WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 6 |
Библиотека «Математическое просвещение» И. Д. Жижилкин ИНВЕРСИЯ Издательство Московского центра непрерывного математического образования Москва 2009 Н а у ч н о - р е д а к ц и о н н ы й с о в е т с е р и и:

В. В. Прасолов, А. Б. Сосинский (гл. ред.), А. В. Спивак, В. М. Тихомиров, И. В. Ященко.

Серия основана в 1999 году.

Библиотека «Математическое просвещение» Выпуск 35 И. Д. Жижилкин ИНВЕРСИЯ Издательство Московского центра непрерывного математического образования • Москва 2009 УДК 511.1 ББК 22.130 Ж70 Жижилкин И. Д.

Ж70 Инверсия. — М.: Изд-во МЦНМО, 2009. — 72 с.

ISBN 978-5-94057-448-4 Инверсия — отображение плоскости на себя, которое может переводить окружности в прямые. С одной стороны, это помогает решать «школьные» геометрические задачи, особенно те, в которых речь идёт о многих пересекающихся или касающихся окружностях. В то же время знакомство с инверсией необходимо для дальнейшего изучения таких разделов математики, как комплексный анализ и геометрия Лобачевского.

После определения и вывода основных свойств инверсии в брошюре разбираются классические задачи Архимеда, Паппа, Аполлония. Рассказывается также об инверсии пространства, стереографической проекции сферы на плоскость, пучках окружностей и сфер, что приводит к доказательству знаменитой теоремы Понселе.

Материал брошюры рассчитан на старшеклассников, учителей математики и всех интересующихся элементарной геометрией.

Брошюра написана по мотивам лекции, прочитанной автором на Малом мехмате 28 февраля 2004 года.

ББК 22.130 Серия «Библиотека „Математическое просвещение“» Жижилкин Игорь Дмитриевич ИНВЕРСИЯ Выпуск 35 Серия основана в 1999 году Редактор М. Г. Быкова Тех. редактор Д. Е. Щербаков Подписано к печати 20/IV 2009 г. Формат 60 84116. Бумага офсетная № 1.

/ Печать офсетная. Объём 4,50 печ. л. Тираж 3000 экз. Заказ.

Издательство Московского центра непрерывного математического образования.

119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11. Тел. (499) 241 74 83.

Отпечатано с готовых диапозитивов в ППП «Типография „Наука“».

119099, Москва, Шубинский пер., 6.

© И. Д. Жижилкин, 2009.

ISBN 978-5-94057-448-4 © Издательство МЦНМО, 2009.

ВСТУПЛЕНИЕ В школьном курсе планиметрии рассматривают два вида преобразований плоскости: движения и преобразования подобия (гомотетию). Как гомотетия, так и движения являются линейными преобразованиями, то есть такими, при которых прямые переходят в прямые. Или, другими словами, в декартовой системе координат эти преобразования задаются линейными уравнениями.

Безусловно, класс линейных преобразований плоскости гораздо шире и отнюдь не исчерпывается лишь движениями и гомотетиями. Однако иногда бывает полезно рассмотреть и нелинейные преобразования. При таких преобразованиях прямая может перейти в какую-либо кривую. Правда в средней школе на уроках геометрии мы привыкли встречаться с одной-единственной кривой — окружностью. Не будем нарушать эту традицию, идущую ещё от Евклида, и рассмотрим замечательное преобразование плоскости, которое называется инверсией. При инверсии некоторые прямые переходят в окружности.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Рассмотрим на плоскости окружность w с центром O и радиусом R и произвольную точку A1, отличную от центра O.

Дадим следующее определение (рис. 1).

Определение. Точка A2 называется симметричной точке A1 относительно окружности w с центром O и радиусом R, если точка A2 лежит на луче OA1 и OA1 ·OA2 = R2.

Из определения непосредственно слеw дуют следующие утверждения.

1. Для каждой точки плоскости, кроме центра O, существует единственная O A1 Aточка, симметричная ей относительно окружности w.

2. Для центра O симметричной точки не существует.

Рис. 3. Если точка A2 симметрична точке A1 относительно окружности w, то и точка A1 симметрична точке A2 относительно окружности w.

4. Каждая точка, лежащая на окружности w, симметрична сама себе.

5. Если A1 и A2 — различные симметричные точки, то одна из них лежит внутри окружности w, а другая—снаружи.

