WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 Учебный центр «Резольвента» Кандидат физико-математических наук, доцент С. С. САМАРОВА ФИГУРЫ НА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ, ЗАДАННЫЕ НЕРАВЕНСТВАМИ Учебно-методическое пособие для подготовки к ЕГЭ и ГИА по математике © С. С. Самарова, 2010 © ООО «Резольвента», 2010 Начнем с рассмотрения простых задач.

Задача 1. Изобразить на координатной плоскости XOY фигуру M, состоящую из точек, координаты которых удовлетворяют неравенству xy < 0.

Решение. Поскольку xy < 0 x < 0, y > 0 x > 0, y < 0, { } { } { } то фигура M является объединением 2-го и 4-го квадрантов координатной плоскости (рис.1).

1 ООО «Резольвента»,www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 Рис.1 Задача 2. Изобразить на координатной плоскости XOY фигуру M, состоящую из точек, координаты которых удовлетворяют неравенству 2x + 3y > 6. (1) Решение.

Рис.2 Преобразуем сначала неравенство (1) к равносильной форме:

2 ООО «Резольвента»,www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 2 y > - x + 2, (2) 3 и нарисуем на координатной плоскости XOY график функции 2 y = - x + 2, (3) 3 представляющий собой прямую линию (рис.2).

Прямая линия (3) делит плоскость на две полуплоскости верхнюю и нижнюю. Докажем, что координаты каждой точки, лежащей в верхней полуплоскости, удовлетворяют неравенствам (1) и (2), а координаты каждой точки, лежащей в нижней полуплоскости, удовлетворяют неравенству 2x + 3y < 6, а также равносильному ему неравенству 2 y < - x + 2. (4) 3 С этой целью проведем через произвольную точку B, лежащую в верхней полуплоскости, прямую l, параллельную оси OY, и обозначим точку пересечения прямых l и (3) буквой A. Координаты x0; y0 точки A связаны соотношением ( ) y0 = - x0 + 2, а точка B имеет координаты x0; y1, причем выполняется неравенство y1 > y0, ( ) а вместе с ним и неравенство (2). Совершенно аналогично доказывается, что координаты каждой точки, лежащей в нижней полуплоскости, удовлетворяют неравенству (4).

Следовательно, фигура M, заданная неравенством (1), изображается так, как показано на рис. 3.

ООО «Резольвента»,www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-Рис. Задача 3. Изобразить на координатной плоскости XOY фигуру M, состоящую из точек, координаты которых удовлетворяют неравенству y > x2 -1. (5) Решение. Парабола y = x2 -1, ветви которой направлены вверх (рис. 4), делит плоскость на две части внутренность параболы и внешность параболы.

Рис. ООО «Резольвента»,www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-Почти дословно повторяя доказательство, проведенное при решении задачи 2, заключаем, что координаты каждой точки, лежащей во внутренности параболы, удовлетворяют неравенствам (5), а координаты каждой точки, лежащей во внешности параболы, удовлетворяют неравенству y < x2 -1.

Следовательно, фигура M, заданная неравенством (5), изображается так, как показано на рис. 5.

Рис. Задача 4. Изобразить на координатной плоскости XOY фигуру M, состоящую из точек, координаты которых удовлетворяют неравенству y < x + 2. (6) Решение. График функции y = x + изображен на рис. 6. Почти дословно повторяя доказательство, проведенное при решении задач 2 и 3, заключаем, что фигура M, заданная неравенством (6), изображается так, как показано на рис. 7.

ООО «Резольвента»,www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-Рис. Рис. Задача 5. Изобразить на координатной плоскости XOY фигуру M, состоящую из точек, координаты которых удовлетворяют неравенству x2 + y2 < 4. (7) Решение. Уравнение с двумя переменными x2 + y2 = ООО «Резольвента»,www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-задает на координатной плоскости окружность радиуса 2 с центром в начале координат. Эта окружность делит плоскость на две части внутренность круга и внешность круга. Каждая точка, лежащая вне круга, отделена от начала координат на расстояние, большее, чем 2, а каждая точка, лежащая внутри круга, отделена от начала координат на расстояние, меньшее, чем 2. Следовательно, фигура M, заданная неравенством (7), является внутренностью круга (рис. 8) Рис. Задача 6. Изобразить на координатной плоскости XOY фигуру M, состоящую из точек, координаты которых удовлетворяют неравенству y2 + xy - 6x2 > 0. (8) Решение. Разложим многочлен, стоящий в левой части неравенства (8) на множители. С этой целью, решая относительно y уравнение y2 + xy - 6x2 = 0, получаем -x ± x2 + 24x2 -x ± 5x y2 + xy - 6x2 = 0 y = = y1 = -3x, y2 = 2x.

