WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 |
Библиотека <Математическое просвещение> Выпуск 27 С. Г. Смирнов ПРОГУЛКИ ПО ЗАМКНУТЫМ ПОВЕРХНОСТЯМ Издательство Московского центра непрерывного математического образования Москва • 2003 УДК 515.16 ББК 22.152 С50 Аннотация Изучение замкнутых поверхностей началось в XVIII веке с теоремы Эйлера: В-Р+Г=2 для всякого выпуклого многогранника. Но для невыпуклых многогранников выражение = =В-Р+Г может принимать совсем другие значения. Приняв значение за численную характеристику поверхности, мы получаем её первый т о п о л о г и ч е с к и й и н в а р и а н т: он позволяет доказать, например, что тор н е э к в и в а л е н т е н кренделю.

Но различить таким образом тор и бутылку Клейна н е у д а ё тс я: нужен другой инвариант, выражающий о р и е н т и р у ем о с т ь поверхности. В конце XIX века Пуанкаре навёл алгебраический порядок среди всех замкнутых поверхностей. Одновременно Хивуд связал эйлерову характеристику с наименьшим числом цветов, необходимых для раскраски любой карты на данной поверхности. В XX веке геометры стали изучать поверхности с новой точки зрения: какие из них являются границами неких тел, и какие из них можно изобразить в пространстве без самопересечений. Пути решения этих проблем рассмотрены в брошюре.

Брошюра рассчитана на широкий круг читателей: школьников, студентов, учителей.

Издание осуществлено при поддержке Департамента образования г. Москвы и Московской городской Думы.

ISBN 5-94057-120-4 © С. Г. Смирнов, 2003.

© МЦНМО, 2003.

Сергей Георгиевич Смирнов.

Прогулки по замкнутым поверхностям.

(Серия: <Библиотека,,Математическое просвещение“>. Вып. 27).

М.: МЦНМО, 2003. — 28 с.: ил.

Редактор А. Б. Сосинский.

Техн. редактор М. Ю. Панов. Корректор Т. Л. Коробкова.

Лицензия ИД № 01335 от 24/III 2000 года. Подписано в печать 10/X 2003 года.

1 Формат бумаги 6088 /. Бумага офсетная № 1. Печать офсетная. Физ. печ. л. 1,75.

1Усл. печ. л. 1,71. Уч.-изд. л. 1,72. Тираж3000 экз. Заказ 3922.

Издательство Московского центра непрерывного математического образования.

119002, Москва, Г-2, Бол. Власьевский пер., 11. Тел. 241 05 00.

Отпечатано с готовых диапозитивов в ФГУП <Производственно-издательский комбинат ВИНИТИ>.

140010, г. Люберцы Московской обл., Октябрьский пр-т, 403. Тел. 554 21 86.

§ Биологи привыкли делить историю жизни на Земле на три эры: палеозой (эру трилобитов), мезозой (эру динозавров) и кайнозой (эру млекопитающих животных). Всю историю математики тоже можно разделить на три эры.

Античность (или научный палеозой) замечательна тем, что её учёные люди (Пифагор, СФЕРА Архимед, Цзу Чун-чжи и их коллеги в Элладе и Китае) хорошо знали целые числа и простые фигуры — вроде куба или параболы, но не ведали позиционной записи чисел. Научный мезозой начался в XVII веке — когда первый динозавр (Рене Декарт) ввёл на плоскости числовые координаты, записал уравнения несложных кривых линий и начал изучать ТОР графики функций путём их математического анализа. В XIX веке эта сфера знаний достигла совершенства: тогда первый млекопитающий (Георг Риман) применил все накопленные методы работы к изучению гладких многообразий. В течение кайнозоя (XX век) новая наука о многообразиях (алгебраическая топология, основанная <индрикотерием> — Анри Пуанкаре) объединила вокруг себя все прочие ветви математики в единое дерево — развесистое и обильно плодоносящее в наши дни.

Самые простые многообразия имеют размерность 2 и называются замкнутыми поверхностями. Ими мы займёмся, начав с простого определения: замкнутой поверхностью называется любая ограниченная (компактная) фиКРЕНДЕЛЬ гура, около каждой своей точки устроенная С ДВУМЯ ДЫРКАМИ так же, как обычная плоскость.

Рис. Примеры замкнутых поверхностей знакомы всем — это сфера (поверхность шара — или колобка), тор (поверхность бублика) и крендель (с двумя или большим количеством дырок в тесте), рис. 1.

