WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 ||

нимумах и максимумах может и не упоминаться. Идея довольно Для следующего примера нам понапроста: точка или фигура, дающая решение экстремальной задачи, добится понятие гладкой кривой. Криобладает некоторыми специальными свойствами. Поэтому, решив вая на плоскости называется гладкой, экстремальную задачу, мы тем самым доказываем, что объект с та- если в каждой её точке можно провести C кими свойствами существует. Приведём здесь два примера, взятых единственную касательную. У гладкой Рис. из разных областей математики. Первый — из выпуклого анали- кривой нет вершин и заострений. На46 пример, многоугольник не является гладким, а вот окружность, нить это противоречие эллипс, гипербола — гладкие. Если функция одной переменной 74. Стороны всех k-угольных биллиардов эллипса касаются имеет производную в каждой точке, то её график — гладкая кри- некоторого фиксированного эллипса.

вая. Гладкая замкнутая кривая на плоскости может быть задана 75. В выпуклую фигуру площади S всегда можно вписать треуравнением g(x)=0, где функция g имеет производную в каждой угольник площади большей, чем S/4. Вокруг неё всегда можно точке. описать треугольник площади меньшей, чем 4S.

Теорема Биркгофа о замкнутом биллиарде. Для произвольной 76. Сформулируйте и докажите теорему Минковского—Радона гладкой замкнутой кривой на плоскости, ограничивающей вы- для выпуклого тела в пространстве.

пуклую фигуру, существует биллиард с k вершинами, где k3 — 77 (Я. Бринкхаус). Для любой тройки попарно скрещиваюпроизвольное число. щихся прямых в пространстве существует единственная тройка Напомним, что биллиардом называется многоугольник с вер- точек A, B и C (по одной на каждой прямой), обладающая таким шинами на данной кривой, любые две соседние стороны которого свойством: каждая из трёх прямых образует равные углы с двуобразуют с кривой равные углы. Так, ортотреугольник является мя соответствующими сторонами треугольника ABC (прямые AB биллиардом для треугольника. Биллиард также можно интерпре- и AC образуют равные углы с прямой, проходящей через точтировать как замкнутую траекторию луча света внутри кривой. ку A, и т. д.) Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим множество всех k-уголь- 78 (Е. С. Горская). Дан шарнирный пространственный четырёхников с вершинами на данной кривой. При этом позволим вер- угольник ABCD, длины сторон которого фиксированы, а углы шинам совпадать друг с другом. Среди этих многоугольников можно менять. Тогда существует такое положение этого четырёхнайдём тот, который имеет максимальный периметр. Он и являет- угольника, при котором двугранные углы тетраэдра ABCD при ся биллиардом. Для доказательства заметим сначала, что он имеет рёбрах AC и BD — прямые.

П о д с к а з к а. Максимизируйте объём тетраэдра ABCD.

ровно k различных вершин, а не меньше (в противном случае 79. Любое движение трёхмерного пространства, имеющее недобавим несколько недостающих вершин, периметр от этого тольподвижную точку, имеет и неподвижную прямую.

ко увеличится). Возьмём теперь три соседние вершины x1, x2, xП о д с к а з к а. Считаем, что движение A оставляет на месте начало координат.

и обозначим через l касательную к кривой в точке x2. Так как наш Рассмотрите задачу (Ax)·xmax при условии |x|=1 и воспользуйтесь теоремой многоугольник имеет наибольший периметр, то максимум функЛагранжа.

ции f(x)=|x-x1|+|x-x3| на дуге x1x3 нашей кривой достигается в точке x2. Значит точка x2 является решением задачи § 10. ЕЩЁ НЕСКОЛЬКО ЗАДАЧ f(x)=|x-x1|+|x-x3|max при условии g(x)=0.

Мы познакомились с основными приёмами решения геометрических задач на максимум и минимум. Предлагаем вам теперь Согласно теореме Лагранжа, векторы g(x2) и f(x2) коллинеарны.

сводный раздел, в котором собрано несколько красивых, хотя и доВектор g(x2) перпендикулярен касательной l, а f(x2)=u1+u3, вольно сложных задач. Какую из задач каким методом решать — где u1 — единичный вектор, направленный из точки x1 в x2, а u3 — выбирать вам.

