WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 1. Пусть первообразный корень нечетной степени n из 1. Доказать, что - первообразный корень степени 2n из 1.

2. Пусть первообразный корень степени 2n из 1. Вычислить 1 + +...+ n-1.

3. Вычислить произведение всех комплексных корней n-ной степени из 1.

4. Вычислить сумму всех комплексных корней n-ной степени из 1.

5. Пусть комплексные числа z1, z2, z3 соответствуют вершинам параллелограмма A1, A2, A3. Найти число, соответствующее вершине, противоположной A2.

6. Пусть – комплексное число, r и s – взаимно простые целые числа и r = s = 1. Доказать, что = 1.

7. Доказать, что если – первообразный корень степени n из 1, то тоже первообразный корень степени n из 1.

8. Используя формулу Муавра, выразить cos 4x через cos x и sin x.

9. Изобразить на комплексной плоскости множество комплексных чисел z, удовлетворяющих условию |z - (1 + i)| 1.

10. Вычислить (1 + cos + i sin )n.

11. Изобразить на комплексной плоскости корни шестой степени из единицы. Указать первообразные корни.

12. Решить уравнение x5 + 243 = 0.

13. Доказать, что если |z| 1, то |z2 - z + i| 3.

ОПЕДЕЛИТЕЛИ и МАТРИЦЫ 14. Вычислить сумму всех определителей пятого порядка, в каждой строке которого один элемент равен 1 и остальные элементы равны нулю. Сколько существует таких определителей 15. Умножить справа перестановку (123)(456) на перестановку (36) и перестановку (123456) на (36).

16. Доказать, что ранг произведения двух матриц не превосходит ранга сомножителей.

17. Доказать, что ранг суммы матриц не превосходит суммы рангов этих матриц.

18. Пусть A – квадратная матрица и Ei1A = AEi1 для всех i. Доказать, что A = E для некоторого числа. (Eij квадратная матрица у которой в i-той строчке и j -том столбце стоит единица, а все остальные элементы нулевые.) 1 19. Пусть квадратная матрица A перестановочна со всеми невырожденными матрицами (т.е. AB = BA). Доказать, что A = E для некоторого числа.

20. Доказать, что след (сумма диагональных элементов) произведения двух квадратных матриц не зависит от порядка сомножителей.

-21. Для каких чисел имеет решение матричное уравнение X-1Y XY = E 22. Пусть A треугольная вещественная матрица (aij = 0 при i > j). Доказать, что если AtA = AAt, то A диагональная матрица.

23. Доказать, что если матрица E + AB обратима, то и матрица E + BA обратима.

24. Пусть матрица A имеет размеры m n и ранг m. Доказать, что существует матрица B размера n m такая, что BA = E.

25. Пусть A и B – матрицы одинакового размера над одним и тем же полем. Доказать, что если ранг A равен рангу B, то можно преобразовать A в B элементарными преобразованиями.

26. Пусть A, B квадратные матрицы одинакового порядка. Доказать, что уравнение AX = B имеет единственное решение тогда и только тогда, когда det A = 0.

МНОГОЧЛЕНЫ, ТЕОРЕМА ВИЕТА.

27. Определить число так, чтобы один из корней многочлена x3 -7x+ равнялся удвоенному другому.

28. Разложить x12 + x8 + x4 + 1 на неприводимые множители над R.

29. Выразить через элементарные симметрические многочлены (x1x2 + x3)(x1x3 + x2)(x2x3 + x1).

30. Выразить через элементарные симметрические многочлены (1 - x1)(1 - x2)(1 - x3).

31. Доказать, что значение всякого симметрического многочлена с целыми коэффициентами от корней степени n из единицы является целым числом.

32. Доказать приводимость над Q многочлена x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1.

33. Разложить x4 + 4 на линейные множители над Q, R, C.

34. Отделить кратные корни многочлена x3 + x2 - x - 1.

35. Доказать неприводимость многочлена x4 + 1 над Q.

36. Написать многочлен четвертой степени, корнями которого являются кубы корней многочлена x4 - x - 1.

37. Найти наибольший общий делитель многочлена и его производной (x - 1)3(x + 1)2(x + 2).

38. Найти сумму квадратов всех корней многочлена x4 - x2 - x - 1.

39. Разложить x6 - x3 + 1 на неприводимые множители над R.

40. Вычислить число вещественных корней многочлена x3 - 3x - 1.

41. Пусть p –простое число. Доказать неприводимость многочлена xp-1 +... + x + над Q.

