WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 7 |

8 M d FH T TF F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F TM M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M FFFFFFFFFFFFFFFFFFF FF FF FF FF FF FF FF FF FFF F FF FF FF FF FF FF FF FF FF FF FFFFFFFFFFFFFFFРис. 7 Рис. 10 Конические сечения были известны ещё математикам Древней зательство почти не меняется. Следовательно, Греции. Так, Менехм в середине IV века до н. э. доказал, что эл- при проецировании на основание цилиндра липс, гипербола и парабола являются сечениями конуса. Наиболее эллипс переходит в окружность. Остаётся заполное исследование конических сечений изложено в книге <Ко- метить, что проецирование на плоскость эквиника> Аполлония Пергского, написанной, как считается, между валентно сжатию относительно подходящей T210 и 200 годами до н. э. Аполлоний был третьим после Евкли- прямой.

да и Архимеда великим представителем Александрийской школы. Всякое уравнение второй степени FFFFFFFFFFFFFFFFFFF FF FF FF FF FF FF FF FF FFF F FF FF FF FF FF FF FF FF FF FF FFFFFFFFFFFFFFFЕго <Коника> — настоящий научный подвиг. Это грандиозный p(x, y)=ax2+2bxy+cy2+2dx+2ey+f=0, труд, состоящий из восьми книг. В первых семи книгах, дошедших FFFFFFFFFFFFFFFFFFF FF FF FF FF FF FF FF FF FFF F FF FF FF FF FF FF FF FF FF FF FFFFFFFFFFFFFFFдо нас, содержится 387 теорем, подчас весьма сложных, с подробесли имеет действительные корни, задаёт коными доказательствами. В течение двух тысячелетий <Коника> нику. Чтобы убедиться в этом, нужно повербыла настольной книгой математиков и главным руководством M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M нуть плоскость на угол, такой что M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M по изучению конических сечений. Теория конических сечений Tизложена Аполлонием настолько подробно и глубоко, что матема- c-a ctg 2=, тикам мало что удавалось добавить нового, несмотря на бурный 2b прогресс математической науки.

тем самым уничтожив слагаемое 2bxy, за16. На плоскости даны прямая d и точка F. Пусть задано тем сделать параллельный перенос так, чтобы положительное число k. Найдите геометрическое место точек, уничтожить линейные члены 2dx и 2ey. Подля которых отношение расстояний до F и до d равно k.

Рис. лучившееся уравнение либо будет задавать 17. На плоскости даны две окружности. Найдите геометривырожденную конику (пару прямых, прямую или точку), либо ческое место центров всевозможных окружностей, касающихся (возможно, после перемены местами координат x и y) совпадёт двух данных.

с уравнением эллипса, гиперболы или параболы.

Конические сечения обладают многими замечательными свойТеперь всё готово для изучения фокального свойства коник.

ствами, из которых оптические, или, как их называют, <фокальТеорема. Касательная к эллипсу (гиперболе) образует равные>, свойства занимают особое место. Перед тем как сформулиные углы с отрезками, соединяющими точку касания с фокуровать и доказать эти свойства, дадим ещё одно, аналитическое сами. В случае гиперболы касательная является биссектрисой определение коник, без которого наш рассказ был бы не полон.

угла F1MF2, а в случае эллипса — биссектрисой смежного угла.

Т р е т ь е о п р е д е л е н и е к о н и ч е с к и х с е ч е н и й. Эллипс Касательная к параболе, проведённая в точке M, образует равx2 yные углы с прямой MF и осью параболы (рис. 10).

задаётся на координатной плоскости уравнением + =1, гиa2 bx2 yM пербола — уравнением - =1, парабола — уравнением y=ax2. а) в) ) б a2 bM Читатель без труда выведет уравнения этих кривых, при этом F фокусы эллипса и гиперболы нужно расположить на оси Ox симF2 FF2 Fметрично относительно начала координат, а фокус параболы — M на оси Oy. Если a=b, то эллипс превращается в окружность радиуd са a, а гипербола в этом случае становится так называемой прямой Рис. гиперболой, которая после поворота на 45 относительно начала координат принимает вполне знакомый вид y=k/x, где k=a2/2.

