WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 |
1 Н.Н. Яремко ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО Учебно-методическое пособие Пенза - 2012 г.

3 Яремко Н.Н. Интегральное исчисление функции одного переменного:

учебно-методическое пособие /Н.Н. Яремко, – Пенза, 2012. - 77 с.

В Пособии рассмотрены основные вопросы интегрального исчисления:

неопределенный и определенный интегралы, приложения. Приводятся краткие теоретические положения, рассмотрены решения стандартных задач, даны рекомендации по применению пакетов символьной математики. В Пособии большое количество заданий для аудиторных занятий, для организации самостоятельной работы, сформулированы контрольные вопросы, имеются контрольные работы и тесты.

Пособие предназначено для студентов очного и заочного отделений физико-математического факультета.

4 Содержание СОДЕРЖАНИЕ............................................................................................................................................................... 4 §1. Первообразная, неопределенный интеграл..................................................................................................... 5 1.1. Первообразная.................................................................................................................................................. 5 1.2. Неопределенный интеграл............................................................................................................................... 5 1.3. Свойства неопределенного интеграла........................................................................................................... 5 1.4. Таблица неопределнных интегралов............................................................................................................. 6 Задания к п.1.4......................................................................................................................................................... 7 1.5. Понятие о «неберущихся» интегралах......................................................................................................... 1.6. Метод непосредственного интегрирования (подведение под знак дифференциала)................................ Задания к п.1.6....................................................................................................................................................... 1.7. Метод интегрирования по частям в неопределнном интеграле............................................................. 1.8. Метод замены переменных в неопределнном интеграле.......................................................................... Задания к п. 1.8...................................................................................................................................................... 1.9. Интегрирование дробно-рациональных функций........................................................................................ Задания к п.1.9....................................................................................................................................................... Контрольные задания к п.1.................................................................................................................................. Контрольные вопросы к п.1................................................................................................................................. 1.10. Вычисление неопределнного интеграла в среде Mathcad........................................................................ §2.ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.................................................................................................................................... 2.1. Определенный интеграл как приращение первообразной. Формула Ньютона-Лейбница...................... 2.2. Определенный интеграл как предел интегральных сумм........................................................................... 2.3. Геометрический смысл определенного интеграла...................................................................................... 2.4. Простейшие свойства определенного интеграла....................................................................................... 2.5. Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница.................................................. 2.6. Интегрирование по частям в определенном интеграле............................................................................. 2.7. Замена переменной в определенном интеграле........................................................................................... Задания к п.2.......................................................................................................................................................... Контрольные задания к п.2.................................................................................................................................. Контрольные вопросы к п.2................................................................................................................................. 2.8.Вычисление определнного интеграла в среде Mathcad.............................................................................. 2.9. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА В СРЕДЕ DERIVE 5............................................................................ §3. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ............................................................................................................................... Контрольные задания к п.3..................................................................................................................................



Контрольные вопросы к п.3................................................................................................................................. 3.1. Вычисление несобственных интегралов в среде Mathcad.......................................................................... §4. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА......................................................................................................... 4.1. Вычисление площадей.................................................................................................................................... Задания к п.4.1....................................................................................................................................................... 4.2. Объм тела вращения.................................................................................................................................... Контрольные задания к.п.4.................................................................................................................................. Контрольные вопросы к п.4................................................................................................................................. §5. ПРИБЛИЖЁННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА.............................................................................. Контрольные задания к п.5.................................................................................................................................. § 6. КОНТРОЛЬНО-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ПО ТЕМЕ «ИНТЕГРАЛ».......................................................... Примеры решений контрольно-измерительных материалов по теме «Интегралы»............................. Тест по теме «Определенный интеграл»........................................................................................................ ЛИТЕРАТУРА............................................................................................................................................................... §1. Первообразная, неопределенный интеграл 1.1. Первообразная.

Сформулируем задачу: какую функцию нужно поставить в скобках вместо многоточия в следующих равенствах: ( … )/=3x2 ; ( … ) /= cosx.

