WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |

y=log x= ln a·ay ln a·x ln a·aloga x a 1 1 В частности, (log10 x) = =log10 e· 0,4343·. Формулу для x ln 10 x x logb x ln x (loga x) можно также вывести из соотношения loga x= =, ln a logb a верного при любом b>0, b=1 (см. задачу 11).

10. Пользуясь только определением логарифмической функции, вычислить: а) log2 256; б) log4(22002); в) log3(2715);

г) log27(399); д) ln(e2003); е) 2log2 5; ё) 9log3 10; ж) eln 2003; з) aloga x.

logb x 11. Доказать формулу loga x=, где x>0, a>0, a=1, logb a b>0, b=1.

12. Доказать, что loga x= при a>0, a=1, x>0, x =1.

logx a 13. Используя приближённые значения ln 102,3, log10 e 0,4343, log10 20,30, найти без микрокалькулятора приближённые значения (с точностью 10%): а) ln 100; б) ln 0,1;

в) log10 40; г) log10 5; д) log10 32; е) ln 2; ё) ln 25; ж) ln 20;

з) ln 0,5; и) ln 0,01; й)* e10.

14*. Определить без микрокалькулятора что больше: а) log2 или log3 4; б) log5 7 или log7 8 15*. Придумать способ приближённого вычисления loga x для данных x и a с любой наперёд заданной точностью. Вычислить с помощью этого способа log2 3 с точностью до 0,1.

16*. Вычислитьбез микрокалькулятора log10 2 с точностью до 0,1.

17*. Вычислитьбез микрокалькулятора log10 e с точностью до 0,1.

ln x 18. Найти производные функций а) y=ln x2; б) y= ;

x2 +в) y=ln ln x; г) y=log2 x; д) y=2x; е) y=log10(x3+1).

n 1+ 19*. Доказать, что последовательность возрастает с ро n+1 n 1+ стом n, а последовательность убывает с ростом n.

n n n+ 1+ 1 Вывести отсюда, что

n n 20*. Доказать, что 2

§ 3. ВОССТАНОВЛЕНИЕ ПУТИ ПО СКОРОСТИ. ИНТЕГРАЛ Предположим, что нам задана скорость движения по прямой во все моменты времени, например, запись показаний спидометра автомобиля, и мы хотим восстановить путь, пройденный в каждый момент времени, точнее, координату движущейся точки в любой момент времени. Это значит, что производная z (t) известна во все моменты t[t1, t2] и требуется найти z(t). Обозначим z (t)=v(t).

Функция z(t) называется неопределённым интегралом функции v(t), или первообразной для функции v(t).

Насколько однозначно определена функция z(t) Ясно, что если заменить z(t) на z(t)+C, где C — постоянная, то равенство v(t)=z (t) не изменится. Смысл этого в том, что можно начать движение с любой точки. Если задать точку начала движения z(t1)= =z0, то z(t) определяется однозначно. Это можно увидеть ещё таким образом: если z1(t), z2(t) — две такие функции, что z (t)=v(t), z (t)=v(t), то, обозначив z3(t)=z1(t)-z2(t), получим z (t)=0, т. е.

2 функция z3(t) задаёт движение с нулевой скоростью, откуда соответствующая точка стоит на месте, т. е. z3(t)=C, z1(t)=z2(t)+C.

Определённый интеграл. Пусть задана скорость движения v(t) и a, b[t1, t2], где [t1, t2] — отрезок времени, на котором рассматривается движение. Перемещение точки за время от t=a до t=b называется интегралом функции v(t) по отрезку [a, b] (или определённым интегралом) и обозначается b v(t) dt a (смысл этого обозначения мы выясним ниже). Если z(t) —первообразная для функции v(t), то ясно, что данное перемещение равно z(b)-z(a), откуда b b v(t) dt=z(b)-z(a)=z(t) a a (последнее выражение является просто удобной сокращённой записью для z(b)-z(a)).

Эта формула называется формулой Ньютона—Лейбница. Можно записать наоборот функцию z(t) — через определённый интеграл.

Для этого под знаком интеграла обозначим переменную t другой буквой (это не играет роли, так как результат зависит только от b и a, но не от t). Вообще переменная, по которой происходит интегрирование (t в интеграле, написанном выше), называется переменной интегрирования, и её можно обозначить любой буквой, от которой не зависят пределы интегрирования a и b. Поэтому формула Ньютона—Лейбница может быть записана в виде b v() d=z(b)-z(a).

a t Примем b=t и получим v() d=z(t)-z(a) или a t z(t)=z(a)+ v() d.

a Эта формула даёт запись первообразной функции в виде определённого интеграла с переменным верхним индексом. Из неё следует, что t v() d =z (t)=v(t), a т. е. производная от интеграла по переменному верхнему пределу равна значению подынтегральной функции на этом пределе.

