WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Задачи по аналитической геометрии I. Векторная алгебра I.1. Скалярное, векторное и смешанное произведение 3 1. Длины векторов и b равны 1, скалярное произведение ( + b, -2 + 3 =.

b) 2 Найти скалярное произведение векторов и b.

2. Длина вектора равна 1, длина вектора b равна 2, а скалярное произведение (2 + b, -2 + 3 = 14. Найти скалярное произведение векторов и b.

b) 3. Длина вектора равна 3, длина вектора b равна 2. Найти скалярное произве дение ( + b, - b).

4. Длина вектора b равна 1, скалярное произведение ( + b, - b) равно 12, а скалярное произведение (, b) равно 3. Найти косинус угла между векторами и b.

5. Найти угол между векторами = {2, -2, 1} и b = {1, 1, 1}.

6. Найти углы параллелограмма ABCD, если известно, что A = (0, 1, 2), B = (2, 3, 5), D = (1, 2, 3).

7. Найти длины сторон треугольника ABC, если известно, что A(1, -1, 2), B(2, 0, 3), C(3, 1, 3).

8. Найти координаты проекции вектора {2, 2, 1} на плоскость x - y + z + 5 = 0.

9. Найти координаты проекции точки A(1, 2) на прямую x + y - 1 = 0.

10. Найти координаты проекции точки A(2, -3) на прямую x - 2y - 1 = 0.

11. Векторное произведение [-2 3+ равно 18. Найти векторное произведение b, b] [, b].

12. Площадь параллелограмма, натянутого на вектора и b, равна 2. Найти пло щадь параллелограмма, натянутого на вектора - 2 и 3 + b.

b 13. Найти площадь параллелограмма ABCD, если точки A, B, C имеют координаты A(1, 1, 0), B(4, 3, 4), C(3, 3, -1).

14. Даны вектора = {8, 4, 1} и b = {2, 2, -1}. Найти вектор c длины 2, перпен дикулярный векторам и b и направленный так, чтобы вектора, b, c образовывали левую тройку.

15. Найти нормаль к плоскости, проходящей через точки A(4, 3, 1), B(5, 5, 1), C(4, 4, 0).

16. Найти площадь треугольника, вершины которого находятся в точках A(-1, 0, -1), B(0, 2, -3), C(0, 2, -1).

17. Найти объем параллелепипеда ABCDA B C D, если его вершины имеют координаты A(4, 4, 1), B(4, 5, 2), D(3, 2, 1), A (5, 5, 2).

18. Какую ориентацию имеет тройка векторов = {1, 1, 1}, b = {8, 4, 1}, c = {2, 2, 1} 19. Компланарны ли вектора = {1, 1, 1}, b = {-1, 1, 3}, c = {3, 2, 1} 20. Найти высоту параллелепипеда ABCDA B C D, опущенную на грань ABCD, если его вершины имеют координаты A(3, 1, 3), B(4, 3, 4), D(1, 0, 2), A (4, 2, 5).

21. Найти объем тетраэдра ABCD, если его вершины имеют координаты A(4, 1, 2), B(5, 3, 3), C(2, 0, 1), D(5, 2, 4).

22. Даны вектора = {8, 4, 1} и b = {2, 2, -1}. Найти объем параллелепипеда, натянутого на вектора, b, [, b].

I.2. Прямые на плоскости 23. Даны точки A(1, 2), B(3, 4). Найти общее уравнение прямой, проходящей через середину отрезка AB перпендикулярно этому отрезку.

24. Даны точки A(2, 1), B(4, 5). Найти параметрическое уравнение прямой, проходящей через середину отрезка AB перпендикулярно этому отрезку.

25. Написать параметрическое уравнение прямой 4x + y - 5 = 0.

26. Принадлежит ли точка (1, -1) прямой x = -t y = 1 + 5t 27. Написать общее уравнение прямой x = 5t - y = 3.

28. Написать общее и параметрическое уравнение прямой, проходящей через точки (1,2) и (4,-5).

29. Найти точку пересечения высот треугольника ABC, вершины которого имеют координаты A(1, 1), B(3, 2) и C(1, -2).