§ Поглядев на этот ряд фигур, неизбежно задаёшь вопрос: можно ли их о т л и ч и т ь друг от друга иначе, чем <на глазок> Сможет ли их различить компьютер по каким-нибудь числовым характеристикам этих поверхностей Например, если мы нарисовали на некой поверхности карту — отгадает ли компьютер, на к а к о й поверхности она нарисована Вопросы такого рода приходили в голову даже динозаврам в мезозойскую эру — т. е. в XVII веке, в эпоху Ришелье и д’Артаньяна. Кстати, именно тогда были построены первые компьютеры — механические арифмометры. Их построил Блез Паскаль (1623—1662) — коллега и конкурент Декарта в создании аналитической геометрии. А сам Рене Декарт КУБ (1596—1650) заметил неожиданное общее =8, =12, =6;

-+=2 свойство всех правильных многогранников: для любого из них В-Р+Г=2, где В — число вершин многогранника, Р — число его рёбер, Г — число его граней, рис. 2.

Сделав это наблюдение, Декарт обрадовался: как будет хорошо, если это свойство выделяет правильные многогранники среди всех прочих! Но вскоре пришло отрезвление: формула В-Р+Г=2 верна для всех в ы п у к л ы х многогранников, и для многих невыпуклых — тоже.

Разочарованный таким <ненужным> открытием, Декарт оставил эту тему поОКТАЭДР томкам — следующему поколению мате=6, =12, =8;

матических динозавров.

-+=§ Прошло полвека, прежде чем на свет появился очередной великий математик — Леонард Эйлер (1707—1783).

В эту пору научные динозавры перестали работать в уединении, подобно Декарту и Паскалю. Они сбивались в стаю, называли её академией наук и вместе обсуждали самые важные проблемы. Четыре самые авторитетные академии возниДОДЕКАЭДР кли в Лондоне (1662), в Париже (1666), =20, =30, =12;



-+=в Берлине (1700) и в Петербурге (1724).

Именно в Петербург приехал 20-летний Рис. 2 Эйлер со своим другом — Даниилом Бернулли (1700—1782). Позднее оба друга стали первыми академиками всех четырёх академий Европы.

Молодой Эйлер был готов заниматься любой точной наукой, какая под руку попадётся. То он в одиночку и вручную обрабатывал данные первой российской переписи населения; то читал лекции по исчислению дифференциалов и интегралов для будущих морских офицеров; то упражнялся в дешифровке очередного тайного послания какого-нибудь иностранного посла к своему монарху. В перерывах между этими важными делами Эйлер искал и находил новые задачи из <чистой> математики — и решал их, если хватало времени и сил.

Именно тогда Эйлер открыл для себя большую теорему Ферма — и доказал её для степеней 3 и 4, а дальнейшую работу оставил для новой научной молодёжи (работы им хватило на 250 лет). Тогда же Эйлер переоткрыл формулу Декарта для выпуклых многогранников (В-Р+Г=2) — и доказал её очень простым способом, выявляющим главную суть дела.

Действительно, если эта формула верна для в с е х выпуклых многогранников, то чьё же свойство она выражает Наверное, это свойство с ф е р ы — той замкнутой поверхности, на которой можно нарисовать контур любого выпуклого многогранника, состоящий из вершин (В) и рёбер (Р). При этом сфера разбивается на столько областей, сколько граней (Г) у исходного многогранника. Иными словами, поверхность любого выпуклого многогранника взаимно однозначно деформируема в сферу путём сжатий или растяжений — но без разрывов или склеек1).

§ После такого переосмысления теорема Эйлера о многогранниках приобрела очень простую формулировку и доказательство.

Всякое вложение связного графа с В вершинами и Р рёбрами в сферу разбивает её на Г областей, причём В-Р+Г=2.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть на сфере нарисован произвольный связный граф с В вершинами и Р рёбрами, разбивающий её на Г областей. Мы будем последовательно упрощать наш граф, уменьшая числа его рёбер и вершин, но так, чтобы сумма В-Р+ +Г сохранялась при всех упрощениях. Если после всех упрощений будет выполнено условие В-Р+Г=2, значит, оно выполнялось и для исходного графа. Упрощения графа будут двух сортов.

1. С т я г и в а н и е в точку одного ребра, соединяющего две разные вершины. Такая операция уменьшает на единицу число вершин графа (В) и точно так же уменьшает число его рёбер (Р).

) Такую деформацию математики XX века назвали гомеоморфизмом фигур:

это понятие нам пригодится позже.

Число областей (Г), на которые граф делит сферу, при этом н е и з м е н я е т с я — так что сумма В-Р+Г сохраняется1) (рис. 3, а—д).