В первом случае это функция x3, и любая другая функция вида x3 c, с- const. Во втором - функция sin x и любая другая функция вида sin x c, с- const. Рассмотренные задачи есть задачи о нахождении первообразной.

Функция F(x) называется первообразной к функции y=f (x) на промежутке / Х, если F (x)=f (x) для любого х из промежутка Х.

Если f (x) задана и непрерывна на промежутке Х, то на промежутке Х существует первообразная F(x) для f (x), любые две первообразные F1(x) и F2(x) для f (x) отличаются на константу:

F1(x) – F2(x) = const, для всех x X.

если F(x) - первообразная для f(x) на промежутке X, то F(x)+с также первообразная для f (x).

1.2. Неопределенный интеграл.

Совокупность всех первообразных для функции y=f(x) называется неопределенным интегралом от функции y=f (x).

Если F(x) – какая - либо из первообразных функции f(x), то принято обозначение:

f (x)dx F(x) c,c const.

Пример 1.

2 3x dx x c, сosxdx sin x c, 2xdx x c.

1.3. Свойства неопределенного интеграла.

1. f (x)dx g(x)dx - аддитивность.

f (x) g(x)dx 2. (x)dx k f (x)dx - однородность.

kf 1-2 – линейность 3. f (x)dx f (x) 4. f (x)dx f (x) C, C const 1.4. Таблица неопределнных интегралов.

1. 0dx c 2. dx x c x3. x dx c, - dx 4. ln | x | c x dx 5. 2 x c x dx 6. ln | x a | c x a 7. xdx cos x c sin 8. cos xdx sin x c dx 1 x 9. arctg c x2 a2 a a dx 1 x a 10. ln c x2 a2 2a x a dx x 11. arcsin c a a xdx 12. ln x x2 a2 c x2 ax a 13.

a xdx ln a c 14.

e xdx e x c Задания к п.1.4.

Найти интегралы, пользуясь таблицей:

35x x 3 2x 1. dx 3.

2.

1 x xdx x dx x 3x 5 dx dx 4. dx 5. 6.

2x 4 5x2 9x2 2 6 x 7. 5xdx 8. xdx 9. dx sin sin e dx dx 10. 4x 7 dx 11. 12.

3 7x2 3 7x1/ dx 7x 43x2 x 4x 13.

14. dx 15. dx 9/ 7x 2xx 3 2x 1 2x 5 x 17. dx 16. dx 18.

x dx x 2x 1 2x 5x 3 dx x 20. dx 21.

19.

1 x xdx 2x 4 3xdx 23. 7xdx 24. xdx sin cos 22.

9x2 4 x dx 25. dx 26. 7x 2 dx e 27.

3 23x dx dx 7x 43x2 28. 29.

30. dx 7 / 3 5x2 2x 12x1/ 1 2x x 6x 32. dx 31. dx 2x 5 2x x 1.5. Понятие о «неберущихся» интегралах.

Даже простейшие интегралы могут не выражаться в элементарных функциях. Многие из подобных интегралов получили широкое применение, в связи с чем, они получили свои названия и сокращнные обозначения:

x 1. dx lix c -интегральный логарифм, ln x x e 2. dx Eix c - интегральная экспонента, x sin x 3. dx six c - интегральный синус, x cos x 4. dx cix c - интегральный косинус, x x 5. dx erfx c - интеграл ошибок.

e 1.6. Метод непосредственного интегрирования (подведение под знак дифференциала).

Метод подведения под знак дифференциала основан на инвариантности формы первого дифференциала и знании формул:

dfx.

/ df (x) = f (x)dx, dx / f x Пример 1.

xx100dx c Пример 2.

d(3x 2) d(3x 2) (3x 2)100dx dx 3 (3x 2)100 3 = 1 (3x 2) = (3x 2)100d(3x 2) 3 101 c Пример 3.

d(x2 5x 3) (x2 5x 3)100(2x 5)dx dx 2x d(x2 5x 3) 5x 3)100(2x 5) (x2x (x2 5x 3)(x2 5x 3)100d(x2 5x 3) 101 c.

