WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 ||

(2) (1) t1,1 = t1,1 + = 600 + 80 = 680о C, (2) (1) о t1,2 = t1,2 + = 1300 + 80 = 1380 C, (2) (1) о t2,1 = t2,1 + = 400 + 80 = 480 C, 1 (2) (2) о t0,1 = (t1,1 + 1000) = (680 + 1000) = 840 C, 2 1 (2) (2) о t3,1 = t2,1 = 480 = 240 C.

2 "Остатки" второго приближения в этих точках:

(2) (1) о R1,1 = R1,1 -1,5 = 100 -1,5 80 = -20 C, (2) (1) о R1,2 = R1,2 - 2 = 250 - 2 80 = 90 C, (2) (0) о R2,1 = R2,1 -1,5 = 50 -1,5 80 = -70 C, (2) (1) о R2,1 = R2,2 = 0 C.

Заносим полученные данные в сводную таблицу 1 и видим, что новые "остатки" заметно уменьшились, а значит значения температур ti,j стали намного ближе к истинным.

Для третьего приближения целесообразно использовать групповую сверхрелаксацию. Групповую в том смысле, что уменьшаем по абсолютной (2) (2) величине до нуля сразу 2 "остатка": R1,2 и R2,1, а сверхрелаксацию в том смысле, что полагаем уменьшаемые до нуля "остатки" несколько большими по абсолютной величине предыдущих их значений, а именно:

(2' о (2' o R1,2 ) = 92 C R2,1) = -72 C.

Новые значения "остатков" в точках (1,2) и (2,1) кратны 4, что удобно для нахождения "остатков" третьего приближения в смежных с этими точках, так как по правилу релаксации для существующего приближения значение "остатка" в них равно прежнему плюс одна четвертая уменьшаемого (по абсолютной величине) до нуля "остатка. Итак, в третьем приближении имеем:

(2' R1,2) (3) (2) о t1,2 = t1,2 + = 1380 + = 1403 C, 4 (3) (2) o t1,1 = t1,1 = 680 C, (2' R2,1) (3) (2) о t2,1 = t2,1 + = 480 - = 462 C, 4 (3) (2) о t2,2 = t2,2 = 930 C, 1 (3) (3) о t0,1 = (t1,1 + 1000) = (680 + 1000) = 840 C, 2 1 (3) (3) о t3,1 = t2,1 = 480 = 240 C.

2 Далее находим остатки после третьего приближения:

(3) (2) (2' о R1,2 = R1,2 - R1,2) = 90 - 92 = -2 C, (2' (2' R1,2) R2,1) 92 (3) (2) о R1,1 = R1,1 + + = -20 + - = -15 C, 4 4 4 (3) (2) (2' о R2,1 = R2,1 - R2,1) = -70 - (-72) = 2 C, (2' (2' R1,2) R2,1) 92 - (3) (2) о R2,2 = R2,2 + 2 + 2 = 0 + 2 + 2 = 10 C. (11) 4 4 4 Во втором и третьем слагаемых правой части формулы (11) стоит множитель (2' (2' 2, так как по одной дополнительной четверти "остатков" R1,2) и R2,1) к "остатку" в точке (2,1) будет добавляться от точек (2,3) и (3,2), симметричных соответственно точкам (2,1) и (1,2) и расположенных в смежной с рассматриваемой "осьмушке" сечения и смежных по направлениям осей координат с точкой (2,2).

Для следующего, четвертого приближения опять применим метод групповой релаксации. Уменьшаем по абсолютной величине до нуля "остатки" в точках (1,1) и (1,2). Тогда в четвертом приближении имеем:

(3) R1,(4) (3) o t1,1 = t1,1 + = 680 - = 676,2 C, 4 (4) (3) о t1,2 = t1,2 = 1403 C, (4) (3) о t2.1 = t2.1 = 462 C, (3) R2,(4) (3) о t2,1 = t2,2 + = 930 + = 932,5 C.

