WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |

квадрат со стороной a не является квадратом наибольшей площа- В обеих задачах осталось лишь доказать, что решение существуди. Аргумент проходит для всех значений a, кроме a=1. Из этого ет. В середине XIX века ни в существовании фигуры данного мы делаем <вывод>, что квадрат со стороной 1 имеет наиболь- периметра и наибольшей площади, ни в существовании кратчайшую площадь. В доказательстве Штейнера сделано то же самое: шей системы дорог, не было никаких сомнений. И доказательства приведён аргумент, доказывающий что данная фигура не является Штейнера считались совершенно строгими. Существование решефигурой максимальной площади. Аргумент проходит для любой ния в обеих задачах легко объяснить, например, из физических фигуры, кроме круга. И мы делаем вывод, что при данном пери- соображений (этим займёмся чуть позже, в § 8), а в те времена метре круг имеет наибольшую площадь. такого обоснования было вполне достаточно. Лишь к концу XIX веМожно возразить: ведь площадь квадрата может быть сколь ка, усилиями немецких математиков Г. А. Шварца и В. Бляшке угодно большой, поэтому максимального квадрата нет! А пло- строгое доказательство существования в изопериметрической задащадь фигуры данного периметра явно ограничена. Разве из этого че было завершено, и её многовековая история подошла к концу.

не следует, что среди фигур данного периметра найдётся фигура Мы расскажем про это доказательство в приложении Б, а заодно максимальной площади Хорошо, вот другой пример: докажем существование решения в задаче о сетях Штейнера.

П р и м е р 2. Рассмотрим множество непрерывных функций Пока же будем считать изопериметрическое свойство доказанна отрезке [0, 1], обладающих следующим свойством: f(0)=f(1)=1, ным и пользоваться им при решении задач. А заодно договорими 0f(x)2 для всех x(0, 1). Из всех таких функций найти ту, ся: во всех последующих параграфах не будем задавать вопрос для которой площадь под её графиком (т. е. площадь фигуры, огра- о существовании минимума или максимума. Существование в таниченной осью абсцисс, вертикальными прямыми, проведёнными ких задачах доказывается по одной и той же схеме, изложенной в точках x=0 и x=1, и дугой графика) наибольшая. Те, кто зна- после основного текста в приложении А. Читатель, который смоком с понятием интеграла, формулируют задачу так: жет одолеть приложение А (в особенности теорему Вейерштрасса и следствие 2), сможет самостоятельно доказать, что минимумы и максимумы во всех предлагаемых задачах действительно достиf(x) dxmax, 0f(x)2; f(0)=f(1)=1.

гаются. Читателю, который не сможет этого сделать, мы советуем 32 просто поверить, что это действительно так. § 6. ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ 45. Верёвкой данной длины отгородить от прямого угла фигуру <По обе стороны от места наибольшего значения убывание внанаибольшей площади. чале нечувствительно>.

И о г а н н К е п л е р 46. Та же задача для угла 60 и для угла 45.

47. Кривой наименьшей возможной длины разделить равноИтак, мы разобрали множество задач, и каждая из них иместоронний треугольник на две части равной площади.

ла своё элегантное геометрическое решение. На практике, увы, 48. Кривой наименьшей возможной длины разделить квадрат так получается далеко не всегда. Многие геометрические задачи на две части равной площади (следует быть осторожным с кажуна минимум и максимум либо вовсе не имеют геометрического щимся сходством этой задачи с задачей 47!).

решения, либо их геометрические решения существенно сложнее 49. Почему нефтехранилища на крупных заводах всегда делааналитических. Таково положение вещей, и относиться к нему ются цилиндрическими (а иногда даже шарообразными), а не в можно по-разному. С одной стороны, это плохо. С другой стовиде, скажем, куба, что технологически было бы гораздо удобнее роны, это обстоятельство всегда заставляло математиков искать 50. Разведчик прыгнул с парашютом из самолёта и приземновые пути решения. В таких поисках к концу XVII века ролился в тылу врага, в глухом лесу. Теперь ему нужно скорее дилось и оформилось новое направление математики, вставшее выйти из леса. Где кончается лес, и в какую сторону нужно идвровень с алгеброй и геометрией — математический анализ. Именти, он не знает. Он знает только, что площадь леса равна 20 км2, но задачам на максимум и минимум, наряду с задачами механики и что в этом лесу нет полян. Как он должен идти, чтобы, пройи оптики, математический анализ обязан своим появлением. Приндя 16 км, наверняка выйти из леса Какова длина кратчайшего цип решения многих экстремальных задач сводится к простому пути, гарантирующего выход из леса Какую кривую при этом и вместе с тем универсальному факту:

опишет разведчик В точке максимума или минимума функции её производная 51. Те же вопросы, что и в задаче 50, но теперь известно, что равна нулю.