Пример 4.

d(3cos x 2) (3cos x 2)100 sin xdx (3cos x 2)100 sin x 3sin x = 1 1 (3cosx 2)= (3cosx 2)100d(3cosx 2) 3 101 c Пример 5.





x 1 d(x2 2x 3) dx dx 2x x2 2x 1 x 1 d(x2 2x 3) d(x2 2x 3) ln(x2 2x 3) c 2x 2 x2 2x 3 x2 2x Пример 6.

3 3 3 2 3 sin xcos xdx sin xcos xcos xdx sin xcos xdsin x x1 sin2 xdsinx sinx y y31 y2dy sin 4 y4 y6 sin x sin x y3 y5dy c c.

4 6 4 Задания к п.1.Найти интегралы подведением подходящей функции под знак дифференциала:

(lnx)3 1 1. sinxcosxdx 2. dx 3. sin lnxdx 4. elnxdx x x x ln x 3 sinx 5. dx 6. e cosxdx (sinx) cosxdx 7. sin(sinx) cosxdx 8.

x ln x ln4 x 11.

9. sinx cosxdx 10. dx (cosx) sinxdx 12. x dx x 16. sin xcosxdx 5 cosx 13. cosx sinxdx 14. sin xcosxdx 15. e sinxdx 1 ln x (lnx)7 dx ln x ln x 18. cos lnxdx 19. e dx 17. 20. dx x x x x 3 5 tgx 21. e dx cos( (sinx) cos xdx 22. sinx) cosxdx 23.

cos2 x ln7 x 1/24. cosx sinxdx 26.

25. dx (cosx) sinxdx x ln2/3 x 5 28. tgx dx dx 27. dx 29. sin xcos x cos2 x x sin2x 30. e cos2xdx 1.7. Метод интегрирования по частям в неопределнном интеграле.

Если функции u ux и v vx непрерывно-дифференцируемы в промежутке X, то справедлива формула:

udv uv vdu.

Эта формула чаще всего применяется для интегрирования произведения функций. При этом за принимается тот сомножитель, который при u дифференцировании “ упрощается ”. Например, в интеграле x arctgxdx за u 2 x надо взять arctgx, а в интеграле x e dx за надо взять x2.

u Алгоритм:

* выбрать u,dv, * найти du,v, * применить формулу и выполнить интегрирование.

x Пример 1. Найти интеграл xe dx.

Решение:

u x дифференцируем du dx xexdx dv exdx инт егрируе v exdx ex м xex exdx xe x – e x + c.

Пример 2. Найти интеграл x ln xdx.

Решение:

u ln x дифференци руем du dx x xln xdx x dv xdx интегрируем v xdx x2 x2 1 x2 x2.

= dx ln x c 2 2 x 2 Задания к п.1.Найти интегралы методом интегрирования по частям:

1. (5x-3)ln(3x+5)dx 2. (5x-3)cos(3x+5)dx 3. (5x-3)ln(3x+5)dx 4. (5x-3)arctg(3x+5)dx 5. (5x-3)e3x+5 dx 6. (4x-7)ln(x+4)dx 10. 7x-4)arctg(4x+7)dx 8. (7x+4)cos(4x-7)dx 9. (7x-4)ln(4x+7)dx ( x 11. e dx 12. sinln xdx 13. x cos 4xdx 3 x15. 16. x e dx arctg xdx 14. (7x-4)ln (4x+7)dx ln x 17. x sin 4xdx 19. x 9dx 18. dx x3x 22. cos 2xdx 21.

20. x 9dx e arccos xdx 2 2 x 24. ln xdx 25. x cos xdx 23. xe dx sin 3 x27. 28. x e dx arctg x 1dx 26. xln (4x+7)dx 2 29. x sin xdx ln2 x 31. x 25dx 30. dx x1.8. Метод замены переменных в неопределнном интеграле.

