WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 | 2 || 4 |

Доказательство закончено: проективная плоскость не ограничивает никакого трёхмерного тела! § Вот такие неожиданные геометрические факты открывал Анри Пуанкаре — основатель алгебраической топологии многообразий — в 1890-е годы, когда математический мезозой незаметно сменялся математическим кайнозоем, причём маститый Пуанкаре играл роль первого индрикотерия в обновлении древней (палеозойской) геометрии. Второй, младший индрикотерий — Давид Гильберт (1862—1943) перестраивал столь же древнюю теорию чисел на новый кайнозойский лад — так, чтобы она срослась воедино с новой кайнозойской алгеброй — теорией групп — и старой (мезозойской) алгебраической геометрией. А чем занимались в ту пору последние динозавры уходящего мезозоя В конце XIX века эта порода грозных ящеров сохранялась только в доброй старой Англии. Старый Чарльз Дарвин уже умер, и роль последнего динозавра играл Артур Кэли (1821—1895). Он вырос в далёком Петербурге, где успел увидать живого Пушкина и царя Николая I. Вернувшись в Англию, удалой юноша окончил Кембриджи стал профессиональным адвокатом — но продолжал увлекаться всем на свете, от математики до альпинизма.

Услыхав, что его старший коллега Гамильтон придумал интересное некоммутативное умножение векторов в ч е т ы р ё х м е р н о м пространстве, молодой Кэли решил не уступать сопернику. Он придумал в в о с ь м и м е р н о м пространстве такое умножение векторов, которое даже не ассоциативно — но сохраняет многие полезные свойства комплексных чисел.

Тогда же Артур Кэли увлёкся давней и, оказывается, всё ещё не решённой задачей: хватит ли четырёх разных красок, чтобы раскрасить любую карту на глобусе так, что страны-соседки получат разные цвета Первый необходимый шаг в доказательстве этого факта ясен:

нужно доказать, что на сфере нельзя нарисовать пять стран, любые две из которых граничат по отрезку. Если такая пятёрка стран существует, то мы соединим их столицы попарно — кратчайшими дорогами, и так получим вложение в сферу полного графа, натянутого на пять вершин.

Но такое вложение н е в о з м о ж н о — ибо вложенный в сферу полный граф с четырьмя вершинами разбивает её на четыре треугольные области. Куда бы мы ни поместили пятую вершину — из неё будут достижимы только три другие вершины, а четвёртая будет заслонена одним из рёбер четырёхвершинного графа.

Таково начало доказательства гипотезы Кэли о четырёх красках на сфере. Как пройти от этого начала к желанному концу Сколько разных вариантов промежуточных карт придётся перебрать на индуктивном пути Решить эту проблему Кэли не успел — по многим причинам; например, потому, что у него не было компьютера для перебора тысяч карт. Подходящий компьютер и подходящие к нему головы геометров-программистов появились на Земле через восемь десятилетий после Кэли — в глубоком кайнозое (1976 год), когда все математические динозавры давным-давно вымерли.

Но прежде чем вымер Кэли, последний из его друзей-динозавров — Джон Хивуд, молодой доцент Кембриджа — вдохновился успехами Римана и Клейна в классификации замкнутых поверхностей и решил разобраться с раскраской карт на любых поверхностях. Например, тор: сколько попарно граничащих стран можно на нём нарисовать Сколько таких стран уместится на проективной плоскости или на бутылке Клейна Будучи опытным геометром, Хивуд быстро придумал довольно сложные карты на этих поверхностях. На торе он нашёл семь попарно граничащих стран, а на проективной плоскости — шесть.

Вот как выглядят эти карты.

Проведём на торе три параллели и один меридиан. Эти четыре окружности рассекают поверхность тора на три длинные области — полосы, которые начинаются и кончаются на меридиане. Разрежем Рис. Рис. тор по этому меридиану — и склеим его вновь, после поворота вдоль меридиана на 120. В результате три страны-полосы склеятся в одну очень длинную полосу, трижды обматывающую тор вдоль его параллели и один раз — вдоль его меридиана. Теперь разрежем эту сверхдлинную полосу на семь равных частей поперечными отрезками. Поскольку 3/7<1/2, то каждая из семи стран занимает на торе довольно скромное место: меньше его половины в длину, и одну треть — в ширину. Поскольку числа 3 и 7 взаимно просты и 9/7>1, то любые две из этих семи стран имеют общий отрезок границы (рис. 19, рис. на 1-й стр. обложки). Вот и получилась на торе карта, которую невозможно правильно раскрасить менее чем семью цветами! Чтобы создать сходную карту из шести стран на проективной плоскости, мы разобьём сферу на 12 пятиугольных стран — согласно граням, рёбрам и вершинам правильного додекаэдра.