4 При этом новые "остатки" в точках (1,1) и (2,2) будут (4) (3) (3) о R1,1 = R1,1 - R1,1 = 15 - (-15) = 0 C, (3) (3) R1,1 R2,2 -15 (4) (3) о R1,2 = R1,2 + + = -2 + + = -3,3 C, 4 4 4 (3) (3) R1,1 R2,2 -15 (4) (3) о R2,1 = R2,1 + + = 2 + + 0,7 C, 4 4 4 (4) (3) (3) о R2,2 = R2,2 - R2,2 = 10 -10 = 0 C.

Определим теперь температуры в точках (0,1) и (3,1) по формулам (7) и (9):

(4) о t0,1 = (676,2 +1000) = 838,1 C, (4) о t3,1 = 462 = 231 C.

Очевидно, что дальнейшие приближения будут еще меньше изменять температуры в рассматриваемых точках, поэтому итерационный процесс приближений можно прекратить, учитывая, что достигнута приемлемая точность определения температур (порядка нескольких градусов Цельсия).

Таблица Температуры и «остатки» в процессе последовательных приближений Первое Второе Третье Четвертое приближение приближение приближение приближение ti,j, oC Ri,j, oC ti,j, oC Ri,j, oC ti,j, oC Ri,j, oC ti,j, oC Ri,j, oC t0,0=0 t0,0=0 t0,0=0 t0,0=t0,1=800 t0,1=840 t0,1=840 t0,1=838,t0,2=2000 t0,2=2000 t0,2=2000 t0,2=t1,0=0 t1,0=0 t1,0=0 t1,0=t1,1=600 R1,1=100 t1,1=680 R1,1=-20 t1,1=680 R1,1=-15 t1,1=676,2 R1,1=t1,2=1300 R1,2=250 t1,2=1380 R1,2=90 t1,2=1403 R1,2=-2 t1,2=1403 R1,2=-3,t1,2=2000 t1,2=2000 t1,2=2000 t1,2=t2,0=0 t2,0=0 t2,0=0 t2,0=t2,1=400 R2,1=50 t2,1=480 R2,1=-70 t2,1=462 R2,1=2 t2,1=462 R2,1=0,t2,2=850 R2,2=0 t2,2=930 R2,2=0 t2,2=930 R2,2=10 t2,2=932,5 R2,2=t3,0=0 t3,0=0 t3,0=0 t3,0=t3,1=200 t3,1=240 t3,1=231 t3,1=t4,0=0 t4,0=0 t4,0=0 t4,0=|(Ri,j)|=400 |(Ri,j)|=180 |(Ri,j)|=29 |(Ri,j)|=Более точные значения температур в рассматриваемой области можно получить, задавая более густую сетку и принимая для нее в качестве исходных данных найденные нами температуры. Естественно, что такие итерационные расчеты удобно выполнять на ЭВМ.

1.2 Компьютерное решение задачи При использовании пакета ELCUT необходимо задавать все условия однозначности, и в частности геометрические размеры (величину размера А) и значение коэффициента теплопроводности материала, хотя в нашей задаче эти величины не влияют на решение. Итак, будем считать, что сторона наружного квадрата будет А=1600 мм (принята сетка с шагом 200 мм; такой шаг удобно выбирать и для других схем), а =0,25 Вт/(мК).

В соответствии с инструкцией по работе с пакетом ELCUT, приведенной в приложении, через кнопку «Пуск» активизируем меню «Программы», выбираем ELCUT и запускаем пакет в работу. Далее через меню «Файл» выбираем «Открыть» и в появившемся диалоговом окне указываем имя файла «Схема2».

Чтобы вызванная схема появилась в рабочем поле, мышкой дважды щелкаем по позиции «Геометрия» в левом поле экрана.

Чтобы задать значение коэффициента теплопроводности, дважды щелкаем мышкой на пиктограмму папки «Физические свойства» в левом поле экрана. Далее указываем на метку «Блок1», нажимаем правую клавишу мышки и выбираем позицию «Свойства». В открывшемся окне вводим численное значение.