30. Стороны треугольника имеют уравнения 2x - 5y + 5 = 0, x - y - 2 = 0 и x - 4y + 4 = 0. Найти уравнения всех медиан.

31. Найти уравнение прямой, перпендикулярной прямой 4x - y - 1 = 0 и проходящей через точку (1, 1).

32. Установить взаимное расположение прямых 3x - y + 5 = 0 и 6x - 2y + 1 = 0.

33. Написать уравнения прямых, пересекающих прямую 2x+3y -5 = 0 под углом 45 градусов и проходящих через точку (1,2).

34. Найти угол между прямыми x - y + 3 = 0 и 2x - 3y + 1 = 0.

35. Найти расстояние от точки (1, 2) до прямой -x + 3y + 3 = 0.

36. Найти расстояние между прямыми -x + 3y - 1 = 0 и 2x - 6y - 5 = 0.

37. Написать уравнения биссектрис углов между прямыми x + 2y - 1 = 0 и 2x + 3y + 2 = 0.

38. Написать уравнения касательных к окружности с центром в точке (0,1) радиуса 1, параллельных прямой 5x + 3y - 15 = 0.

39. Найти точку, симметричную точке O(0, 0) относительно прямой 5x + 3y - 15 = 0.

40. Стороны AB и AC треугольника ABC имеют уравнения 2x+y = 0 и 3x+5y+7 = 0 соответственно. Найти координаты всех вершин треугольника, зная, что основание высоты, опущенной из вершины A, имеет координаты (3, 1).

I.3. Плоскости 41. Даны точки A(1, 2, 1) и B(3, 2, 3). Написать уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка AB перпндикулярно этому отрезку.

42. Найти общее уравнение плоскости, проходящей через точки A(2, 4, 3), B(3, 6, 4), C(1, 1, 2).

43. Найти параметрическое уравнение плоскости, проходящей через точки A(2, 4, 3), B(2, 5, 4), C(1, 2, 3).

44. Написать параметрическое уравнение плоскости 3x + 4y + z - 8 = 0.

45. Найти высоту параллелепипеда ABCDA B C D, опущенную на грань BCC B, если точка A имеет координаты A(0, 1, 2), а грань BCC B содержится в плоскости x + y + z + 1 = 0.

46. Дана плоскость x-y+z-1 = 0. Найти уравнение плоскости, перпендикулярной данной и проходящей через точки (1, 1, 0) и (0, 1, 2).

47. Найти угол между плоскостями 4x - y - z = 0 и x + 5y + 2z + 1 = 0.

48. Найти координаты проекции вектора {-1, 3, 0} на плоскость 2x-3y+z-1 = 0.

49. Найти расстояние между плоскостями 3x-2y-3z +5 = 0 и 9x-6y-9z -5 = 0.

50. Найти расстояние между плоскостями x = 1 + u + v, y = 2 + u, z = 3 + u - v и x = 1 + 4u, y = 3u + v, z = 4 + 2u + 2v.

I.4. Прямые в пространстве 51. Написать параметрическое уравнение прямой, проходящей через точки (1, 1, 1) и (1, 2, 3).

52. Дана прямая x = 5t - y = 3t - z = t - 1.

Написать параметрическое уравнение прямой, проходящей через точку (1, 1, 1) параллельно данной.

53. Написать каноническое уравнение прямой, проходящей через точки (1, 2, 3) и (1, -1, 2).

54. Написать каноническое уравнение прямой, перпендикулярной плоскости x + y - 1 = 0 и проходящей через точку (1, 1, 1).

55. Найти расстояние между параллельными прямыми x = 2 + 4t, y = -6t, z = -1 - 8t и x = 7 - 6t, y = 2 + 9t, z = 12t.

56. Найти расстояние между скрещивающимися прямыми x = 1 + 2t, y = 2 - 2t, z = -t и x = -2t, y = -5 + 3t, z = 4.

57. Найти угол между прямыми x = 1 + 2t, y = 7 + t, z = 3 + 4t и x = 6 + 3t, y = -1 - 2t, z = -2 + t.