единичный вектор, направленный из x3 в x2. Сумма этих векто80 (Американская математическая олимпиада, 1979 г.). Через ров должна быть перпендикулярна l, следовательно, они образуют данную точку M, лежащую внутри угла, провести отрезок AB равные углы с l, что и требовалось доказать.

1 Надо заметить, что гладкость кривой в теореме Биркгофа с концами на сторонах угла так, чтобы величина + была MA MB существенна! Например, кривая, ограничивающая тупоугольный треугольник, не имеет треугольного биллиарда. Почему Если тре- наибольшей.

угольник имеет биллиард из трёх вершин, то эти вершины лежат 81 (Международная математическая олимпиада, 1980 г.). Найти в основаниях высот, а для тупоугольного треугольника два основа- точку P внутри данного треугольника, для которой сумма отнония из трёх лежат вне треугольника. шений длин сторон треугольника к расстояниям от P до этих 73. Мы видели, что вписанный k-угольник максимального пе- сторон минимальна.

риметра является биллиардом. Однако для остроугольных тре- 82. Охарактеризуйте положение точки внутри данного мноугольников биллиард (треугольный) соответствует не максималь- гоугольника, для которой произведение расстояний до сторон ному, а минимальному периметру (задача Фаньяно). Как объяс- многоугольника максимально.

48 Эта точка называется аналитическим центром многоугольни- Последовательность x1, x2,..., xk,... точек метрического прока. Понятие аналитического центра появилось относительно не- странства X сходится к точке x, если (xk, x)0 при k.



давно (в конце 1980-х годов), оно активно используется в теории Подмножество M метрического пространства X называется экстремальных задач. Как найти аналитический центр треуголь- компактным, если из любой последовательности точек множеника Четырёхугольника ства M можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся к не83 (И. Ф. Шарыгин). Дана окружность с диаметром AC и точ- которой точке множества M.

ка M, лежащая на AB. Проведите через M хорду BD так, чтобы Функция f, заданная на подмножестве M метрического площадь четырёхугольника ABCD была наибольшей. пространства X, называется непрерывной, если для любой по84 (И. Ф. Шарыгин). Внутри угла с вершиной K даны точки M следовательности точек x1, x2,..., лежащей в M и сходящейся и C. Проведите через точку M отрезок AB с концами на сторонах к некоторой точке xM, последовательность значений функции угла таким образом, чтобы площадь четырёхугольника с верши- f(x1), f(x2),... сходится к f(x).

нами в точках K, A, B и C была наименьшей. Теорема Вейерштрасса. Непрерывная функция на компактном 85 (Ю. В. Нестеренко). Дан куб ABCDABCD со стороной 1. множестве ограничена и достигает своего наибольшего и наиНайдите наименьшее расстояние между точками двух окружно- меньшего значения в некоторых точках этого множества.

стей, одна из которых вписана в квадрат ABCD, а другая описана Как проверить, является ли множество компактным Часто около треугольника BCD. помогает следующий критерий, для формулировки которого нам 86 (И. Ф. Шарыгин). Муха летает внутри правильного тетра- понадобится ещё несколько определений. Последовательность элеэдра. Каким мог быть кратчайший замкнутый путь мухи, если ментов метрического пространства x1, x2,... называется фундаона побывала на каждой грани тетраэдра ментальной, если для любого числа >0 найдётся натуральное 87 (Соросовская олимпиада, Россия, 1997 г.). Даны три по- число N такое, что (xm, xk)< для любых чисел k и m, больших, ложительных числа a, b и c. Какова наибольшая возможная чем N. Подмножество M метрического пространства называется площадь прямоугольного треугольника, если известно, что рас- замкнутым, если любая фундаментальная последовательность, лестояния от его вершин до некоторой точки плоскости равны a, b жащая в M, сходится к некоторой точке множества M. Так, и c (a — расстояние до вершины прямого угла) отрезок прямой замкнут, а интервал или полуинтервал — нет.

Конечное подмножество {z1,..., zm} метрического пространства X называется -сетью для подмножества M, если для любой точПриложение А. Компактность ки xM найдётся точка zi, для которой (zi, x)<.