Из уравнения эллипса видно, что он получается из окружности Таким образом, луч света, вышедший из фокуса эллипса, отрапосле сжатия вдоль оси Oy в a/b раз, чем оправдывает слова зится от его поверхности и попадёт во второй фокус. Если в фокусе о том, что он является <сжатой окружностью>. Это можно было эллипса находится источник света, то пучок световых лучей после бы установить и без уравнения. Дело в том, что эллипс получается отражения от поверхности эллипса сойдётся во втором фокусе.

в сечении не только конуса, но и цилиндра (рис. 9), при этом дока- Если источник света поместить в одном из фокусов гиперболы, 12 то отражённый пучок световых лучей будет расходящимся, а воображаемые продолжения лучей соберутся во втором фокусе.

Наконец, пучок света, выходящий из фокуса параболы, отразившись от её поверхности, становится пучком параллельных лучей.

B A Фокальное свойство параболы, открытое ещё Аполлонием, ныне используется повсеместно. Параболическое зеркало в карманном лучевой фонарике создаёт узкий направленный световой луч. Принцип шнур работы параболической антенны или параболического зеркала в телескопе также основан на свойстве параболы превращать пучок параллельных лучей (а значит, и лучей, идущих от далёкого ис- Рис. точника) в пучок, сходящийся в одной точке.

теперь всему миру гиперболоиде инженера Гарина на самом деВ фантастическом романе Алексея Толстого <Гиперболоид инжеле нет ни одного гиперболоида. Внешнее зеркало A должно иметь нера Гарина> устройство страшного разрушительного оружия — гиформу эллипсоида, а внутреннее B — параболоида.



перболоида, которым Гарин хотел покорить мир, — описывалось так:

Нам осталось доказать фокальные свойства коник.

Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы. Проведём касательную <Гарин, раскрывая чемодан, посматривал на неё обведёнными синевой блестящими глазами.

к эллипсу в точке M. Точка M лежит на эллипсе, поэтому MF1+ — Вот мой аппарат, — сказал он, ставя на стол два металлических ящика:

+MF2=c, все остальные точки касательной лежат вне эллипса, один — узкий, в виде отрезка трубы, другой — плоский, двенадцатигранный — поэтому для остальных точек сумма расстояний до фокусов больвтрое большего диаметра...

Он наклонился над Зоиным креслом (вдохнул запах её волос), развернул ше c. Таким образом, в точке M достигается минимум суммы чертёжик, размером с половину листа писчей бумаги.

расстояний до точек F1 и F2. Значит, точка, симметричная F2 от— Вы хотели, Зоя, чтобы я также рискнул всем в нашей игре... Смотрите сюда... Это основная схема... Это просто, как дважды два. Чистая случайность, носительно касательной, лежит на прямой F1M, откуда следует что это до сих пор не было построено. Весь секрет в гиперболическом зеркале A, фокальное свойство. Точно так же доказывается фокальное свойнапоминающем формой зеркало обыкновенного прожектора, и в кусочке шамоство гиперболы (при этом применяется результат задачи 7).

нита B, сделанном также в виде гиперболической сферы. Закон гиперболических зеркал таков: лучи света, падая на внутреннюю поверхность гиперболического зерДокажем фокальное свойство параболы. Опустим из произкала, сходятся все в одной точке, в фокусе гиперболы. Это известно. Теперь, вот вольной точки M параболы перпендикуляр MH на директрису что неизвестно: я помещаю в фокусе гиперболического зеркала вторую гипербои проведём прямую, которая делит угол HMF пополам (рис. 12).

лу (очерченную, так сказать, навыворот) — гиперболоид вращения B, выточенный из тугоплавкого, идеально полирующегося минерала — шамонита, — залежи его Любая точка этой прямой равноудалена от точек F и H, а значит, на севере России неисчерпаемы. Что же получается с лучами Лучи, собираясь расстояние от неё до точки F больше, чем до директрисы (если в фокусе зеркала A, падают на поверхность гиперболоида B, и отражаются от него математически параллельно, — иными словами, гиперболоид B концентрирует только эта точка не совпадает с M). Поэтому все точки этой прявсе лучи в один луч, или в <лучевой шнур> любой толщины... Путём установки мой, кроме M, лежат вне параболы. Значит это — касательная.

