WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |

33. За 30 дней распалось 50% первоначального количества радиоактивного вещества. Через сколько времени останется 1% от первоначального количества 34. В течение года из каждого грамма радиоактивного вещества распадается 0,44 мг (1 мг=10-3 г=10-6 кг). Через сколько лет распадётся половина имеющегося количества 35. В куске горной породы содержится 100 мг урана и 14 мг уранового свинца. Известно, что уран распадается наполовину за 4,5·109 лет и что при полном распаде 238 г урана образуется 206 г уранового свинца. Определить возраст горной породы.

Считать, что в момент образования горная порода не содержала свинца, и пренебречь наличием промежуточных радиоактивных продуктов между ураном и свинцом (так как они распадаются намного быстрее урана).

36*. В костях живого человека один из 5·1011 атомов углерода является изотопом C (период полураспада 5700 лет), остальные атомы углерода — устойчивые изотопы C. При исследовании образца массой 1 г одной из человеческих костей, найденных на стоянке первобытного человека, за 10 мин зарегистрировано 100 распадов атомов C. Считая, что изучаемый образец состоит только из углерода (этого можно добиться специальной обработкой), оценить возраст образца (напомним, что в 12 г углерода содержится 6·1023 атомов).

§ 6. ВЫТЕКАНИЕ ВОДЫ.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ y =f(y) Экспериментальный факт состоит в том, что скорость вытека ния воды через небольшое отверстие равна v=0,6 2gh, где g= =9,8 м/с2 — ускорение свободного падения, h — высота уровня воды над отверстием (рис. 19). Заметим, что v=v(h) является функцией от h, значит, по мере вытекания воды скорость вытекания уменьшается. Если попытаться вывести формулу для v из закона сохранения энергии, то получим v= = 2gh. Коэффициент 0,6 связан с наличием вязкости.

Составим дифференциальное уравнение h вытекания воды. Пусть S(h) — площадь сечения сосуда на высоте h над отверстием, а высота h=h(t) есть функция вреv мени, описывающая вытекание. За время от t до t+t высота изменится на величину h=h(t+t)-h(t) (которая отрицательна!), а объём V вытекшей жидкости будет Рис. примерно равен -S(h) h. С другой стороны, если s — площадь сечения отверстия, через которое вытекает вода, то ясно, что Vv(h) s t, так как за время t вытекает вода того же объёма, что и цилиндр сечения s и высоты v t. Точность обеих формул для V возрастает 2 м с уменьшением t. Приравнивая найденные выражения для V, получим -S(h) hv(h) s t.

Деля на t и переходя к пределу при t0, мы приходим к формуле s -S(h) h =sv(h) или h =- v(h).

S(h) 1 м Решим, например, такую конкретную задачу: за какое время вытечет вся вода из цилинРис. дрического бака высотой 2 ми диаметромоснования 1 м через отверстие в дне диаметром 1 см (рис. 20) Здесь S(h)=·(0,5)2=const (в качестве единицы возьмём метр) или (пока без чисел) S(h)=R2, R — радиус основания бака, R=0,5 м;

s=r2 — площадь отверстия, r — радиус отверстия, r=0,005 м, rV=R2h-r2·0,6 2ght, откуда получаем h =-0,6R2 2gh.

Решение этого уравнения аналогично решению уравнения радио активного распада. Поделим обе части на 2gh. Получим h (t) = 2gh(t) r=-0,6R2, или, по формуле дифференцирования сложной функ 2h r2 ции, = -0,6R2 t, откуда 2g 2 h r =-0,6R2 t+C.

2g Теперь определим C. Для этого воспользуемся начальным усло 2 H вием h(0)=H, где H=2 м — высота бака. Отсюда C=. В ито2g ге получим 2 h r2 2 H =-0,6R2 t+.