Наша операция 1 может увеличить число петель в графе — но это нам не мешает. Напротив, наша промежуточная цель — сделать число вершин графа (В) равным (рис. 3, д). Такой граф называется букетом  ) петель; упростить его дальше с помощью операции 1 невозможно; поэтому мы вводим следующую операцию.

2. Пусть на сфере лежит букет петель; мы уберём одну из них. Тогда число областей (Г), на которые делит сферу новый граф (он — тоже букет петель), на единицу меньше, чем было у исходного графа. Значит, сумма В-Р+Г сохраняется при преобразовании 2.

) Ясно, что таким образом мы можем уменьшить число рёбер графа до нуля: граф превратится в одну точку на сфере, а для такого графа В-Р+Г=1-0+1=2. Доказательство теоремы Эйлера закончено.

§ Теперь мы построим к о н т р п р и м е р ) к теореме Эйлера с помощью н е в ы п у к л о г о многогранника, нарисованного на т о р е (рис. 4). Для этого многогранника В-Р+Г=0! Итак, для некоторых вложений некоторых графов в тор сумма В-Р+Г равна нулю — а не двойке, как на сфере. Верно ли это для любого вложения любого графа в тор К сожалению, нет. Например, окружность (т. е. граф с одной вершиной и одной петлёй) можно вло) жить в тор двумя способами: либо так, что окружность уместится в маленьком круге (как на сфере), либо так, что она станет меридианом тора или его параллелью (рис. 5, а—в).

В случае а окружность разбивает тор на две области; в случаях б и в дополнение к окружности в торе связно — значит, область одна.

) З а м е ч а н и е. В графе некоторые пары вершин ¤) могут быть соединены н е с к о л ь к и м и рёбрами, а для Рис. 3 некоторых рёбер (петель) начало и конец могут совпадать.

=16, =32, =-+=Рис.  ) ) ) Рис. Конечно, Эйлер заметил разницу между этими картинками — и нашёл условие, необходимое для одинаковых значений суммы В-Р+Г при разных вложениях графа в тор или более сложную поверхность.

Заметим, что при подсчёте суммы В-Р+Г мы должны считать, что любая область из дополнения к графу K, вложенному в поверхность М, гомеоморфна кругу без границы.

На сфере это условие выполнено для любого вложения любого связного графа. Но на торе это не всегда так. Минимальный граф, п р а в и л ь н о р а з б и в а ю щ и й тор — это букет двух петель: параллели и меридиана. Дополнение к такому графу состоит из одной правильной области, так что В-Р+Г=1-2+1=0. Сходные разбиения можно построить на кренделе с k <дырками>: в этом случае сумма В-Р+Г принимает значение 2-2k. (Постройте на кренделе с двумя <дырками> букет петель, удовлетворяющий условию Эйлера. Сколько петель для этого потребуется) К сожалению, Эйлеру не удалось придумать строгое доказательство формулы В-Р+Г=2-2k для л ю б о г о графа, лежащего на кренделе с k дырками и правильно разбивающего эту поверхность. Эйлер оставил эту задачу своим преемникам, надеясь на дерзость и смекалку новых динозавров. Потомки не подвели Эйлера — хотя ждать успеха пришлось долго. Доказать корректность определения эйлеровой характеристики сумел только Анри Пуанкаре в конце XIX века — когда эра динозавров в математике сменялась эрой млекопитающих.





§ Но ещё в середине XIX века сразу несколько дерзких математиков задались простым вопросом: в с е ли возможные замкнутые поверхности обнаружил Эйлер Видно, что для <кренделей> сумма В-Р+Г (её назвали эйлеровой характеристикой поверхности) принимает чётные значения. Нет ли поверхности с нечётной эйлеровой характеристикой Например, можно ли построить поверхность и правильный граф на ней, для которых В-Р+Г=1 Оказывается, можно! Такую поверхность впервые построил Георг Риман (1826—1866) — ученик великого математика Карла Гаусса и лучший геометр своего времени. Исследуя геометрию фигур на сфере, Риман заметил интересный факт: о к р у жн о с т и наибольшего радиуса играют на сфере ту же роль, что п р ям ы е на плоскости! Ведь отрезок большой окружности является к р а т ч а й ш е й линией, соединяющей две любые точки на сфере.

Правда, геометрия Римана на сфере резко отличается от геометрий Евклида или Лобачевского на плоскости. В ней вовсе н е т п а р а лл е л ь н ы х <прямых>, ибо любые две окружности наибольшего радиуса пересекаются в двух концах некоторого диаметра сферы! Сам по себе этот факт не шокировал современников Римана.

