WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 16 |
МЕТОД ОПЕРАТОРОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В ЗАДАЧАХ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ О.Э.Яремко Аннотация. Предлагаемая монография развивает методы интегральных преобразований и операторов преобразования для задач анализа, математической физики неоднородных сред. Метод операторов преобразования открывает возможность решения задачи для кусочно однородной среды сведением к соответствующей задаче для однородной среды. В итоге решение получается в форме удобной для изучения. Метод операторов преобразования позволяет в ряде случаев уточнить результаты, полученные методом интегральных преобразований или методами теории потенциалов.

Решение, полученное с помощью операторов преобразования, имеет форму удобную для изучения асимптотических свойств. При этом существенно упрощается вычислительный алгоритм, определяется поведение решения вблизи границы. Метод операторов преобразования раскрывает природу интегральных преобразований, приспособленных для решения задач кусочно-однородных сред. В свою очередь с помощью интегральных преобразований удалось эффективно построить основные операторы преобразования.

Метод операторов преобразования в задачах математического моделирования, Яремко О.Э., 2012 1 Оглавление 0.1 Введение................................ 8 1 Матричные интегральные преобразования Фурье для (n + 1)- слойного пространства 13 1.1 Смешанная краевая задача для оператора Фурье в Rn..... 13 1.2 Прямая и двойственная задачи Штурма- Лиувилля для оператора Фурье в In............................ 17 1.3 Теоремы разложения по собственным функциям оператора Фурье в In................................. 18 1.4 Основное тождество интегрального преобразования оператора Фурье в In......................... 23 2 Матричные интегральные преобразования Фурье для (n + 1)-слойного полупространства 26 2.1 Прямая и двойственная задачи Штурма- Лиувилля для опера+ тора Фурье в In........................... 2.2 Теоремы разложения по собственным функциям оператора Фу+ рье в In................................. -2.3 Прямое Fn+ и обратное Fn+ матричные интегральные преобразования Фурье на действительной полуоси с n точками сопряжения 2.4 Основное тождество интегрального преобразования + оператора Фурье в In........................ 3 Матричные интегральные преобразования Фурье для (n + 1)слойного сегмента 3.1 Смешанная задача Штурма- Лиувилля для оператора Фурье в In 3.2 Прямая и двойственная задачи Штурма- Лиувилля для оператора Фурье в In............................ 3.3 Теорема разложения по собственным функциям оператора Фурье в In................................. 3.4 Прямое и обратное интегральные преобразования Фурье на отрезке с точками деления....................... 3.5 Основное тождество интегрального преобразования оператора Фурье в In......................... 4 Матричные интегральные преобразования Фурье - Бесселя на (n + 1)- слойной полярной оси 4.1 Смешанная краевая задача для оператора Фурье- Бесселя... 4.2 Теорема разложения по собственным функциям оператора ФурьеБесселя................................. 4.3 Задача Штурма- Лиувилля для оператора Фурье- Бесселя.. 4.4 Основное тождество интегрального преобразования оператора Фурье-Бесселя............................. 5 Оператор Римана - Лиувилля в классе функций, гармонических в областях со сферической симметрией, и его применения 5.1 Определение и свойства оператора Римана- Лиувилля...... 5.2 Обобщенная интегральная формула Пуассона, ассоциированная с функцией (x).......................... 5.3 Класс функций, ассоциированных с функцией (x), и его структурное представление...................... 5.4 Проблема моментов на компактной поверхности......... 6 Оператор Римана- Лиувилля для функций, гармонических в верхней полуплоскости 6.1 Оператор Римана- Лиувилля и его свойства............ 6.2 Обобщенная интегральная формула Пуассона, ассоциированная с функцией (x).......................... 6.3 Класс функций, ассоциированных с функцией (x), и его структурное представление...................... 6.4 Функциональные множители для преобразования Фурье- Стильтьеса, ассоциированные с функцией (x)............... 7 Интегральные преобразования Фурье с неразделенными переменными на компактах из Rn 7.1 Постановка задачи.......................... 7.2 Прямое и обратное преобразования Фурье на S.......... 8 Преобразования Фурье с неразделенными переменными на некомпактных поверхностях. 8.1 Постановка задачи.......................... 8.2 Прямое и обратное интегральные преобразования Фурье на S. 9 Неоднородные краевые задачи для функций, гармонических в кусочно-однородном полупространстве + 9.1 Задача Штурма- Лиувилля для оператора Фурье в In..... + 9.2 Функции влияния в In......................... 9.3 Краевые задачи для уравнения Лапласа в Rn,+.......... 9.4 Краевые задачи и операторы преобразования в Rn,+....... m+9.5 Уравнение Лапласа в Rn,+...................... m+9.6 Краевые задачи и операторы преобразования в Rn,+...... 10 Неоднородные краевые задачи для функций, гармонических в кусочно-однородном пространстве 10.1 Задача Штурма- Лиувилля для оператора Фурье в In.



