WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Уравнения математической физики 1. Привести к каноническому виду уравнение 4y2uxx - e2xuyy + 5ux = 0.

2. Привести к каноническому виду уравнение ux - uy uxx + yuyy + = 0, (y > 0).

2 3. Привести к каноническому виду уравнение tg2(x)uxx - 2ytg(x)uxy + y2uyy + uy = 0, - < x <.

2 2 4. Привести к каноническому виду уравнение y2uxx + 2xyuxy + 2x2uyy + 3ux = 0.

5. Привести к каноническому виду уравнение y2uxx + x2uyy = 0.

6. Привести к каноническому виду уравнение с тремя независимыми переменными uxx + 6uxy + uyy - 2uyz + uzz + ux - 4uy = 0.

7. Привести к каноническому виду уравнение с тремя независимыми переменными uxz - 4uxy + 6ux = 0.

8. Привести к каноническому виду уравнение с тремя независимыми переменными 2uxy + uyy + 4uyz + uzz - 5uz = 0.

9. Привести к каноническому виду уравнение с тремя независимыми переменными uxy + 8uyz + 2ux + 3uy = 0.

1 10. Найти общее решение уравнения uxx - 4 cos(x)uxy - 4 sin2(x)uyy + 2 sin(x)uy = 0.

11. Найти общее решение уравнения uxx - 6 sin(x)uxy - 9 cos2(x)uyy - 3 cos(x)uy = 0.

12. Найти общее решение уравнения uxx + 18uxy + 81uyy + 5ux + 45uy = 0.

13. Найти общее решение уравнения uxx + 10uxy + 9uyy + 2(ux + uy) = 0.

14. Найти решение уравнения uxx + 2uxy + uyy = 0, удовлетворяющее условиям u(x, 0) = 0, uy(x, 0) = 3x.

15. Найти решение уравнения uxx + 2uxy - 3uyy = 0, удовлетворяющее условиям u(x, 0) = 12x2, uy(x, 0) = 0.

16. Неограниченная струна выведена из состояния покоя локальным начальным отклонением, имеющим вид:

0, x [2l, 4l], / x (x) = 2 cos - 1, x [2l, 4l] 2 l Начальная скорость отсутствует.

kl a) Построить профиль струны в моменты времени tk =, 4a k = 0, 1, 3, 4, 6.

b) Написать аналитическую формулу u(x, t), представляющую проl филь струны при 0 < t <.

a 17. Неограниченная струна выведена из состояния покоя локальным начальным отклонением, имеющим вид:

0, x [0, 2h], / (x) = -x2 + 2hx, x [0, 2h] Начальная скорость отсутствует.

hk a) Построить профиль струны в моменты времени tk =, 4a k = 0, 1, 2, 4, 5.

b) Написать аналитическую формулу u(x, t), представляющую проh филь струны при t >.

a 18. Неограниченной струне сообщена на отрезке [c, 2c] поперечная начальная скорость v0 = const, вне этого отрезка начальная скорость равна нулю. Начальное отклонение отсутствует.

kc a) Нарисовать профиль струны в моменты времени tk =, 4a k = 0, 1, 2, 4, 6.

b) Написать аналитическую формулу u(x0, t), представляющую закон движения точки струны с абсциссой x0 > 2c.

19. Неограниченной струне сообщена на отрезке [-h, h] поперечная начальная скорость (x) = x + h, вне этого отрезка начальная скорость равна нулю. Начальное отклонение отсутствует.

hk a) Нарисовать профиль струны в моменты времени tk =, 4a k = 0, 1, 3, 5.

b) Написать аналитическую формулу u(x0, t), представляющую закон движения точки струны с абсциссой x0 < -h.

20. Неограниченной струне сообщена поперечная начальная скорость 0, x [0, 2l], / (x) = 2l - x, x [0, 2l].

Начальное отклонение отсутствует.

kl a) Построить профиль струны в моменты времени tk =, 4a k = 0, 1, 3, 5, 7.

b) Написать аналитическую формулу u(x0, t), представляющую закон движения точки струны с абсциссой 0 < x0 < l.

21. Полуограниченная струна (0 < x < +) закреплена в точке x = 0. В начальный момент времени профиль струны описывается функцией x [l, 3l], / 0, (x) = - l, x [l, 2l], x 3l - x, x [2l, 3l].

Начальная скорость отсутствует. Нарисовать профиль струны в kl моменты времени tk =, k = 0, 2, 4, 6, 8.

4a 22. Полуограниченная струна (- < x < 0) закреплена в точке x = 0. В начальный момент времени профиль струны описывается функцией 0, x [-2h, -h], / (x) = 4(x + 2h)(x + h), x [-2h, -h].