2g 2g Момент вытекания всей воды характеризуется тем, что h=0, откуда время T вытекания всей воды можно найти из уравнения r2 2 H 2 HR2 2 2(0,5) 0,6 T=, или T= = 104 с3 ч.

R2g 0,6r2 2g 0,6·(0,5·10-2)2 2·9,Вычисления проведены с одной значащей цифрой, так как именно с такой точностью даны все данные задачи. При решении с такой точностью легко обойтись без всяких вычислительных средств и целесообразно научиться делать это, чтобы в более сложных случаях уметь делать грубую прикидку ответа.

Выше решено дифференциальное уравнение h =a h, где a — постоянная. Более общее уравнение y =f(y) решается аналогично:

его решение выражается через интегралы там, где f(y)=0. А имен y но, запишем его в виде =1. Если G(y) — первообразная функf(y) 1 1 dy ции, т. е. (G(y)) =, или G(y)=, то по правилу дифf(y) f(y) f(y) ференцирования сложной функции получаем (G(y(t))) =(t), откуда G(y(t))=t+C. Из уравнения G(y)=t+C можно найти y как функцию от t.

37. Цилиндрический бак поставлен вертикально и имеет отверстие в дне. Половина воды из полного бака вытекает за 5 мин.

За какое время вытечет вся вода 38. Воронка имеет форму конуса, обращённого вершиной вниз, с радиусом основания R=6 см и высотой H=10 см. За какое время вытечет из воронки вся вода через круглое отверстие диаметром 0,5 см, сделанное в вершине конуса 39. Две одинаковые конические воронки высотой 1 м и радиусом основания 1 м наполнены водой и расположены одна вершиной вверх, а другая — вершиной вниз (рис. 21). В дне каждой из них сделано отверстие диаметром 1 см. Из какой воронки быстрее вытечет вода Во сколько раз Найти время вытекания воды из каждой воронки.

40. Найти время вытекания воды из чаРис. ши, имеющей форму полусферы радиусом 1 м, через отверстие в дне диаметром 1 см (рис. 22).

41. Чаша имеет форму параболоида: поверхности вращения куска параболы y= =ax2, 0xb. Найти время вытекания воды из этой чаши через отверстие в дне диаметром d. Вычислить это время при a=1 м-1, b=1 м, d=1 см.

42. Чай охладился за 10 мин от 100 C до 60 C. За какое время он остынет Рис. до 25 C, если температура воздуха в комнате 20 C (Скорость остывания пропорциональна разности температур тела и окружающей среды.) 43. В баке находится 100 л раствора, содержащего 10 кг соли.

В бак непрерывно подаётся вода (5 л в минуту), которая перемешивается с имеющимся раствором. Смесь вытекает с той же скоростью. Сколько соли останется в баке через час 44. Сосуд объёмом 20 л содержит воздух (80% азота и 20% кислорода). В сосуд втекает 0,1 л азота в секунду, который непрерывно перемешивается, а вытекает такое же количество смеси.

Через сколько времени в сосуде будет 99% азота 45*. В химической реакции атомы или молекулы вещества A объединяются в молекулы A2: A+AA2 (так может обстоять дело, например, с атомарным водородом или кислородом, а также при образовании димеров). При этом скорость реакции пропорциональна количеству сталкивающихся пар, т. е. квадрату имеющейся в рассматриваемый момент массы данного вещества. В некотором сосуде через 5 мин после начала реакции осталась лишь половина непрореагировавшего вещества A. Через какое время останется 1% от исходного количества вещества § 7. АТМОСФЕРНОЕ ДАВЛЕНИЕ Найдём зависимость давления воздуха от высоты h над уровнем моря. При этом будем пренебрегать изменением температуры воздуха в зависимости от высоты и эффектами, связанными с горизонтальным движением воздуха (т. е. ветром). Напомним, что на поверхности Земли (на уровне моря) давление равно p0= =105 Па=105 Н/м2=10 Н/см2=1 атм (т. е. 1 атмосфера), а плотность воздуха (на уровне моря) равна 0=0,0012 г/см3. Нам понадобится связь давления и плотности воздуха при фиксированной температуре (которую будем считать равной 0 C). Эта связь заm даётся универсальным газовым законом pV= RT, где p —давлеM ние газа, V — занимаемый им объём, m — масса газа, M — его молярная масса, T — абсолютная температура газа, R — универсальная газовая постоянная. При T=const получаем pV =Cm, или m m p=c, или p=C, где = — плотность газа. Отметим, что соV V отношение p=C верно с одной и той же постоянной C для любых объёмов газа (в нашем случае воздуха), находящегося при данной температуре. Постоянную C можно найти, взяв воздух на уровне pморя, где p=p0, =0, откуда C=, и окончательно связь p и p задаётся формулой p=p0 0 или =0 p0.