42. Найти сумму квадратов всех корней многочлена 3x2 + 2x - 1.

x x2 xn 43. Доказать, что 1 + + +... + не имеет кратных корней.

1! 2! n! 44. Доказать, что неприводимые над полем рациональных чисел многочлены, имеющие общий комплексный корень, равны.

45. Доказать, что неприводимые над Q многочлены не имеют кратных комплексных корней.

46. Пусть c – комплексный корень кратности k многочлена с вещественными коэффициентами. Доказать, что c – также корень этого многочлена и той же кратности.

47. Написать многочлен червертой степени, корнями которого являются квадраты корней многочлена x4 + 2x3 - x + 3.

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА.

48. Пусть V – векторное пространство, S и T – его подпространства и V = S T.

Доказать, что V = S или V = T.

49. Доказать линейную независимость функций sin t, cos t.

50. Доказать линейную независимость функций 1, sin t, cos t.

51. Доказать линейную независимость функций sin t, sin 2t,..., sin nt.

52. Доказать, что функции tk, tl,...,tr линейно независимы, если вещественные числа k, l,...,r различны.

53. Доказать, что если число строк больше длины строки, то система строк линейно зависима.

54. Найти систему линейных уравнений, задающую линейное подпространство, натянутое на систему векторов (1, 2, 0, 1), (1, 1, 1, 0).

55. Вектор u имеет в базисе v1 v2 v3 строчку координат (1, 2, 3). Вычислить его строчку координат в базисе v1 + v2 + v3, v1 + v2, v3.

56. Привести пример подпространств S, T, R векторного пространства, удовлетворяющих условию (S + T ) R = (S R) + (T R).

57. Доказать, что векторы v1, v2,..., vn образуют базис векторного пространства, если все векторы через них линейно выражаются, и хотя бы один вектор выражается через них однозначно.

58. Пусть S и T – подпространства векторного пространства V, S T. Доказать, что dimS dimT и если dimS = dimT, то S = T.

59. Найти базис и размерность линейной оболочки системы векторов a1 = (4, 3, -1, 1, -1), a2 = (2, 1, -3, 2, -5), a3 = (1, -3, 2, 0, -1), a4 = (1, 5, -2, 2, -6).

60. Найти базис суммы и базис пересечения двух линейных оболочек: Lin(v1, v2) и Lin(u1, u2), где v1 = (1, 2, 1, 0), v2 = (-1, 1, 1, 1), u1 = (2, -1, 0, -1), u2 = (1, -1, 3, 7).

61. Написать матрицу перехода от базиса a1 = (1, 3), a2 = (3, 10) к базису b1 = (0, 1), b2 = (1, 1).

62. Дополнить до базиса пространства R4 систему векторов (1, 1, 1, 0), (0, 1, 1, 1).

63. Из системы векторов (1, 2, 0, 0), (1, 2, 3, 4), (2, 4, 3, 4), (3, 6, 0, 0) выделить базис их линейной оболочки.

64. Для подпространств S и T унитарного пространства доказать, что S = S и (S + T ) = S T.

65. Доказать, что если две системы векторов ортогональны, то ортогональны и их линейные оболочки.

ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 66. Написать матрицу дифференцирования в пространстве многочленов степени t2 tn не более n от одного неизвестного в базисе 1, t,,...,. Вычислить характе2 n! ристический и минимальный многочлен этого преобразования и доказать, что при n > 1 оно не имеет базиса из собственных векторов.

67. Доказать, что каждое линейное преобразование унитарного пространства можно записать в виде 1 + i2, где 1 и 2 самосопряженные преобразования.

68. Пусть линейное преобразование векторного пространства V удовлетворяет условию 2 - 3 + 2 = 0. Пусть S = {v||v = v} и T = {v||v = 2v}. Доказать, что S и T инвариантные подпространства преобразования и V = S T.

Написать жорданову матрицу этого преобразования.

69. Пусть линейное преобразование векторного пространства V удовлетворяет условию 2 =. Пусть S = {v||v = v} и T = {v||v = -v}. Доказать, что S и T инвариантные подпространства преобразования и V = S T. Написать жорданову матрицу этого преобразования.

70. Доказать, что если линейное преобразование обратимо, то ()-1 = (-1).

71. Линейное преобразование пространства размерности 3 имеет два собственных вектора и одно собственное значение. Написать жорданову матрицу этого преобразования.