Этот многогранник центрально симметричен (рис. 20). Склеивая попарно все его диаметрально противоположные вершины, рёбра и грани, мы получаем разбиение проективной плоскости на шесть пятиугольных стран, каждая из которых граничит по ребру с л юб о й другой страной.

Итак, образцовые карты Хивуда нарисованы. Теперь мы переходим к доказательству теоремы Хивуда о раскраске произвольных карт на замкнутой поверхности M с эйлеровой характеристикой (М). Формулировка теоремы такова.

А. Если (М)>0, то любая карта на M правильно раскрашивается шестью цветами.

Б. Если (M)=0, то любая карта на M правильно раскрашивается семью цветами.

В. Если (М)<0, то любая карта на М правильно раскрашивается C() цветами, где.

C()= 7+ 49- Из этой формулы видно, что в конце доказательства нам придётся решать некое квадратичное неравенство — притом решать его в целых числах. Но прежде чем мы до него доберёмся, нам нужно повторить довольно хитрые геометрические рассуждения Джона Хивуда.

О п р е д е л е н и е. Карта на поверхности М называется регулярной, если в каждой её вершине сходятся вместе т р и страны и т р и Рис. ребра, а каждая страна гомеоморфна кругу.

З а м е ч а н и е. Если любая регулярная карта на поверхности М правильно раскрашивается k разными красками, то и любая другая карта на этой поверхности правильно раскрашивается k красками.

Д о к а з а т е л ь с т в о показано на рис. 21.

Видно, что на новой регулярной карте каждая страна имеет н е м е н ь ш е соседок, чем имела её предшественница на старой — не регулярной карте. И если мы умеем правильно раскрасить новую карту k цветами — значит, мы можем это сделать и со старой, не регулярной картой. Заметим ещё одно полезное свойство регулярных карт: для них 3В=2Р. Действительно, из каждой вершины регулярной карты исходят три ребра; пересчитав их по всем вершинам, мы получим удвоенное число рёбер карты, ибо каждое ребро мы учли в обеих его вершинах.

§ Теперь мы изложим основную геометрическую процедуру Хивуда. Для заранее выбранной поверхности M с эйлеровой характеристикой он перебирает все возможные карты на ней, в порядке возрастания числа стран (Г) у этих карт.

Рассуждение ведётся путём индукции по Г. Основной шаг индукции таков: если мы умеем правильно раскрасить любую карту на M с Г-1 странами с помощью k цветов и если в данной регулярной карте с Г странами нашлась хоть одна страна, число рёбер которой меньше, чем k — тогда и данную карту с Г странами мы можем правильно раскрасить k цветами.

Как выполнить этот шаг индукции Выбрав в карте Kс Г странами такую страну C, которая ограничена менее чем k рёбрами, мы с т я г и в а е м эту страну в точку. Это стягивание возможно, поскольку каждая страна карты K1 гомеоморфна кругу; ясно также, что стягивание круга в точку не изменяет поверхность M, в которой лежит этот круг. Значит, наше стягивание круга даёт нам новую карту K2 на той же поверхности M —быть может, не регулярную, но уже с Г-1 странами.

По индуктивному предположению, мы умеем правильно раскрасить л ю б у ю карту на M с Г-1 странами — в том числе, карту K2 —с помощьюk цветов. В той вершине карты K2, которая получилась от стягивания страны C, сходятся вместе м е н ь ш е чем k разных стран — тоже по предположению нашей индукции. Значит, для этой вершины мы можем выбрать <свободный> цвет — и окрасить им страну C в исходной карте K1 с Г странами на поверхности M. Все прочие страны карты K1 мы раскрашиваем теми же цветами, какие мы использовали при раскраске их образов на <стянутой> карте K2.