Теперь найдём давление как функцию высоты, т. е. функцию p=p(h). Рассмотрим как меняется давление при переходе от вы- Pсоты h к высоте h+h. Для этого рассмоh+h трим вертикальный столбик воздуха сечением S и затем выделим из него часть межmg ду высотами h и h+h (рис. 23). Для этой h части напишем условия равновесия: сумма всех внешних сил равна нулю. Внешние сиPлы направлены по вертикали и представляS S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S ют собой: давление сверху P1, давление сни- S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S зу P2 и вес mg. Все силы будем считать Рис. с учётом знаков (положительное направление — направление роста h, т. е. вверх).

С учётом этого получим P2=p(h)S, P1=-p(h+h)S, а вес P= =-mg. Заметим, что объём столбика между h и h+h равен Sh.

Следовательно, его масса равна m(h) S h (это приближённая формула, так как (h) меняется на отрезке от h до h+h, но её точность растёт с уменьшением h). В итоге условие равновесия приобретает вид Sp(h)-Sp(h+h)(h)gSh. Деля на Sh и переходя к пределу при h0, получаем -p =g, или p (h)=-(h)g.

Это уже точное равенство. Выразим через p по формуле, приведённой выше: (h)=0p(h)/p0. Тогда получим для p(h) дифференциальное уравнение 0g p (h)=- p(h) pили p (h)=-kp(h), где k=0g/p0. Но это уравнение уже встречалось нам в теории радиоактивного распада, и его решение нам хорошо знакомо:

p(h)=p0e-kh=p0e-0gh/p0.

Вычислим коэффициент k и найдём значения p на разных высотах. Имеем:

0g 1,2·10-3 г/см3·10 м/с2 1,2·10-3 г/см k= = = = p0 10 кг·м/c2·см2 103 г =1,2·10-6 см-1=1,2·10-6·105км-1=0,12 км-1.

Итак, p(h)=p0e-0,12h, где h —высота Таблица в километрах.

Приведём таблицу значений p(h) h, км p(h), атм на разных высотах, полученных 5 0,по этой формуле. Вычисление мож8,9 (Эверест) 0,но делать так: e-0,12·5=e-0,63-0,5= 20 0,=( 3)-10,6 и т. д.

Заметим, что на высоте 20 км, где летают реактивные самолёты, воздуха в 10 раз меньше, чем на поверхности Земли.

Эти результаты хорошо согласуются с результатами, полученными непосредственным измерением давления (с помощью барометра). Поэтому все сделанные предположения оказываются оправданными.

46. Планета <Адиабата> имеет точно такие же форму, размеры и массу, как Земля, но её атмосфера состоит из газа, давление и плотность которого связаны по адиабатическому закону p= =C4/3, причём на поверхности планеты p=p0=10 Н/см2=1 атм и =0=0,0012 г/см3 (т. е. как на Земле). Найти высоту атмосферы этой планеты.

§ 8. ЗАДАЧА О ТРЕНИИ НАМОТАННОГО КАНАТА Для остановки речных судов у пристани с них бросают канат, который наматывают на столб, стоящий на пристани. Один конец каната прикреплён к судну, а другой тянет рабочий на пристани.

