WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 |
Библиотека <Математическое просвещение> Выпуск 32 А. В. Хачатурян Н а у ч н о - р е д а к ц и о н н ы й с о в е т с е р и и:

В. В. Прасолов, А. Б. Сосинский (гл. ред.), А. В. Спивак, В. М. Тихомиров, И. В. Ященко ГЕОМЕТРИЯ ГАЛИЛЕЯ Серия основана в 1999 году Издательство Московского центра непрерывного математического образования Москва • 2005 УДК 514.126 ВВЕДЕНИЕ ББК 22.151 Х29 На вопрос <Что изучает планиметрия>, как правило, отвечают: свойства геометрических фигур на плоскости. Под геометриАннотация ческой фигурой понимают множество точек плоскости, а свойства, Планиметрия — наука о свойствах фигур плоскости, инвари- оказывается, геометрия изучает не любые, а только такие, коантных относительно движений плоскости. Фигуры, которые можно торые инвариантны относительно определённых преобразований совместить движениями, геометрия считает равными и не различает.

плоскости, называемых движениями. Таким образом, понятие двиВсем известны движения евклидовой планиметрии: параллельный перенос, поворот, осевая симметрия. Если изменить группу движений, жения является одним из центральных в геометрии, поскольку например, добавить преобразования подобия, то изменится и геомена нём основано понятие равенства фигур: две фигуры геометрия трия. В определённом смысле любая группа преобразований порождает считает равными, если существует движение, переводящее одну свою геометрию.

В брошюре рассказывается о геометрии, которую порождают преиз них в другую. Движения евклидовой планиметрии (той, что образования инерциальных систем отсчёта, знакомые из школьного изучается в школе) представлены параллельными переносами, покурса физики. Такую геометрию принято называть геометрией Галилея. В чём-то эта странная геометрия отличается от евклидовой, воротами и осевыми симметриями с последующим параллельным а в чём-то похожа на неё.

переносом вдоль оси. Других нет. Этот факт называется теореТекст брошюры представляет собой обработку записи лекции, промой Шаля.

читанной автором 30 марта 2002 года на Малом мехмате МГУ для школьников 9—11 классов.

Рассмотрим теперь вопрос с другой стороны. Равенство фигур Брошюра рассчитана на широкий круг читателей, интересующихестественно считать отношением эквивалентности, т. е. отношеся математикой: школьников старших классов, студентов младших нием, наделённым тремя свойствами: рефлексивностью (каждая курсов, учителей.

фигура равна самой себе), симметричностью (если фигура A равна фигуре B, то и фигура B равна фигуре A) и транзитивностью (если фигура A равна фигуре B, а фигура B, в свою очередь, равна фигуре C, то фигура A равна фигуре C). Если считать, что равенство Александр Вячеславович Хачатурян фигур обеспечивается некоторым набором преобразований плоскоГеометрия Галилея сти (движений), то описанные свойства накладывают определённые (Серия: <Библиотека,,Математическое просвещение“>) условия на этот набор: рефлексивность позволяет выделить двиМ.: МЦНМО, 2005. — 32 с.: ил.

жение, переводящее все точки плоскости в себя (тождественное Редактор Е. В. Корицкая Корректор Т. Л. Коробкова движение), симметричность предполагает вместе с движением, пеТехн. редакторы М. Н. Вельтищев, М. Ю. Панов реводящим A в B, рассматривать и обратное, переводящее B в A, Лицензия ИД № 01335 от 24/III 2000 года. Подписано в печать 14/XI 2005 года.

транзитивность велит считать преобразование, полученное послеФормат бумаги 6088 /. Офсетная бумага № 1. Офсетная печать. Физ. печ. л. 2,00.

довательным применением движений f и g, снова движением.

Усл. печ. л. 1,96. Уч.-изд. л. 2,16. Тираж 3000 экз. Заказ.

Сформулируем более отчётливо эти требования.

1) Для любых движений f и g преобразование, являющееся Брошюра соответствует гигиеническим требованиям к учебным изданиям для общего и начального профессионального образования (заключение государственной санитарнорезультатом последовательного применения сначала f, а затем g, эпидемиологической службы Российской Федерации № 77.99.02.953.Д.003873.06.снова является движением. Оно обозначается gf и называется от 2/VI 2004 года).

композицией f и g.

2) Преобразование, переводящее все точки плоскости в себя, Издательство Московского центра непрерывного математического образования.

119002, Москва, Г-2, Бол. Власьевский пер., 11. Тел. 241 72 85, 241 05 00.