и теорема Вейерштрасса Критерий компактности. Подмножество метрического проМетрическим пространством называется множество X, на странства компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто котором задана метрика: каждой паре элементов (точек) x, yX и для него существует -сеть при любом >0.

поставлено в соответствие неотрицательное число (x, y), которое Мы оставим без доказательства критерий компактности и теназывается расстоянием между точками x и y и обладает следуюорему Вейерштрасса. Заинтересованный читатель может найти щими свойствами:

доказательства в учебниках по математическому анализу, напри1) (x, y)=0 тогда и только тогда, когда x=y;

мер, в [6]. Пока же установим два полезных следствия.

2) (x, y)=(y, x);

Следствие 1. Замкнутое и ограниченное подмножество про3) (x, y)+(y, z)(x, z) для любых x, y, zX.

странства n компактно.

Прямая, плоскость и пространство являются метрическими Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу критерия компактности нам пространствами, метрика на них определена обычным (евклидодостаточно построить -сеть для каждого. Так как множество вым) расстоянием между точками. Пространство n размерности n ограничено, координаты всех его точек по модулю не превосхоопределяется как множество упорядоченных наборов из n чидят некоторого числа R. Рассмотрим множество, состоящее из всех сел: x=(x1,..., xn). Числа x1,..., xn называются координатами точек пространства n, координаты которых по модулю не превосточки x. Пространство n также является метрическим пространходят R и являются десятичными дробями с не более чем k значаством: в нём щими цифрами после запятой. Это конечное множество является k n/10 -сетью. Остаётся выбрать настолько большое k, чтобы число (x, y)= (x1-y1)2+... +(xn-yn)2. n/10k было меньше.

50 Следствие 2. Если функция от n переменных непрерывна тремя рёбрами. Общая длина графа при этом уменьшится.

и стремится к +, когда хотя бы одна из переменных стремится к Итак, из каждой вершины выходит не более трёх рёбер. Знабесконечности, то она достигает своего минимума в некоторой точке. чит, из каждой дополнительной вершины выходит ровно три ребра.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмём любую точку x1 n и обозна- Далее, из каждой вершины A1,..., Ak выходит по крайней мере по чим a=f(x1). По условию, найдётся такое число R, что если хотя одному ребру. Пусть d — число дополнительных вершин. Так как бы одна из координат точки x по модулю больше R, то f(x)>a. каждое ребро соединяет две вершины, общее число рёбер не меньОбозначим через I множество, состоящее из всех точек с координа- k+3d ше. С другой стороны, число рёбер равно k+d-1. Действитами, по модулю не превосходящими R. Множество I ограничено и замкнуто, и значит, по следствию 1, компактно. По теореме тельно, так как граф односвязный, то для любой его вершины Вейерштрасса, функция f достигает на нём своего минимума в не- существует единственный путь, соединяющий её с вершиной A1.





которой точке x0. Она будет точкой минимума функции f не только Поставив в соответствие этой вершине последнее ребро пути, полуна множестве I, но и на всём пространстве n, поскольку за преде- чим взаимно однозначное соответствие между рёбрами и вершиналами множества I значения функции больше, чем a=f(x1)f(x0). ми (без участия A1). Значит, в графе ровно k+d-1 рёбер. Итак, С помощью следствия 2 можно доказать существование минимума k+3d k+d-1, в большинстве задач, которые мы разбирали. А две наиболее трудные в этом отношении задачи разберём отдельно, в приложении Б.

откуда dk-2. Таким образом, в графе всего от k до 2k-вершин. Каждая из вершин имеет 2 координаты, поэтому граф Приложение Б. Доказательство существования можно интерпретировать как точку в пространстве 4k-4. Точку Aв задаче Штейнера и в изопериметрической задаче помещаем в начало координат. Функция f — сумма длин рёбер графа — непрерывна и стремится к +, если хотя бы одна из Задача Штейнера о кратчайшей системе дорог. Докажем сувершин стремится к. Согласно следствию 2, функция f достигает ществование кратчайшей системы дорог, связывающей k точек своего минимума. Это значит, что существует граф с наименьшей плоскости A1,..., Ak (для простоты вновь проведём все рассуждесуммой длин рёбер.