Известны коэффициент трения каната о столб k (например, характерное значение k=1/3), число витков каната вокруг столба (например, 3 витка). Пусть рабочий тянет с силой 100 Н. Какая сила тормозит судно Рассмотрим силы, действующие на кусок каната, лежащий от направления, составляющего угол с некоторым начальным направлением отсчёта углов, до направления, составляющего угол + с этим же начальным направлением. Это силы натяжения каната T() и T(+), действуюN щие по касательным (рис. 24), реакT(+) ция столба N, направленная по нормали к канату (считаем малым!), и сила трения F, тоже направлентр + ная по касательной и по величине равная F =kN. Векторная сумма тр этих сил должна быть равна 0. Перенося точку приложения всех сил в точку каната, соответствующую углу, получим картинку (рис. 25), из которой, приравнивая к 0 сумРис. му касательных и нормальных соB ставляющих всех сил, находим, что N 0=N+BA=N-T(+) sin N-T(), A T(+) T() Fтр 0=T(+) cos -T()-Fтр Рис. 25 T(+)-T()-Fтр T ( F ) тр отс на ч ч ёта а ло уг л о в (мы воспользовались тем, что если x мало, то sin xx и cos x sin x 1, поскольку (sin x) |x=0=1, (cos x) |x=0=0, т. е. lim =1, x0 x cos x- lim =0. В итоге получим T(+)-T()Fтр=kN x0 x kT(), откуда, деля обе части на и переходя к пределу при 0, получаем T ()=kT() и T()=T0ek, где T0 — сила на уровне =0. Можно, например, взять в качестве =0 то место, где канат сматывается в сторону рабочего, так что T0=100 Н. Если канат делает 3 оборота, то сила, действующая на судно, получается при =6, т. е. в этом случае T()=T(6)=T0e2=100e250 000 Н.

Итак, если рабочий тянет канат с силой 100 Н, приблизительно равной весу груза с массой 10 кг, то судно тормозит сила величиной 5·104 Н, примерно равная весу груза массой 5000 кг=5 т.

Эту силу можно, разумеется, сделать сколь угодно большой, увеличивая число оборотов каната вокруг столба.

§ 9. УСКОРЕНИЕ КАК ПРОИЗВОДНАЯ ОТ СКОРОСТИ.

ЗАДАЧА О ПАДЕНИИ В ВОЗДУХЕ С УЧЁТОМ СОПРОТИВЛЕНИЯ ВОЗДУХА Основная причина полезности анализа в механике состоит в том, что скорость — это производная от пройденного пути, а ускорение — производная от скорости. Первое мы уже использовали. Поясним второе. Если точка движется вдоль прямой и её скорость в момент времени t равна v(t), то ускорение в этот же момент равно v(t+t)-v(t) a(t)=v (t)= lim, t0 t так как ускорение равно скорости изменения v(t). Второй закон Ньютона записывается для материальной точки, движущейся по прямой, в виде ma(t)=F или mv (t)=F, где F — сила, которая действует на эту материальную точку.

Проще всего иметь дело с силами, зависящими только от скорости.

Аименно, если F=f(v), то получим уравнение mv (t)=f(v(t)), или v (t)= f(v(t)), m оно решается так, как было объяснено в конце § 6. Приведём пример задачи, которая может быть решена таким образом. Пусть требуется описать падение тела в воздухе при условии, что сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости (опыт показывает, что это довольно точно соответствует действительности).