58. Найти расстояние от точки (1, 2, 4) до прямой x = t, y = 1 - 2t, z = 3 + t.

59. Написать параметрическое уравнение прямой 2x - 3y - 3z - 9 = x - 2y + z + 3 = 0.

60. Написать уравнение множества точек, равноудаленных от скрещивающихся x-1 y-2 z x y+5 z-прямых = = и = =.

2 -2 -1 -2 3 61. Написать уравнение множества точек, равноудаленных от параллельных пряy y-x-2 z+1 x-7 z мых = = и = =.

4 -6 -8 -6 9 62. Найти уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B, если вершины треугольника расположены в точках A(1, -1, 0), B(1, 2, -1), C(2, -3, 2).

63. Найти уравнение плоскости, проходящей через прямые x = t, y = -8 - 4t, z = -3 - 3t и x = -1 + t, y = 4 - 4t, z = 3 - 3t.

64. Найти уравнение плоскости, проходящей через прямые x = -2 + 3t, y = -1, z = 4 - t и x = t + 12, y = t + 1, z = 2t + 4.

65. Лежит ли прямая x = t, y = t + 1, z = -2t + 1 в плоскости x + y + z = 0 y-x-12 z-66. Найти угол между прямой = = и плоскостью 3x + 5y - z - 2 = 0.

4 3 y-x+1 z 67. Найти уравнение проекции прямой = = на плоскость 3x-3y+2z-5 = 2 4 0.

68. Найти уравнение медианы треугольника ABC, проведенной из вершины A, y-x-1 z-3 x-6 y+1 z+если стороны AB и AC имеют уравнения = = и = = 2 1 4 3 -2 соответственно, а сторона BC лежит в плоскости x + y + z = 0.

69. Найти уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины A, если y+1 y x+2 z-4 x-11 z-стороны AB и AC имеют уравнения = = и = = соответственно, 3 0 -1 1 1 а сторона BC лежит в плоскости x + 2y + z - 1 = 0.

70. Найти уравнение биссектрисы треугольника ABC, опущенной из вершины y y-x+3 z-4 x-9 z-A, если стороны AB и AC имеют уравнения = = и = = -1 4 1 -4 -2 соответственно, а сторона BC лежит в плоскости x + y + z = 0.

II. Кривые второго порядка 71. Написать уравнение эллипса, оси которого параллельны осям координат и который касается осей Ox и Oy в точках (4, 0) и (0, 1) соответственно.

72. Найти точки пересечения с осями координат эллипса, большая полуось которого равна 4, малая полуось равна 3, центр находится в точке (3,2), а оси параллельны осям координат.

73. Написать уравнение эллипса, фокусы которого лежат на прямой x + y = 0, центр совпадает с началом координат, а большая и малая полуоси равны 3 и соответственно.

74. Написать уравнение эллипса, фокусы которого расположены в точках (3, 3) и (-1, -1), а большая полуось равна 3.

75. Написать уравнение эллипса с фокусами (-4, 0) и (4, 0), проходящего через точку (-3, - 15).

76. Написать уравнение гиперболы, проходящей через точку (1, 0), асимптотами которой являются прямые x = 0, y = 1.

77. Написать уравнение гиперболы с фокусами (-2, 0) и (2, 0), проходящей через точку (- 5, 2).

78. Написать уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на прямой x - y = 0, центр совпадает с началом координат, а полуоси равны 2.

79. Найти фокусы и директрису параболы x2 - y + 2 = 0.

80. Написать уравнение параболы с фокусом (3, 0) и директрисой x = -1.

81. Определить тип и расположение линии x2 - y2 - 4x + 2y + 2 = 0.

82. Определить тип и расположение линии x2 - y2 - 3x + 5y - 4 = 0.

83. Определить тип и расположение линии 25x2 + 9y2 - 100x + 54y - 44 = 0.

84. Определить тип и расположение линии 4x2 - y2 - 16x + 6y + 23 = 0.

85. Определить тип и расположение линии 3x2 + 12x + 16y - 12 = 0.