Теперь можно рассмотреть отображение плоскости на себя, которое переводит любую точку, кроме центра O, в точку, симметричную ей относительно окружности w. Это преобразование и называется инверсией плоскости относительно окружности w. Вопрос о судьбе центра окружности O оставим пока открытым. Будем рассматривать плоскость с выколотой точкой O. На такой «проколотой плоскости» инверсия полностью и однозначно определена для всех точек.

Наглядно представить себе инверсию можно как результат «выворачивания» плоскости через окружность w. Все точки окружности инверсии остаются на w месте, все точки, находившиеся внутри окружности w, оказываются снаружи, а все точки, располагавO A1 Aшиеся снаружи окружности, попадают внутрь.

Если точки A1 и A2 меняются при этом местами, то по Рис. определению симметричных точек ROA1 ·OA2 = R2, то есть OA2 =. Значит, чем больше велиOAчина OA1, тем меньше величина OA2 и наоборот. Чем ближе точка расположена к центру инверсии, тем дальше её образ от этого центра. Если придвигать точку A1 всё ближе и ближе к центру O, тем самым приближая величину OA1 к нулю, то величина OA2 будет неограниченно возрастать и, в конце концов, точка A2 «уйдёт в бесконечw ность» (рис. 2).

Уместно также пояснить, почему мы называем точки A1 и A2 симметричными. Для этого A1 Aрассмотрим такую точку A1, что OA1 мало отличается от R, то есть точку, лежащую близко к окружности инверсии. Её образ A2 также лежит недалеко от окружности инверсии, но по другую сторону. Если при этом сделать радиус R очень Рис. 3 большим (как говорят, достаточно большим), чтобы видимая часть окружности w стала весьма похожей на прямую (так же как видимая нами часть земной поверхности весьма похожа на плоскость), то точки A1 и A2 станут «весьма похожи» на точки, симметричные относительно этой «почти прямой» (рис. 3).



Ограничимся пока этими расплывчатыми рассуждениями, а в дальнейшем сформулируем и докажем ряд строгих утверждений, придающих смысл словам, взятым в кавычки.

1. Рассмотрим на координатной плоскости точку A1(x1, y1) и окружность w: x2 + y2 = R2. Найдите координаты точки A2, симметричной точке A1 относительно окружности w.

ПОСТРОЕНИЕ Из определения симметричных точек следует, что для любой точки плоскости (слова «кроме центра O» будем в дальнейшем пропускать) однозначно определена симметричная ей точка. Хотелось бы, однако, не просто быть уверенным в её существовании, но и уметь достаточно быстро её построить циркулем и линейкой. Самое известное построение вытекает из следующего утверждения.

Утверждение. Пусть точка A лежит снаружи окружности w с центром O, AM и AN — касательные к окружности w, прямые OA и MN пересекаются в точке B. Тогда точки A и B симметричны относительно окружности w (рис. 4).

Доказательство этого утверждения совсем не сложно.

M w M K w O P B A O B A N N Рис. 4 Рис. Из подобия прямоугольных треугольников OMA и OBM следует пропорция OM/OB = OA/OM, или OA ·OB = OM2, что и требовалось доказать.

Теперь можно построить точку, симметричную любой точке плоскости относительно данной окружности. Это легко сделать по заданной окружности как для точки A, расположенной внутри окружности, так и для точки B, расположенной вне её.

Однако несмотря на простоту построения оно, пожалуй, обладает определённым недостатком. Точки A и B названы симметричными относительно окружности, а вот само построение в каком-то смысле «несимметрично». Действительно, если точка A лежит снаружи окружности w, то для построения надо сначала провести касательную, а потом опустить на прямую OA перпендикуляр из точки касания.

Если же данная точка лежит внутри окружности, то построение ведётся в обратном порядке; сначала — перпендикуляр, потом — касательная.

Хотелось бы найти такое построение, чтобы оно действовало совершенно одинаковым образом, независимо от того, как именно расположена исходная точка: внутри или вне окружности. Это построение получается из следующей важной задачи.

2. Пусть K, M, N — произвольные точки на окружности, p — серединный перпендикуляр к отрезку MN. Тогда прямые KM и KN пересекают прямую p в точках A и B, симметричных относительно окружности (рис. 5).