Начальная скорость отсутствует. Нарисовать профиль струны в hk моменты времени tk =, k = 0, 2, 4, 6, 8.

4a 23. Полуограниченная струна (0 < x < +) со свободным левым концом выведена из состояния покоя локальным начальным отклонением 0, x [l, 2l], / x (x) = -4 sin, x [l, 2l] l Начальная скорость отсутствует. Нарисовать профиль струны в kl моменты времени tk =, k = 0, 1, 4, 6, 8.

4a 24. Полуограниченная струна (0 < x < +) со свободным левым концом выведена из состояния покоя локальным начальным отклонением 0, x [l, 3l], / (x) = (l - x)(x - 3l), x [l, 3l] Начальная скорость отсутствует. Нарисовать профиль струны в kl моменты времени tk =, k = 0, 2, 4, 6, 8.

4a 25. Решить задачу Коши utt = uxx + 10t, u|t=0 = sin(x), ut|t=0 = 4x.

26. Решить задачу Коши utt = a2uxx + cos(x), u|t=0 = 2x2, ut|t=0 = ex.

27. Решить задачу Коши utt = 4uxx + xt, u|t=0 = e2x, ut|t=0 = 4x3.

28. Решить задачу Коши (n = 2) utt = a2u, u|t=0 = (x + y)2, ut|t=0 = (x + y)2.

29. Решить задачу Коши (n = 2) utt = a2u + x2 + 2ty, u|t=0 = x + sin(y), ut|t=0 = 0.

30. Решить задачу Коши (n = 2) utt = 4u + x3 - 3xy2, u|t=0 = ex cos(y), ut|t=0 = ey sin(x).

31. Решить задачу Коши (n = 2) utt = a2u, u|t=0 = 2x2 - 3y2, ut|t=0 = 2x2 + 3y2.

32. Решить задачу Коши (n = 2) utt = 9u + xyt, u|t=0 = x, ut|t=0 = x2 - y2.

33. Решить задачу Коши (n = 2) utt = u + xyet, u|t=0 = 3x2y - y3, ut|t=0 = 2.

34. Решить задачу Коши (n = 2) utt = u + sin(t), u|t=0 = 3x + 4y, ut|t=0 = 6xy.

35. Решить задачу Коши (n = 3) utt = a2u, u|t=0 = (x + z)2, ut|t=0 = y.

36. Решить задачу Коши (n = 3) utt = u + 2xyzt, u|t=0 = x2 + y2 - 2z2, ut|t=0 = 5z.

37. Решить задачу Коши (n = 3) utt = u + 2 cos(t), u|t=0 = x2 - z2, ut|t=0 = y.

38. Решить задачу Коши (n = 3) utt = 4u + xt, u|t=0 = x2 + y2 + z2, ut|t=0 = sin(y).

39. Решить задачу Коши (n = 3) utt = 16u + t2(x + z), u|t=0 = sh(y), ut|t=0 = cos(z).

40. Решить задачу Коши (n = 3) utt = u + e4t, u|t=0 = arctg(2x), ut|t=0 = y2 + z.

41. Решить задачу Коши (n = 3) utt = u, u|t=0 = x3 + z3, ut|t=0 = 4ey.

42. Решить задачу Коши (n = 1) ut = a2uxx + sin(t), u|t=0 = e-x.

43. Решить задачу Коши (n = 1) ut = 4uxx + t + et, u|t=0 = 2.

44. Решить задачу Коши (n = 2) ut = u + sin(t), u|t=0 = xye-x.

45. Отклонение от положения равновесия однородной струны, закрепленной на концах x = 0 и x =, в начальный момент времени задается функцией (x) = sin(7x). Определить отклонение u(x, t) струны для любого момента времени, если начальная скорость отсутствует.

46. Найти продольные колебания стержня, у которого оба конца x = и x = свободны, если u|t=0 = cos(2x);

ut|t=0 = 3 cos(5x).

47. Решить методом Фурье 7x utt = 4uxx + 3t sin, (0 < x < l) 2l u|x=0 = 0, ux|x=l = 0, x 5x u|t=0 = 0, ut|t=0 = 2 sin + 7 sin.

2l 2l 48. Решить методом Фурье utt = 16uxx + xt, (0 < x < 2) u|x=0 = 0, u|x=2 = 0, 5x u|t=0 = sin(x) + 2 sin, ut|t=0 = 0.

49. Решить методом Фурье utt = 25uxx + cos(17x) ch(3t), 0 < x < ux|x=0 = 0, u|x=/2 = 0, u|t=0 = 0, ut|t=0 = cos(x) + 4 cos(9x).

50. Решить методом Фурье 5x utt = a2uxx + 2e3t sin, (0 < x < 2) u|x=0 = 0, ux|x=2 = 0, u|t=0 = 0, ut|t=0 = v0, (v0 = const).