Чтобы ввести заданные температуры и условия теплообмена на границах элемента, сначала дважды щелкнем на пиктограмму папки «Физические свойства» в левом окне экрана. Далее указываем на метку «Ребро1» и дважды щелкаем на ней. В открывшемся окне вводим численное значение температуры на этом ребре. Аналогично задаем все остальные граничные условия, при этом на ребрах, проходящим по осям симметрии указываем не значение температуры, а другое условие: q=0.

После задания граничных условий переходим к построению расчетной сетки. Для этого нажмем кнопку «Построить сетку» на панели инструментов.

Теперь можно приступить к расчетам. Для этого в меню «Правка» выбираем позицию «Решить задачу», подтверждаем введенные нами изменения в описание задачи и указываем, чтобы результаты расчета были выведены на рабочее поле. В итоге там появится цветное отображение температурного поля.

Чтобы сопоставить результаты полученного решения с результатами ручного расчета, выпишем значения температур в характерных точках сечения. В нашем примере (по рис. 2) это точки (0,1), (1,1), (1,2), (2,1), (2,2) и (3,1). При выбранном шаге сетки в 20 см координаты этих точек будут соответственно: 0:20, 20:20, 20:40, 40:20, 40:40 и 60:20 см. Чтобы получить значения температур в этих точках нажимаем иконку «Локальные значения» на панели инструментов. Далее нажимаем правую кнопку мышки и указываем «Координаты точки». В появившееся окно вводим координаты точки и нажимаем «Enter», после чего в диалоговом окне появятся значения заданных координат и всех характеристик температурного поля в этой точке.

Результаты решения для каждой точки заносим в специальную таблицу 2.

Чтобы увеличить дискретизацию сечения, а значит и точность расчетов, сначала удалим из рабочего поля результаты решения, нажав соответствующую кнопку с символом на основном меню системы ELCUT.

Далее на панели инструментов нажмем кнопку «Удалить сетку». Укажем теперь курсором на позицию «Блок1» в левом поле экрана, нажмем правую клавишу мышки и выберем позицию «Свойства». В появившемся диалоговом окне вместо автоматической дискретизации укажем «Шаг дискретизации ручной» и в открывшееся окно введем шаг дискретизации 5 см. После этого нажимаем кнопку «Построение сетки».

Когда мелкая сетка будет построена, запускаем задачу на решение, а после решения выписываем значения температур в характерных точках и вносим их в табл. 2 как результаты наиболее точного решения.

Таблица Сопоставление результатов решения задачи Темпера Коорди- Результа Результаты Результаты тура наты ты расчета на ПК при расчета на ПК с ti,j, oC точки, ручного автоматической наиболее мелкой см расчета дискретизации сеткой t0,1 0:20 838,1 837,8 759,t1,1 20:20 676,2 672,9 647,t1,2 20:40 1403 1379,2 1349,t2,1 40:20 462 427,9 442,t2,2 40:40 932,5 938,9 894,t3,1 60:20 231 249,2 222,Чтобы решить задачу при Г.У. – 3 на наружных поверхностях, сначала кнопкой с символом удалим из рабочего поля полученное ранее решение.

Далее дважды щелкнем на метку «Ребро4» в левом поле экрана и в появившемся окне укажем теперь «Конвекция», а в открывшиеся строки ввода введем значения и tв (примем для примера =25 Вт/(м2К), tв=20 оС).

Дважды щелкнем на папке «Метки вершин» в левом поле, а затем дважды щелкнем на метку «Вершина1». В открывшемся окне показываем «Источник тепла» и q=0. Аналогично задаем параметры во всех остальных вершинах (в о вершинах 3 и 3 t=2000 С, в вершине 4 q=0). Далее запускаем задачу на решение и проводим анализ этого решения, выписывая температуры в характерных точках сечения в специальную таблицу 3. Для сравнения в этой таблице через символ дроби (/) даются значения температур, полученных при точном решении предыдущей задачи.

