WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 || 3 | 4 |

§ Вспомним, как тор Р1 породил бесконечное семейство кренделей Рk с помощью <связной суммы поверхностей> (рис. 9).

+ = Рис. Точно так же проективная плоскость Н1 порождает бесконечное семейство поверхностей Нk.

Все они, в отличие от кренделей, н е о р и е н т ир у е м ы. Нетрудно заметить и подсчитать (сделайте это!), как преобразуется эйлерова характеристика поверхностей при их связной сумме:

(A+B)=(A)+(B)-2. Поэтому (Hk)=2-k.

Упомянутый выше геометр Анри Пуанкаре (1854—1912) доказал (когда пришла пора для таких открытий), что любые две замкнутые поверхности с р а з н ы м и эйлеровыми характеристиками н е г о м е о м о р ф н ы друг другу.

Он доказал также, что любая ориентируемая поверхность н е г о м е о м о р ф н а любой неориентируемой поверхности. Пути этих доказательств Рис. мы рассмотрим ниже; пока важно заметить, что все фигуры Pk и Hk попарно различны, даже с точки зрения топологии — самой общей ветви геометрической науки. Но прежде чем углубиться в эти тайны, геометры пожелали у в и д е т ь чертежи всех фигур Нk. Пусть это будут картинки с самопересечениями — лишь бы их можно было охватить единым взором! Сказано — сделано. Первого успеха в изготовлении портрета поверхности Н2 достиг в 1870 году молодой и везучий немец Феликс Клейн (1849—1925) — достойный преемник рано умершего Римана, будущий соперник Пуанкаре и друг Гильберта. Его простую картинку до сих пор называют <бутылкой Клейна> (рис. 10).

Видно, что эту бутылку (как и тор) можно изготовить из обычного цилиндра. Но склеивать основания цилиндра здесь придётся иначе: зеркально отразив окружность-торец относительно её диаметра. Заметим ещё, что самопересечение бутылки Клейна устроено довольно скромно: всего одна окружность, вдоль которой вытянутое горлышко бутылки прорезало её бок. Можно ли изобразить сходным путём проективную плоскость Да, можно! Для этого нужно заметить, что бутылка Клейна имеет плоскость симметрии, которая рассекает её на две одинаковые половины (рис. 11). Каждая половина представляет собой лист Мёбиуса, вложенный в полупространство весьма своеобразно: пересекая себя вдоль отрезка и так, что весь край листа Мёбиуса уместился в краю полупространства! А теперь вспомним, как старик Мёбиус разложил проективную плоскость на две части — на лист Мёбиуса и круг, склеенные по общему краю. Мы уже погрузили лист Мёбиуса в полупространство. Нам остаётся погрузить в другое полупространство круг — но не как попало, а так, чтобы край круга лежал в краю полупространства точно так, как в нём лежит край листа Мёбиуса! = + Рис. КРАЙ ЛИСТА МЁБИУСА ОКРУЖНОСТЬ Рис. Сделаем это. Рассмотрим край листа Мёбиуса, погружённый в плоскость, как обычное погружение окружности — и начнём двигать эту окружность по плоскости, допуская самопересечения, но не допуская изломов кривой (рис. 12).

Рассмотрим с л е д этого движения окружности по плоскости. Он задаёт п о г р у же н и е цилиндра в толстый <ломоть> пространства, заключённый между двумя параллельными плоскостями (рис. 12).

В верхнем краю ломтя лежит погружённая окружность (край листа Мёбиуса), а в нижнем — вложенная Рис. окружность, которую легко продолжить до вложения круга. Вот и всё! Теперь погружение проективной плоскости в обычное пространство можно составить из трёх частей: из погружения листа Мёбиуса в верхнее полупространство, из погружения цилиндра в ломоть пространства согласно рис. 12 и из вложения круга в нижнюю граничную плоскость ломтя.

Обратим внимание на множество всех к р а т н ы х точек построенного нами погружения проективной плоскости в евклидово пространство. Наблюдая за изменением семейства двойных точек самопересечения окружности при её регулярной гомотопии по плоскости, можно заметить то единственное мгновение, когда появилась и сразу исчезла одна тройная точка будущего погружения поверхности. Весь ансамбль кратных точек проективной плоскости в трёхмерном пространстве выглядит, как лист клевера (рис. 13).

В этом букете каждая петля состоит из двойных точек, но узловая точка букета — тройная. Около неё три разных листа погружённой проективной плоскости пересекаются попарно ортогонально — как три координатные плоскости Oxy, Oxz, Oyz возле начала координат O.

