WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 |
И.Р.Мухамедшин, С.И.Никитин, Д.А.Таюрский ПРОВОДНИКИ В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ Учебное пособие Казань 2009 Допущено к использованию решением учебно-методической комиссии физического факультета Казанского государственного университета ПРОВОДНИКИ В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ (Учебно-методическое пособие для студентов второго курса физического факультета) авторы пособия:

ассистент кафедры общей физики Мухамедшин И.Р.

доцент кафедры квантовой электроники и радиоспектроскопии Никитин С.И.

профессор кафедры общей физики Таюрский Д.А.

Рецензент:

Заведующий кафедрой общей физики, профессор Аганов А.В.

Пособие содержит теоретический материал, необходимый для понимания свойств проводников в электростатическом поле, а также примеры решения задач по данной теме. Разобранные задачи позволяют освоить общие подходы к решению задач о проводниках в электростатическом поле и более детально понять изложенные теоретические представления. Для закрепления освоенного материала и самостоятельной оценки полученных знаний в пособии приведен набор задач для самостоятельного решения с ответами.

© Физический факультет Казанского госуниверситета.

2 Что такое проводник До начала восемнадцатого века тела было принято делить на электрики, которые при натирании приобретают способность притягивать, и неэлектрики (в основном это были металлы), которые при натирании не притягивали легкие тела. Примерно в 1830 году член английского Королевского общества Стефан Грей обнаружил, что трением можно электризовать любые тела, только в одних электрическая сила (заряд) может сохраняться долго (смола, янтарь, стекло), а из других, если прикоснуться к этим телам, она тут же уходит. После работ Грея и его современников, электрики и неэлектрики стали называть электрическими изоляторами и электрическими проводниками.

Если коснуться поверхности какого-либо наэлектризованного тела А другим телом В, то последнее всегда электризуется (заряжается). Характер электризации зависит от рода вещества, из которого состоит тело В:

электризацию можно обнаружить либо только в той части поверхности, которая была в соприкосновении с телом А, либо на всей поверхности тела В. В первом случае вещество из которого состоит тело В является непроводником или диэлектриком, во втором случае проводником. Если тело В проводник, а тело А диэлектрик, то заряд на теле А уменьшается только в тех местах, которые были приведены в соприкосновение с телом В, если же А проводник, то заряд уменьшается на всей его поверхности.

Согласно современным представлениям проводниками электричества являются вещества, в которых существуют свободные электрические заряды, т.е. заряды, способные перемещаться на макроскопические расстояния при действии сколь угодно малого электрического поля. Если по какой-либо причине внутри проводника напряженность электрического поля отлична от нуля, то в проводнике возникает электрический ток, т.е. движение свободных электрических зарядов. По величине удельной проводимости и ее температурной зависимости вещества разделяют на проводники, диэлектрики и полупроводники. Удельная проводимость металлов очень велика >103 См/м, для полупроводников – 10-5<<103 См/м, удельная проводимость диэлектриков <10-5 См/м. Причем проводимость диэлектриков в слабых электрических полях (напряженность поля не достаточна для достижения условий электрического пробоя, когда в диэлектриках образуются свободные заряды), в большинстве случае, обусловлена наличием в них посторонних примесей и дефектов структуры. Таким образом, все типы веществ проводят электрический ток. Во всех наших дальнейших рассуждениях под проводниками мы будем понимать вещества с высокой удельной проводимостью, наиболее характерными представителями которых являются металлы и полупроводники.

Свойства этих веществ, при помещении их в статическое электрическое поле практически полностью определяются высокой концентрацией свободных носителей заряда. Далее мы покажем, что напряженность электростатического поля внутри веществ с высокой удельной проводимостью всегда равна нулю.

Поведение диэлектриков в электрическом поле принципиально отличается от проводников и обусловлено образованием связных зарядов, индуцированных электрическим полем, хотя в них также присутствуют в малой концентрации свободные заряды. Это приводит к тому, что электростатическое поле внутри диэлектриков отлично от нуля.

Для понимания процессов в проводниках при помещении их в электрическое поле необходимо сначала рассмотреть вопрос о том, что надо понимать под напряженностью электрического поля в веществе.

Электрическое поле в веществе Нам хорошо известно, что любое вещество состоит из атомов, молекул или ионов. В дальнейшем мы будем использовать термин "атом", понимая под ним либо реальные атомы, либо молекулы, либо ионы. Поля в непосредственной близости от атома и внутри атомов очень сильно изменяются в пространстве и времени. Эти изменения происходят в микроскопическом масштабе и не доступны нашему макроскопическому наблюдению. Такое поле называется микроскопическим полем.

