WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 |

П о д с к а з к а. Предположим, что нашлись две точки с наименьшей сумТеорема (Закон Снеллиуса о преломлении света). Две среды мой расстояний. Докажите, что для середины отрезка, соединяющего эти точки, разделены прямой линией, в первой скорость распространения сумма расстояний ещё меньше. Для этого воспользуйтесь тем, что медиана треугольника меньше полусуммы сторон, между которыми она заключена. света равна v1, а во второй — v2. Если луч света выходит 63. Пусть M — точка внутри тетраэдра ABCD, для которой из первой среды под углом 1 к нормали и входит во вторую сумма расстояний до вершин минимальна. Тогда противополож- под углом 2, то ные рёбра тетраэдра видны из точки M под равными углами, sin 1 v1 xа биссектрисы этих углов лежат на одной прямой.

= 64. На плоскости даны k точек и прямая линия. Охарактери- sin 2 vзуйте положение точки плоскости, сумма расстояний от которой –uД о к а з а т е л ь с т в о. Прямая до данных точек и до прямой — наименьшая.

на плоскости задаётся уравнением 65. В пространстве даны три точки и плоскость. Охарактеризуйте положение точки, сумма расстояний от которой до данных n·(x-x0)=0, точек и до плоскости — наименьшая.

2 –uгде x0 — произвольная точка прямой, а n — вектор, перпендикулярный пря§ 7. ПРАВИЛО МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА xмой. Выберем произвольную точку x1 на В 1755 году 19-летний юноша, будущий великий французский входящем пучке света и точку x2 на преРис. математик Жозеф Луи Лагранж (1736—1813), изложил в письломлённом (рис. 30). Свет всегда распроме к Леонарду Эйлеру свой метод решения задач по нахождению страняется по пути, занимающему наименьшее время. Значит, максимумов и минимумов. Сам Эйлер решал множество задач нужно найти на границе сред точку x, для которой величина f(x)= такого рода и каждый раз придумывал особый приём для но1 = |x-x1|+ |x-x2| принимает наименьшее значение. Получаем вой задачи. Вопрос Эйлера, к которому он приглашал учёных, v1 vсостоял в том, чтобы изыскать общий метод решения. Юный Лазадачу:

гранж блестяще справился с этой проблемой, и разработал свой алгоритм, решавший единообразным способом самые разные экс- |x-x1| |x-x2| f(x)= + min при условии g(x)=n·(x-x0)=0.

тремальные задачи, включая изопериметрическую. Восторженная v1 vреакция Эйлера не заставила долго ждать: <Ваше решение изопериметрических проблем безукоризненно, и я рад, что тема, Согласно принципу Лагранжа, в точке минимума векторы f(x) которой я давно занимаюсь, доведена Вами до близкого конца>. и g(x) коллинеарны. Производная f(x) равна сумме вектора u1, 40 который имеет длину 1/v1 и сонаправлен с вектором x-x1, и век- ющих в качестве основания данный правильный треугольник, тора u2 длины 1/v2, сонаправленного с вектором x-x2. А произ- найти пирамиду с наименьшей суммой длин рёбер. Тот же воводная g(x) равна вектору n. Условие коллинеарности означает, прос про четырёхугольную пирамиду с основанием, совпадающим что сумма u1+u2 перпендикулярна прямой, то есть проекции век- с данным параллелограммом.

69. В пространстве даны три скрещивающиеся прямые. Как sin 1 sin торов u1 и u2 на прямую равны. Таким образом, =, что выбрать по точке на каждой из этих прямых так, чтобы треугольv1 vник с вершинами в этих точках имел наименьший периметр и требовалось.

70. Муха летает внутри правильного тетраэдра. Каким мог Ну а теперь мы готовы представить обещанные решения задач о быть кратчайший путь мухи, если она побывала на каждой грани минимуме суммы расстояний до точки прямой и до точки плоскости.

тетраэдра 66. Задача о минимальной сумме расстояний от k точек плоскости до точки на прямой. На плоскости дана прямая и k точек.