2 Таким образом, разложение на множители многочлена из левой части неравенства (8) имеет вид:

ООО «Резольвента»,www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-y2 + xy - 6x2 = y + 3x y - 2x.

( )( ) Следовательно, y2 + xy - 6x2 > 0 y + 3x y - 2x > ( )( ) y + 3x > 0, y + 3x < 0, y > -3x, y < -3x, y - 2x > 0 y - 2x < 0 y > 2x y < 2x, и задача сводится к изображению фигуры, заданной неравенствами:

y > -3x, y < -3x, (9) y > 2x y < 2x Для того, чтобы изобразить на координатной плоскости фигуру, заданную неравенствами (9), нарисуем на координатной плоскости прямые y = -3x и y = 2x. Эти прямые проходят через начало координат и делят координатную плоскость на 4 части (рис. 9).

Рис. Точки, координаты которых удовлетворяют системе (9), а, тем самым, и неравенству (8), изображены на рис. 10. При этом точки, координаты которых, удовлетворяют системе неравенств ООО «Резольвента»,www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-y > -3x, y > 2x, лежат в верхней части фигуры M, а точки, координаты которых, удовлетворяют системе неравенств y < -3x, y < 2x, лежат в нижней части фигуры M.

Рис. Задача 7. Изобразить на координатной плоскости XOY фигуру M, состоящую из точек, координаты которых удовлетворяют неравенству y ( - x -1 y + 2x - 4 < 0. (10) )( ) Решение. Левая часть неравенства (10) уже разложена на множители, поэтому y - x -1 > 0, y - x -1< 0, y ( - x -1 y + 2x - 4 < 0 )( ) y + 2x - 4 < 0 y + 2x - 4 > y > x +1, y < x +1, y < -2x + 4 y > -2x + 4, и задача сводится к изображению фигуры, заданной неравенствами:

ООО «Резольвента»,www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-y > x +1, y < x +1, (11) y < -2x + 4 y > -2x + 4.

Для того, чтобы изобразить на координатной плоскости фигуру, заданную неравенствами (11), нарисуем на координатной плоскости прямые y = x +1 и y = -2x + 4. Эти прямые проходят через точку с координатами x =1; y = 2 и ( ) делят координатную плоскость на 4 части (рис. 11).

Рис. Точки, координаты которых удовлетворяют системе (11), а, тем самым, и неравенству (10), изображены на рис. 12.

Рис.ООО «Резольвента»,www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-При этом точки, координаты которых, удовлетворяют системе неравенств y > x +1, y < -2x + 4, лежат в левой части фигуры M, а точки, координаты которых, удовлетворяют системе неравенств y < x +1, y > -2x + 4, лежат в правой части фигуры M.

Задача 8. Изобразить на координатной плоскости XOY фигуру M, состоящую из точек, координаты которых удовлетворяют неравенству y - x > x. (12) x -Решение. Преобразуем сначала неравенство (12) к равносильной форме:

y - x y - x y - x - x2 + x y - x> x - x > 0 > 0 > x -1 x -1 x -1 x -.

- x2 > 0, y - x2 < 0, y > x2, y < x2, y x -1 > 0 x -1< 0 x >1 x < Теперь нарисуем на координатной плоскости две линии: параболу y = x2 и прямую x =1 (рис. 13).

Рис. Фигура M, заданная неравенством (12), изображена на рис.14.

ООО «Резольвента»,www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-Рис. Задача 9. Изобразить на координатной плоскости XOY фигуру M, состоящую из точек, координаты которых удовлетворяют неравенству 1- y> x. (13) x Решение. Преобразуем сначала неравенство (13) к равносильной форме:

1- y2 1- y2 1- y2 - x2 x2 + y2 -> x - x > 0 > 0 < x x x x.

x2 + y2 -1< 0, x2 + y2 >1, x2 + y2 <1, x2 + y2 -1 > 0, x < 0 x > 0 x < 0 x > Теперь нарисуем на координатной плоскости две линии: окружность радиуса с центром в начале координат, задаваемую уравнением x2 + y2 =и прямую (ось ординат), задаваемую уравнением x = 0 (рис. 15).

ООО «Резольвента»,www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-Рис. Фигура M, заданная неравенством (13), изображена на рис.16.

Рис. Задача 10. Изобразить на координатной плоскости XOY фигуру M, состоящую из точек, координаты которых удовлетворяют неравенству xy > 2. (14) Решение. Напомним, что при делении неравенства на положительное число, знак неравенства сохраняется, а при делении неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный. Заметим также, что коООО «Резольвента»,www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-ординаты точек, лежащих на оси ординат, задаваемой уравнением x = 0, не удовлетворяют неравенству (13). Поэтому неравенство (14) можно преобразовать к следующей равносильной форме:

x > 0 x < xy > 2 2 y > x y < x Теперь изобразим на координатной плоскости гиперболу y = и прямую (ось x ординат) x = 0 (рис. 17).