гиперболоида B, я доводил <лучевой шнур> до толщины вязальной спицы и легко Таким образом, касательная образует равные углы с прямой FM разрезывал им дюймовую доску... Здания, крепости, дредноуты, воздушные корабли, горы, кора земли — всё пронижет, разрежет мой луч...> и осью параболы.

18. Дано семейство эллипсов с фокусами в двух данных точках F1 и F2, а также семейство гипербол с фокусами в тех же Вы наверняка заметили несколько неточностей в конструкции точках F1, F2. Тогда любой эллипс пергиперболоида. Гиперболическое зеркало переводит пучок светового семейства перпендикулярен любой вых лучей, выходящих из фокуса, не в сходящийся, а, напротив, N гиперболе второго семейства (две линии в расходящийся пучок света. Как мы теперь знаем, лучи вовсе называются перпендикулярными, если не сойдутся в фокусе гиперболы. Это их воображаемые продолжекасательные к ним, проведённые в их M ния сойдутся в фокусе. Для того чтобы отражённые лучи сошлись F точке пересечения, перпендикулярны).

в фокусе, внешнее зеркало A должно иметь форму не гипербо19. Рассмотрим множество углов на лы, а эллипса. А чтобы внутреннее зеркало B переводило пуd плоскости, у каждого из которых одчок отражённых лучей в параллельный пучок (<лучевой шнур>), H на сторона лежит на данной прямой, оно должно иметь форму, опять же, не гиперболы, а параболы а другая проходит через данную точку. Рис. (рис. 11). В этом писатель ошибся. Парадоксально, но в известном 14 Тогда биссектрисы всех этих углов касаются одной параболы. времени, снабдил длинным названием: <Пятая книга сочинений (В таком случае говорят, что эта парабола является огибающей Аполлония Пергского о конических сечениях, заключает в седанного семейства прямых.) бе первые исследования о наибольших и наименьших величинах 20. Из любой точки директрисы парабола видна под прямым и признаётся самым замечательным памятником этого великого углом. геометра> (). Среди множества прямых, отсекающих от него треугольник данной площади. задач на максимум и минимум, помещённых в этой книге, есть такая:

22. На плоскости дана окружность и точка A. На окружности 27. На плоскости даны три точки A, B, C, не лежащие на одной берётся произвольная точка N и через неё проводится перпенди- прямой. Для какой точки T плоскости сумма расстояний AT+ куляр к прямой AN. Тогда +BT+CT наименьшая а) если A лежит внутри окружности, то все такие перпендику- Ещё до книги Вивиани этой задачей интересовался итальянляры касаются эллипса; ский математик Бенавентура Кавальери (1598—1647), автор знаб) если A лежит вне окружности, то все перпендикуляры каса- менитого <принципа Кавальери> для вычисления площадей и объются гиперболы. ёмов, предвосхитившего интегральное исчисление, а также матев) Соответствует ли <пограничный> случай (точка A лежит матик и физик Эванджелиста Торричелли (1608—1647). Говорят, на окружности) параболе Сформулируйте и докажите утвержде- что именно Торричелли получил первое решение этой задачи (сконие, аналогичное а) и б), которое бы соответствовало параболе. рее всего, основанное на физических соображениях). Торричелли, 23. Все точки, из которых эллипс виден под прямым углом, как и Вивиани, был учеником Галилея. Именно им в конце образуют окружность. своей жизни уже ослепший Галилей диктовал главы из своей 24 (теорема Шюллера). К параболе проведены три касатель- книги <Беседы о механике>. Подобно многим учёным позднего ные. Описанная окружность треугольника, образованного этими Возрождения, Торричелли был разносторонним человеком. Букасательными, проходит через фокус, а точка пересечения высот дучи профессором математики Флорентийского университета, он этого треугольника лежит на директрисе. много занимался задачами физики (его закон распределения да25. На плоскости дана прямая, точка C, лежащая на ней, вления жидкости известен теперь каждому школьнику), а также и точки A и B, не лежащие на ней. На прямой берётся точка M. механики, баллистики и оптики, и даже написал несколько раНайти огибающую прямых, симметричных прямой BM относи- бот по конструированию оптических приборов и шлифовке линз.