является движением. Оно называется тождественным, обозначается id и обладает естественным свойством fid=idf=f для Отпечатано с готовых диапозитивов любого движения f.

в ФГУП <Производственно-издательский комбинат ВИНИТИ>.

140010, г. Люберцы Московской обл., Октябрьский пр-т, 403. Тел. 554 21 86. 3) Для любого движения f существует обратное к нему движение f-1, такое, что ff-1=f-1f=id.

Добавим к этому списку автоматически выполняющееся для преобразований условие ассоциативности:

ISBN 5-94057-221-9 © Хачатурян А. В., 2005.

4) Для любых движений f, g и h справедливо (fg)h=f(gh).

© МЦНМО, 2005.

Если набор движений удовлетворяет свойствам 1)—4), то гово- Покажем, что данный класс преобразований плоскости образурят, что задана группа движений. Можно убедиться, что движе- ет группу, для чего проверим свойства 1)—3).

ния евклидовой плоскости образуют группу. Если к ней добавить Пусть f=[a, b, c] и g=[a, b, c]. Тогда f переводит (x, y) гомотетии*) и их композиции с евклидовыми движениями, то по- в (x+a, y+bx+c), а применение после этого преобразования g лучится группа преобразований подобия. В соответствующей геоме- даёт точку (x+a+a, y+bx+c+b(x+a)+c). Эту точку можно трии подобные фигуры (например, подобные треугольники) будут было бы получить из (x, y) сразу применением h=[a+a, b+b, неразличимыми. c+c +ba]. Стало быть, h и есть fg, т. е. композиция двух преМожно пойти ещё дальше и добавить к подобиям так называе- образований Галилея снова есть преобразование Галилея.



мые преобразования сжатия к прямой. Такая расширенная группа В качестве id, очевидно, годится [0, 0, 0], свойство 2) легко (группа аффинных преобразований) вообще не различает треуголь- проверить. Нетрудно убедиться и в справедливости свойства 3).

ники — с её точки зрения все треугольники равны. Равны и все 1. Докажите, что если g=[a, b, c], то обратным к нему препараллелограммы, а вот параллелограмм от трапеции эта геоме- образованием служит g-1=[-a, -b, ba-c] *).

трия всё-таки отличает. Итак, мы определили группу преобразований, которую будем Таким образом, строение группы движений в некотором смысле обозначать G и называть группой Галилея. Уже ясно, во что перехоопределяет геометрию. Такой взгляд на геометрию традиционно дят точки, посмотрим теперь, как движения из G воздействуют на связывают с именем немецкого математика Феликса Клейна, высказавшего эту точку зрения в знаменитой лекции 1878 года <Срав- ПРЯМЫЕ нительное рассмотрение новейших геометрических исследований>, Уравнение невертикальной прямой имеет вид y=kx+l. Точка получившей известность под названием <Эрлангенская программа>.

(x, kx+l) такой прямой при преобразовании g=[a, b, c] переходит Сейчас мы рассмотрим одну довольно простую группу преобрав (x+a, kx+l+bx+c). Полагая x1=x+a, полученную точку можзований и увидим, какая геометрия с ней связана. Эта геометрия но записать как (x1, (k+b)x1+l+c-ka-ba), из чего следует, что редко упоминается в литературе. Видимо, замечательная, ставшая она лежит на прямой y=(k+b)x+(l+c-ka-ba), причём по мере уже давно библиографической редкостью монография [2] является того как x пробегает, x1 также пробегает, т. е. образом прямой единственной научно-популярной книгой на русском языке на эту y=kx+l служит прямая y=(k+b)x+(l+c-ka-ba). Вертикаль тему. Большая часть изложенных здесь результатов заимствована ная же прямая задаётся уравнением x=p и переходит, очевидно, из неё. Итак, рассмотрим снова в вертикальную прямую x=p+a. Тем самым, вертикальные и невертикальные прямые, неразличимые обычной геометрией, ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГАЛИЛЕЯ в геометрии Галилея являются разными объектами. НевертикальПусть на плоскости введены координаты (x, y). Преобразования ные прямые будем называть просто прямыми, вертикальные — (x, y) (x+a, y+bx+c), особыми прямыми. Нетрудно указать <физическую сущность> этих где a, b, c, назовём, следуя [2], преобразованиями Галилея.

прямых: обычная прямая представляет из себя график равномерЭто название связано с физической аналогией: если x мыслить как ного движения, особая — момент времени.