Примеры нахождения первообразных и интеграл о в. Операция нахождения первообразных (или неопределённых интегралов) обратна нахождению производной. Неопределённый интеграл функции v(t) обычно обозначается v(t) dt. Если z(t) — какая-то первообразная для v(t), то v(t) dt=z(t)+C, где C —произвольная постоянная. Зная таблицу производных, можно найти некоторые первообразные и интегралы. Например:

(tn) =ntn-1 tn-1 dt= tn+C (при n =0), n или tn dt= tn+1+C (при n=-1), n+ 1 (ln t) = (при t>0) dt=ln t+C (при t>0), t t (et) =et et dt=et+C, (sin t) =cos t cos t dt=sin t+C, (cos t) =- sin t sin t dt=- cos t+C.

Если v(t)=v1(t)±v2(t), то первообразная z(t) может быть найдена по формуле z(t)=z1(t)±z2(t), где z1(t), z2(t) — первообразные для v1(t), v2(t).

Приме р. Пусть v(t)=v0+at (равноускоренное движение), тогда at2 atz(t)= (v0+at) dt= v0 dt+ at dt=v0t+ +C=z0+v0t+, 2 где z0=z(0) — значение координаты z в момент времени 0.

21. Скорость точки, движущейся по прямой, меняется по закону а) v(t)=t3; б) v(t)=t-2; в) v(t)=t-1. Какой путь будет пройден при 1t2 /8 10 22. Вычислить: а) cos t dt; б) t4 dt; в) dt; г) x3 dx;

t 0 2 5 1 2 2 д) xdx; е) xdx; ё) ex dx; ж) 2x dx.

0 1 1 23. Вычислить: а) x5 dx; б) sin 2xdx; в) 3xdx; г) e4x dx.

24. Доказать, что если f(x)=ax2+bx+c, то x f(x x1+x2 +f(x f(t) dt= )+4f ) (x2-x1).

1 6 x§ 4. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ v ИНТЕГРАЛА И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЁМОВ vНарисуем график скорости v(t) и попробуем понять, как по нему восстановить перемещение z(t). Пусть сначала v(t)=v0= =const. Тогда за время от t1 до t2 проходится путь z(t2)-z(t1)=v0(t2-t1). Этот путь t1 t2 t равен площади под графиком v, лежащей между вертикальными прямыми t=t1 и t= Рис. =t2 (рис. 7), так как получается прямоугольник с высотой v0 и основанием t2-t1.

v Оказывается, то же самое верно и в общем случае, т. е. перемещение z(b)-z(a)= b = v(t) dt равно площади под графиком v(t) a bb bb bb bbb b b b b b b b b bbb bbb bbb bbb bb bb bb bb bbb bbb между вертикальными прямыми t=a и t= S= bbbv(t)dt S= b b v(t) dt S= bb v(t) dt S= bb v(t) dt S= bbv(t)dt S= bb v(t) dt v(t)dt v(t)dt v(t)dt v(t)dt v(t)dt S=bbb v(t) dt S=bbb v(t) dt S= bbv(t)dt S= v(t) dt v(t)dt v(t)dt S=bbbv(t)dt S=bbbv(t)dt S=b v(t)dt S=bbv(t)dt S= v(t)dt S= v(t)dt S= v(t)dt S= v(t)dt S= v(t)dt S= v(t)dt S= v(t)dt S= v(t) dt S= v(t)dt S= v(t)dt S= S= v(t)dt S= v(t) dt S= v(t) dt S= v(t)dt S= v(t)dt S= v(t)dt S= v(t)dt S= S= S= v(t)dt S= v(t)dt S= a v(t) dt S= S= v(t)dt S= v(t)dt S= v(t) dt S= S= v(t)dt S= v(t) dt S= v(t) dt S= v(t)dt S= v(t)dt S= v(t)dt S= v(t)dt S= S= S= v(t)dt S= v(t)dt S= v(t)dt S= v(t)dt S= v(t)dt S= v(t)dt S= v(t)dt S= v(t)dt S= v(t)dt S= v(t)dt S= v(t)dt S= v(t)dt S= v(t)dt S= v(t)dt S= v(t)dt S= v(t)dt S= v(t)dt S= v(t)dt S= v(t)dt S= v(t)dt S= v(t)dt S= v(t)dt aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aaa aaa aaa aa aaa =b (рис. 8). По этой причине возникло обо- aaa aa aa aa aa aa aa a a aa aa aa aa aa aa a aa значение интеграла через (это вытянутая буква S). Для доказательства нужно разбить ab t отрезок [a, b] на маленькие части точками t1, t2,..., tn-1: a

получаем Sv(t0)(t1-t0)+v(t1)(t2-t1)+...+v(tn-1) t1 t2 tn-1 t ab n-1 n- (tn-tn-1)= v(tk)(tk+1 -tk)= v(tk)tk Рис. k=0 k=y (это сокращённое обозначение левой части).