Решение. Пусть P — та точка пересечения прямой p с окружностью, которая лежит вне отрезка AB. Так как угол MKN — вписанный, а угол PON равен половине соответствующего ему центрального угла, значит, MKN =PON и BKA =BON. Поэтому в треугольниках ONB и KAB все углы соответственно равны. Следовательно, равны и соответственные углы треугольников BON и MOA.

Из подобия треугольников BON и MOA получаем:

OA OM =, OA·OB = OM ·ON = R2.

ON OB Используя полученный результат, строим точку, симметричную данной точке A, следующим образом (рис. 6):

1) проведём прямую OA и произвольную секущую, проходящую через точку A и пересекающую окружность w в точках M и K;

2) опустим из точки M перпендикуляр на прямую OA и продолжим его до пересечения с окружностью в точке N.

M N w w K K B A O A O B N M Рис. 6 Рис. Прямая KN пересекает OA в искомой точке B.

Легко видеть, что если на нашем чертеже просто поменять местами буквы A и B, а также M и N, то описание построения вообще не изменится (рис. 7). Последовательность действий останется той же самой, поскольку произвольную секущую KM можно провести как из внутренней точки окружности, так и из внешней, а для построения безразлично — лежит исходная точка A на отрезке KM или на его продолжении.

Заметим также, что первый способ построения (рис. 4) является вырожденным случаем второго, при котором точки M и K сливаются, а секущая превращается в касательную. Если попытаться аккуратно провести все построения циркулем и линейкой, то преимущества второго способа становятся очевидными. Действительно, отрезок MN можно заменить подходящей дугой окружности с центром, лежащим на прямой OA. Тогда для построения надо провести всего три прямые и одну окружность.

Сравнение явно не в пользу первого способа, где по ходу построения надо проводить перпендикуляры или делить отрезок пополам, что требует проведения дополнительных прямых и окружностей.

СВОЙСТВА ИНВЕРСИИ До сих пор мы применяли инверсию лишь к единственной точке. Посмотрим теперь, что произойдёт, если применить это преобразование к более сложному объекту. Естественно попробовать подействовать инверсией на прямую. Если эта прямая проходит через центр инверсии, то точки, находившиеся внутри окружности, окажутся снаружи, и наоборот:

точки, находившиеся вне окружности, окажутся внутри, но в целом прямая перейдёт сама в себя. Гораздо интереснее случай, когда исходная прямая не проходит через центр инверсии. Прежде чем рассмотреть этот случай, докажем несложную лемму. В силу важности назовём её основной.

Основная лемма. Пусть A1, A2 и B1, B2 — пары различных точек, симметричных относительно окружности w с центром O. Тогда OA1B1 =OB2A2 (рис. 8).

w AAO BBРис. Доказательство. По определению симметричных точек OA1 ·OA2 = R2 = OB1 ·OB2, следовательно, OA1 OB=.

OB1 OAИз пропорциональности сторон следует подобие треугольников OA1B1 и OA2B2 по двум сторонам и углу между ними. Из подобия треугольников следует равенство углов:





OA1B1 =OB2A2.

Равенство этих углов также означает, что четырёхугольник A1A2B2B1 вписанный, или, другими словами, все четыре точки лежат на одной окружности. В дальнейшем этот факт пригодится для доказательства важных свойств инверсии.

3. Вычислите длину отрезка A2B2, если известны стороны треугольника OA1B1 и радиус окружности инверсии.

Теперь можно доказать первое важное свойство инверсии.

Теорема 1. Прямая, не проходящая через центр инверсии, переходит в окружность, проходящую через центр инверсии.

Доказательство. Опустим из центра O перпендикуляр OM на данную прямую a и рассмотрим точку K, симметричную точке M относительно окружности инверсии.

Построим окружность a с диаметром OK. Рассмотрим произвольную прямую, не совпадающую с OK, проходящую через центр O и непараллельную прямой a. Пусть она пересекает окружность w в точке B, а прямую a — в точке A (рис. 9).

Угол при вершине B прямой, поскольку он опирается на диаметр. Из подобия прямоугольных треугольников OBK и OMA получаем OA ·OB = OM ·OK. Поскольку точки M и K по построению симметричны, R2 = OM ·OK = OA ·OB.

Значит, точки A и B также симметричны относительно окружности инверсии. Следовательно, прямая a и окружность w переходят друг в друга при инверсии.