Они успели привыкнуть к геометрии Лобачевского, где через любую точку вне <прямой> можно провести много разных <прямых>, не пересекающих данную <прямую>. Ну, а если <псевдопараллельных> прямых бывает много — значит, может не быть и ни одной! Но вот пересечение двух прямых в д в у х разных точках — это неестественно. Разные прямые должны пересекаться в одной точке — либо вовсе не пересекаться! Так думал и Риман; поэтому он решил <исправить> сферу, склеив к а жд у ю её точку с другой точкой — диаметрально противоположной. То, что получилось в результате, современники Римана назвали проективной плоскостью — благо эту странную поверхность давным-давно построили иным путём и использовали французские геометры во главе с Жераром Дезаргом, современником Декарта и Паскаля.

§ Интересно, что оба первооткрывателя — Дезарг и Риман — воспринимали необычную проективную плоскость лишь как удобную м о д е л ь, где воплощена нужная система геометрических преобразований или удобная система аксиом. О том, как в ы г л я д и т в с я проективная плоскость — <вблизи> или <в целом>, первым задумался другой ученик Гаусса — Август Мёбиус (1790—1868), пожилой и скромный профессор астрономии и геометрии. Он начал с чертежа проективной плоскости, используя как заготовку привычный чертёжкуба.

Из определения проективной плоскости по Риману следует, что на ней в с ег о будет в д в о е м е н ь ш е, чем на сфере. Не шесть граней, а три; не восемь вершин, а четыре; не 12 рёбер, а только шесть (рис. 6). Поэтому эйлерова характеристика В-Р+Г проективной плоскости равна 1.

Забудем ненадолго о <приполярных> областях сферы и займёмся тем, что Рис. происходит вблизи её экватора, когда там склеиваются вместе все пары диаметрально противоположных точек. Из четырёх боковых граней куба две соседние исчезают; зато две другие соседки склеиваются вместе своими параллельными  ) рёбрами — но не так, как мы привыкли изготовлять цилиндр из прямоугольной бумажки, а с переворотом ребра-отрезка вокруг его середины (рис. 7, а). Эту склейку вы, наверное, когда-то в детстве выполняли сами — и знаете, что полученная вами <перекрученная на 180> лента называется <листом Мёбиуса> (рис. 7, б). Почему её не заметили Декарт или Дезарг, Эйлер или Риман Наверняка замечали — но не придали большого значения случайной находке, ) не укладывающейся в красивую общую Рис. теорию. А вот Мёбиус оценил свою находку по достоинству — и нечаянно обрёл на склоне лет научное бессмертие. Урок для всех добрых молодцев: следите внимательно за любыми чудесами вокруг себя — особенно за теми, о которых вам никто не сообщил заранее! § Итак, лист Мёбиуса составляет главную часть проективной плоскости — её более сложную половину. Другая половина той же плоскости получается из <приполярной> области сферы — т. е. из обычного круга, который приклеивается к листу Мёбиуса по их общему краю — окружности. Здесь нас ожидает новое <чудо>: интуитивно ясно, что эту приклейку н е л ь з я произвести в пространстве без самопересечений! Спасибо интуиции — она нас не обманывает. Действительно: в отличие от сферы, тора или Рис. кренделя, проективную плоскость н е л ь з я в л о жи т ь в обычное пространство без кратных точек самопересечения! Дело в том, что всякая замкнутая поверхность, лежащая в трёхмерном пространстве, р а з д е л я е т его на две части — ограниченную <внутренность> и неограниченную <внешность>, подобно тому, как замкнутая кривая разделяет плоскость на две части.

Но известно, что лист Мёбиуса — поверхность о д н о с т ор о н н я я. Пройдя вдоль всей его <средней линии> с поднятым вверх флажком, мы вернёмся в исходную точку — но флажок будет теперь <поднят> в другую сторону (рис. 8)! Это значит, что флажок, не пересекая проективную плоскость, попал из <внешности> во <внутренность> дополнения к ней. Значит, у дополнения к проективной плоскости в пространстве н е т отдельной <внешности> и отдельной <внутренности>! То же верно для л ю б о й замкнутой поверхности, содержащей хотя бы один лист Мёбиуса и расположенной в пространстве. Оттого все эти поверхности н е в к л а д ы в а ю т с я, а только погружаются в трёхмерное евклидово пространство. Зато в четырёхмерное пространство они вкладываются без самопересечений — но об этом речь пойдёт ниже.

Pages:     || 2 | 3 | 4 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.