Анализируя данные таблиц 2 и 3, можно сделать заключение, что наибольшее расхождение между ручным и точным компьютерным расчетами при Г.У. –1 составляет примерно 10%, хотя среднее значение расхождений не о превышает 4,5%. Переход к Г.У. –3 при =25 Вт/(м2К) и tв=20 С приводит к незначительному повышению температуры в характерных точках и неравномерному распределению ее на наружных поверхностях.

Таблица Температуры в характерных точках при Г.У. –3 снаружи сечения Коорди- наты X 0 20 40 60 Y 0 54,8/0 50,4/0 41,4/0 31,2/0 20/20 790,9/759,8 679/647,2 474,9/443 255,5/40 2000/2000 1364/1350 918,3/Пример решения задачи Задача 2. Плоская пластина из резины твердой с размерами 950850 мм (=25 мм и другие исходные величины приняты нами для примера) и о равномерно распределенной начальной температурой t0=25 С быстро и плотно прижимается к двум плоским поверхностям с постоянными температурами t1=65 и t2=160 оС. Как распределится температура по толщине пластины через =350 с после начала процесса Как изменится температурное поле, если толщину пластины увеличить на 5 мм Как изменится распределение температуры, если теплообмен с холодной поверхности плиты будет осуществляться конвекцией с коэффициентом теплоотдачи =27 Вт/(м2К) в среду с температурой tж=13 оС 2.1 Решение методом сеток При заданных размерах пластины нашу задачу можно считать одномерной (толщина пластины намного меньше ее ширины), т.е. принимать, что температура в ней меняется только по толщине x. Чтобы решить задачу методом сеток, разобьем пластину по толщине на 10 параллельных слоев толщиной x=/10=35/10=3,5 мм, пронумеруем эти слои от 0 до 9 и будем считать, что внутри каждого слоя по направлению x температура постоянная, а любые ее изменения происходят скачками на гранях слоя. Расчетную точку с температурой слоя будем относить к середине этого слоя. Точно также допустим, что и по времени температура изменяется не непрерывно, а скачкообразно, только через каждые с. В результате такой дискретизации температурное поля можно отобразить пространственно-временной сеткой или аналогичной таблицей с двумя аргументами [1].

Для решения задачи воспользуемся самым простым из известных численных методов, с так называемой явной схемой расчетов.

Алгебраический аналог дифференциального уравнения теплопроводности здесь содержит лишь одну неизвестную и позволяет определить значение последующей по времени температуры для любой точки по значениям ее в предыдущий момент времени [1]:

a ti,k +1 = ti,k + (ti+1,k + ti-1,k - 2ti,k ), (12) xгде индексом i отмечены номера слоев, а индексом k номера временных интервалов ; а=/(с) – коэффициент температуропроводности материала;

, и с – коэффициент теплопроводности, плотность и удельная теплоемкость материала, соответственно.

Чтобы решение задачи было устойчивым и сходящимся, необходимо соблюдать условие a 0,5, xоткуда находим максимально допустимый шаг по времени 0,5x2 0,5(2,510-2)max = = = 37,5 с.

a 0,083310-Для удобства расчетов принимаем =35 с, строим таблицу 4 и заполняем ее известными при =0 температурами t0,i, а также температурами на наружных поверхностях пластины tk,0 и tk,9 (i=1,2,...8, k=0,1,2, 10).

Вычислим предварительно значение безразмерного множителя, стоящего перед скобкой в формуле (12):

a 0,083310-6 A = = = 0,x2 (2,5 10-3)и будем последовательно рассчитывать значения температур в выделенных слоях, которые будут в них через 35 с после начала процесса (k=1) по формуле [1]:

t1,1= t1,0+A(t2,0+ t0,0-2t1,0)=25+0,4665(25+65-225)=43,7 oC;

t2,1= t2,0+A(t3,0+ t1,0-2t2,0)=25+0,4665(25+25-225)=25 oC;

t3,1= t3,0+A(t4,0+ t3,0-2t3,0)=25+0,4665(25+25-225)=25 oC.

