WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 7 |
Федеральное агентство по образованию Московский инженерно-физический институт (государственный университет) И.В. Цветков ПРИМЕНЕНИЕ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРОЦЕССОВ В ПЛАЗМЕ Рекомендовано УМО «Ядерные физика и технологии» в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений Москва 2007 УДК 533.9.01(075) ББК 22.333я7 Ц 27 Цветков И.В. Применение численных методов для моделирования процессов в плазме: учебное пособие. М.: МИФИ, 2007. 84 с.

Математическое моделирование процессов является важным инструментом в научных, технических и технологических исследованиях. Данное учебное пособие рассматривает все сложившиеся на данный момент основные численные методы математического моделирования процессов в плазме, отмечены преимущества и недостатки каждого, дано их сопоставление и очерчены рамки применимости. Уделено большое внимание реализации этих методов на конкретных задачах. В основу пособия положен курс лекций, читаемых автором на факультете экспериментальной и теоретической физики МИФИ.

Пособие предназначено для студентов и аспирантов, специализирующихся в области физики плазмы.

Пособие подготовлено в рамках Инновационной образовательной программы.

Рецензент доц., канд. физ.-мат. наук В.М.Осадчиев ISBN 978-5-7262-0791-9 © Московский инженерно-физический институт (государственный университет), 2007 Содержание 1. Основные задачи и методы моделирования плазмы......................5 1.1.Основные задачи и методы..........................................................5 1.2. Специфика моделирования плазменных процессов.................8 1.3. Общие замечания и основные понятия численного моделирования..............................................................................9 1.4. Численное решение дифференциальных уравнений.

Задача Коши................................................................................11 1.5. Метод Рунге–Кутта....................................................................1.6. Расчет внешних электрического и магнитного полей............1.7. Одночастичное приближение описания плазмы....................2. Метод молекулярной динамики....................................................2.1. Требования к модели метода молекулярной динамики.........2.2. Задание начального состояния системы частиц.....................2.3. Восстановление функции распределения................................3. Метод Монте-Карло (метод статистических испытаний)............3.1. Вычисление кратных интегралов методом Монте-Карло......3.2. Применение метода Монте-Карло в расчетах прохождения частиц через плазму и вещество......................3.3. Общая схема применения метода Монте-Карло.....................4. Кинетическое описание плазмы.....................................................4.1. Численное решение кинетического уравнения.......................4.2. Метод «водяного мешка»..........................................................5. Метод крупных частиц....................................................................5.1. Описание метода....................................................................... 5.2. Электростатическая модель плоских листов..........................6. МГД описание плазмы.....................................................................6.1. Система МГД уравнений......................................................... 6.2. Применение МГД приближения для расчета ускорения плазмы в коаксиальном плазменном ускорителе...................6.3. Ускорение плазмы в рельсотроне (одномерный случай).......6.4. Применение МГД приближения для расчета пристеночного падения потенциала........................................7. Численное решение уравнений диффузии и теплопроводности.7.1. Одномерная задача...................................................................7.2. Двухмерная задача.....................................................................Список литературы..............................................................................Приложение 1. Интерполирование и экстраполирование...............Приложение 2. Аппроксимация методом наименьших квадратов....................................................................1. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ И МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ПЛАЗМЫ 1.1.Основные задачи и методы Для описания поведения плазмы, как правило, требуется решить четыре основных задачи.

Внешнее поле токов и электродов 1. Расчет э/м полей ( H (r,t), E(r,t) ) Собственное поле потоков заряженных частиц 2. Расчет движения частиц ( ri (t), vi (t) ).

3. Расчет функций распределения частиц в шестимерном фазо вом пространстве f (r,v,t).

4. Расчет потоков энергии ( w(r,t) ).

Эти задачи, как правило, взаимосогласованы. Для численного решения этих задач, как правило, используются шесть типов моделей. Их можно прежде всего разделить на «микро» и «макро» методы моделирования плазмы. При «микромоделировании» рассчитывают положение и скорость каждой частицы. В «макрометодах» «следят» за макропараметрами (за функциями распределения, плотностями и т.п.).

«Микрометоды»:

Одночастичное Метод молекулярной Метод Монте-Карло приближение динамики Моделирование плазмы «Макрометоды»:

Кинетическое Метод «крупных частиц» МГД модели описание Краткая характеристика шести типов моделей 1. Одночастичное приближение. Используется, например, для расчета областей удержания плазмы, расчета фокусировки пучков и т.п. Условие применимости – настолько редкая плазма, что нет влияния заряженных частиц друг на друга, то есть при расчете движения заряженных частиц учитываются только внешние э/м поля, которые не зависят от потоков заряженных частиц. Недостаток модели в его условии применимости.