Если функция F- первообразная к f в промежутке Y, то справедливо равенство f (y)dy F(y) c, при этом y можно считать независимой переменной или функцией переменного x, т.е.

f (y(x))dy(x) F(y(x)) c, в предположении непрерывной дифференцируемости функции y yx в промежутке X, таком, что сложная функция f (y(x)) существует.

Функция y yx подбирается так чтобы получающийся в результате замены интеграл сводился бы к табличному.

Алгоритм:

* ввести замену переменной y yx;

* из соотношения y yx найти и дифференцированием получить dx ;

x * выполнить подстановку и вычислить полученный интеграл;

* вернуться к переменной.

x dx Пример 1. Найти интеграл 1 x.

Решение:

1 x y dx 2(y 1)dy 2y = dy 1 x x y y y x ( y 1) dx 2( y 1)dy dy =2y-2ln | y |+c=2(1+ )–2ln(1 x )+c.

x 2 y Пример 2. Вычислить xdx.

tg dt Решение. Выполним замену переменной: tg x t, x arctg t, dx.

t t dt Получим tg7 xdx.

t В подынтегральном выражении выделим целую часть:

t t - t5 t3 t t t t t5 t_ _ t - t t t Тогда t t6 t t tdt dt 4 2.

tg7 xdx t3 t t t 1 6 4 2 t2 tdt В интеграле сделаем замену:

t du u t 1, du 2tdt,tdt, tdt 1 du 1 при этом ln u C ln(t 1) C.

t 1 2 u 2 Возвращаясь к переменной х, получим tg6 x tg4 x tg2 x tg7 xdx lntg2 x 1 C 6 4 2 tg6 x tg4 x tg2 x ln cos x C.

6 4 Задания к п. 1.Найти интегралы методом замены переменной:

x 5 x 2 x 3 x 1. dx 2. dx 3. dx x x 1 x x 2 x x x 4. dx 5. dx 6. xsin2xdx cos x 5 x x cos2 x 2cos x 7. dx 8. dx 9. xsin3xdx cos sin4 x 3sin x cos4 x 2cos x 10. dx 11. dx 12. xsin5xdx cos sin x 5sin x 2cos x 1 sin x 13. dx 14. dx 15. xsin2xdx cos 4sin x 3 cos x 2sin x 1 cos x 16. 17. dx 18.

4cos x 3 sin x x x dx x x 3 x x x x 19. dx 20. dx 21. dx x 9 x 5 x x x x 3 cos x 22. dx 23. xsinxdx 24. dx cos x 1 sin x 3cos x 1 cos x 6 25. dx 26. xsin xdx 27. dx cos 3sin x 4 sin x 2cos x 1 cos x 9 28. dx 12sin x 5 dx 29.cos xsin xdx 30.

4sin x sin x 2sin x 5 31. dx 32. xsin xdx 33. dx cos cos x 5sin x 1.9. Интегрирование дробно-рациональных функций.

P(x) Функция y называется дробно-рациональной, если P и Q – Q(x) несократимые многочлены переменного x.

x3 Функция y - дробно-рациональная.

x2 Рациональная дробь называется правильной если степень многочлена Px строго меньше степени многочлена Qx, в противном случае рациональная дробь называется неправильной.

Если дробь неправильная, то для интегрирования нужно предварительно выделить целую часть “ делением уголком.” x3 Пример 1. Выделить целую часть дроби y.

x2 Решение:

Выполним “ деление уголком ”.

x3+3 x2- x3-7x2 x+7 целая часть 7x2+ 7x2- 52 остаток В итоге придм к равенству остаток цел аячасть x3 3 y x 7.

x2 7 x2 Существует 4 типа простейших дробей.

A - простейшие дроби I типа :

x a A - простейшие дроби I I типа:, где k 2, 3, 4,...

Pages:     || 2 | 3 | 4 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.