Рис. Фигура M, заданная неравенством (14), изображена на рис.18.

Рис. ООО «Резольвента»,www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-Задача 11. Фигура M задана на координатной плоскости неравенствами:

2 x y x +1. (15) Изобразить фигуру M и найти её площадь.

Решение. Фигура M имеет вид, изображенный на рис. 19, и состоит из двух равных треугольников OAB и OBC, вершины которых имеют следующие координаты: A = 1;2, B = 0;1, C = ( ) ( ) (-1;2.

) Рис. В треугольнике OAB основание OB равно 1, и высота, опущенная из вершины A на основание, равна 1. Следовательно, площадь треугольника OAB равна, а площадь фигуры M равна 1.

Задача 12. Фигура M задана на координатной плоскости неравенствами:

4 x - 2 y 3 - x.

Изобразить фигуру M и найти её площадь.

Решение. Фигура M имеет вид, изображенный на рис. 20, и состоит из двух равных треугольников OAB и OBC, вершины которых имеют следующие координаты: A = 1;2, B = 0;3, C = ( ) ( ) (-1;2.

) ООО «Резольвента»,www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-Рис. В треугольнике OAB основание OB равно 3, и высота, опущенная из вершины A на основание, равна 1. Следовательно, площадь треугольника OAB равна, а площадь фигуры M равна 3.

Задача 13. Фигура M задана на координатной плоскости неравенствами:

x -1 y 2 - x.

Изобразить фигуру M и найти её площадь.

Решение. Фигура M имеет вид, изображенный на рис. 21, и является прямоугольником ABCD, вершины которого имеют следующие координаты:

-1 3 3, A = 1;0, B = ; C = 0;3, D = ;.

( ) ( ) 2 2 2 ООО «Резольвента»,www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-Рис. Поэтому, 2 1 3 9 1+ AB = + 0 - = =, 2 2 2 1- 3 1 1 AD = + 0 - = =, 2 2 3 1 SABCD = AB AD = =.

2 Следовательно, площадь фигуры M равна.

Задача 14. Фигура M задана на координатной плоскости системой неравенств:

x2 + y2 4,. (16) x 4, y ( - x y + 2 0.

)( ) Изобразить фигуру M и найти её площадь.

Решение. Первое неравенство системы (16) задает внешность круга радиуса 2 с центром в начале координат. Второе неравенство задает вертикальную ООО «Резольвента»,www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-полосу: x 2. Третье неравенство задает пару вертикальных углов, обра{-} зованных прямыми y = x и y = -2.

Рис. Следовательно, фигура M имеет вид, изображенный на рис. 22, и является общей частью внутренности прямоугольного треугольника ABC и внешности круга радиуса 2 с центром в начале координат. Вершины треугольника ABC имеют координаты A = (-2;-2, B = 2;2, C = 2;-2.

) ( ) ( ) Площадь треугольника 1 SABC = AC BC = 4 4 = 8.

2 Для того, чтобы найти площадь фигуры M, остается из площади треугольника ABC вычесть площадь полукруга с радиусом 2:

S = 8 - 22 = 8 - 2.

Итак, площадь фигуры M равна 8 - 2.

ООО «Резольвента»,www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 1. Изобразить на координатной плоскости XOY фигуру M, состоящую из точек, координаты которых удовлетворяют неравенству y - 3x < x.

x - 2. Изобразить на координатной плоскости XOY фигуру M, состоящую из точек, координаты которых удовлетворяют неравенству 4 - x< y.

y 3. Изобразить на координатной плоскости XOY фигуру M, состоящую из точек, координаты которых удовлетворяют неравенству y - x >1.

x - 4. Изобразить на координатной плоскости XOY фигуру M, состоящую из точек, координаты которых удовлетворяют неравенству xy <1.

5. Фигура M задана на координатной плоскости неравенствами:

3 x y 2 x + 2.

Изобразить фигуру M и найти её площадь.

6. Фигура M задана на координатной плоскости неравенствами:

x - 5 y 1- 2 x.

Изобразить фигуру M и найти её площадь.

7. Фигура M задана на координатной плоскости неравенствами:

x - 6 y - x + 2.

Изобразить фигуру M и найти её площадь.

ООО «Резольвента»,www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-8. Фигура M задана на координатной плоскости неравенствами:

- x y 5 x +12.

Изобразить фигуру M и найти её площадь.

9. Фигура M задана на координатной плоскости неравенствами:

-2 x y -4 x + 8.

Изобразить фигуру M и найти её площадь.











© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.