В качестве примера можно привести известный опыт Резерфорда по измерению углового распределения рассеяния -частиц тонкой металлической фольгой. В эксперименте наблюдалось, что большинство -частиц проходит через тонкий слой металла, практически не испытывая отклонения, небольшая часть частиц отклоняется на значительные углы, превышающие 30° и редкие частицы (приблизительно одна на десять тысяч) испытывают отклонение на углы, близкие к 180°. Резерфорд показал, что изменение траектории движения -частиц обусловлено их кулоновским взаимодействием с ядрами металлической мишени и зависит от расстояния между -частицей и ядром. На основании полученных экспериментальных данных Резерфорд предложил ядерную модель атома. Подчеркнем, что угловое распределение рассеяния частиц обусловлено неоднородностью микроскопического электрического поля в металлической мишени.



Чтобы найти напряженность микроскопического электрического поля в некоторой точке внутри любого вещества в данный момент времени, необходимо сложить (по принципу суперпозиции) поля, создаваемые всеми микроскопическими зарядами (электроны и ядра) вещества. Эта задача практически не осуществима.

Для многих задач достаточно более простое и несравненно более грубое описание, которым пользуется макроскопическая электродинамика. Это приближение основано на отвлечении от атомистического строения вещества, и, соответственно, связанных с ним микроскопических изменений поля, происходящих на ядерных и атомных расстояниях. Оно принимает во внимание только изменения поля на макроскопических расстояниях. При измерении электрического поля в веществе путем погружения в него пробного электрического заряда, например малого заряженного металлического шарика, определяется среднее значение полей на поверхности этого шарика.

Для определения среднего значения обычно используют предложенное Лоренцем понятие физически бесконечно малого объема, который удовлетворяет следующим условиям:

а) физически бесконечно малый объем должен быть достаточно велик по сравнению с расстояниями между атомами и молекулами вещества, т.е. по сравнению с микроскопическими неоднородностями среды и, соответственно, поля;

б) физически бесконечно малый объем должен быть достаточно мал по сравнению с макроскопическими неоднородностями поля и вещества, т.е.

средние значения физических величин внутри этого элемента объема должны мало отличаться от средних значений этих величин в смежных с ним областях, другими словами, физически бесконечно малый объем должен быть малым, чтобы к нему было применимо понятие математически бесконечно малой величины.

Для веществ в любом агрегатном состоянии расстояния между молекулами столь малы по сравнению с макроскопическими неоднородностями изучаемых полей, что всегда оказывается возможным удовлетворить обоим этим условиям.

Отметим, что эти условия выполняются не только для стационарных полей, но и для большинства электромагнитных волн. Исключением являются волны, длина волны, которых порядка или меньше расстояния между атомами (рентгеновское излучение, гамма-излучение).

Итак, в дальнейшем под макроскопическими полями (или другими величинами) мы будем понимать средние значения этих полей в физически бесконечно малом объеме. Напряженность электрического поля в точке r определяется выражением:

E(r ) = EмикроdV, (1) V V где V – физически бесконечно малый объем, окружающий точку r.

Электрическое поле внутри проводников С точки зрения электронной теории, проводимость металлов (наиболее характерных проводников) объясняется тем, что в металлах часть электронов отщепляется от атомов. Образовавшиеся положительные ионы составляют кристаллическую решетку, в промежутках между ионами находятся «свободные» электроны в форме своего рода «электронного газа». Сколь угодно слабое внешнее электростатическое поле вызывает движение этих «свободных» электронов против направления напряженности поля, т.е.

приводит к появлению электрического тока. В результате в проводнике происходит перераспределение зарядов, которые создают электрическое поле E, направленное против внешнего поля E и компенсируют его.

Перераспределение продолжается до тех пор, пока напряженность электрического поля в проводнике не станет равной нулю (рис. 1).

Поскольку напряженность электрического поля внутри проводника становится равной нулю, то поток вектора напряженности через любую замкнутую поверхность, расположенную внутри проводника также равен нулю. Следовательно, по теореме Гаусса заряд заключенный внутри этой поверхности также равен нулю. Таким Рис.1.

образом, в случае электростатического равновесия зарядов внутри проводника нет. Точнее говоря, положительные и отрицательные заряды в объеме проводника компенсируют друг друга.

Нескомпенсированные заряды концентрируются на поверхности проводника в слое атомной толщины. Естественно, аналогичный вывод следует из закона Ома ( j = E, где – удельная проводимость). Поскольку заряды неподвижны, то плотность электрического тока j = 0, и, следовательно, напряженность электрического поля E равна нулю. Из теоремы Гаусса в дифференциальной форме:

divE =, (2) следует, что плотность объемных зарядов = 0.

Установление электронейтральности внутри проводника происходит чрезвычайно быстро. Предположим, что при t = 0 плотность свободных зарядов в некоторой точке внутри проводника отлична от нуля ( (0) 0).