51. Решить методом Фурье 5x utt = 9uxx + A cos sin(2t), (0 < x < l, A = const) 2l ux|x=0 = 0, u|x=l = 0, x u|t=0 = 0, ut|t=0 = 3 cos.

2l 52. Решить методом Фурье utt = 49uxx + B, (0 < x <, B = const) ux|x=0 = 0, ux|x= = 0, u|t=0 = 2 cos(40x), ut|t=0 = cos(40x) + 6 cos(50x).

53. Решить методом Фурье utt = 4uxx + t sin(3x), (0 < x < ) u|x=0 = 0, u|x= = 0, hx, x [0, c] c u|t=0 =, ut|t=0 = 0.

h(-x), x [c, ] -c (h = const, c = const, 0 < c < ) 54. Решить методом Фурье utt = uxx + 5 cos(4x)e4t, (0 < x < ) ux|x=0 = 0, ux|x= = 0, u|t=0 = 0, ut|t=0 = 2 cos(3x) + 4 cos(10x).

55. Решить методом Фурье utt = uxx + u, (0 < x < 2) u|x=0 = 2t, u|x=2 = 0, u|t=0 = 0, ut|t=0 = 0.

56. Решить методом Фурье utt = uxx, (0 < x < 1) u|x=0 = t + 1, u|x=1 = t3 + 2, u|t=0 = x + 1, ut|t=0 = 0.

57. Решить методом Фурье utt = uxx + 4u + 2 sin2(x), (0 < x < ) ux|x=0 = 0, ux|x= = 0, u|t=0 = 0, ut|t=0 = 0.

58. Решить методом Фурье x utt = uxx + Ae-t sin, (0 < x < l) l u|x=0 = 0, u|x=l = 0, 3x u|t=0 = 0, ut|t=0 = sin.

l 59. Решить методом Фурье utt = uxx, (0 < x < ) u|x=0 = t, u|x= = 0, u|t=0 = sin(x) cos(x), ut|t=0 = 1.

60. Решить методом Фурье utt = uxx, (0 < x < l) ux|x=0 = 0, ux|x=l = e-t, u|t=0 = 0, ut|t=0 = 0.

61. Решить методом Фурье utt - uxx - 2ut = 4t(sin(x) - x), 0 < x < u|x=0 = 3, ux|x=/2 = t2 + t, u|t=0 = 3, ut|t=0 = x + sin(x).

62. Решить методом Фурье utt - uxx + 2ut = 4x + et cos(3x), 0 < x < ux|x=0 = 2t, u|x=/2 = t, u|t=0 = 0, ut|t=0 = 5 cos(x).

63. Решить задачу о свободных колебаниях прямоугольной мембраны (0 < x < s), (0 < y < p) utt = a2(uxx + uyy), u|x=0 = u|x=s = 0, u|y=0 = u|y=p = 0, 3x 4y u|t=0 = 0, ut|t=0 = 5 sin sin.

s p 64. Решить задачу о свободных колебаниях прямоугольной мембраны (0 < x < s), (0 < y < p) utt = uxx + uyy, u|x=0 = ux|x=s = 0, u|y=0 = uy|y=p = 0, u|t=0 = Axy, ut|t=0 = 0.

65. Решить задачу о свободных колебаниях прямоугольной мембраны (0 < x < s), (0 < y < p) utt = uxx + uyy, ux|x=0 = u|x=s = 0, u|y=0 = u|y=p = 0, x y u|t=0 = cos sin, ut|t=0 = 0.

2s p 66. Дан тонкий однородный стержень (0 < x < 2l), боковая поверхность которого теплоизолирована. Найти распределение температуры u(x, t) в стержне, если концы стержня теплоизолированы, а начальное распределение температуры задается формулой u0 = const, x [0, l] u|t=0 = 0, x [l, 2l].

67. Решить методом Фурье ut = a2uxx, (0 < x < l) u|x=0 = u|x=l = 0, u|t=0 = x(l - x).

68. Решить методом Фурье ut = uxx + 3 sin(2x), (0 < x < ) u|x=0 = u|x= = 0, u|t=0 = 10 sin(x) + sin(7x).

69. Решить методом Фурье ut = 4uxx + xt, (0 < x < 2) ux|x=0 = u|x=2 = 0, x u|t=0 = cos.

70. Решить методом Фурье ut = uxx + sin(4x) sin(x), (0 < x < ) ux|x=0 = ux|x= = 0, u|t=0 = cos(3x).

