WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 7 |

Лишь в 1997 году, через сорок лет после выхода в свет статьи Грюнбаума, ленинградский математик В. В. Макеев сумел построить новую многогранную покрышку, отличную от усечённого октаэдра. А именно, он доказал, что всякое множество диаметра 1 в может быть заключено в ромбододекаэдр, у которого расстояние 16 Рис. 11, б) Рис. 11, г) Рис. 11, в) 18 между параллельными гранями равно 1 (см. рис. 12). Более того, принимать величине s. Проблема лишь в том, что с увеличениот ромбододекаэдра можно отсечь три кусочка посредством точно ем s растёт и число множеств, каждое из которых нам предстоит таких же плоскостей, какие были использованы в случае октаэдра. разбивать на части диаметра, меньшего 1. Таким образом, необхоБолее точно, рассмотрим такую систему координат, что каждая из димо искать <золотую середину>, и это иной раз бывает непросто.

её плоскостей проходит через центр ромбододекаэдра и 4 его вер- Читатель сам увидит это, если попытается решить некоторые из шины. Теперь рассмотрим три взаимно перпендикулярные плоско- задач, которые мы приведём в конце главы. Здесь же мы не стасти, параллельные координатным плоскостям и отстоящие от этих нем вдаваться в подробности. Заметим только, что на упомянутом плоскостей на расстояние 1/2 соответственно (см. рис. 13). По- пути удаётся достичь результата вроде 0,97 (см. задачи).

лученный в конечном итоге многогранник U удаётся разбить на Есть ещё одна важная задача, близкая в некотором смысле четыре части диаметра меньше 0,98, что на восемьдесят семь де- к проблеме Борсука, и близкая притом настолько, что некоторые сятитысячных лучше, чем у Грюнбаума. Подчеркнём, что, хотя результаты относительно неё могут быть весьма полезны при обс точки зрения проблемы Борсука улучшение ничтожно, результат суждении нашего основного вопроса. Эта задача была поставлена Макеева крайне интересен сам по себе. К сожалению, изложить Грюнбаумом в 50-е годы XX века, и сводится она к нахождению его доказательство здесь мы не сможем: оно основано на глубоких минимального числа gd(n) шаров (кругов, отрезков) диаметра d1, фактах топологии, понимание которых требует значительной под- которыми может быть покрыто произвольное множество A n готовки. Заметим, кстати, что и экономное разбиение U на четыре единичного диаметра. Иными словами, мы сперва берём любое A части не есть плод кропотливых ручных расчётов, подобных тем, и рассматриваем покрытие что проделал Грюнбаум. Теперь, когда есть компьютеры, гораздо A B1...Bg, проще бывает подчас прибегнуть к их помощи. Так и поступил Л. Евдокимов, осуществивший упомянутое разбиение U. предполагая, что B1,..., Bg суть шары и что diam Bi=ddiam A для каждого i, 1ig. Затем мы обозначаем через gd(A ) минимум среди всех g, для которых такое покрытие существует, и определяем gd(n) как максимум по всем A величин gd(A ). Как видно, ситуация очень похожа на ту, что возникала при определении f(n). Более предметно мы обсудим задачу Грюнбаума несколько позже. Сейчас же мы заметим, что при n=3 лидирующие позиции в изучении этой задачи занимает П. Кацарова-Каранова, доказавшая в 1967 году, что при d0,999983 имеет место точное равенство gd(3)=4. Ясно, что отсюда мгновенно следует уже известное нам равенство f(3)=4 и оценка 0,999983. Конечно, последняя оценка куда как слабее всех своих упомянутых выше аналогов. Однако не в том пафос: гораздо важнее то, что здесь мы достаточно чётко представляем себе происхождение разбиения.

Рис. 12 Рис. Оно не просто перекочевало на данное множество с универсальНесколько другой подход к уточнению неравенства 0,9887... ной покрышки, а возникло из покрытия этого множества весьма состоит в обобщении понятия покрышки, которое мы приведём ниже. конкретными телами — шарами. Впрочем, работа Кацаровой-КараОпределение. Совокупность множеств U1,..., Us n при n3 новой крайне громоздка в вычислительном плане, и мы не станем называется универсальной покрывающей системой для множеств излагать её в этой брошюре.