2. Метод молекулярной динамики (ММД). Используется там, где надо учесть взаимодействие отдельных частиц, причем в комплексе. Например, при формировании плазменного кристалла в пылевой плазме. Метод состоит в непосредственном численном расчете уравнений движения N частиц с учетом взаимодействия каждой частицы со всеми остальными. Это наиболее прямой, так сказать, «лобовой» метод расчета систем многих тел. Цена точности – количество операций пропорционально квадрату числа частиц (N 2), так как на каждом временном шаге помимо расчета положения каждой частицы рассчитывать N 2 взаимодействий, имея в виду, что каждая из N частиц взаимодействует с N-1 частицей. Понятно, что даже для современного уровня вычислительной техники моделирование этим методом даже редкой плазмы (скажем, плотности 1012 см-3) это достаточно трудоемкая задача для сколь-нибудь значимых объемов плазмы.

Помимо большой длительности расчетов есть и методологические ограничения данного метода. При моделировании методом МД выбирается только один тип взаимодействий, для плазмы это кулоновские взаимодействия, то есть частицы представляются химически инертными шариками. Каждое взаимодействие считается строго детерминированным зарядом частиц и расстоянием между частицами, при этом исключен всякий вероятностный фактор.

3. Метод Монте-Карло. Метод статистических испытаний широко применяется для моделирования взаимодействия частиц с чем-либо, когда нужно учесть вероятностный характер взаимодействия. Метод основан на систематическом использовании генератора случайных чисел для определения дальнейшей истории каждой частицы. Метод Монте-Карло алгоритмически прост в реализации, но, как правило, достаточно трудоемок с точки зрения машинного времени, так как погрешность обратно пропорциональна обратному корню из числа частиц ( ) и для увеличения N точности на порядок приходится увеличивать число частиц на два порядка.

Другим существенным ограничением применения метода Монте-Карло является необходимость знать вероятности всех рассматриваемых процессов для широкого диапазона энергий частиц, углов и расстояний взаимодействия. К тому же эти вероятности, как правило, получены эмпирически, а значит уже изначально вносят ошибку моделирования.

4. Кинетическое описание. Кинетическое описание чаще всего используется для моделирования именно коллективных явлений, таких как колебания в плазме, неустойчивости и т.п. При этом следят не за отдельными частицами плазмы, а за функцией распределения, как она меняется во времени. Для этого решается дифференциальное уравнение Больцмана для функции распределения. В бесстолкновительном случае уравнение Больцмана превращается в уравнение Власова, которое численно решается достаточно просто.

При учете столкновений возникают сложности не только с вычислением интеграла столкновений (правой части уравнения Больцмана), но и с численным решением систем уравнений с ненулевыми правыми частями.

5. Метод крупных частиц. На данный момент это очень широко используемый метод дискретного моделирования плазмы. Этот метод можно считать промежуточным между методом молекулярной динамики и кинетическим описанием, потому что слежение происходит не за отдельными частицами и не за всеми частицами одновременно, а за группами находящихся в одном единичном объеме фазового пространства частиц. Каждая из таких групп рассматривается как одна макрочастица. По местоположению в фазовом пространстве достаточно большого количества макрочастиц восстанавливаются функция распределения и макропараметры плазмы. При этом необходимо следить за масштабом укрупнения, то есть числом макрочастиц, с тем, чтобы не нарушались критерии плазменного состояния.

6. МГД описание. Магнитогидродинамическое описание рассматривает плазму как среду, состоящую из двух или более типов жидкостей. Это приближение можно использовать, только если есть равновесное распределение частиц, например, в МГД моделях часто используется больцмановское распределение. Это выполняется, например, при моделирование динамики плазмы в плазменных ускорителях, при моделировании космической плазмы и т.п.

Предложенная классификация моделей является в известной мере условной. Для расчетов некоторых плазменных процессов, возможно, потребуется создание гибридных моделей из этих шести основных типов.

1.2. Специфика моделирования плазменных процессов Если говорить о специфике моделирования плазмы, то прежде всего следует выделить две особенности.

1. Самосогласованность задач. Так как плазма – это коллективное состояние системы заряженных частиц, то все процессы, происходящие в плазме и при ее взаимодействии с какими-либо телами, самосогласованны. Поэтому наибольшей предсказательной силой обладают замкнутые самосогласованные модели. Например, расчетная модель измерений с помощью зонда Ленгмюра должна включать расчет четырех задач: 1) расчет падения потенциала вокруг зонда; 2) расчет потоков частиц и энергий; 3) расчет разогрева зонда; 4) расчет термоэмиссии. Эти задачи самосогласованны, то есть результат расчета одной влияет на результат других. Модель должна быть замкнута в том смысле, что плотность, температура плазмы, величина поданного на зонд напряжения и характеристики материала зонда являются внешними параметрами, и для заданных значений параметров модель больше ни от чего не зависит.

2. Разномасштабность задач. Так как плазма – это совокупность электронов и ионов сильно различающихся по массе, то часто приходится совмещать расчет разномасштабных задач. Например, при моделировании пылевой плазмы, кроме того что подвижность электронов много больше подвижности ионов, но и время движения электронов и ионов около пылинки, которое требуется детально рассчитывать, много меньше времени движения между пылинками. Приходится «сшивать» эти существенно разномасштабные задачи.





