или трехмерный вектор x R3 с координатами x1, x2, x3), удовлетворяющий данному равенству как равенству двух СОРОСОВСКИЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ЖУРНАЛ, ТОМ 6, №1, Брусин В.А., © МАТ Е МАТ ИКА столбцов (или соответствующих векторов). Легко ви- где – нулевой вектор: = col(0, 0, 0).

деть, что если столбец x является решением уравнения Используя материал из [1], можно сказать, что (3), то набор (x1, x2, x3) будет решением системы (1), и N(A) – это множество всех тех точек пространства (или наоборот.

их радиусов-векторов), которые с помощью преобразоПусть A – неособая матрица [1–3]. Значит, сущест- вания TA переводятся в начало координат:

вует обратная матрица A- 1 (формулы (6), (7) из [1]). УмTA ножая на нее слева обе части равенства (3) и используя x N(A).

правила умножения матриц [1–3] (формулы (3)–(5) из Нетрудно проверить, что N(A) – это линейное прост[1]), а также факт, что A- 1A = E – единичная матрица, ранство. В случае неособой матрицы N(A) состоит из получаем равенство одной точки – начала координат.

x = A- 1b. (4) Определение 3. Областью значений R(A) или обраТаким образом, в этом случае имеется единственное зом матрицы A третьего порядка [3, 6] называется мнорешение, которое можно найти по формуле (4). (Заме- жество тех векторов-столбцов y, которые можно полутим, что, вычислив A- 1 [1, 2], можно с помощью форму- чить после применения матрицы A, то есть лы (4) быстро находить решения для различных столбy = Ax, x R3. (8) цов b.) Больше сложностей возникает в случае, когда мат- Переводя на язык преобразований [1], R(A) – это мнорица A особая. К этому случаю, в частности, приводят- жество точек (или радиусов-векторов), в которые переводятся точки пространства R3 преобразованием TA:

ся системы, у которых число уравнений не совпадает с числом неизвестных. Но именно такая ситуация наиTA x R3 y R(A).

более часто встречается в прикладных задачах [4].

Чтобы разобраться во всех возникающих вариантах Нетрудно проверить, что R(A) – линейное пространсти дать им геометрическое истолкование, потребуются во. Если A – неособая матрица, то R(A) = R3.

дополнительные сведения к тем, что приведены в [1].

Определение 4 [6]. Говорят, что пространство трехмерных векторов R3 разлагается в ортогональную сумму 2. ОСНОВНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА, R3 = L1 L2 линейных пространств L1 и L2, если:

ПОРОЖДАЕМЫЕ МАТРИЦЕЙ 1) любой ненулевой вектор из L1 ортогонален (перОпределение 1. Говорят, что множество векторов пендикулярен) любому (ненулевому) вектору из L2, то образует линейное пространство L, если удовлетворяесть L1 L2;

ются следующие условия:

2) любой трехмерный вектор a можно единствена) для любых векторов a, b L ным образом представить в виде суммы векторов из La + b L; (5) и L2:

б) для любого вектора a L и числа k a = a1 + a2, a1 L1, a2 L2.

k a L. (6) Пример. Пусть L1 – координатная плоскость. Тогда Замечание. Для двумерных и трехмерных векторов L2 – перпендикулярная ей ось координат. В этом случае указанные в (5), (6) действия определены в [1]. Опре- ai (i = 1, 2) – это вектор-проекции вектора a на коордиделение 1 справедливо и для векторов (столбцов) про- натную плоскость и ось координат соответственно. Есизвольной размерности, для которых эти операции с ли L1 – любая плоскость, проходящая через начало коуказанными в [1] свойствами также могут быть опреде- ординат, то L2 будет прямая, проходящая через начало лены [3, 5, 6].

координат и ей перпендикулярная.

Легко понять, что в качестве линейных пространств Определение 5 [2–6]. Матрица AT называется трехмерных векторов могут служить само трехмерное транспонированной к матрице A, если ее строки (столбпространство R3, множества радиусов-векторов, соцы) являются столбцами (строками) матрицы A с одиставляющих плоскости и прямые, и, наконец, начало наковыми номерами.

координат.

Лемма. Для любой матрицы A имеет место Определение 2. Аннулируемым пространством N(A) R3 = R(A) N(AT) = R(AT) N(A). (9) [6] матрицы A третьего порядка называется множество векторов-столбцов x R3, удовлетворяющих равенству Достаточно простое доказательство этой леммы Ax =, (7) приведено в приложении.

БРУСИН В.А. МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТ Е МАТ ИКА 3. РАССМОТРЕНИЕ СИСТЕМЫ (1) значение. Таким образом, НПР должно удовлетворять В СЛУЧАЕ ОСОБОЙ МАТРИЦЫ A соотношению Согласно изложенному выше, если матрица A особая Ax = b, b = npR(A)b. (10) (и ненулевая), то оператор TA переводит все точки (раСледующая теорема дает алгоритм для нахождения НПР.