диаметра 1, если для каждого множества A единичного диаметра Напоследок заметим, что и в случае 3 удаётся предложить найдётся такое Ui и движение, что A (Ui). отдельный подход к решению проблемы Борсука для конечных Иначе говоря, если раньше мы стремились отыскать одно множеств точек. Естественно, он опять-таки носит весьма комбимножество U, жёсткие копии которого покрывают все множества наторный характер. Однако на сей раз всё значительно труднее, диаметра 1, то теперь часть множеств мы заключаем в копии U1, чем то было на плоскости, и мы не имеем возможности привести часть — в копии U2 и т. д. вплоть до Us. Понятно, что отныне здесь соответствующие рассуждения, принадлежащие А. Хеппешу свободы у нас тем больше, чем большее значение мы разрешаем и П. Ревесу.

20 11. Докажите, что шар радиуса 3/8 является универсальной покрышкой для множеств диаметра 1 в 3.

12. Убедитесь в том, что покрышка из задачи 11 не позволяет решить проблему Борсука в трёхмерном пространстве. На сколько частей диаметра меньше 1 эту покрышку всё же можно разбить 13. Рассмотрим шар B1 радиуса 3/8 и зафиксируем на сфере, которой он ограничен, произвольную точку. Пусть B2 — это шар радиуса 1 с центром в нашей точке. Докажите, что B1B(см. рис. 14) — универсальная покрышка. Постройте её разбиение на 5 частей с диаметрами меньше 1. Постарайтесь добиться того, чтобы диаметры частей были как можно меньше. Можно ли осуществить разбиение B1B2 на четыре части с диаметрами меньше 1 Рис. 15, а) Рис. 14. Рассмотрим правильный октаэдр с рис. 8. Отсечём от него не три пирамиды, как это делали Хеппеш и Грюнбаум, а шесть.

Иными словами, теперь мы хотим <отрубить> все шесть вершин октаэдра, используя для этого, как и прежде, плоскости, параллельные его центральным сечениям. Только на сей раз мы не станем ограничиваться случаем, когда плоскости проходят на расстоянии 1/2 от <своего> сечения по ту или другую сторону от него. Мы будем считать, что упомянутые расстояния суть какие-то (априори произвольные) числа r1,..., r6. Сообразно этому плоскости мы обозначим 1(r1),..., 6(r6). Понятно, что каждое ri заведомо положительно и не превосходит расстояния от центра октаэдра до любой из его вершин. Пусть новый усечённый многогранник — это U(r1,..., r6). На рис. 15 изображены два усечённых октаэдра с наборами параметров Рис. 15, б) 3 1 а) r1=...=r6=, б) r1=r2=r3=, r4=r5=r6=.

2 3 3 Для каких значений r1,..., r6 этот многогранник является уни22 версальной покрышкой Варьируя параметры r1,..., r6, постройте универсальную покрывающую систему из многогранников вида U(r1,..., r6). Постарайтесь получить, наиболее эффективно разбивая на четыре части каждый из многогранников в системе, как можно лучшую верхнюю оценку на. Удастся ли, скажем, на этом пути достичь неравенства 0,97 Попытайтесь ту же программу осуществить в случае ромбододекаэдра.

15. Рассмотрим V1= x=(x1, x2, x3): xi{-1, 0, 1}, i=1, 2, 3.

Докажите, что любое множество VV1 допускает разбиение на четыре части меньшего диаметра. Сделайте то же самое для каждого VVs, где Vs — множество целых точек в кубе [-s, s]3, то есть Vs= x=(x1, x2, x3): xi{-s,..., s}, i=1, 2, 3.

Четырьмя шарами какого (по возможности, наименьшего) диаметра покрывается Vs при заданном s 16. Рассмотрим произвольную треугольную пирамиду A1A2A3A4, имеющую диаметр 1. Пусть B — это шар минимального радиРис. уса, покрывающий её. Понятно, что вершины пирамиды лежат на сфере, которой ограничен шар B. Пусть B1, B2, B3, B4 суть шары радиуса 1 с центрами в точках A1, A2, A3, A4. Рассмотрим множество BB1...B4 (см. рис. 16). Назовём это множество <тетраэдром Рело> по аналогии с треугольником Рело на плоскости (см. рис. 17). Попытайтесь отыскать оптимальное разбиение тетраэдра Рело на четыре части. Что получится в случае, когда исходная пирамида правильная 17. Попытайтесь опровергнуть гипотезу Гэйла. Возможно, результаты по предыдущей задаче окажутся полезными.

18. Попытайтесь получить аналог результата Кацаровой-Карановой при каких-нибудь d<0,999983.

6. ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМЫ БОРСУКА В ПРОСТРАНСТВАХ РАЗМЕРНОСТИ n>В начале второй главы, когда мы обсуждали вопрос о том, что следует понимать под пространством, мы заметили, что исчерпывающий ответ на этот вопрос разумно оставить в стороне, и в тот момент мы решили ограничиться ситуациями, досконально изучаемыми в рамках стандартной школьной программы. Однако, даже Рис. если не заводить речь о с о в е р ш е н н о и с ч е р п ы в а ю щ е м ответе, на прежнем уровне знания нам оставаться никак нельзя.