Более точная запись:

n-1 n- S=lim v(tk)(tk+1-tk)= lim v(tk)tk, tk0 tkk=0 k=n n где tk=tk+1 -tk. Можно, например, брать разбиение отрезка [a, b] на n равных частей, b-a так что tk= и тогда условие перехода x n к пределу состоит просто в том, что n.

Рис. Но, с другой стороны, точно так же можy но находить путь, пройденный в промежутке от a до b, так как на маленьких участy= ках [tk, tk+1] скорость можно считать постоx янной. Итак, b n- S= v(t) dt=lim v(tk) tk.

tkS=lnx a k=n Отметим соглашение о знаке площади: если x 1 x кусок площади лежит под осью абсцисс, то его знак считается отрицательным, так как Рис. в этом случае tk>0, а v(tk)<0.

П р и м е р 1. Найдём площадь S под параболой y=x2 от точки x=0 до точки x=1 (рис. 10). Имеем:

x3 S= x2 dx=.

0= 3 П р и м е р 2. Площадь под гиперболой y=1/x от x=1 до про x x извольного x равна t-1 dt=ln t =ln x (рис. 11). Таков геометри ческий смысл натурального логарифма.

x = y z Нахождение объёмов. Пусть дано тело в трёхмерном пространстве, и площадь его сечения плоскостью, параллельной координатной плоскости yz и проходящей через точку оси x с координатой x, равна S(x). Тогда объём V этого тела записывается интеy гралом x a b x b V= S(x) dx, a Рис. где a, b выбраны так, что проекция тела на z ось x содержится в отрезке [a, b] (рис. 12).

Для доказательства нужно разбить всё тело плоскостями x=xk на тонкие слои (рис. 13).

Здесь a=x0

xkk=0 a n z y П р и м е р 3. Рассмотрим шар радиуса R: поместим его центр в начало координат. Его сечение плоскостью, параллельR R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R ной оси yz и пересекающей ось x в точке R x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x с абсциссой x, есть круг радиуса R2-xx (рис. 14), откуда S(x)=(R2-x2). Поэтому объём шара равен R R R x3 V= (R2-x2) dx= x Рис. 3 -R= -R R R3 - R (-R)- (-R)3 = 3 y = 3 2 2 = R3+ R3= R3.

x 3 3 Рис. 25. Найти площадь под одной волной синусоиды y=sin x, 0x (рис. 15).

y 26. Можно ли вычислить суммарную площадь двух волн синусоиды (рис. 16) x как sin xdx Чему равны площадь -и этот интеграл Рис. y 27. Найти площадь между параболами y=x2 и y=2-x2 и прямой x=0 (рис. 17).

28. По графику функции f(x) нарисовать график какой-нибудь её первообразной (рис. 18, а—в).

29. Найти объём шарового слоя: куска шара, высекаемого двумя параллельными плоскостями, проходящими по одну сторону от центра.

30. Получить формулы для объёмов пиx рамиды и конуса, а также усечённой пирамиды и усечённого конуса.

Рис. 31*. Вывести из задачи 24, что объёмы, указанные в задачах 29, 30, могут быть y найдены по формуле Симпсона:

H V= (S1+4Sср+S2), где H —высота, S1, S2 —площади оснований, Sср — площадь срединного сечения.

x 1k+2k+...+nk 32. Найти предел lim, n nk+а) пользуясь представлением интеграла от xk y в виде предела сумм.

§ 5. РАДИОАКТИВНЫЙ РАСПАД.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ y =ky Основной закон радиоактивного распада состоит в том, что отношение числа расx павшихся за любой фиксированный малый промежуток времени атомов к общему числу атомов, имевшихся в начале этого проб) межутка времени, не зависит от общего чиy сла атомов (если считать это общее число большим). Причина этого состоит в том, что радиоактивный распад означает распад ядер, а ядра не взаимодействуют друг с другом при обычном состоянии вещества, взаимодействуют лишь электронные оболочки.

x Поэтому вероятность распада данного атома не зависит от того, сколько имеется атомов.