§ 8. ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ Найти (или охарактеризовать) положение точки на прямой, для <Книга Природы написана треугольниками, окружностями которой сумма расстояний до данных точек минимальна.

и другими геометрическими фигурами, без которых человек Р е ш е н и е. Пусть l — данная прямая, а x1,..., xk — данные не сможет понять в ней ни единого слова>.

точки. Решаем задачу на минимум:

Г а л и л е о Г а л и л е й Выдающийся математик Карл Зигель писал: <По Лейбницу, f(x)=|x-x1|+... +|x-xk|min наш мир является лучшим из всех возможных миров, и потому при условии g(x)=n·(x-x0)=0, его законы можно описать экстремальными принципами>. В сагде x0 — произвольная точка прямой l, а n — вектор, перпенди- мом деле, многое в природе происходит по законам минимумов кулярный этой прямой. Обозначим через ui вектор единичной дли- и максимумов. И, наверное, поэтому многие геометрические заданы, сонаправленный с вектором x-xi. Тогда f(x)=u1+... +uk, чи на минимум и максимум имеют наглядный физический смысл.

а g(x)=n. По теореме Лагранжа, в точке минимума вектор f(x) Задача о минимальной длине пути между двумя точками с захоколлинеарен n, т. е. перпендикулярен прямой l. Таким образом: дом на прямую линию или задача Снеллиуса могут быть решены Решением задачи служит точка прямой l, для которой сумма с помощью оптики. При этом мы используем главный принцип:

проекций на прямую k единичных векторов, направленных из свет всегда выбирает путь, на который тратится наименьшее вренеё в данные точки, равна нулю. мя. Другой принцип использует механику, он гласит:

Если из данных k точек есть хотя бы одна, не лежащая на пря- Механическая система в состоянии, при котором она имеет мой l, то задача имеет единственное решение. Доказать это совсем наименьшую потенциальную энергию, находится в равновесии.



просто, если использовать приём из задачи 62. Если k3, то такая Упрощённо этот закон можно выразить так: механическая точка, вообще говоря, не строится с помощью циркуля и линейки система всегда стремится к уменьшению своей потенциальной (вычисление её координаты приводит к уравнению высокой степе- энергии. Брошенный камень летит вниз, и его потенциальная энерни). Поэтому в общем случае у нас нет ничего лучшего, чем то гия, равная mgh (здесь m — масса камня, g9,8 — ускорение описание точки минимума, которое мы привели. свободного падения, а h — высота камня), при этом уменьша67. Задача о минимальной сумме расстояний от k точек про- ется. Растянутая пружина стремится сжаться к первоначальному странства до точки на данной плоскости. В пространстве дана состоянию, а значит — уменьшить свою потенциальную энерплоскость и k точек. Найти (или охарактеризовать) положение гию. Напомним, что потенциальная энергия пружины равна kx2/2, точки на плоскости, для которой сумма расстояний до данных где x — растяжение пружины (на сколько изменили её длину), точек минимальна. а k — коэффициент упругости. Вот как можно применить этот Решение этой задачи ничем не отличается от предыдущей принцип к нескольким классическим задачам.

и приводит к похожему ответу: Задача Фаньяно. Возьмём остроугольный треугольник ABC, Минимум достигается в точке x плоскости, для которой сум- стороны которого сделаны из жёсткой проволоки, и натянем ма проекций на плоскость k единичных векторов, направленных на него резиновое кольцо (рис. 31). Предполагаем, что трения из x в данные точки, равна нулю. нет. Согласно принципу минимума потенциальной энергии, коль68. Среди всех треугольных пирамид данного объёма, име- цо сожмётся до минимально возможной длины (поскольку его по42 тенциальная энергия, так же, как ствующих на узел со стороны верёвок, равна нулю. Все силы C и у пружины, равна kx2/2), и в этом натяжения верёвок равны по модулю, так как все грузики имеют положении будет находиться в рав- равные массы. Следовательно, сумма равных по длине векторов, новесии. Значит, в положении равно- направленных из точки x к точкам x1,..., xk, равна нулю, откуда B весия периметр треугольника ABC и следует ответ. В частности, при k=3 получаем точку Торричелли.