диусы-векторы) пространства в некоторую плоскость Теорема 1. Вектор-столбец x есть НПР в том и или прямую, проходящие через начало координат. Тогтолько том случае, если он удовлетворяет уравнению да для системы (1) (или уравнения (2)) возможны два варианта:

AT Ax = ATb, (11) вариант I: b R(A);

или в другой форме – уравнению вариант II: b R(A).

AT = ATb, := Ax. (12) В первом варианте система решений не имеет. В этом случае возникает задача о нахождении прибли- При этом вектор определяется однозначно:

женного решения с наименьшей погрешностью – наи = b. (13) лучшего приближенного решения (НПР). Во втором варианте система будет иметь бесчисленное множество Замечание. Система (12) может иметь бесчисленрешений. Здесь очень часто возникает задача об отыс ное множество решений, и вектор x определяется некании вектора-решения наименьшей длины [4]: мини однозначно. Но вектор и, значит, невязка Ax – b бумального решения (МР). Рассмотрим решение этих задут вполне определенными.

дач в отдельности.

Доказательство. 1) Пусть x удовлетворяет (10). По скольку b – проекция вектора b на R(A), то b R(A) и 3.1. Нахождение наилучшего b b – b (см. рис. 1). Отсюда по лемме получаем приближенного решения b – b N(AT). Это значит, что AT(b – b) = 0, то есть справедливо (11);

Пусть x1 – произвольно выбранный вектор-столбец, который мы хотим рассматривать как приближенное 2) Наоборот, пусть x удовлетворяет уравнению (11).

решение (ПР) уравнения (2). Тогда за меру погрешнос- Тогда = Ax будет удовлетворять равенству (12). Сле ти такого ПР обычно принимают величину |b - Ax1|, то дует показать, что = b является проекцией вектора b есть длину вектора b - Ax1 (рис. 1). Если b R(A), то эта на R(A). По свойству проекций достаточно показать, величина больше нуля. Чем меньше эта величина, тем что b – (см. рис. 1). Из (11), (12) следует, что ПР считается точнее. Тогда наилучшим ПР (НПР) будет AT(b – ) = 0, то есть b – N(AT). Но R(A), зна такой вектор-столбец x, для которого величина |Ax - b| чит, согласно опять-таки лемме, b –, что и требобудет наименьшей. Возникает задача нахождения тако- валось доказать.

го вектора x. Обозначим через b проекцию вектора b Таким образом, согласно теореме 1, для того чтобы на плоскость R(A) (см. рис. 1). Очевидно, что искомый найти НПР, нужно найти любое решение системы (11).

вектор x должен удовлетворять равенству Ax = b. Ибо Заметим, что эта система относится к варианту II.

только в этом случае Ax – b R(A) и, следовательно, Замечание. Схема нахождения НПР x является од величина Ax – b принимает минимально возможное новременно и схемой проверки соотношения b R(A).

Если решение системы (11) будет удовлетворять исходM ной системе, то, значит, это соотношение верно и в действительности мы получили не ПР, а точное решение. В противном случае имеет место b R(A). Данная схема является альтернативной к ранговому критерию b теоремы Кронекера–Капелли [2, 3].

M Ax2 Пример 1. Рассмотрим систему --O x1 + x2 – x3 = 1, ^ M ^ ^ b = Ax Ax– x1 + 2x2 + 2x3 = 0, M3x2 + x3 = 0.

R(A) Легко видеть, что эта система несовместна. Найдем ее НПР. Имеем Рис. СОРОСОВСКИЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ЖУРНАЛ, ТОМ 6, №1, ^ b – b МАТ Е МАТ ИКА Замечание. Геометрически множество точек – кон1 –1 1 1 – цов радиусов-векторов x вида (16) представляет собой A =, AT =, 1 2 3 плоскость, перпендикулярную радиусу-вектору x –1 2 0 3 1 –1 2 R(A) и проходящему через его конец (рис. 2).

Доказательство теоремы 2. Пусть x R3 – про 1 2 –1 3 извольное решение системы. Согласно лемме, он мо b = ; AT A =, ATb =.

0 –1 14 6 1 жет быть однозначно представлен в виде суммы (16), 0 –3 6 –1 где x0 R(AT), x N(A), причем x0 x (см. рис. 2).

Вектор x0 будет решением исходной системы, так как Система (11) имеет вид Ax0 = A(x - x) = Ax - A x = Ax = b, x N(A). В силу перпендикулярности (и теоремы Пифагора) имеем |x|2 = x1 –2 –1 3 = |x0|2 + | x|2 (|a| – длина вектора a). Отсюда вытекает, что среди всех решений x0 имеет минимальную длину –1 14 6 x2 =.

(для него | x| = 0). То есть x0 есть МР и любое другое ре–3 6 6 x3 – шение имеет вид (16).