72. Доказать, что минимальный многочлен клеточно диагональной матрицы равен наименьшему общему кратному минимальных многочленов диагональных клеток.

73. Линейное преобразование имеет в ортонормированном базисе матрицу E+4E12.

Является ли оно самосопряженным Имеет ли оно ортонормированный базис собственных векторов (Eij квадратная матрица у которой в i-той строчке и j -том столбце стоит единица, а все остальные элементы нулевые.) 74. Доказать, что для любого линейного преобразования унитарного пространства, преобразования и самосопряженные.

75. Пусть все векторы пространства являются собственными векторами преобразования. Доказать, что = для некоторого числа из основного поля.

76. Доказать, что коммутирующие линейные преобразования ( = ) комплексного векторного пространства имеют общий собственный вектор.

77. Пусть S инвариантное подпространство линейного преобразования унитарного пространства. Доказать, что S инвариантно относительно сопряженного преобразования.

78. Указать два не подобных линейных преобразования вещественного векторного пространства размерности 2, имеющих равные характеристические многочлены.

79. В пространстве всех многочленов от одного неизвестного над полем пусть дифференцирование: (f(t)) = f(t), и µ умножение на t: µ(f(t)) = t · f(t).

Доказать, что и µ линейные преобразования. Имеет ли место равенство µ = µ Найти преобразование µ - µ.

80. Линейное преобразование пространства размерности 4 имеет 3 собственных вектора и одно собственное значение. Без вычислений написать жорданову матрицу этого преобразования.

81. Доказать, что каждое линейное преобразование вещественного векторного пространства имеет инвариантное подпространство размерности 1 или 2.

КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ 82. Написать матрицу квадратичной формы A(f(t), f(t)) = f(t)2dt в базисе 1, t, t2,t пространства многочленов степени не более 3 с вещественными коэффи2 циентами.

83. Пусть A матрица положительно определенной вещественной квадратичной формы. Доказать, что существует обратимая матрица S, такая, что A = StS.

84. Квадратичная форма называется отрицательно определенной, если A(v, v) < при всех v = 0. Доказать, что квадратичная форма будет отрицательно опре деленной тогда и только тогда, когда знаки угловых миноров ее матрицы чередуются.

ГРУППЫ, КОЛЬЦА, ПОЛЯ 85. Доказать, что если a2 = e для любого элемента a группы, то эта группа абелева.

86. Образует ли группу множество положительных действительных чисел с операцией x y = x2y2.

a b 87. Показать, что матрицы вида где a и b действительные числа, обра-b a, зуют поле, изоморфное полю комплексных чисел.

88. Доказать, что конечное коммутативное кольцо без делителей нуля, содержащее более одного элемента, является полем.

89. Показать, что кольцо вычетов по модулю n будет полем тогда и только тогда, когда n число простое.

x + 2z = 90. Решить систему уравнений y + 2z = 2 в поле вычетов по модулю 3 и по 2x + z = 1.

модулю 5.

91. Найти наибольший общий делитель многочленов 5x3 + x2 + 5x + 1, 5x2 + 21x + над полем вычетов по модулю 5.

92. Многочлен x5 + x3 + x2 + 1 разложить на неприводимые множители над полем вычетов по модулю 2.

93. Найти все многочлены третьей степени от x со старшим коэффициентом 1, неприводимые над полем вычетов по модулю 3.

94. Найти все многочлены второй степени от x со старшим коэффициентом 1, неприводимые над полем вычетов по модулю 3.

95. Разложить на неприводимые множители над полем вычетов по модулю 2 все многочлены третьей степени от x.

96. Пусть примитивный элемент поля порядка 4. Выразить линейно 2 через и.

97. Доказать, что многочлен x3 - x - 1 неприводим над полем Z3 и его корень не будет примитивным элементом порядка 9.

n 98. Доказать, что число 11 иррациональное, где n целое положительное число больше единицы.

99. Найти базис и размерность поля C, как векторного пространства над R.

100. Доказать, что любая конечная подгруппа мультипликативной группы поля является циклической.

101. Доказать,что минимальное подполе любого поля характеристики нуль изоморфно полю рациональных чисел.

102. Доказать,что минимальное подполе любого поля характеристики p изоморфно полю вычетов по модулю p.

ЕВКЛИДОВЫ И УНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 103. Доказать, что если скалярный квадрат любого вектора евклидова пространства равен сумме квадратов координат этого вектора, то базис, в котором берутся координаты, ортонормированный.











© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.