Таково описание геометрической процедуры в одном шаге индукции Хивуда. Теперь нам нужно написать некое неравенство, которое делает этот шаг возможным. Вот оно — неравенство Хивуда:

kГ>6(Г-).

Смысл его таков: если для данной поверхности M с эйлеровой характеристикой найдётся натуральное число k такое, что неравенство Хивуда верно для любого числа стран Г, то любую регулярную карту на M можно правильно раскрасить k цветами.

Проверим, гарантирует ли неравенство Хивуда выполнимость геометрической процедуры Хивуда, описанной выше.

Вспомним, что =В-Р+Г, и что 3В=2Р для регулярной карты. Подставив эти соотношения в неравенство Хивуда, мы получаем:

Р 6(Г-)=6(Р-В)=6· =2Р.

Итак, неравенство Хивуда принимает вид kГ>2Р. Из этого неравенства видно, что в регулярной карте с Г странами найдётся страна, ограниченная менее чем k рёбрами. Значит, неравенство Хивуда обеспечивает выполнимость геометрической процедуры Хивуда — стягивания одной страны в точку, с последующей раскраской новой и старой карт. Теперь вся геометрическая работа Хивуда и его индуктивные переходы между картами обоснованы нами. Осталась чисто арифметическая работа: выяснить, каким нужно брать число k для данной поверхности M с эйлеровой характеристикой, чтобы для любой карты на ней с числом стран Г выполнялось неравенство Хивуда kГ>6(Г-).

Решать это неравенство относительно k нам придётся тремя разными путями — в зависимости от знака эйлеровой характеристики =(М).

А. Пусть (М)>0. Это значит, что мы работаем со сферой или с проективной плоскостью. В этом случае нам достаточно взять k=6 — тогда неравенство kГ>6(Г-) будет выполнено при любом значении Г.

Б. Пусть (М)=0. Это значит, что мы работаем с тором или с бутылкой Клейна. В этом случае нам достаточно взять k=7, чтобы обеспечить неравенство kГ>6(Г-) для всех значений Г.

В. Пусть (М)<0. Это значит, что мы работаем с кренделями или с теми неориентируемыми поверхностями, которые накрываются этими кренделями при склейке пар противолежащих точек кренделя.

В этом случае мы перепишем неравенство Хивуда в виде 1- k> Г и заметим, что второе слагаемое в скобках неравенства п о л ожи т е л ь н о, но оно у б ы в а е т с ростом Г. Чтобы обеспечить выполнение этого неравенства при в с е х значениях Г, нам достаточно обеспечить его при н а и м е н ь ш е м осмысленном значении Гmin=k+1, ибо любую карту с меньшим числом стран мы можем правильно раскрасить k цветами.

Итак, мы должны решить в целых числах неравенство 1- k>6.

k+Оно равносильно квадратичному неравенству k(k+1)>6(k+1-), или k2-5k+6( -1)>0. Больший корень этого квадратного трёх 5+ 49-члена равен. Наименьшее натуральное число, превосходящее этот корень или равное ему, выражается формулой C()= 7+ 49-24.

Такое число красок достаточно для раскраски любой карты на замкнутой поверхности M с эйлеровой характеристикой (M)<0. Например, для обычного кренделя с двумя <дырками> P2 мы получаем C=8, а для связной суммы трёх проективных плоскостей H3 мы получаем C=7. Заметим, что для тора тоже C=7, а для бутылки Клейна C=6: это единственный пример, где верхняя оценка Хивуда оказалась завышенной! Во всех прочих случаях она точна — даже для сферы, где формула Хивуда подсказывает нам не обоснованный, но верный ответ C=4.

Как положено последнему динозавру (и священнику англиканской церкви), Джон Хивуд не дожил до полного решения проблемы четырёх красок, которое появилось на заре компьютерной эры — в 1976 году и огорчило настоящих топологов. Они-то надеялись, что эта проблема Кэли потребует новых мощных алгебраических методов — быть может, даже введения в математику новых понятий, вроде фундаментальной группы! Но оказалось, что здесь достаточно усидчивой работы за компьютером — такова суть проблемы, и таков двадцатый век.