Понятно, что и все другие температуры t4,1, t5,1, t6,1 и t7,1 будут равны 25 oC, и только в предпоследнем слое температура изменится t8,1= t8,0+A(t9,0+ t7,0-2t8,0)=25+0,4665(160+25-225)=87,9 oC.

Заполняем теперь первую строку таблицы 4 и переходим к расчету второго временного слоя (при k=2).

t1,2= t1,1+A(t2,1+ t0,1-2t1,1)=43,7+0,4665(25+65-243,7)=44,9 oC;

t2,2= t2,1+A(t3,1+ t1,1-2t2,1)=25+0,4665(25+43,7-225)=33,7 oC;

t3,2= t3,1+A(t4,1+ t2,1-2t3,1)=25+0,4665(25+25-225)=25 oC.

Как и в предыдущем случае легко понять, что температуры t4,2, t5,2 и t6,будут равны 25 оС, поскольку численные значения, входящие в формулу (12), будут такими же, как в последнем расчете. Поэтому продолжим расчет для крайних точек:

t7,2= t7,1+A(t8,1+ t6,1-2t7,1)=25+0,4665(87,9+25-225)=54,3 oC;

t8,2= t8,1+A(t9,1+ t67,1-2t8,1)=87,9+0,4665(160+25-287,5)=92,2 oC.

Заполняем теперь очередную строку таблицы и переходим к аналогичным расчетам при k=3. Поскольку алгоритм и механизм расчетов достаточно подробно продемонстрирован предыдущими расчетами, целесообразно не приводить подробную запись всех расчетов, а заполнить таблицу 4 результатами из чернового расчета.

Найдем теперь температуру на оси симметрии пластины при =350 с.

Ось симметрии проходит через координату x=12,5 мм, т.е. по стыку между четвертым и пятым слоями. Значит t4,10 + t5,47,1+ 56,tx=12,5,=350 = = = 51,75 оС.

2 2.2 Компьютерное решение задачи Чтобы решить задачу с помощью пакета ELCUT, открываем файл «Пример_зад2» и записываем его на диск например под именем «Сидоров2».

Далее дважды щелкаем мышкой на позицию «Геометрия» в правом поле экрана. На появившейся в рабочем поле схеме пластины передвигаем правое ребро так, чтобы толщина пластины стала равной заданной в нашем варианте. Для этого выделяем это ребро щелчком мышки, нажимаем на ней правую кнопку и в появившемся меню выбираем «Передвинуть выделенное».

Далее в появившемся окне указываем, на сколько мм следует увеличить или уменьшить координату x этого ребра, чтобы получить заданную толщину пластины.

Изменим теперь основные характеристики задачи, щелкнув мышкой на позицию «Геометрия» в правом поле системы ELCUT и выбрав в появившемся меню «Свойства задачи». В открывшемся окне укажем «Временные параметры» и введем значение конечного момента времени для интегрирования.

Далее задаем физические свойства блока с названием «Пластина» и ребер с названиями «Внутреннее_ребро», «Гор_ребро» и «Хол_ребро» (аналогично тому, как задавались эти свойства при решении задачи 1). При этом следует иметь ввиду, что решение нестационарной задачи при Г.У. – обычно ищут как результат решения той же задачи, но при Г.У.-3, принимая, что [2] (при численном решении будем принимать =100000 Вт/(м2К)).

Особенностью и определенным недостатком пакета ELCUT является то, что здесь всегда при расчетах нестационарной теплопередачи принимается, что начальная температура t0 любого блока равна 0 оС. Поэтому, когда t00, приходится предварительно решить вспомогательную задачу, в результате решения которой в исследуемом теле возникает равномерное температурное поле с заданной температурой.

Pages:     | 1 ||






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.