§ А теперь мы попробуем в л о жи т ь проективную плоскость в ч е т ы р ё х м е р н о е евклидово пространство без самопересечений. Увидеть эту картинку целиком нашими трёхмерными глазами, конечно, невозможно — и не нужно. Всё, что происходит в четырёхмерном пространстве, можно описать словами и изобразить на трёхмерном чертеже столь же успешно и точно, как мы изображаем трёхмерные тела на плоских чертежах.

Например, трёхмерное пространство есть произведение плоскости на прямую. Точно так же четырёхмерное пространство есть произведение обычного пространства на прямую. Выделим в этом произведении четырёхмерный <толстый ломоть> — произведение трёхмерного пространства на отрезок — и вложим в верхнее основание ломтя лист Мёбиуса, а в его нижнее основание — круг.

Вспомним, что край листа Мёбиуса н е о б р а з у е т в обычном пространстве узла. Поэтому его можно непрерывным движением без самопересечений превратить в окружность, стандартно вложенную в плоскость и ограничивающую в ней круг.

Значит, мы можем дополнить наши две вложенные фигуры — лист Мёбиуса в верхнем основании четырёхмерного ломтя и круг в его нижнем основании — вложением в тело ломтя двумерного цилиндра, согласно следу движения, <развязывающего> край листа Мёбиуса в пространстве. Объединение всех трёх вложенных фигур — листа Мёбиуса, цилиндра над его краем и диска, замыкающего другой край цилиндра — даёт нам вложение проективной плоскости в евклидово пространство размерности 4.

Аналогично можно вложить в четырёхмерное пространство связную сумму любого числа проективных плоскостей — т. е.

любую из известных нам замкнутых неориентируемых поверхностей Нk. Нам осталось только доказать, что все в о з м о жн ы е замкнутые поверхности нам уже известны! Для этого нужно сделать очередной прыжок на 60 лет вперёд: из эпохи молодого немца Феликса Клейна и юного француза Анри Пуанкаре перескочить в эпоху молодого американца Марстона Морса, когда стариков Клейна и Пуанкаре уже не будет в живых.

На дворе будет 1930 год — расцвет эры млекопитающих в ноосфере — учёном сообществе матушки Земли.

Если считать гениального Римана первым среди прытких новых зверей (кем-то вроде  ) первой лошадки — эогиппуса), а могучего первопроходца топологии — Анри Пуанкаре уподобить индрикотерию (который мог шутя перешагнуть через обычного слона), то Марстон Морс (1892—1977) оправдал значение своей английской фамилии: Морж. Он спокойно и уверенно переплыл такое море, которое ТОР старшие сухопутные коллеги по привычке считали непроходимым. Вероятно, Пуанкаре мог бы сделать это раньше — но недосуг было, за прочими великими делами! ) § Молодой Морс начал с простого замечания:

каждую из известных замкнутых поверхностей (будь то сфера или тор, проективная плоскость или бутылка Клейна) можно разложить в объПРОЕКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬ единение нескольких лент — либо плоских, Hкак обычное кольцо, либо кручёных — как Рис. 14 лист Мёбиуса. Тор составлен из двух таких Рис. лент, последовательно приклеенных к краю круга крест-накрест (рис. 14, а). Первая из этих лент (1) превращает край круга (окружность) в край кольца (это — две окружности). Вторая лента (2) восстанавливает связность края и позволяет нам заклеить этот край <крышкой> — кругом (3) так, что мы получаем замкнутую ориентируемую поверхность.

Соорудить неориентируемую поверхность из лент ещё проще.

Ведь край листа Мёбиуса связен; поэтому приклейка к кругу любого набора кручёных лент оставляет край поверхности связным — и мы в любой момент можем заклеить этот край крышкой (рис. 14, б). Так и получаются два семейства замкнутых поверхностей: Рk, где число плоских лент чётно, и Нk, где число кручёных лент любое.

Как же доказать, что в с я к а я замкнутая поверхность М составлена из плоских либо кручёных лент Морс нашёл удивительно простой ход к цели. Достаточно задать на поверхности М любую гладкую ч и с л о в у ю ф у н к ц и ю F — и проследить, как изменяется множество меньших значений этой функции по дороге от её минимума к максимуму! Возьмём тор: поставим его на стол и сопоставим каждой точке тора число, равное её высоте над столом. Видно, что множество меньших значений М(F) существенно изменяется четырежды: при проходе через все критические точки функции F, где касательная плоскость к её графику горизонтальна (рис. 15).