A будет наименьшим. Напишем усло- Изопериметрическая задача. Возьмём прямоугольный лист буN вия равновесия для кольца в точке A. маги и склеим из него цилиндр. Поставим цилиндр вертикально На него действуют две равные по на гладкую плоскость и нальём в него воду. Будем считать, что модулю силы вода не просачивается между плоскостью и цилиндром. Что про-натяжения и сила реак A C B ции опоры N. Так как трения нет, изойдёт Ясно, что основание цилиндра под действием воды примет сила N направлена перпендикуляр- круглую форму, поскольку давление воды на стенки во все стороРис. но прямой BC. Сумма этих трёх сил ны одинаково. С другой стороны, для того, чтобы потенциальная должна быть равна нулю. В проекции на прямую BC это означает, энергия была минимальна, центр тяжести налитой воды должен что T cos =T cos, т. е. =. Итак, стороны треугольника наи- занять самое низкое положение. Центр тяжести цилиндра располаменьшего периметра, вписанного в треугольник ABC, пересекают гается на середине его высоты, проведённой из центра основания, стороны треугольника ABC под равными углами. Следовательно, значит, высота уровня воды должна быть минимальной. Высота это ортотреугольник (см. задачу 11). равна объёму, делённому на площадь основания. Объём — постоянЗадача о минимальной сумме расстояний до k точек. Предста- ный, поэтому площадь основания должна быть наибольшей. Итак, вим себе, что точки x1,..., xk нарисованы на столе. Просверлим наибольшая площадь основания соответствует кругу.

в этих точках дырки, через которые пропустим верёвки. К каждой Вплоть до начала XX века физическое решение считалось верёвке подвесим груз массой 1 кг, а сверху свяжем верёвки в один вполне достаточным для математической задачи. По крайней мере, узел. Отпустим все грузы. Система через некоторое время придёт физические соображения позволяют забыть о проблеме существовав положение равновесия. Считая верёвки невесомыми и пренебре- ния решения, которая подчас бывает чрезвычайно сложна. Теперь, гая трением, попробуем охарактеризовать это положение. конечно, одной физической интерпретацией не обойтись. Каждая С одной стороны, оно соответствует минимуму потенциальной математическая задача должна иметь математическое решение! энергии, а это значит, что сумма расстояний от узла до k данных Хотя бы потому, что физика во многом уповает на интуицию, точек минимальна. В самом деле, выбрав уровень стола за нулевой на представления человека об окружающей природе. А интуиция уровень, получим, что потенциальная энергия каждого груза рав- не раз подводила математиков. И всё же нельзя не восхититься на -mghi (она будет отрицательна), где hi — длина i-й верёвки под взаимосвязью вещей в природе, когда сложная задача может быть столом. Поэтому минимальная потенциальная энергия системы со- объяснена наглядно, с позиции обычного здравого смысла! А кроответствует положению, когда сумма длин всех верёвок под сто- ме того, физические соображения помогают угадать правильный лом — наибольшая, а это ответ (который потом, конечно же, придётся строго математически x4 значит, что сумма их длин обосновать).

xнад столом — наименьшая Как получить вписанный шарнирный многоугольник Обраx(поскольку сумма длин всех тимся к задаче 52. Для любого шарнирного k-угольника существуxx2 верёвок постоянна). ет единственное положение, при котором он вписан в окружность.





xИтак, в положении рав- Причём в этом положении он имеет максимальную площадь. Как новесия сумма расстояний от найти это положение, т. е. найти углы многоугольника или радиус узла x до k данных точек описанной окружности Оказывается, при k5 решить эту задачу минимальна. Если при этом можно лишь приближённо. Например, нахождение радиуса опиузел застрял в одной из ды- санной окружности приводит к уравнению m рок xi, то минимум суммы a1 ak расстояний достигается имен- arcsin +... +arcsin =.