86. Привести кривую к каноническому виду 2x2 + 4xy + 5y2 - 4x - 16y + 5 = 0.

87. Привести кривую к каноническому виду 2x2 + 4xy - 5y2 - 4x - 18y - 5 = 0.

88. Привести кривую к каноническому виду 4x2 - 4xy + y2 + 3y - 1 = 0.

89. Привести кривую к каноническому виду 5x2 - 4xy + 2y2 + 2x - 4y + 5 = 0.

90. Привести кривую к каноническому виду x2 + 4xy + 4y2 - 2x - 4y + 1 = 0.

III. Поверхности второго порядка 91. Определить координаты центра и найти радиус сферы x2 + y2 + z2 - 12x + 4y - 6z = 0.

92. Написать уравнение круглого цилиндра, проходящего через точку (1, 2, -2), y-x z+осью которого служит прямая = =.

1 2 93. Написать уравнение поверхности круглого конуса, вершина которого находится в точке (1, 1, 1), направляющий вектор оси {2, -2, -1}, а угол образующих конуса с осью равен.

yx94. Определить аффинный тип линии пересечения параболоида - = 2z и 9 плоскости 2x - 3y + 6 = 0.

95. Определить аффинный тип линии пересечения гиперболоида x2 + y2 - z2 = и плоскости x + y + z = 0.

96. Определить вид и расположение поверхности x2 + 4y2 +9z2 - 6x+8y - 36z = 0.

97. Определить вид и расположение поверхности 4x2 -y2 - z2 + 32x- 12z +44 = 0.

98. Определить вид и расположение поверхности 3x2 - y2 + 3z2 - 18x + 10y + 12z + 14 = 0.

99. Определить вид и расположение поверхности 6y2 +6z2 +5x+6y +30z -11 = 0.

100. Определить вид и расположение поверхности 4x2 + y2 - 4xy - 36 = 0.

101. Написать каноническое уравнение поверхности и найти каноническую систему координат: 4x2 + y2 + 4z2 - 4xy + 4yz - 8xz - 28x + 2y + 16z + 45 = 0.

102. Написать каноническое уравнение поверхности и найти каноническую систему координат: 2x2 + 5y2 + 2z2 - 2xy - 4xz + 2yz + 2x - 10y - 2z - 1 = 0.

103. Написать каноническое уравнение поверхности и найти каноническую систему координат: 7x2 + 7y2 + 16z2 - 10xy - 8yz - 8xz - 16x - 16y - 8z + 72 = 0.

104. Написать каноническое уравнение поверхности и найти каноническую систему координат: 4x2 + 4y2 - 8z2 - 10xy + 4yz + 4xz - 16x - 16y + 10z - 2 = 0.

105. Написать каноническое уравнение поверхности и найти каноническую систему координат: 2x2 - 7y2 - 4z2 + 4xy + 20yz - 16xz + 60x - 12y + 12z - 90 = 0.

106. Написать каноническое уравнение поверхности и найти каноническую систему координат: 7x2 + 6y2 + 5z2 - 4xy - 4yz - 6x - 24y + 18z + 30 = 0.

107. Написать каноническое уравнение поверхности и найти каноническую систему координат: 2x2 + 2y2 - 5z2 + 2xy - 2x - 4y - 4z + 2 = 0.

108. Написать каноническое уравнение поверхности и найти каноническую систему координат: 2x2 + 2y2 + 3z2 + 4xy + 2yz + 2xz - 4x + 6y - 2z + 3 = 0.

109. Написать каноническое уравнение поверхности и найти каноническую систему координат: x2 + 5y2 + z2 + 2xy + 2yz + 6xz - 2x + 6y + 2z = 0.

110. Написать каноническое уравнение поверхности и найти каноническую систему координат: x2 - 2y2 + z2 + 4xy + 4yz - 10xz + 2x + 4y - 10z - 1 = 0.

111. Написать каноническое уравнение поверхности и найти каноническую систему координат: 2x2 + y2 + 2z2 - 2xy + 2yz + 4x + 4z = 0.











© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.