71. Дан тонкий однородный стержень (0 < x < l), боковая поверхность которого теплоизолирована. Найти распределение температуры u(x, t) в стержне, если концы стержня поддерживаются при постоянных температурах u|x=0 = u1, u|x=l = u2, а начальное распределение температуры задается формулой x2u2 (l - x)uu|t=0 = +.

l2 l 72. Решить методом Фурье ut = uxx, (0 < x < l) ux|x=0 = 1, u|x=l = 0, u|t=0 = 0.

73. Решить методом Фурье ut = uxx + u + 2 sin(2x) sin(x), 0 < x < ux|x=0 = u|x=/2 = 0, u|t=0 = 0.

74. Решить методом Фурье ut = uxx + 4u + x2 - 2t - 4x2t + 2 cos2(x), (0 < x < ) ux|x=0 = 0, ux|x= = 2t, u|t=0 = 0.

75. Решить методом Фурье ut - uxx - u = xt(2 - t) + 2 cos(t), (0 < x < ) ux|x=0 = ux|x= = t2, u|t=0 = cos(2x).

76. Решить методом Фурье ut - uxx - 9u = 4 sin2(t) cos(3x) - 9x2 - 2, (0 < x < ) ux|x=0 = 0, ux|x= = 2, u|t=0 = x2 + 2.

77. Решить методом Фурье ut = uxx + 6u + 2t(1 - 3t) - 6x + 2 cos(x) cos(2x), 0 < x < ux|x=0 = 1, u|x= = t2 +, u|t=0 = x.

78. Решить методом Фурье ut = uxx + u - x + 2 sin(2x) cos(x), 0 < x < u|x=0 = 0, ux|x= = 1, u|t=0 = x.

79. Решить методом Фурье ut = uxx + 6u + x2(1 - 6t) - 2(t + 3x) + cos(2x), (0 < x < ) ux|x=0 = 1, ux|x= = 2t + 1, u|t=0 = x.

80. Дан тонкий однородный стержень (0 < x < ), боковая поверхность которого теплоизолирована. Найти распределение температуры u(x, t) в стержне, если концы стержня поддерживаются при постоянной температуре u|x=0 = u|x= = u1, начальная температура u|t=0 = u1 + 4x( - x).

81. Найти функцию гармоническую внутри единичного круга с центром в начале координат и такую, что u|r=1 = cos2().

82. Найти функцию гармоническую внутри круга радиуса R с центром в начале координат, если u|r=R = 2 cos(2) cos(3).

83. Найти функцию гармоническую внутри единичного круга с центром в начале координат и такую, что u|r=1 = cos4().

84. Найти функцию гармоническую внутри единичного круга с центром в начале координат и такую, что u|r=1 = sin3().

85. Найти функцию гармоническую внутри круга радиуса R с центром в начале координат и такую, что u|r=R = sin2().

86. Найти функцию гармоническую внутри круга радиуса r = 2 с центром в начале координат и такую, что u|r=2 = sin(3) cos2().

87. Найти функцию гармоническую внутри круга радиуса r = 2 с центром в начале координат и такую, что u|r=2 = sin(4) sin(8).

88. Найти функцию гармоническую внутри круга радиуса r = 2 с центром в начале координат и такую, что u|r=2 = 10 cos(10) cos(20).

89. Найти функцию гармоническую в кольце 1 < r < 2 с центром в начале координат, если u|r=1 = 3 + 2 sin(3), u|r=2 = sin().

90. Найти функцию гармоническую в кольце 1 < r < 2 с центром в начале координат, если u|r=1 = 3 cos(5), u|r=2 = cos2().

91. Найти функцию гармоническую в кольце 1 < r < 2 с центром в начале координат, если u|r=1 = 4 cos() sin(5), u|r=2 = 0.

92. Найти функцию гармоническую в кольце 1 < r < 3 с центром в начале координат и такую, что u|r=1 = 1 + sin() cos(), u|r=3 = sin2() + 6 sin().

93. Решить уравнение Пуассона u = 12(x2 - y2) в кольце 1 < r < 2, если u|r=1 = 0, u|r=2 = 0.

94. Решить уравнение Пуассона u = -4xy в круге радиуса r = 1 с центром в начале координат, если u|r=1 = 0.

95. Решить уравнение Пуассона u = -x2 в круге радиуса r = 2, если u|r=2 = 0.

96. Найти решение уравнения Пуассона u = -2 в прямоугольнике (0 < x < 2), (0 < y < 1), если оно на границе этой области обращается в нуль.

97. Найти функцию Грина задачи Дирихле для полупространства (z > 0) в R3.

98. Найти функцию Грина задачи Дирихле для шара радиуса R в R3.

99. Найти функцию Грина задачи Дирихле для полушара (z > 0, |z| < R) в R3.

100. Найти функцию Грина задачи Дирихле для двугранного угла (y > 0, z > 0) в R3.











© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.