WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 ||

x2+ё) x4(x5+1)-9/10. 7. 1/4. 8. Если поместить начало координат в центр окружности и направить ось x туда, где движущаяся точка находится в начальный момент t= =0, то x=R cos t, y=R sin t, где R — радиус окружности, — угловая скорость движения (>0, если движение происходит против часовой стрелки, и <0, если по часовой стрелке). Тогда вектор скорости имеет вид (-R sin t, R cos t) и перпендикулярен радиус-вектору (R cos t, R sin t), направленному из начала координат в движущуюся точку, поскольку скалярное произведение этих векторов равно нулю. 9. Этот путь состоит из таких двух отрезков прямых (он преломляется на границе сред), что если 1, 2 — углы этих отрезков с перпендикуляром к граsin 1 sin нице сред (рис. 31), то =.

v1 v§ 2.

10. а) 8; б) 1001; в) 45; г) 33; д) 2003; е) 5; ё) 100; ж) 2003; з) x. 11. Указ а н и е: взять логарифм с основанием b от обеих частей формулы aloga x=x.

12. У к а з а н и е: воспользоваться результатом задачи 11 с x=b. 13. а) 4,6;

б) -2,3; в) 1,6; г) 0,7; д) 1,5; е) 0,69; ё) 3,2; ж) 3,0; з) -0,69; и) -4,6; й) 22 000.

y Ука з а н ие: log10 e10=10 log10 e4,34, откуда e 104·100,3·100,04 104·10log10 2·100,04 =2·104·e0,04 ln 2·104·e0,12·104(1+0,1)=22 000. 14. а) log2 3> >log3 4. Ук а з а н и е: 2 log2 3=log2 9>3, 2 log3 4= =log3 16<3; б) log5 7>log7 8. Ука з а ние: проверить, что 5 log5 7>6>5log7 8. 15. log2 31,6. Указ а н и е: для вычисления loga b с точностью до 0,1 x достаточно указать такое целое n, что n10 loga b< x 1 2x ln x 1 б) - ; в) ; г) ; д) 2x ln 2;

x(x2 +1) (x2+1)2 x ln x x ln 3xе). 19. Указ ание: исполь зуя формулу v(x3+1) ln бинома Ньютона, доказать, что 2 v n 1 1 1 1 1+ 1 1- + 1- 1- +...

=1+1+2! n 3! n n n 1 1 2 n- 1- 1- 1-...+..., n! n n n Рис. n+1 n 1 1+ отсюда вытекает, что > 1+. Рассмо y n+1 n y= f(x) dx треть отношение n+1 n 1 n 1+ 1 1+ 1 1+ = : = 1- n n-1 n n2 1 1 1 1 1 1 2 1 y=f(x) 1- - 1- 1- = 1- + x n 2! n 3! n n n2 n 1 1 2 3 1 -...

1- 1- 1- 1+ - 4! n n n n n4 1 1 1 1 1 1+ =1- - <1, y 1- + - n n 2n2 2n3 2n2 2n n+1 n 1+ 1 откуда < 1+. 20. Ука з а ние: вос- y=f(x) n n-пользоваться результатом задачи 19.

x § 3.

21. а) 3,75; б) 0,5; в) ln 2. 22. а) 1; б) 6547,2;

y= f(x) dx в) ln 2; г) 444; д) 2/3; е) 0,8(2 2-1); ё) e2-e; ж).

ln y x6 1 2 y= f(x)dx 23. а) +C; б) - cos 2x+C; в) x 3x+C; г) e4x+ 6 2 3 +C. 24. У к а з а н и е: достаточно рассмотреть отдельно случаи f(x)=1, f(x)=x, f(x)=x2.

§ 4.

x 25. 2. 26. Нельзя; площадь равна 4, а интеграл равен 0. 27. 28. См. рис. 32. 29. (b-a) y=f(x) 4/3.

a2+ab+b R, где R—радиус шара, a, b —рассто - яния от центра шара до секущих его плоскостей (b>a). Рис. y = f ( x y ) = f ( x ) y 30. Для пирамиды и конуса объём V = Sh, где S — площадь основания, h — длина высоты; для усечённой пирамиды и усечённого конуса V= (S1 + S1S2+S2)h, где h —длина высоты, S1, S2 — площади оснований.

y=chx 32.. Указ ание: записать x k+ k k k y 1k+2k+...+nk 1 1 = n + +...+ n n n n nk+и показать, что при n эта сумма стремится y=shx x к xkdx.

§ 5.

33. 200 дней. 34. 1600 лет. 35. 109 лет. 36.

7000 лет.

y § 6.

1 37. 5(2+ 2)17 мин. 38. 27 с. 39. Вода быстрее y=thx x вытечет из воронки, обращённой вершиной вниз; примерно в 2,7 раз быстрее; 4,5 ч и 1 ч 40 мин. 40. 4 ч.

-41. 2 ч 50 мин. 42. 40 мин. 43. 0,5 кг. 44. 10 мин.

45. 8 ч 15 мин.

Рис. § 7.

4p46. 34 км.

0g § 9.

47. 50 с; 15 м. 48. б) 11 км/ч; в) 8,2 м; г) через 25 с. 49. б) Через 1,15 с;

в) 17,5 м. 50. а) См. рис. 33. 51. 1,7 с, 16 м; без учёта сопротивления воздуха 2 с, 20 м. 52. 2,1 с, 17,5 м/с; без учёта сопротивления воздуха 2 с, 20 м/с.

§ 10.

M 53. v0+gt-u0 ln 330 м/с.

m § 11.

54. Расстояние от центра Земли до падающего тела будет меняться по закону g R x(t)=R cos t, где =. Тело достигнет центра Земли за время 21 мин, R 2 g R 2gR 2R2g а Южного полюса за время 42 мин. 55. v=v0 1- +, где v — g v2 rv0 скорость снаряда, v0 — начальная скорость снаряда в момент выстрела, r —расстояние от снаряда до Земли, R — радиус Земли; снаряд не вернётся на Землю, если v0 2gR11,2 км/с. 56. Решение всегда может быть представлено в любом из двух видов y(t)=C1ekt +C2e-kt, y(t)=A1 ch kt+A2 sh kt. В зависимости от соотношений между постоянными C1 и C2 или A1 и A2 оно может быть также представлено в одном из следующих четырёх видов: Aekt, Ae-kt, A ch (kt+r0), A sh (kt+r0), где A и r0 — произвольные постоянные, причём решение, не равное нулю тождественно, может быть представлено ровно в одном из этих четырёх видов. Такое решение может обращаться в нуль не более, чем один раз.

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 ||






















© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.