время, а y — как координату на прямой, то указанное преобразо2. Докажите, что преобразованием из G данную прямую можно вание есть не что иное, как преобразование инерциальной системы перевести в любую наперёд заданную прямую. Укажите явно отсчёта: a является величиной сдвига начала отсчёта по времени, элемент G, переводящий прямую y=kx+l в прямую y=k1x+l1.

c — величиной сдвига по пространственной координате, а b — ско3. Докажите, что параллельные прямые переходят в параллельростью движения одной системы отсчёта относительно другой. Мы ные. Графиками каких движений служат параллельные прямые ещё не раз будем обращаться к этой физической модели, отмечая, Нетрудно убедиться, что элементы G сохраняют порядок точек как в ней выглядят вводимые геометрические объекты и величины.

на прямой (и на особой прямой), а поэтому естественно возникают Будем обозначать указанное преобразование тройкой чисел такие фигуры, как луч, отрезок, особый луч, особый отрезок. Не[a, b, c], т. е. запись g=[a, b, c] будем понимать как трудно видеть, что далеко не любые два отрезка можно перевести друг в друга. Это обстоятельство имеет место и в привычной нам g: (x, y) (x+a, y+bx+c).

*) Гомотетией с центром O и коэффициентом k (k=0) называется отображение, при *) Двумя чертами слева выделены упражнения. Ответы, указания и решения - котором образом произвольной точки X является такая точка X1, что OX1=k- к ним приведены на с. 24—31.

OX.

4 y y (x2, y2) а ) геометрии: движением друг в друга переводят- жена окружность с центром в точке A радися только равные по длине отрезки. Значит, уса -1. <Физическая сущность> окружности, следует попытаться и в рассматриваемой гео- стало быть, такая же, как и у особой прямой:

A метрии определить окружность — это момент времени. Наверx–ное, будет разумно с этого момента отказаться x2 x x от термина <особая прямая>, называя этот РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ТОЧКАМИ объект окружностью. Особый же отрезок мы, Хотелось бы, чтобы расстояние обладало (x1, y1) естественно, назовём дугой. И несмотря на то, естественными для него свойствами, в частночто такая окружность сама по себе фигура d((x1, y1), (x2, y2))=x2–x1>Рис. сти, чтобы оно равнялось нулю только в слудовольно примитивная и не сравнимая по бочае совпадения точек и чтобы преобразования гатству геометрических свойств с евклидовой y (x2, y2) б ) из G сохраняли расстояние. Положим расстоокружностью, дуга окружности поможет нам y яние между точками (x1, y1) и (x2, y2) равным в важном деле — с её помощью мы сможем измерять d((x1, y1), (x2, y2))=x2-xxУГЛЫ (рис. 1, а, б). Однако равенство введённого рас1 (1, 2) xx стояния между точками нулю ещё не означает Как и в евклидовой геометрии, углом их совпадения, а означает всего лишь принадмежду пересекающимися прямыми l1 и lx (x1, y1) лежность одной особой прямой. В этом случае назовём длину дуги, которую они высекают определим особое расстояние (рис. 1, в, г) d((x1, y1), (x2, y2))=x2–x1<на единичной окружности с центром в точке их пересечения (рис. 3). Подобно расстоянию dособ.((x1, y1), (x1, y2))=y2-y1.





между точками, величина угла между прямыy (x2, y2) в ) Рис. yТакое определение удовлетворяет первому же- ми зависит от порядка их следования, т. е.

лаемому свойству: две точки совпадают тогда (l1, l2)=-(l2, l1).

и только тогда, когда между ними определено Про угол (l1, l2) мы будем говорить <угол от прямой l1 к пряособое расстояние, и оно равно нулю. С <фимой l2>, такие углы называют ориентированными. Заметим, что зической точки зрения> расстояние — это разx величина угла может быть л ю б ы м действительным числом. Угол ница во времени между событиями, а особое yмежду совпадающими или же параллельными прямыми считается расстояние — разница в их координате для (x1, y1) равным 0.

одновременно произошедших событий.

d((x1, y1), (x2, y2))=y2–y1>0, 5. Докажите, что если прямые l1 и l2 заданы уравнения4. Докажите, что преобразования из G x1=xми y=k1x+b1 и y=k2x+b2 соответственно, то (l1, l2)=k2-k1.