1.3. Общие замечания и основные понятия численного моделирования 1. Частность численного решения задач. При решении какихлибо физических задач численными методами прежде всего следует отдавать отчет в том, что всегда мы получаем частное решение задачи, потому что всегда вводятся некоторые начальные и граничные условия, определяются некоторые коэффициенты процессов. Говоря так, мы, конечно же, выводим за рамки символьное решение задач (уравнений), которое иногда возможно в некоторых математических пакетах. Получаемые частные решения можно анализировать, обобщать, но при этом следует избегать казуистики.

2. Дискретность численного моделирования. Любое численное решение дискретно. Если мы получаем временную или пространственную зависимость некоторой величины, то мы не можем найти значения этой величины во всех точках пространственного или временного отрезка, просто потому, что их бесконечно много. Для нахождения значений в любой точке приходится использовать аппроксимацию по известным значениям в некоторых точках. Самый простой способ аппроксимации – линейная интерполяция. Пусть требуется найти значение функции в некоторой точке x [xi, xi+1], где xi и xi+1 – точки, в которых значение функции известно (рис.1).

Тогда линейная интерполяция дает значение:

xi+1 - xx - xi y(x) = y(xi ) + y(xi+1).

xi+1 - xi xi+1 - xi При численном расчете изменения некоторой величины во времени необходимо разбивать исследуемый интервал времени на временные слои, опреде- xi x xi+лять значения в каждом слое, а значение в произвольный момент времени Рис. 1. Интерполирование t [ti,ti+1] определяется также линейной интерполяцией. Если функция сильно меняется на отрезке, то линейная интерполяция является не достаточным по точности приближением, и необходимо применять интерполяцию более высоких порядков (см. приложение 1). В любом случае необходимо учитывать погрешность интерполяции.

3. Приближенность численных расчетов. Любое численное решение приближенное. Погрешность вычислений имеет четыре источника:

1) погрешность модели (физической и математической);

2) погрешность исходных данных (начальные и граничные условия, используемые в расчетах коэффициенты процессов);

3) ошибки округления;

4) погрешность вычислений (погрешность численного метода).

Первые два вида погрешности являются неустранимыми, их можно оценить и объединить в одну неустранимую н. Ошибки округления носят случайный характер и должны взаимно компенсироваться, но в любом случае дают точность до последнего знака округления. Погрешность вычислений в должна быть на порядок меньше неустранимой погрешности в н. Именно эта погрешность «в руках» программиста, за ней необходимо следить и обеспечивать. Обеспечение нужной погрешности расчетов – это задача программиста.

4. Устойчивость численного метода. Численный метод считается устойчивым, если погрешность вычислений не накапливается с числом шагов, то есть на каждом следующем шаге меньше, чем на предыдущем: i+1 i.

5. Корректность расчетной задачи. Задача считается поставленной корректно, если:

1) разрешима (то есть имеет решение) для любых допустимых входных данных (начальные и граничные условия, коэффициенты процессов и т.п.);

2) имеет единственное решение для определенных входных данных;

3) решение непрерывно зависит от входных данных, то есть малое изменение входных данных дает малое изменение решения.

1.4. Численное решение дифференциальных уравнений.

Задача Коши Подавляющее большинство процессов в плазме описывается дифференциальными уравнениями. Решение дифференциального уравнения первого порядка с заданными начальными или граничными условиями называется задачей Коши. Таким образом, задача Коши очень часто встречается при моделировании различных процессов в плазме различными методами. Например, движение заряженной частицы описывается уравнением движения – дифференциальным уравнением 2-й степени, которое можно свести к системе дифференциальных уравнений первой степени, решение каждого из которых и есть решение задачи Коши. В общем виде задача формулируется в следующем виде.

Во времени:

dy = f (y,t);

dt y(t ) = y0 начальное условие;

t [t0,tmax ].

В пространстве:

dy dx = f (y, x);

y(a) = y0 граничное условие;

x [a,b].

Решение задачи сводится к численному интегрированию в виде:

t + t y(t + t) = y(t) + f ( y,t)dt t для временной зависимости функции и в виде:

x + x y(x + x) = y(x) + x f (y, x)dx для пространственной. Разберем Рис. 2. Погрешность расчета методы решения на примере вреявным методом Эйлера менной задачи, пространственная задача решается аналогично.

Явный метод Эйлера Значение функции в следующий момент времени ищется по формуле: y(t + t) = y(t) + yt t = y(t) + f ( y(t),t) t, что является аппроксимацией 1-го порядка, потому что это фактически оставление только линейного члена разложения Тейлора:

y(t) y(t + t) = y(t) + y(t) t + t2 +... То, что это довольно гру2! бое приближение можно проиллюстрировать графически (рис. 2).

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 7 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.