..... 10.2 Функции влияния в In......................... 10.3 Уравнение Лапласа в Rn........................ 10.4 Краевые задачи и операторы преобразования в Rn........ m+10.5 Уравнение Лапласа в Rn+...................... m+10.6 Краевые задачи и операторы преобразования в Rn+....... 11 Неоднородные краевые задачи для функций, гармонических в кусочно-однородной полосе 11.1 Задача Штурма- Лиувилля для оператора Фурье в In...... 11.2 Уравнение Лапласа в In (-, )................. 11.3 Краевые задачи и операторы преобразования в In (-, ).. 11.4 Разложение операторов преобразования в ряд отражений и сдвигов.................................... 11.5 Уравнение Лапласа в In Rm.................... 11.6 Краевые задачи и операторы преобразования в In Rm..... 12 Неоднородные краевые задачи для m- гармонических функций в кусочно-однородном полупространстве 12.1 Итерированная задача Штурма- Лиувилля для оператора Фурье. 12.2 Уравнение Лапласа в Rn+....................... 12.3 Краевые задачи и операторы преобразования для итерированного уравнения Лапласа......................... q+12.4 Итерированное уравнение Лапласа в Rn,+............. q+12.5 Краевые задачи и операторы преобразования в Rn,+....... 13 Неоднородные краевые задачи для m- гармонических функций в кусочно-однородном пространстве 13.1 Задача Штурма- Лиувилля для итерированного оператора Фурье в In............... 13.2 Итерированное уравнение Лапласа в Rn............... 13.3 Краевые задачи и операторы преобразования в Rn........ q+13.4 Итерированное уравнение Лапласа в Rn............. q+13.5 Краевые задачи и операторы преобразования в Rn....... 14 Неоднородные краевые задачи для функций, m-гармонических в кусочно-однородной полосе 14.1 Задача Штурма- Лиувилля для итерированного оператора Фурье в In............... 14.2 Итерированное уравнение Лапласа в In (-, )....... 14.3 Краевые задачи и операторы преобразования в In (-, ). 14.4 Разложение операторов преобразования в ряд отражений и сдвигов.................................... 14.5 Итерированное уравнение Лапласа в In (-, )........ 14.6 Краевые задачи и операторы преобразования для итерированного уравнения Лапласа в In (-, )............... 15 Неоднородные краевые задачи для функций, кусочно-гармонических шаре 15.1 Постановка краевых задач...................... 15.2 Краевые задачи и соответствующие операторы преобразования 16 Неоднородные краевые задачи для функций, кусочно-гармонических в сферически-однородном пространстве 16.1 Краевые задачи с сопряжениями на сферах............ 16.2 Краевые задачи и соответствующие операторы преобразования 17 Неоднородные краевые задачи для функций кусочно-гармонических в сферическом слое 17.1 Краевые задачи с условиями сопряжения в сферическом слое. 17.2 Задачи сопряжения и операторы преобразования......... 18 Разложение оператора преобразования в произведение граничного оператора и оператора сглаживания 18.1 Операторы i, порождаемые граничными условиями, и их свойства................................... 18.2 Операторы сглаживания Li...................... 18.3 Применение операторов преобразования в теории интегральных преобразований............................. 18.4 Операторы L и для кусочно-однородного пространства..... 19 Операторный метод для функций кусочно-аналитических в правой полуплоскости 19.1 Операторы i и их свойства...................... 19.2 Операторы сглаживания Li...................... 19.3 Формула Шварца для кусочно-однородного полупространства.. 19.4 Формула Пуассона для кусочно-однородного полупространства. 20 Операторный метод для функций кусочно-аналитических в круге 20.1 Операторы i и их свойства..................... 20.2 Операторы сглаживания Li...................... 20.3 Формула Шварца для функций кусочноаналитических в круге. 21 Метод операторов преобразования в задачах математической физики однородных сред 21.1 Третья краевая задача со сдвигом для однородного полупространства................................. 21.2 Задача Дирихле для однородной полосы.............. 21.3 Условия периодичности для однородной полосы.......... 21.4 Теплопроводность в ограниченном стержне............ 22 Метод операторов преобразования в задачах математической физики кусочно-однородных сред 22.1 Кусочно-однородное пространство................. 22.2 Задача Дирихле для кусочно-однородного полупространства.. 22.3 Полупространство с неоднородными условиями сопряжения.. 22.4 Операторы преобразования и векторные краевые задачи.... 22.5 Операторы преобразования в задаче о структуре электромагнитного поля в многослойной среде................... 23 Краевые задачи для функций, бигармонических в кусочнооднородном полупространстве 23.1 Краевые задачи для бигармонических функций в кусочно-однородном полупространстве с одной гиперплоскостью сопряжения.