§ Полтораста лет назад (1854) молодой и дерзкий геометр Георг Риман объявил программу создания новой науки — топологии. Он поставил главную задачу нового раздела геометрии: разобраться в строении п р о и з в о л ь н ы х многообразий так же хорошо или лучше, чем мы уже разобрались в строении замкнутых поверхностей! Сто лет назад (1905) матёрый геометр Анри Пуанкаре изобрёл необходимые алгебраические средства работы с многообразиями любой размерности. Это — группы г о м о т о п и й и г о м о л ог и й. Первым примером этого рода стала фундаментальная группа (X) — она позволила различить две замкнутые поверхности относительно их гомеоморфизма. Наконец, 70 лет назад (1930) третий могучий зверь из класса млекопитающих — Марстон Морс — придумал геометрическую конструкцию, которая позволяет явно описать л ю б о е замкнутое многообразие п р о и з в о л ь н о й размерности. С этого момента топология вступила в свой зрелый возраст: его можно назвать кайнозойской эрой, по аналогии с нынешним царством млекопитающих зверей на всей Земле. Что же сделали новые звери — топологи — за 70 лет бурного развития их науки Насколько они сумели превзойти скромные открытия Римана и Пуанкаре, которые мы с вами разобрали на предыдущих страницах Первый крупный прорыв совершил в 1938 году англичанин Хаслер Уитни. Он доказал, что л ю б о е многообразие размерности k можно вложить в евклидово пространство размерности 2k — почти так же, как мы с вами вложили проективную плоскость в четырёхмерное пространство. И эта оценка — неулучшаемая: существуют такие многообразия Mk, которые невозможно вложить в пространство 2k-1 без самопересечений. Таковы, например, проективные пространства Pk при k=2n; в случае k=2 мы с вами нечаянно натолкнулись на самую неукротимую из замкнутых поверхностей — проективную плоскость.

Кстати, мы с вами сумели п о г р у з и т ь проективную плоскость в трёхмерное евклидово пространство — расположить её там без изломов, хотя и с гладкими самопересечениями. Оказывается, что и этот результат наилучший: при k=2n проективное пространство Pk можно погрузить в евклидово пространство 2k-1, но нельзя погрузить в пространство 2k-2. Препятствием к такому погружению оказались особые элементы в группах гомологий проективных пространств — характеристические классы Уитни и Понтрягина, которые обобщают знакомую нам эйлерову характеристику и ориентацию замкнутой поверхности.

Как известно, аппетит приходит во время еды — во всяком случае, у млекопитающих зверей. Топологи тоже обладают этим качеством. Как только проблема вложения замкнутых многообразий была решена, они взялись за проблему бордизма этих же многообразий: каких алгебраических условий будет достаточно, чтобы замкнутое многообразие Mk было краем компактного многообразия Wk+1 Не пригодятся ли и здесь характеристические классы Уитни и Понтрягина Оказывается, да! В 1954 году проблему бордизма замкнутых поверхностей решил молодой французский математик Рене Том — уроженец города Гренобля, где когда-то дерзкий Жан Франсуа Шампольон расшифровал древнеегипетские иероглифы. При этом молодой египтолог Шампольон опирался на открытия маститого англичанина — физика Томаса Юнга; а молодой тополог Рене Том опирался на открытие маститого россиянина — Льва Понтрягина, изобретателя характеристических классов.

Во время Второй мировой войны слепой математик Понтрягин (1908—1988) был эвакуирован в Казань и там тратил много времени на стояние в разных очередях: за обедом, за куском мыла и т. д. Чтобы не тратить это время попусту, Понтрягин постоянно размышлял о каких-нибудь геометрических задачах, например, о гомотопических группах сфер большой размерности. Вдруг он заметил, что эти группы (ещё никем не вычисленные) тесно связаны с бордизмами многообразий — но не простых, а оснащённых, вроде рассерженного ежа, из которого во все стороны торчат иголки. Зная строение всех замкнутых многообразий размерностей и 2, Понтрягин сумел вычислить в уме первые две гомотопические группы сфер: обе они оказались изоморфны группе вычетов 2.

Не имея полной информации о строении многообразий размерности 3, Лев Понтрягин не сумел вычислить третью гомотопическую группу сфер. Она оказалась равна группе вычетов 24. Это выяснил в 1950 году очередной молодой француз — Жан-Пьер Серр, используя новую разновидность топологической арифметики — спектральные последовательности, изобретённые учителем Серра — Жаном Лере.

Pages:     | 1 | 2 || 4 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.