ния для плоскости).

Изопериметрическая задача. Нужно доказать, что среди всех Как мы уже установили, достаточно рассматривать только одфигур периметра l найдётся фигура максимальной площади. Так носвязные графы, которые содержат данные точки в качестве как любую фигуру периметра l можно поместить в квадрат со стовершин и могут иметь дополнительные вершины, причём из кароной l, считаем, что наша фигура лежит внутри фиксированного ждой дополнительной вершины выходит не менее трёх рёбер.

квадрата со стороной l.

Докажем, что на самом деле можно ограничиться графами, у коРассмотрим множество всех компактных подмножеств этого торых из каждой вершины выходит не более трёх рёбер. В самом квадрата и введём на нём метрику Хаусдорфа. Расстоянием межделе, если найдётся вершина A, из которой выходит не менее ду компактными множествами A и B называется максимальная четырёх рёбер, то какие-то два ребра (назовём их AB и AC) из двух величин max (x, B) и max (y, A), где (x, B) — расxA yB образуют угол меньше 120, а значит, эту пару рёбер можно заменить так, чтобы общая длина графа уменьшилась: ставим до- стояние от точки x до множества B, т. е. до ближайшей к x полнительную вершину T и заменяем пару рёбер AB, AC на три точке множества B. Итак, мы берём точку множества A, наиболее ребра AT, BT и CT. Если все углы треугольника ABC меньше 120, удалённую от множества B, и точку B, наиболее удалённую от A.

то в качестве T берём точку Торричелли треугольника ABC, а ес- Максимум из этих двух расстояний и называется расстоянием ли, скажем, ABC120, то берём любую точку T, достаточно между множествами A и B. Читатель без труда проверит, что так близкую к вершине B. В обоих случаях после замены общая дли- определённое расстояние удовлетворяет трём условиям метрики.

на рёбер уменьшится. При этом возникнет одна дополнительная Получаем метрическое пространство, состоящее из всех компактвершина, из которой выходит три ребра, количество рёбер, вы- ных подмножеств квадрата.

ходящих из A, уменьшится на единицу, а выходящих из других Рассмотрим подмножество M этого метрического пространства, вершин — не изменится. Далее вновь берём любую вершину, из состоящее из всех фигур периметра l. К сожалению, множество M не которой выходит более трёх рёбер, и делаем то же самое. После ко- компактно, и даже не замкнуто. Чтобы обойти эту трудность, покажем, нечного числа шагов не останется ни одной вершины с более чем что можно ограничиться только выпуклыми фигурами периметра l.

52 Для любой фигуры A рассмотрим её выпуклую оболочку A. ЛИТЕРАТУРА По определению, A — это наименьшая выпуклая фигура, содер[1] Т и х о м и р о в В. М. Рассказы о максимумах и минимумах. — жащая A. Если фигура A выпукла, то A=A. Выпуклая оболочка М.: Наука, 1986.

состоит из точек всевозможных отрезков, соединяющих точки фигуры A (рис. 35). Площадь A не меньше площади A, поскольку [2] К о к с е т е р Г. С. М., Г р е й т ц е р С. Л. Новые встречи с геомевыпуклая оболочка содержит в себе саму трией. — М.: Наука, 1978.

фигуру. Кроме того, периметр A, напротив, [3] Б л я ш к е В. Круг и Шар. — М.: Наука, 1967.

не превосходит периметра A. Это свойство мы не будем доказывать (доказательство [4] Б о л т я н с к и й В. Г., Я г л о м И. М. Геометрические задачи можно найти, например, в [3]), заметим на максимум и минимум. // Энциклопедия элементарной матетолько, что оно достаточно естественно. матики: кн. 5. — М.: Наука, 1966. — с. 270—348.

A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A При взятии выпуклой оболочки на гра[5] Ш к л я р с к и й Д. О., Ч е н ц о в Н. Н., Я г л о м И. М. Геометринице фигуры вместо каждой <вмятины> ческие неравенства и задачи на максимум и минимум. — М.:

возникает отрезок, который имеет меньНаука, 1970.

шую длину. Таким образом, мы заменяем [6] Р у д и н У. Основы математического анализа. — М.: Мир, 1976.

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 ||










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.