лес имеет форму выпуклой фигуры.

Это утверждение часто называют теоремой Ферма (не путать 52. а) Дан шарнирный многоугольник (длины сторон фикс великой теоремой Ферма и с малой теоремой Ферма в теории чисированы, а углы можно менять произвольно). Докажите, что сел!), поскольку именно Пьер Ферма впервые сформулировал его существует единственное положение этого многоугольника, при в 1629 году в работе <Метод отыскания наибольших и наименькотором он вписан в окружность.

ших значений>. Свой метод Ферма назвал П о д с к а з к а. Возьмём окружность большого радиуса и отложим на ней (напомним, что научные работы в то время писались на латыни) последовательно все стороны многоугольника. Получим ломаную, вписанную и продемонстрировал, как с его помощью можно решить задачу в окружность. Затем будем уменьшать её радиус, пока ломаная не замкнётся.



Евклида: из всех прямоугольников с данным периметром найти б) Дан шарнирный многоугольник. Докажите, что его площадь тот, который имеет наибольшую площадь. Надо сказать, что идея будет максимальной, когда он вписан в окружность.

П о д с к а з к а. Рассмотрим произвольное положение многоугольника. Затем, вариационного метода в то время, что называется, витала в воздуизменив его углы, доведём его до вписанного в окружность. Зафиксируем духе. Многие учёные развивали этот метод. Например, Иоганн Кеги этой окружности и <приклеим> их к сторонам многоугольника. После этого плер, слова которого из трактата <Стереометрия винных бочек> приведём многоугольник к первоначальной форме, сохранив дуги окружности, приклеенные к сторонам. Остаётся сравнить площадь фигуры, ограниченной этимы вынесли в эпиграф, или Исаак Ньюми дугами, с площадью круга.

тон, говоривший что <когда величина 53. а) Не пользуясь изопериметрическим свойством круга, реB является максимальной или минимальшите задачу Зенодора, т. е. докажите, что среди всех n-угольниB ной, в этот момент она не течёт ни впеков данного периметра правильный n-угольник имеет наибольрёд, ни назад>.

шую площадь. При этом существование n-угольника наибольшей Напомним, что производной функM площади считаем известным.

ции f(x) в точке x называется число a П о д с к а з к а. Берём многоугольник наибольшей площади, и сначала дока- такое, что зываем, что все его стороны равны, а затем — что все его углы равны.

б) Выведите изопериметрическую задачу из задачи Зенодора.

f(x+h)=f(x)+a·h+(h) |h|, П о д с к а з к а. Предположим, что найдётся линия, ограничивающая большую K A A площадь, чем окружность данной длины, и приблизим эту линию многоугольнигде величина (h) стремится к нулю при ком с очень маленькими сторонами.

h0. Производную обозначают симво- Рис. 34 лом f, таким образом, f(x)=a. Для достаточно малых прираще- Но так как f(0)=0, для кратчайшего ний h функция f(x+h) приближённо равна линейной функции отрезка AB получаем такое условие: B f(x)+ah, причём чем меньше h, тем это приближение точнее.

MB ctg =MA ctg.

54. Через данную точку внутри угла провести отрезок с конM цами на сторонах угла, имеющий наименьшую длину.

Что это означает геометрически Удивительно, что эта чисто геометрическая задача не имеет Пусть K — вершина угла. Опустим H столь же ясного геометрического решения. Все более или менее перпендикуляр KH на AB. Нетрудно короткие её решения используют производную. Интересно и то, HB ctg K что многие похожие на неё задачи-близнецы, которые, на первый A проверить, что =. С другой HA ctg взгляд, даже сложнее её, имеют простые геометрические решеРис. MA ctg ния. Например, провести отрезок через данную точку внутри угла, стороны, =, поэтому MA=HB MB ctg отсекающий от угла треугольник минимальной площади или минимального периметра (задачи 56, 57). и MB=HA (рис. 27). Итак, B Р е ш е н и е. Обозначим кратчайший отрезок через AB, а дан- Кратчайший отрезок AB характериную фиксированную точку внутри угла — через M. Проведём зуется следующим свойством: проекH через M другой отрезок AB с вершинами на сторонах угла. Пусть ция вершины угла на AB симметрич — угол между AB и AB. Функция f()=AB достигает своего на точке M относительно середины M минимума в точке =0, поэтому f(0)=0. Применив теорему си- отрезка AB.