Запишем закон сохранения заряда в дифференциальной форме:

+ divj = 0. (3) t С учетом закона Ома и теоремы Гаусса получаем:

+ divE = + = 0. (4) t t Решение полученного дифференциального уравнения очевидно:

t (t) = (0)exp(- t) = (0)exp(- ), (5) где – характеристическое время исчезновения ("рассасывания") ненулевого объемного заряда. Для металлической меди в стационарном поле получаем:





0 8.8510-12 Ф м = = 10-19с. (6) 6107 См м Этот промежуток времени чрезвычайно мал даже в масштабах внутриатомных процессов. Поэтому даже в нестационарном случае, когда напряженность поля изменяется во времени, при не слишком больших частотах, с большой точностью можно считать, что в проводнике свободные заряды распределены по поверхности, а объемные заряды отсутствуют. Данный вывод остается справедливым и при учете частотной зависимости, хотя при этом время рассасывания объемного заряда увеличивается на несколько порядков. Для полупроводников, время рассасывания объемного заряда заметно больше, однако, как и для металлов, свободные заряды в полупроводниках будут находиться только на поверхности.

Таким образом, если поместить электронейтральный проводник во внешнее электрическое поле, то заряды на поверхности проводника распределятся так, что создаваемое ими внутри проводника Рис.2.

электрическое поле полностью компенсирует внешнее поле. Если проводник заряжен, то под действием поля происходит перераспределение заряда проводника. Явление перераспределения зарядов на поверхности проводника при помещении его во внешнее поле называется электрической индукцией. На рисунке 2 показано, что при внесении незаряженного проводника в электрическое поле на его поверхности индуцируются заряды, при этом нарушается равномерное распределение зарядов на заряженном проводнике, силовые линии и эквипотенциальные поверхности также изменяют свою форму.

Электрическое поле вблизи поверхности проводника Из предыдущих рассуждений ясно, что электрическое поле при наличии проводников определяется как сторонними, так и индуцированными зарядами на поверхностях проводников. И для вычисления напряженности поля в любой точке пространства необходимо учитывать все эти системы зарядов. Встает вопрос, а чем определяется поле около поверхности проводника Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Гаусса.

Выделим на поверхности проводника малый элемент поверхности S и построим прямой цилиндр высотой 2h, расположенный симметрично относительно поверхности Рис.3.

проводника (рис. 3). Поток вектора напряженности через поверхность цилиндра равен:

EdS = EdS + EdS + EdS. (7) 12боковой поверхности Второй интеграл равен нулю, так как напряженность поля внутри проводника равна нулю. Поскольку нас интересует напряженность электрического поля непосредственно у поверхности проводника, высота цилиндра h бесконечно мала, и, соответственно третий интеграл в выражении (7) также равен нулю.

Применяя теорему о среднем, получаем:

EdS = EdS = EnS. (8) Заряд внутри поверхности цилиндра находится только на поверхности проводника и равен по величине S ( – поверхностная плотность заряда), в результате получаем:

S EnS = или En =. (9) 0 Из теоремы о циркуляции вектора напряженности следует, что тангенциальная составляющая вектора напряженности электростатического поля непрерывна, т.е. не претерпевает разрыва на границах раздела сред.

Поскольку напряженность поля в проводнике равна нулю, то равна нулю и тангенциальная составляющая E у поверхности проводника. Таким образом, напряженность поля у поверхности проводника нормальна его поверхности и равна:

E = n. (10) Этот вывод также можно получить путем следующих рассуждений: так как потенциал всех точек проводника одинаков и его поверхность является эквипотенциальной поверхностью, то вектор напряженности электрического поля нормален поверхности проводника.

Зададимся вопросом, каков вклад каждого элемента поверхности проводника в создание поля вблизи его поверхности Чтобы ответить на этот вопрос выделим малый элемент поверхности Рис. 4.

проводника S вблизи рассматриваемой точки А (см. рис. 4). В этой точке поле создается зарядом на поверхности S (обозначим его E1) и всеми остальными зарядами системы, как лежащими на поверхности проводника, так и находящимися в любой другой точке пространства (обозначим это поле E2). Поле, создаваемое зарядом на элементе поверхности S, вблизи этой поверхности можно рассматривать как поле равномерно заряженной плоскости (направление напряженности поля на рисунке 4 показано для положительного заряда), и, естественно, E1 = E11.

Поле E2 создается всеми зарядами, находящимися вне элемента поверхности S, эти заряды создают поле как внутри проводника (E22), так и вне его - E2.

Поскольку это поле в пространстве вне зарядов, которые его создают, оно должно быть непрерывным, т.е. E2 = E22. Напряженность поля создаваемого всеми зарядами внутри проводника Ein = E22 + E11 = 0. Следовательно, E22 =-E11 и E1 = E2. Т.е. напряженность поля в точке А вблизи поверхности проводника Eout = E1 + E2 = 2E1 = 2E2 = n состоит из двух равных частей:

одна создается поверхностными зарядами прилегающего элемента поверхности, а другая всеми зарядами, лежащими вне этого элемента поверхности. Таким образом, заряды на проводнике распределяются по его поверхности таким образом, что вклад поверхностных зарядов прилегающего элемента поверхности равен вкладу всех зарядов, лежащих вне этого элемента поверхности.

Здесь также удобно получить формулу для силы, действующей на единицу поверхности заряженного проводника, т.е. плотности силы:

Pages:     || 2 | 3 | 4 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.