2R 2R но в точке xi. Если же это Рис. не так, то сумма сил, дей- Здесь a1,..., ak — данные стороны k-угольника. Это уравнение 44 можно решить приближённо (или, как говорят математики, чи- за, второй — из теории динамических систем.

сленно) с помощью компьютера. Но ни получить точного решения, Теорема Минковского—Радона. Внутри любой ограниченной ни построить такой многоугольник с помощью циркуля и линей- выпуклой фигуры на плоскости найдётся точка M, обладаюки в общем случае не удастся. щая следующим свойством: любая хорда фигуры, проходящая Физические соображения предлагают следующий практиче- через M, делится этой точкой в отношении, не превосходящем ский способ решения. Из жёстких прямоугольных листов картона двух, т. е. если через M провести произвольную прямую, пересеодинаковой высоты, но разной ширины, склеим прямую призму кающую фигуру по отрезку KL, то отношение большего из двух так, чтобы углы между боковыми гранями могут свободно ме- отрезков KM, LM к меньшему не превосходит двух.

няться. Поставим её вертикально на гладкую плоскость и нальём Д о к а з а т е л ь с т в о. Из всех треугольников ABC с вершинами в неё воду. Тогда основание призмы примет форму вписанного на границе фигуры выберем треугольник наибольшей площади.

многоугольника. Читатель сам без труда докажет это, пользуясь Тогда точка пересечения медиан этого треугольника — искомая.

результатом задачи 52. Для доказательства проведём через вершины треугольни71. Придумайте физические интерпретации задачи о мини- ка ABC прямые, параллельные противоположным сторонам. Они мальной сумме расстояний от точки прямой до k данных точек, образуют треугольник ABC, для которого точки A, B и С а также задач 33, 56, 61, 63, 64, 69. являются серединами сторон (рис. 33).

P 72. Объясните физическую интерпретацию задачи о сетях Докажем, что треугольник ABC соA Q C B Штейнера как формы мыльной плёнки, натянутой между гвоздя- держит фигуру. Если это не так, то K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K ми. Почему если сетей Штейнера несколько, то мыльная плёнка на границе найдётся точка P, ле T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T может принять форму любой из них, а не только самой короткой жащая вне этого треугольника, а это T T T T T T T T M M M M M M M M M M M M M M M значит, что отрезок MP пересекает од- M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M ну из сторон треугольника ABC (пусть § 9. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ это сторона AB). Тогда площадь треB A <Чистые теоремы о существовании служили в действительноугольника ABP будет больше площади L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L сти важнейшими вехами развития нашей науки>.

S треугольника ABC (у них сторона AB — Д а в и д Г и л ь б е р т общая, а высота, опущенная на эту стоТеоремы существования по праву входят в число высших до- рону, у треугольника ABP больше). Это стижений математики. Порой гораздо легче доказать, что объект невозможно, так как треугольник ABC обладает какими-нибудь замечательными свойствами, чем дока- имеет наибольшую площадь среди всех C зать, что он вообще существует. Как мы видели на примере изо- треугольников, вписанных в фигуру.

Рис. периметрической задачи, именно вопрос о существовании подчас Далее всё просто. Произвольная бывает наиболее важным во всём доказательстве. Такие теоремы, прямая, проходящая через точку M, A Q C B как правило, очень красивы, но вместе с тем и трудны. Достаточно пересекает фигуру по отрезку KL.

вспомнить, что наиболее сложные проблемы современной мате- Пусть она также пересекает отрезок BC матики, например, недавно доказанные великая теорема Ферма в точке T, а отрезок BC — в точке S T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T и гипотеза Пуанкаре, а также не доказанные и не опровергнутые (рис. 34). Из подобия треугольников M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M до сих пор гипотеза близнецов и гипотеза , являются про- MTC и MSC следует равенство MS= блемами существования. =2MT. Далее, MSML и MTMK, B A Задачи на минимум и максимум часто помогают доказать то ML2MK. Так же доказывается, S теоремы существования, причём в самих теоремах ни о каких ми- что и MK2ML.

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.