нусов к треугольникам MBB и MAA, получим Почему мы лишь охарактеризовали положение отрезка AB, а не дали спосоsin sin K P A MB =MB, MA =MA ; ба его построения Дело в том, что для sin(+) sin(-) произвольного угла этот отрезок не мо- Рис. следовательно, жет быть построен с помощью циркуля и линейки. Именно поэтому эта <простая> геометрическая задаf()-f(0)=AB -AB=MB +MA -MB-MA= ча имеет столь громоздкое решение. Если бы существовало такое sin sin построение, которое находило бы кратчайший отрезок для любо=MB sin(+) -1 +MA sin(-) -1 = го угла, то оно годилось бы и для прямого угла (рис. 28). Если угол K — прямой, то + - 2 sin cos 2 sin cos 2 2 2 =-MB +MA.

sin(+) sin(-) ctg - MA ctg = = =tg2.

Итак, MB ctg ctg + - 2 sin cos cos MA tg f()-f(0) 2 2 MB.

С другой стороны, =, где — угол между KM и KA =- -MA MB tg sin(+) sin(-) (мы воспользовались подобием треугольников APM и AKB). Итак, 2 sin tg =3 tg. Построить отрезок AB означает найти кубический Поскольку 1 при 0, и при этом корень из числа tg. Последнее, как известно, не выполнимо с по мощью циркуля и линейки.

В экстремальных задачах довольно частой является ситуация, + - cos cos 2 когда возможно только охарактеризовать положение точки миниctg, ctg, sin(+) sin(-) мума (максимума), но не найти её конструктивно.

Вариационный метод применим и к задачам с несколькими пеполучаем окончательно ременными, когда функция f(x) задана не на прямой, а, скажем, f(0)=-MB ctg +MA ctg. на плоскости. При этом x — точка на плоскости с координатами 36 (x1, x2). Производная определяется по тому же принципу: произ- 55. Задача о наименьшей сумме расстояний до k точек. На водной в данной точке x называется вектор a=f(x) такой, что плоскости дано k точек. Найти точку, сумма расстояний от которой до этих точек минимальна.

f(x+h)=f(x)+a·h+(h)|h|, Р е ш е н и е. Обозначим через x1,..., xk данные точки, а чегде h=(h1, h2) — произвольный вектор, называемый приращени- рез x — произвольную точку плоскости. Пусть также fi(x)=|x-xi| для i=1,..., k. Нужно найти точку x, для которой сумма f1(x)+ ем аргумента x, число |h|= h2+h2 — его длина, а величина (h) 1 +... +fk(x) будет наименьшей. Производная функции fi(x) являетстремится к нулю при |h|0. Разница только в том, что вместо ся единичным вектором, сонаправленным вектору x-xi. Если x — обычного произведения чисел теперь берётся скалярное произведеточка минимума, то либо сумма таких векторов равна нулю, либо ние векторов a·h, равное произведению их длин на косинус угла одна из функций fi не имеет производной в точке x, а это значит, между ними. В координатах скалярное произведение выражается что x совпадает с точкой xi. Таким образом, как a·h=a1h1+a2h2.





Точка минимума суммы расстояний либо совпадает с одной В точке минимума или максимума функции f её производная из данных точек, либо характеризуется следующим свойством:

(если она существует) равна нулю.

сумма k векторов единичной длины, направленных из этой точки Д о к а з а т е л ь с т в о. В самом деле, пусть f(x)=a=0. Тогда к данным k точкам, равна нулю.

рассмотрим приращения h=ta, где t — положительное число.

При k=3 получаем точку Торричелли либо одну из вершин Учитывая, что a·ta=t|a|2, получаем треугольника (как мы знаем, вершину с углом 120), при k=4 — f(x+ta)=f(x)+t|a|2+t|a|(ta)=f(x)+t|a|(|a|+(ta)).