Около точек минимума и максимума график функции F устроен как чашка, открытая вверх (минимум) или вниз (максимум).

Около промежуточных точек график F выглядит как седло: при 1 2 4 5 Рис. проходе через него (будь то снизу вверх или сверху вниз) к краю множества меньших (или больших) значений функции приклеивается лента — либо плоская, либо кручёная.

Морс доказал (это было не трудно), что на любой замкнутой поверхности любую числовую функцию можно преобразовать в <хорошую> функцию — с одной точкой минимума, одной точкой максимума и несколькими седловыми точками. Поэтому всякая замкнутая поверхность склеена из лент — либо только из плоских, либо только из кручёных, либо из тех и других вперемежку.

Но оказалось, что <смешанных> поверхностей н е б ы в а е т: приклейка двух кручёных лент порождает такую же фигуру, как приклейка одной плоской и одной кручёной ленты (рис. 16).

Вот так Марстон Морс сумел перечислить в с е возможные замкнутые поверхности — и не только их, ибо теория Морса оказалась применима к изучению мно г о о б ра з ий люб о й р а з м е р н о с т и. А теперь вернёмся на одно поколение назад — в 1890-е годы, когда Морс родился, а Пуанкаре сумел решить проблему, поставленную Риманом: как различить любые поверхности, не гомеоморфные друг другу Видно, не случайно Анри Пуанкаре родился в тот год (1854), когда Георг Риман прочёл перед лицом старого Карла Гаусса знаменитую лекцию о ведущей роли многообразий в обновлённой геометрии! § Вспомним, что в XVIII веке Эйлер учредил арифметическую топологию — когда он начал различать замкнутые поверхности по значению на них арифметической суммы В-Р+Г. В начале XIX века Лагранж, Абель и Галуа ввели в математику новое понятие группы — для того, чтобы <исчислять> преобразования фигур, которые не всегда удаётся записать целыми числами.

В конце XIX века Пуанкаре превратил арифметическую топологию в алгебраическую топологию: для этого он ввёл в геометрию фундаментальную группу () произвольной фигуры.

Описать эту группу не трудно: все её элементы суть петли с общей вершиной на фигуре, причём две петли эквивалентны (гомотопны), если одна из них переводится в другую непрерывным движением (гомотопией). Перемножить две петли — значит, пройти их одну за другой в определённом порядке. Ясно, что фундаментальная группа у большинства фигур не коммут ат и в н а — и вычислять её не легко. Ещё труднее доказать, что две разные группы н е и з о м о р ф н ы друг другу. Но эта задача облегчается в случае, когда обе группы коммутативны. Оттого топологи часто добавляют в фундаментальную группу тождество коммутативности: AB=BA для любых элементов A и B. Уж если две сомнительные группы оказались не изоморфны после того, как мы их прокоммутировали — значит, они и прежде были не изоморфны друг другу! Именно так получается с фундаментальными группами замкнутых поверхностей. Пуанкаре заметил, что петли, порождающие фундаментальную группу () поверхности, соответствуют тем лентам (плоским или кручёным), из которых склеена поверхность. А ещё в группе () есть о д н о соотношение: оно возникает, когда мы приклеиваем завершающий круг к краю объединения всех лент, составляющих нашу поверхность (см. рис. 14).

§ Например, в случае проективной плоскости мы приклеили завершающий круг к краю листа Мёбиуса, который обегает его среднюю линию д в а раза. Оттого группа () поверхности Hзадана одним элементом a и одним соотношением: а·а=e. Это — знакомая вам группа 2 вычетов по модулю 2; она состоит из двух элементов. Вскоре мы увидим, что у всех прочих замкнутых поверхностей фундаментальные группы либо бесконечны, либо тривиальны (у сферы). Так мы единым махом доказали довольно сильное утверждение: проективная плоскость H1 не гомеоморфна никакой другой замкнутой поверхности. Вот для таких триумфов и создавалась алгебраическая топология! Перейдём теперь к бутылке Клейна H2. Она склеена из двух листов Мёбиуса; поэтому в её группе () есть две образующие а, b и одно соотношение: a·a·b·b=e. Если упростить эту группу путём коммутирования и заменить одну из образующих b на более сложную ab, то получится группа + 2. Аналогично, для более сложных поверхностей семейства Нk прокоммутированная фундаментальная группа () изоморфна сумме (k-1) + 2.