Ясно также, что количество атомов, распавв) шихся за малый промежуток времени t, Рис. 18 пропорционально t.

y =x x = y Обозначим массу нераспавшегося вещества в момент времени t через y(t). За время t распадается y(t)-y(t+t) вещества.

Основной закон радиоактивного распада можно записать так:

y(t)-y(t+t) kt, y(t) где равенство тем точнее, чем меньше t. Здесь коэффициент k постоянен и характеризует данное вещество: он равен вероятности распада индивидуального атома за единицу времени, при условии, что эта единица выбрана достаточно малой (по сравнению, например, с введённым ниже периодом полураспада). Найденное соотношение можно, поделив на -t и умножив на y(t), переписать в виде y(t+t)-y(t) -ky(t).

t Поскольку точность этого равенства растёт при t0, переходя к пределу, мы получим точное равенство y (t)=-ky(t), (1) представляющее собой дифференциальное уравнение радиоактивного распада. Можно ещё произвольно задать исходное количество вещества y(0)=y0, (2) что представляет собой начальное условие для уравнения (1).

Если окажется, что уравнение (1) с условием (2) имеет единственное решение, то можно считать, что оно правильно описывает рассматриваемый процесс.

Решим уравнение (1) с начальным условием y(0)=y0>0.

На некотором интервале [0, t0] будет y(t)>0. Разделив уравнение (1) на y(t), получим y (t) =-k.

y(t) В силу правила дифференцирования сложной функции и формулы (ln x) =1/x можно переписать это уравнение в виде (ln y(t)) = =-(kt). Поскольку две первообразные одной функции отличаются на постоянную, получаем ln y(t)=-kt+C1, или y(t)=e-kt+C1 = =eC1e-kt=Ce-kt, где C>0. Отсюда видно, что эта формула применима при всех t, так как наше рассуждение проходит всегда, пока y(t)>0. Подставляя t=0, находим C=y0 и окончательно y(t)=y0e-kt. (3) Таким образом, единственное решение уравнения (1) с начальным условием (2) имеет вид (3), если y0>0. Если y0<0, то можно вместо y(t) рассмотреть функцию -y(t), которая удовлетворяет тому же уравнению с начальным условием (-y0). Отсюда вновь получается формула (3).

Остаётся рассмотреть случай y0=0. В физической задаче в этом случае y(t)0 (если не было никакого вещества, то ничего и не останется). Однако математическая задача о решении уравнения (1) с начальным условием (2), где y0=0, в принципе могла бы иметь решение y(t)0. Можно доказать, что такого решения нет. Приве дём такое доказательство, а в дальнейшем будем опускать математические подробности, если в данной физической задаче всё ясно.

Запишем y(t) в виде y(t)=z(t)e-kt. Видимо, должно оказаться тогда, что z(t)=const. Запись такого вида означает, что мы просто ввели новую неизвестную функцию z(t)=y(t)ekt. Подставим y= =ze-kt в уравнение (1). Тогда получим, пользуясь формулой дифференцирования произведения, z e-kt+(-k)ze-kt=-kze-kt. Отсюда z e-kt=0 и z =0, т. е. z=C=const, а это означает, что y(t)= =Ce-kt. В частности, если y(0)=y0=0, то y(t)0. Заодно мы доказали и единственность решения уравнения (1) с начальным условием (2), хотя при y0=0 это было ясно и рань ше. Выясним смысл коэффициента k, теперь уже исходя из полученных формул. Для этого введём период полураспада T, характеризующий радиоактивный распад вещества и равный времени, за которое распадаетyся половина вещества, имевшегося вначале. Получим y0e-kT=, ln 2 ln или ekT=2, откуда T=, или k=. Формула для решения k T приобретает вид ln 2 t t t - t ln 2 - - T T T T y=y0e-kt=y0e =y0e =y0(eln 2) =y02.

Итак, y(t)=y02-t/T, где T — период полураспада.

Заметим, что ln 2 легко находится, если принять во внимание, log10 что log10 20,3010, log10 e0,4343, откуда ln 2= 0,69.

log10 e Укажем наиболее важные периоды полураспада: TU=4,109 лет — это величина периода полураспада наиболее распространённого изотопа урана U; TRa=1600 лет. Для радиоактивного изотопа углерода C период полураспада T =5700 лет. Этот C изотоп используется для определения возраста ископаемых организмов так называемым радиоуглеродным методом, основанным на том, что изотоп C попадает в организм лишь во время его жизни, а после смерти организма просто распадается в соответствии с законом радиоактивного распада. Сравнивая количество изотопов C в живом организме с его количеством в изучаемом ископаемом образце, можно определить возраст ископаемого образца.

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |






















© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.