.... 23.2 Краевые задачи для бигармонических функций в однородном полупространстве............................ 23.3 Краевые задачи для бигармонических функций в кусочно-однородном полупространстве........................... 24 Операторный метод для функций кусочно-гармонических в шаре 24.1 Краевые задачи для гармонических функций в шаре....... 24.2 Краевые задачи для бигармонических функций в шаре...... 25 Операторный метод для функций, обобщенно кусочно-плюригармонических в областях класса (Т) 25.1 Постановка задачи.......................... 25.2 Формула Темлякова-Пуассона.................... 26 Интегральные уравнения теории массопереноса 26.1 Ретроспективная задача для уравнения теплопроводности.... 26.2 Ретроспективная задача для итерированного уравнения теплопроводности............................... 26.3 Обобщения результатов для q -итерации дифференциального оператора второго порядка общего вида................. 0.1 Введение Предлагаемая монография развивает операторный метод для задач теории функций, математической физики неоднородных структур.

Операторы преобразования просто выражаются через интегральные преобразования. Метод интегральных преобразований математически эквивалентен методу собственных функций, но он обладает рядом существенных преимуществ. К этим преимуществам следует отнести стандартную технику вычислений, возможность представления решения в различных видах. Это особенно важно в приложениях, когда необходимо получать решения в удобном для расчета виде как для малых, так и для больших значений независимого переменного. Наконец, при наличии большого количества таблиц прямых и обратных для данного вида преобразований техника вычислений намного упрощается и ускоряется.

На современном этапе в связи с широким применением композиционных материалов возникла острая потребность в решении достаточно широкого класса задач математической физики неоднородных структур. Последнее обстоятельство требует с одной стороны усовершенствования и модифицирования существующего математического аппарата, а с другой стороны создания новых методов. В частности, возникла необходимость в построении таких интегральных преобразований, которые давали бы возможность алгебраизации дифференциальных уравнений с кусочно-непрерывными коэффициентами.

Впервые такие интегральные преобразования появились в математической литературе в 70-х годах XX столетия в работах Уфлянда Я.С. [33] и его учеников и были названы впоследствии гибридными. В этих работах получены интегральные преобразования Фурье-Фурье на полубесконечном и конечном промежутках, гибридные интегральные преобразования Бесселя-Фурье и ФурьеБесселя на полярной оси. В серии работ конца 80-х годов М.П.Ленюка [20]-[21] теория гибридных интегральных преобразований была существенно продвинута: были сняты ограничения на количество точек сопряжения; вместо условий идеального контакта рассматривались произвольные условия сопряжения;

указана логическая схема применения интегральных преобразований к задачам математической физики. Метод скалярных интегральных преобразований не может быть применен в случае задач математической физики, описываемых связными системами дифференциальных уравнений в частных производных.

В предлагаемой монографии теория гибридных интегральных преобразований перенесена на матричный случай. В результате открылась возможность решать векторные задачи математической физики.

Матричные интегральные преобразования мы получаем как предел в смысле теории распределений - образных последовательностей, в качестве которых используются фундаментальные решения соответствующей задачи Коши.

Проиллюстрируем сказанное примером: получим прямое и обратное матричные интегральные преобразования Фурье на действительной оси методом образных последовательностей. Рассмотрим задачу Коши для классического уравнения теплопроводности V 2V - A2 = 0, V |t=0 = g (x), (0.1) t xгде - действительная матрица размера, у которой все собственные числа положительны, V = V (t, x)- вектор-функция размера 1. Если предположить, что вектор-функция V (t,x) является оригиналом по Лапласу, то в изображениях задаче (0.1) соответствует задача о конструкции ограниченного на R решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений:

2V - A-2pV (p, x) = - (x), (x) = A-2g (x) ;

x (0.2) V (p, x) = V (t, x) e-ptdt.

Непосредственно проверяется, что искомым решением системы уравнений (0.2) является функция A - V (p, x) = e-A p|x-| () d, Re p > 0. (0.3) 2 p Возвращаясь в (0.3) к оригиналу, получаем решение задачи Коши (0.1):

-A e-2tei·A-1(x-)d g () d.

V (t, x) = (0.4) - Из интегрального представления (0.4) следует, что матрично-значная функция A-1 2 -G (t, x - ) = e- teiA ·(x-)d является - образной последовательностью по t в смысле теории распределений, т.е.

A-1 -1 -lim G (t, x - ) = (x - ) E = eiA xe-iA d, (0.5) tгде Е - единичная матрица размера.

Для вектор- функции g(x) определенной, кусочно-непрерывной на R, абсолютно интегрируемой и имеющей ограниченное изменение на R, как вытекает из интегрального представления - функции (0.5), справедлива формула интегрального представления:

A-1 -1 -g (x) = eiA xd e-iA g () d. (0.6) - Получаем окончательно, что интегральная формула (0.6) порождает прямое -F и обратное F матричные интегральные преобразования Фурье:

-F [g] () = e-iA ·g () d (), A-1 --F [] (x) = eiA x () d.

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 16 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.