4. Если исходная прямая касается окружности, то точки M и K совпадают и доказательство теряет силу. Как изменить доказательство теоремы для этого частного случая Построить образ прямой, которая пересекает окружность инверсии, особенно легко. Поскольку точки окружности инверсии остаются неподвижными, достаточно провести окружность через центр инверсии и две точки пересечения окружности инверсии и исходной прямой.

На рис. 10 показаны: окружность w, прямая a, пересекающая её в двух точках B и C, и окружность a, проходящая A a A w Q B B P M O K O a w a a C Рис. 9 Рис. через точки O, B, C. Эта окружность a является образом прямой a при инверсии относительно окружности w.

Легко видеть, что касательные, проведённые к обеим окружностям из точки A, лежащей на прямой a, равны между собой. Это следует из теоремы о квадрате касательной:

AP2 = AB · AC= AQ2, значит, AP= AQ.

Оказывается, это утверждение остаётся верным, даже если окружности a и w не пересекаются.

5. Пусть окружность a является образом прямой a при инверсии относительно окружности w, точка A лежит на прямой a. Докажите, что касательные, проведённые к окружностям a и w из точки A равны между собой.

Теорему 1 можно, очевидно, сформулировать и иначе.

Теорема 1. Окружность, проходящая через центр инверсии, переходит в прямую, не проходящую через центр инверсии.

Теперь представляется естественным применить инверсию к произвольной окружности. Докажем следующую важнейшую теорему.

M AABO BCCaw aРис. Теорема 2. Окружность, не проходящая через центр инверсии, переходит в окружность, не проходящую через центр инверсии.

Доказательство. Рассмотрим инверсию относительно окружности w и окружность a1, не проходящую через центр инверсии O (рис. 11). Проведём прямую через центры окружностей a1 и w. Эта прямая пересекает окружность a1 в диаметрально противоположных точках B1 и C1. Построим точки B2 и C2, соответственно симметричные точкам B1 и Cотносительно окружности w, и рассмотрим окружность a2, построенную на диаметре B2C2. Докажем теперь, что точки, симметричные точкам окружности a1, расположены на окружности a2, и наоборот.

Возьмём на окружности a1 произвольную точку A1 и построим точку A2, симметричную точке A1 относительно окружности w. Теперь применим основную лемму к двум четвёркам точек — к A1, A2; B1, B2 и к A1, A2; C1, C2. Первая четвёрка даёт равенство углов A1B1C1 и B2A2M, а вторая — A1C1B1 и C2A2O.

Треугольник A1B1C1 является прямоугольным, так как B1C1 — диаметр окружности, значит, A1B1C1 +A1C1B1 = =90, следовательно, B2A2M +C2A2O =90. Из последнего равенства следует, что угол B2A2C2 — прямой и, значит, точка A2 расположена на окружности a2 с диаметром B2C2, что и требовалось доказать.

На приведённом чертеже окружности a1 и a2 не пересекают окружность инверсии w и не содержат внутри себя её центр. Доказательство, разумеется, остаётся в силе и при любом другом расположении окружностей, хотя чертёж становится немного более запутанным. Попробуйте самостоятельно проследить все шаги доказательства в оставшихся случаях.

СЕРЕДИННАЯ ОКРУЖНОСТЬ Рассмотрим ещё раз рис. 11. Пусть прямая A1A2 пересекает второй раз окружность a2 в точке M (рис. 12).

Цепочку равенств углов из доказательства теоремы 2 можно продолжить: A1C1B1 =C2A2O =C2B2M. Отсюда следует, что прямые A1C1 и MB2 параллельны. А это значит, что точка O является центром гомотетии окружностей a1 и a2.

Таким образом, можно сформулировать ещё одно утверждение, широко применяемое при решении задач.

M AABBO CCaw aРис. Утверждение. Если при инверсии с центром O окружность a1 переходит в окружность a2, то центр инверсии является также центром гомотетии.

Если рассматривать окружность как целое, не интересуясь «судьбой» каждой точки, то инверсия неотличима от гомотетии. Если же рассматривать окружность как множество точек, то инверсия и гомотетия, конечно же, являются разными отображениями окружности на окружность.

Хотелось бы так же просто сформулировать и обратное утверждение, что центр гомотетии двух окружностей является центром подходящей инверсии, переводящей эти окружности друг в друга, однако это не совсем так. Дело в том, что две окружности имеют, вообще говоря, два центра гомотетии.

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 6 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.