Тогда действующая на падающее тело сила F=mg-Fсопр, или F= =mg-av2, где a — коэффициент пропорциональности (положительным считаем здесь направление вниз). В итоге mv =mg-avили v =g-kv2, где k=a/m. Решим это уравнение. Заметим, что в начале движения v=0 и g-kv2>0. Соотношение g-kv2>0 останется верным в течение всего времени движения, как мы увидим ниже, а пока будем решать уравнение там, где g-kv2>0. Деля v обе части уравнения на g-kv2, получаем =1. Пусть F(v) — g-kv1 первообразная функции, т. е. F (v)=. Тогда, по форg-kv2 g-kvмуле дифференцирования сложной функции, получаем (F(v(t))) = =(t) или F(v(t))=t+C. Найдём F(v): F(v)= dv. Для этоg-kv 1 1 1 + 1 Лег.

го напишем = = g-kv2 (g)2-( kv)2 2 g g+ kv g- kv ко проверяется, что 1 1 1 dv=- ln( g- kv).

dv= ln( g+ kv), g+ kv k g- kv k Отсюда 1 ln(g+kv)-ln(g-kv) = 1 ln g+ kv dv= g-kv2 gk 2 gk g- kv (постоянную C для краткости не пишем). Итак, получаем g+ kv ln =t+C.

2 gk g- kv При t=0 должно быть v=0, так как падение происходит без начальной скорости. Подставляя t=0 и v=0 в формулу, получаем 0=0+C, т. е. C=0. Итак, g+ kv ln =t.

2 gk g- kv Отсюда легко найти v:

g e2 gkt- v= ·.

k e2 gkt+Введём функцию e2z-1 ez-e-z th z= =, e2z+1 ez+e-z которая называется гиперболическим тангенсом (другие важные гиперболические функции — гиперболический косинус ch z= ez+e-z ez-e-z. Если принять = и гиперболический синус sh z= 2 это обозначение, то получаем g v(t)= th( gk t).

k 1-e-2z в формуле th z= поделили чиe2z- Заметим, что th z= 1+e-2z e2z+слитель и знаменатель на e2z). Поэтому lim th z=1. Отсюда z+ g lim v(t)=. Таким образом, скорость v(t) не растёт неограt+ k g ниченно, но имеет при t+ предел vпр=. Выразим k чеk g g рез g и vпр. Получим: k= и даль ше gk=, откуда формула v2 vпр пр для v(t) приобретает вид gt v(t)=vпр th.

vпр Интересно ответить на следующие вопросы:

1. Что происходит при малых t, т. е. когда скорость невелика и сопротивление воздуха влияет мало 2. За какое время скорость практически достигает предельной, например, становится больше 90% предельной Начнём с первого вопроса. Выясним, как ведёт себя th z при малых z. Видно, что th zz при малых z, поскольку e2z1+2z при малых z (иначе: th 0=0, а (th z) |z=0=1). Отсюда th z= e2z-1 2z = z при малых z. Поэтому при малых t получаем e2z+1 2z+gt v(t)vпр vпр =gt, т. е. обычную формулу свободного падения (с нулевой начальной скоростью).

Ответим на второй вопрос. Условие th z=0,9 в силу формулы 1-e-2z th z= означает, что e-2z0,05, т. е. 2z=ln 203,0, или 1+e-2z z1,5. Во всяком случае th z>0,9 при z=1,6. Поэтому условие 1,6vпр v gt >0,9 заведомо выполняется при >1,6, т. е. при t>.

vпр vпр g Это ответ на второй вопрос.

Интересно также понять, когда (при малых t) ещё можно пренебречь сопротивлением воздуха Для этого надо уметь оценивать разность ez-(1+z) при малых z. Можно доказать, что ez-(1+z) z2 z +. Отсюда получается, что th z-z-z3/3. Если мы хо2 тим иметь относительную погрешность меньше 0,1, то надо взять |th z-z|/z=z2/3<0,1, т. е. z<0,5 заведомо достаточно. В нашей vпр gt задаче это означает, что <0,5, т. е. t<0,5.

vпр g Экспериментально известно, что при падении человека (без парашюта) vпр=50 м/с. Здесь формула v=gt хороша при t<2,5 с, а предельная скорость почти набирается за 8 с.

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |






















© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.