сохраняют расстояние и особое расстояние Докажите, что преобразования из G сохраняют углы. Каков фи(если последнее определено).

y зический смысл угла между прямыми (x1, y1) Очень важное отличие от евклидова расг) y6. Докажите, что в геометрии Галилея справедлив критерий стояния в том, что теперь расстояние между параллельности прямых: две прямые, пересечённые третьей, паточками может быть о т р и ц а т е л ь н ы м раллельны тогда и только тогда, когда эта третья прямая обра(рис. 1, б, г)! зует с ними одинаковые углы. Верно ли, что две прямые, паТеперь рассмотрим множество точек, удаx раллельные третьей, параллельны (разумеется, мы здесь и далее лённых от данной точки на определённое рассовпадающие прямые тоже считаем параллельными) стояние. Каждый знает, что это — yПерпендикуляром, опущенным из точки A на прямую l, обыч(x2, y2) но называют прямую, соединяющую A с ближайшей к ней точкой ОКРУЖНОСТЬ d((x1, y1), (x2, y2))=y2–y1<0, прямой l. В нашем случае такой прямой нет, несмотря на то, что x1=xСовершенно очевидно, что окружность — ближайшая (в смысле обычного, неособого расстояния) точка суРис. 1 это попросту особая прямая! На рис. 2 изобра- ществует. Однако роль перпендикуляра может взять на себя особая 6 y прямая. Во всяком случае, при таком опреде- Покажем справедливость признака равенства лении из каждой точки, не лежащей на пря- по двум сторонам и углу между ними. Пусть мой, можно опустить единственный перпенди- даны треугольники ABC и A1B1C1 такие, что куляр на эту прямую, а из точки, лежащей AB=A1B1, AC=A1C1 и BAC=B1A1C1. Расна прямой, — восставить единственный пер- смотрим преобразование [a, b, c] из G, перепендикуляр к ней. В евклидовой планиметрии водящее A в A1 и C в C1. Оно существует угол между прямыми не превосходит 90, до- и единственно. Здесь a равно разности абстигая максимума в случае перпендикулярно- сцисс точек A и A1 (для точек C и C1 оно сти; в геометрии Галилея определённый нами будет таким же, поскольку AC=A1C1), b и c перпендикуляр является предельным положе- определятся из системы линейных уравнением прямых, пересекающих данную прямую ний, получающихся из-за совпадения ордив фиксированной точке при увеличении угла нат точек A1 и C1 с ординатами образов A между ней и этими прямыми (рис. 4). и C. Эта система имеет одно решение, поx Теперь мы умеем измерять отрезки и углы скольку абсциссы точек A и C различны. Рис. и можем рассмотреть Указанное движение [a, b, c] переводит также B в B1. В самом деле, из-за равенства AB=A1B1 образ B лежит на одной окружности с B1, а из-за равенства BAC=B1A1CТРЕУГОЛЬНИКИ Рис. образ B лежит на прямой A1B1. Образу B ничего не остаётся, Три точки, не лежащие на одной прякак совпасть с B1, тем самым равенство треугольников доказано.

мой и три (неособых!) отрезка, соединяющие 7. Справедливы ли в геометрии Галилея признаки равенства их, назовём треугольником. Попробуем протреугольников по стороне и двум углам по трём сторонам верить привычные нам свойства треугольника Сказанное ранее о перпендикулярах позволяет без изменений в изучаемой геометрии. Начнём с неравенства перенести в геометрию Галилея определение высоты треугольни B треугольника.

ка (рис. 6). Биссектрису угла разумно определить как прямую, Если вершины треугольника ABC имеют делящую угол пополам, понимать же биссектрису треугольника координаты A(xa, ya), B(xb, yb) и C(xc, yc), то как отрезок неудобно, поскольку она вообще может проходить AB=xb-xa, BC=xc-xb, AC=xc-xa, откуда вне треугольника (рис. 7). Определение медианы можно перенести C AB+BC=AC. Вместо неравенства треугольнииз евклидовой геометрии буквально, благо середина отрезка в обека получилось равенство! Этот же факт можно их геометриях — одна и та же точка, однако при этом приходится A записать и в виде AB+BC+CA=0 — перисмириться с тем, что медиа метр любого треугольника равен нулю.

на может быть как отрезком, А чему равна сумма углов треугольни так и дугой окружности. Зато ка Прежде чем вычислить её, условимся замедианы любого треугольника пись ABC понимать как <угол от прямой AB пересекаются в одной точке и к прямой BC> и отличать ABC от CBA= делятся ей в отношении 2:1— Рис. =-ABC. Пусть угловые коэффициенты прядоказательство этого факта без мых AB, BC и CA равны k1, k2 и k3 соотизменений переносится из евветственно. Воспользуемся результатом упражнения 5 и получим:

клидовой геометрии в геометрию Галилея, этот факт лежит ABC+BCA+CAB=(k1-k2)+(k2-k3)+(k3-k1)=0.

Pages:     || 2 | 3 | 4 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.