Исключая из первого и третьего уравнений x1, полуТеорема доказана.

чим последовательно 9x2 + 3x3 = 1, x1 = 1 – 4x2.

Полагая x2 = t свободным параметром, записываxем множество всех НПР в виде M x1 1 – 4t x M x2 = t, t R1.

x3 -- – 3t x xПроекция вектора b на R(A) вычисляется по формуле (12):

1 – 4t x1 1 –1 2 x = b = = –1 1 2 2 t.

0 3 1 -- – 3t 1 3 Рис. Мы видим, что этот вектор действительно вычисляется 4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ однозначно. Легко получить, что НПР минимальной Изложенная теория имеет прямое обобщение на n ----длины получается при t = 11.

уравнений с n неизвестными, n > 3, что и представляет действительный интерес для приложений [4]. Идейная, геометрическая часть при этом остается той же са3.2. Нахождение “минимального” решения мой – нужно только представить, что все действия проПусть теперь b R(A). Тогда справедлива следующая исходят в n-мерном пространстве. Техническая часть теорема.

теории, конечно, усложняется, но это усложнение в осТеорема 2. Минимальный по длине вектор-столбец новном носит количественный характер: при вычислеx0 решения уравнения (2) (МР) имеет вид нии длин векторов, произведений матриц и т.п. вместо трех слагаемых в соответствующих выражениях будут x0 = ATz, (14) присутствовать n слагаемых, отвечающих новым разгде z – любой вектор-столбец, удовлетворяющий уравмерностям. Более сложной по сравнению с трехмернынению ми матрицами [1] будет процедура нахождения обратной матрицы A- 1. Но здесь помогает наличие AATz = b. (15) стандартных компьютерных программ точного и приМножество всех решений будет иметь вид ближенного (в случае очень больших размерностей) x = x0 + x, x N(A). (16) отыскания A- 1.

БРУСИН В.А. МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТ Е МАТ ИКА ПРИЛОЖЕНИЕ Тогда x, Az = 0 для любого z R3. Отсюда получаем (I) Доказательство леммы основано на формуле [6] x, Az = ATx, z = 0. Но тогда ATx должен быть нулевым вектором, ибо в противном случае он должен быть x, Ay = ATx, y (I) перпендикулярным любому вектору z R3. Это и докадля любых векторов x, y Rn и матриц A n-го порядка, зывает наше утверждение.

где через a, b обозначено скалярное произведение Из доказанного вытекает, что размерность проствекторов-столбцов a = (a1, a2, …, an), b = (b1, b2, …, bn):

n ранства N(AT) дополняет размерность пространства R(A) до полной размерности, n = 3. Значит, R(A) a, b = aibi. В случае трехмерных векторов (n = 3) N(AT) = R3 и имеет место разложение x = x1 + x2, xi = известно, что два ненулевых вектора a и b перпендику- R(A), x2 N(AT), причем x1 = npR(A)x, x2 = npN(A )x.

T лярны в том и только том случае, если a, b = 0 [2–6] 1.

Формула (I) для n = 3 легко проверяется прямым выЛИТЕРАТУРА числением левой и правой частей.

1. Брусин В.А. Матрицы как линейные операторы // Соросов1. Пусть x1 R(A), x2 N(AT)– ненулевые трехмерский Образовательный Журнал. 2000. Т.6, № 1. С. 102–107.

ные векторы из соответствующих пространств. По оп2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры ределению этих пространств, и аналитической геометрии. М.: Наука, 1980. 175 с.

x1 = Az, z R3; ATx =. (II) 3. Курош А.Г. Лекции по общей алгебре. М.: Наука, 1973. 399 с.

4. Альберт А. Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оцеПокажем, что отсюда следует x1 x2. Вычислим скалярнивание. М.: Наука, 1977. 223 с.

ное произведение x1, x2. Подставляя в него соотноше5. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных ра(II) ботников и инженеров. М.: Наука, 1984. 831 с.

ния (II) и используя равенство (I), получаем x1, x2 = (I) 6. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1982. 270 с.

(II) (II) = Az, x2 = z, ATx2 = 0. Таким образом, x1 x2. Поскольку x1 и x2 – произвольные векторы пространств, Рецензент статьи В.А. Ильин отсюда следует R(A) N(AT).

2. Покажем теперь, что любой вектор x, перпенди- * * * кулярный R(A), принадлежит N(AT). Пусть x R(A).

Владимир Александрович Брусин, доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой высшей Это вытекает из известной формулы вычисления косинуса математики Нижегородского государственного архиугла между векторами a и b:

тектурно-строительного университета, член-корреспондент РАЕН. Область научных интересов – матемаaibi тические проблемы теории устойчивости и теории i = cos(a, b) = ----------------------------------------------------------------. управления. Автор более 160 научных статей и учебноa2 + a2 + a2 b2 + b2 + b1 2 3 1 2 3 го пособия.











© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.