тельно биссектрисы угла AMC. Согласно другим источникам, независимо от Торричелли, эту за26. Луч света, идущий внутри эллипса и не проходящий че- дачу решил и величайший французский математик Пьер Ферма рез его фокусы, последовательно отражается от его поверхности, (1601—1665). А первое чисто геометрическое решение принаддвигаясь по ломаной линии. Докажите, что все стороны этой лежит, по-видимому, швейцарскому геометру Якобу Штейнеру ломаной касаются некоторого эллипса. Где расположены его фо- (1796—1863), о котором речь ещё впереди.

кусы Во что превращается этот эллипс, если луч проходит через Р е ш е н и е. Вновь воспользуемся тем же приёмом: выстроим фокус исходного эллипса отрезки AT, BT и CT в ломаную линию. Теперь, однако, вместо симметрии применим поворот. Повернём плоскость на 60 вокруг точки A, D § 3. ЗАДАЧА ФЕРМА—ТОРРИЧЕЛЛИ—ШТЕЙНЕРА при этом точка C перейдёт в некоторую C История этой задачи насчитывает более трёх с половиной точку D, а точка T — в точку N. Трестолетий. Она была помещена в книге итальянского физика и ме- угольник AND равен треугольнику ATC, ханика Вивиани <О максимальных и минимальных значениях> поскольку переходит в него при повороте N в 1659 году. Винченто Вивиани (1622—1703) был учеником ве- на 60, значит TC=ND. Треугольник ликого Галилео Галилея. Нам он более известен как изобретатель ANT — равносторонний, так как AT= ртутного барометра (прибора для измерения атмосферного давле- =AN и TAN=60, поэтому TA=TN.

T ния), а своим современникам — как один из лучших специалистов Итак, сумма AT+BT+CT равна длине A B по задачам на максимум и минимум, а также по теории кони- ломаной BTND, а значит, она не меньше Рис. ческих сечений. Своё сочинение Вивиани, следуя традициям того длины отрезка BD (рис. 13).

16 C Равенство достигается, когда точки B, T, N, тупой (пусть это угол MAC), а зна- C и D лежат на одной прямой (в указанной по- чит, MC>AC, с другой стороны, M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M следовательности). Это означает, что BTA+ по неравенству треугольника, MA+ +ATN=180 и, следовательно, BTA= +MB>AB, поэтому N B =120; а также AND+ANT=180, значит, A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A MA+MB+MC>AB+AC.

D AND=120, поэтому ATC=120. Таким T B образом, лучи TA, TB и TC образуют два Если же M лежит внутри угла A, Рис. A угла в 120, поэтому и третий угол между то вновь повернём плоскость на ними также равен 120 (рис. 14).

Рис. (рис. 15), и получим, что треугольник BAD лежит внутри чеТочка T, из которой все стороны третырёхугольника BMND, поэтому периметр треугольника меньше угольника видны под углами 120, имеет несколько названий.

периметра четырёхугольника. Следовательно, Иногда её называют точкой Ферма, иногда — точкой Торричелли, AB+AC=AB+AD

иногда — точкой Штейнера. Доказательство, которое мы привели, с поворотом плоскости на 60, принадлежит Якобу Штейнеру. С его Теорема Торричелли—Ферма—Штейнера. Если все углы трезамечательными результатами мы ещё не раз встретимся в этой угольника меньше 120, то точкой минимума суммы расстояний книге. А первым по времени из этих трёх математиков был Торридо его вершин является точка Торричелли. Если же один из углов челли. Поэтому мы будем называть эту точку, по праву первенства, больше или равен 120, то такой точкой является вершина этого точкой Торричелли (мы и обозначили её буквой T). Это ещё одугла.

на замечательная точка треугольника, наряду с центром тяжести 28. Все углы треугольника ABC меньше 120. На его сторо(точкой пересечения медиан), ортоцентром (точкой пересечения нах во внешнюю сторону построены равносторонние треугольвысот), центрами вписанной и описанной окружностей. Правда, ники ABC, BCA и CAB. Тогда описанные окружности этих в отличие от четырёх замечательных точек, точка Торричелли сутреугольников и отрезки AA, BB и CC пересекаются в одной ществует не у любого треугольника. Однако мы уже доказали, что точке — точке Торричелли. Кроме того, AA =BB =CC.

Если у треугольника есть точка Торричелли, то она является 29 (теорема Наполеона). Центры описанных окружностей треединственной точкой минимума суммы расстояний до вершин угольников ABC, BCA и CAB являются вершинами равносторонтреугольника.

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 7 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.