Как доказать, что все эти группы попарно не изоморфны Дело в том, что в каж дой из этих групп есть лишь о д и н элемент порядка 2. При любом изоморфизме таких групп их элементы порядка 2 переходят друг в друга. Профакторизовав по этим элементам наши группы, мы получим изоморфизм между более простыми группами: (k-1) =(m-1). Но он возможен, только если k=m: иначе мы получили бы изоморфизм векторных пространств разных размерностей, невозможность которого была доказана ещё Гауссом. Точно так же доказывается попарная неизоморфность групп () для разных кренделей Pk: их фундаментальные группы после коммутирования становятся изоморфны (2k). Наконец, изоморфизм групп k и m + 2 невозможен потому, что в одной из этих групп есть элемент порядка 2, а в другой такого элемента нет. Вот мы и разобрали алгебраическое (на языке теории групп) доказательство знаменитой теоремы Пуанкаре о том, что все известные замкнутые поверхности попарно не гомеоморфны.

§ Что же делать дальше Дальше в умной голове Анри Пуанкаре возник совсем наивный вопрос: ч ь и м и поверхностями (т. е. краями каких трёхмерных тел) являются известные нам замкнутые поверхности Для поверхностей Pk всё ясно: согласно нашему построению, они ограничивают знакомые всем кренделя. Не очень трудно построить тело, краем которого служит бутылка Клейна:

оно получится из бублика, если склеить попарно все его точки, симметричные относительно центра бублика (рис. 17).

Но для сферы похожая операция не проходит — потому что центр сферы находится внутри шара (а центр бублика лежит вне его). Результат склейки всех пар диаметрально противоположных точек шара н е б у д е т трёхмерным многообразием (устроенным около каждой точки так же, как обычное пространство) — потому что центр шара не с чем склеить! По этой причине нам не удаётся построить тело, ограниченное проективной Рис. 17 плоскостью. Более того, эта поверхность Рис. не ограничивает никакого трёхмерного тела! Такого чуда не предвидел даже хитроумный и опытный геометр Анри Пуанкаре. Но, нечаянно обнаружив этот чудесный факт, Пуанкаре сумел доказать его — путём не очень сложных геометрических конструкций.

Оказалось, что только поверхности с ч ё т н ы м и эйлеровыми характеристиками служат границами трёхмерных многообразий — потому, что эйлерова характеристика (W)=В-Р+Г-Ш любого замкнутого трёхмерного многообразия W равна н у л ю.

Вывести первое утверждение из второго не сложно. Допустим, что проективная плоскость H1 является краем некоторого трёхмерного тела V. Возьмём два экземпляра этого тела и склеим их по их общему краю — так, как раньше мы склеивали два листа Мёбиуса, чтобы получить бутылку Клейна (рис. 18). Теперь мы получим замкнутое трёхмерное многообразие W: его строение нам не ясно, но мы знаем (со слов Пуанкаре), что эйлерова характеристика (W) равна 0.

Из чертежа видно, что (W)=2(V)-(Н1). Аналогично эйлерова характеристика бутылки Клейна выражалась через эйлеровы характеристики листа Мёбиуса и его границы — окружности.

Но там мы не получили арифметического противоречия, поскольку эйлеровы характеристики всех трёх фигур — участниц склейки — равнялись нулю. Здесь же одна из характеристик — (Н1) — нечётна, а другая — (W) — равна 0. Оттого наше равенство невыполнимо по модулю 2 — и тем более, в целых числах.

Наметим теперь схему доказательства того факта, что эйлерова характеристика В-Р+Г-Ш любого замкнутого трёхмерного многообразия W равна нулю. Проще всего вывести этот факт из теории Морса — используя те разложения многообразия W в объединение точек (В), отрезков (Р), кругов (Г) и шаров (Ш), которые задаются гладкими числовыми функциями на многообразии V. Рассмотрим сразу две такие функции: F и -F. Задаваемые ими суммы В-Р+Г-Ш должны быть равны — если эйлерова характеристика многообразия W определена корректно. Но из нечётности размерности 3 следует, что все слагаемые суммы В-Р+Г-Ш для функции F имеют противоположные знаки, по сравнению с этими же слагаемыми в сумме В-Р+Г-Ш для функции -F.

Значит, (V)=В-Р+Г-Ш=0.

Pages:     | 1 || 3 | 4 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.