Конечно, весьма нетривиальные эффекты мы уже пронаблюдали, рассматривая проблему Борсука в n с n3. И тем не менее, гораздо более тонкие и в то же время яркие факты нас ещё только 24 ожидают. Дело в том, что ограничение n3 носит, вообще-то, весь- Сфера же — это множество точек, равноудалённых от данной точма произвольный характер. Ясно, что, на первый взгляд, подобное ки a=(a1,..., an), которая является центром сферы (шара):

заявление кажется по меньшей мере странным, ведь всё, что мы видим вокруг себя, представляется нам вполне укладывающимся B= x=(x1,..., xn): (x1-a1)2+...+(xn-an)2r2, в трёхмерную интерпретацию. Более того, даже вообразить себе S= x=(x1,..., xn): (x1-a1)2+...+(xn-an)2=r2.

четырёхмерный мир мы не в состоянии. Откуда же тогда возникнуть пространствам многих измерений Если об n=4 помыслить B — это шар, S — его сфера, r — радиус. Так вот, множество трудно, то что будет, скажем, при n=100, 1000 и т. д. ОказыA n ограничено, если все его точки лежат внутри некоторого вается, что и в математике, и в физике пространства огромной шара B (множество A покрывается шаром B). Впрочем, последразмерности играют такую же большую роль, как и те, с какими нее условие равносильно условию конечности диаметра. Остаётся мы привыкли работать со школы. С помощью этих пространств заметить, что опять-таки f(n) не изменится, коль скоро мы ограниудаётся описывать великое множество реальных ситуаций и прочимся рассмотрением лишь множеств диаметра 1. Что же известно цессов, просчитывать то, что иначе делается необозримым. Мы не про f(n) в нынешнем, общем, случае станем приводить здесь многочисленные примеры, ибо это уведёт нас слишком далеко от нашей темы. Главное для нас — это то, 7. ГИПОТЕЗА БОРСУКА И ЕЁ ИСТОРИЯ что пространства n при n>3 важны и что, в частности, изучение их геометрии представляет значительный интерес. При этом мы Во-первых, совсем не сложно доказать, что f(n)n+1. Мы, понимаем, что, с одной стороны, чем больше размерность, тем гео- впрочем, к тому не вполне готовы, и пока нам придётся просто метрия нетривиальнее и богаче, и что, с другой стороны, интуиция поверить в это (см. главу 9). С другой стороны, мы уже знаем, наша с ростом n всё слабее и слабее. Таким образом, естественно, что, коль скоро n3, верно и обратное неравенство. Представляетнапример, ожидать, что в дальнейшем роль чисто комбинаторной ся весьма естественным предположить, что и при n>3 выполнено составляющей нашей деятельности вырастет, а роль чисто геоме- f(n)=n+1. Тем более, что шар, который являлся самым <плотрической составляющей слегка уменьшится. Во всем этом нам, хим> множеством на прямой и на плоскости и казался таковым безусловно, предстоит убедиться, но сейчас надо хотя бы опреде- даже в 3 (ср. гипотезу Гэйла), на n+1 часть меньшего диамелить n при произвольном n и сформулировать основную проблему. тра заведомо разбивается (см. главу 9). Когда Борсук ставил свою В сущности, с формальной точки зрения, ничего нового не воз- проблему в 1933 году, он был осторожен, но всё же задал вопрос:

никает. В самом деле, n проще всего понимать как совокуп- п р а в д а л и, ч т о f(n)=n+1 Гипотезу он не формулировал. Одность всех возможных (упорядоченных) наборов из n вещественных нако верить в положительный ответ на вопрос Борсука было столь чисел. Таким образом, элементы n суть векторы (точки) x= заманчиво, что очень скоро все стали говорить о <гипотезе Борсу =(x1,..., xn), где xi, i=1,..., n (xi — координаты). Всё, как ка>, и сам её <автор> от этого уже не открещивался.

и при n3. Даже с расстояниями трудностей нет: История гипотезы Борсука весьма драматична. Все, кто занимался проблемой (а в рядах этих людей были замечательные мате матики), практически не сомневались в справедливости гипотезы, |x-y|= (x1-y1)2+...+(xn-yn)2.