точку пересечения диагоналей четырёхугольника, если четырёхугольник выпуклый, а если невыпуклый — то его вершину, При t0 величина (ta) стремится к нулю, поэтому при малых t лежащую внутри треугольника с вершинами в трёх оставшихся величина |a|+(ta) — положительна, значит f(x+ta)>f(x). Таким точках. При k5 эта точка, вообще говоря, не строится с помообразом, точка x не является точкой максимума. Точно так же, щью циркуля и линейки.

взяв приращение h=-ta, доказываем, что x не является и точкой Получается довольно странная ситуация. Если на плоскости минимума.

дано, скажем, 10 точек, то существует способ построения кратчайВ качестве примера найдём производную функции длины векшей системы дорог, их связывающей (сеть Штейнера). Причём это тора f(x)=|x|. Эта производная понадобится нам во многих задачах.

построение — точное, его можно сделать с помощью циркуля и лиПользуясь тем, что |x|2=x·x, получаем нейки и найти точную длину. Если же нам нужно решить более, казалось бы, простую задачу — найти точку, сумма расстояний от |x+h|2 -|x2| (x+h)·(x+h)-x·x 2x·h+h·h |x+h|-|x|= = =.

которой до данных 10 точек минимальна (т. е. найти кратчайшую |x+h|+|x| |x+h|+|x| |x+h|+|x| не из всех систем дорог, а только из тех, которые сходятся в одном Отсюда перекрёстке), то эта задача в общем случае решается лишь при2x |h| ближённо, а не точно. Про точку минимума мы ничего не знаем, |x+h|-|x|= ·h+ ·|h| |x+h|+|x| |x+h|+|x| кроме того, что она существует, и того, что xсумма 10 единичных векторов из неё в данxЕсли x =0, то при h0 величина |x+h|+|x| стремится к 2|x|, ные точки равна нулю. С помощью циркуля |h| и линейки мы решение построить не можем.

а величина стремится к нулю. Поэтому |x+h|+|x| 56. Прямой, проходящей через данную xточку внутри угла, отрезать от этого угла x |x+h|-|x|= ·h+(h)|h|.

треугольник наименьшей площади. Най- x|x| дите как геометрическое решение, так x и решение, использующее производную.

где (h)0 при h0. Отсюда следует, что f(x)=. Итак, |x| xКакое из них проще Функция f(x)=|x| имеет производную в любой точке x, кроме 57. То же, но для треугольника миниxточки x=0. Эта производная является вектором единичной длимального периметра. Найдите как геомены, сонаправленным с вектором x.

трическое решение, так и решение, ис- Рис. 38 пользующее производную. Метод Лагранжа базируется на нескольких ключевых идеях. Од58. Проведите касательную к данной окружности, лежащей на из них состоит в том, как искать минимум функции, если внутри угла, отсекающую от этого угла треугольник а) мини- на функцию заданы некоторые ограничения. Этот приём теперь мальной площади; б) минимального периметра. носит название <правило множителей Лагранжа>. Мы сформули59. Через данную точку внутри угла провести прямую так, руем это правило в несколько упрощённой форме.

чтобы сумма KA+KB была наименьшей (точка K — вершина уг- Теорема Лагранжа. Предположим, на плоскости задана функла, точки A и B — точки пересечения прямой со сторонами угла). ция f(x) и дана кривая g(x)=0. Если функция f, ограниченная 60. Пространственный четырёхугольник ABCD сделан из че- на данную кривую, достигает своего минимума или максимума тырёх стержней длины 1, шарнирно соединённых в вершинах. в точке x, то векторы f(x) и g(x) коллинеарны (при условии, В каком положении объём тетраэдра ABCD — наибольший Че- что обе функции имеют производные в точке x).

му равен этот наибольший объём В общей теореме Лагранжа функция f зависит не от двух, 61. Даны положительные числа a, b, c и треугольник ABC. а от n переменных, и есть несколько функций g(x), задающих Охарактеризуйте положение точки M, для которой сумма aMA+ ограничения gi(x)=0, i=1,..., m. Мы оставим эту теорему без +bMB+cMC минимальна. доказательства, это завело бы нас слишком далеко в сторону ма62. Если k точек не лежат на одной прямой, то существует тематического анализа. Посмотрим, как превосходно она работает только одна точка с наименьшей суммой расстояний до них. при нахождении максимумов и минимумов.

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.