и потому огромные усилия были направлены на её подтверждеПоследующие действия полностью повторяют те, что мы пред- ние. Разумеется, многочисленные нетривиальные результаты не приняли в главе 2. Иначе говоря, проблема Борсука вновь состоит замедлили появиться. Например, гипотеза была доказана для обв отыскании минимального числа f(n) частей меньшего диаметра, ширных классов множеств в пространстве. Дабы чётче объяснить, на которые может быть разбито произвольное ограниченное мно- из чего подобные классы состоят, нам потребуется ввести дополжество в n-мерном пространстве. Только n теперь любое. Коммен- нительные понятия, и мы сделаем это в следующей главе, где тарии к словам <произвольное множество> изменений, понятно, и вернёмся под конец к обсуждению упомянутого важного аспекта не претерпевают. С диаметром тоже всё по-прежнему. Разве что истории. Сейчас же наших знаний хватит для того, чтобы понять, <ограниченность> стоит пояснить. В любой размерности есть есте- как обстояли дела с в е р х н и м и оценками на f(n). Ясно, что ственное понятие шара, напрямую обобщающее понятие отрезка на в идеале должно было получиться f(n)n+1, но беда-то как раз прямой, круга на плоскости и обычного шара в пространстве раз- в том и состояла, что, несмотря на громадные усилия, до идеала мерности 3. Шар — это множество точек, лежащих внутри сферы. было, как от земли до небес.

26 Прежде чем выписывать последовательные достижения в во- <явных> оценок лассаковская является наилучшей из известных.

просе получения верхних оценок для f(n), следует сделать неболь- Подобное обстоятельство не может не разочаровывать, ведь все шую оговорку. В дальнейшем у нас возникнут неравенства вида прекрасно понимают (даже не владея аппаратом теории пределов), f(n)t(n), где t(n) — совершенно конкретная функция: подставил что экспонента куда быстрее растёт, чем гипотетическая линейная в неё любое натуральное n, и значение её у тебя <в кармане>. функция n+1.

В таком случае проблем нет. С другой стороны, мы будем рас- Что же мы знаем об оценках второго вида В 1965 году сматривать и оценки, записанные в несколько странной форме, К. А. Роджерс установил некий нетривиальный геометрический а именно: f(n) a+o(1) n. Здесь a>1 — также совершенно кон- факт, из которого, помимо всего прочего, следовало, что f(n) кретное число. А вот o(1) (читается <о малое от единицы>) — 2+o(1) n (см. главу 13). Это случилось на 17 лет раньше это нечто непривычное для тех, кто не знает теории пределов. публикации работы Лассака. Конечно, с ростом размерности (раВ сущности, ничего страшного тут нет. Просто o(1) есть некоторая но или поздно) результат Лассака становится несравненно слабее функция от аргумента n, значения которой бесконечно малы по роджерсовского. И тем не менее, при малых n неконкретность весравнению с единицей, как раз и указанной в скобках. Что значит личины o(1) губит все многомерные преимущества, а стало быть, <бесконечно малы> Это значит, что с ростом n величина o(1) ста- и ценность неравенства Лассака остаётся прежней: просто пафос новится всё ближе и ближе к нулю. Например, речь может идти его не в больших размерностях. Оценка Роджерса была улучшена о произвольной функции вида b/n, где b и >0 суть какие-нибудь только в 1988 году, когда О. Шрамму удалось установить, что константы. Или можно представлять себе величину вроде 1/ln n, f(n)S(n)= 3/2+o(1) n и т. д. Главное для нас, что по той или иной причине мы не готовы конкретизировать o(1); к нулю оно стремится, а уж как и сколь (см. главу 12), и результат Шрамма остаётся непревзойденным и по быстро — это отдельный вопрос. Таким образом, мы не сумеем сей день. Пользуясь совершенно другими средствами, его передо a+o(1) n Однако мы бу при заданном n сказать, чему равняется. казали в 1991 году Ж. Бургейн и Й. Линденштраусс (см. главу 13), дем по крайне мере уверены, что чем больше размерность, тем в но это не приблизило оценку к искомой величине. Что делать a+o(1) n ближе ко всем понят к а к о м - т о с м ы с л е функция Развязка нашей драмы наступила в 1993 году, ровно через ной экспоненте an. Заметим ещё, что o(1) вовсе не обязано быть лет после того, как проблема Борсука была поставлена. Дж. Кан положительным. Скажем, в примере b/n константа b имела право и Г. Калаи сумели построить контрпример к гипотезе! Для мнобыть и отрицательной. Лишь бы в конечном итоге наша величина гих это стало абсолютной неожиданностью. Однако и результат уменьшалась (по модулю). Кана—Калаи выглядел в некотором роде угрожающе: контрприВыражение <в каком-то смысле> выделено в тексте неспроста. меры возникали лишь во всех размерностях, начиная с n=2015.

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 7 |






















© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.