WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 |
Библиотека «Математическое просвещение» В. И. Арнольд ЦЕПНЫЕ ДРОБИ ией ку ире Издательство Московского центра непрерывного математического образования Москва • 2009 Фото П. М. Юрьева.

УДК 511.1 ББК 22.130 А84 Арнольд В. И.

А84 Цепные дроби — М.: Изд-во МЦНМО, 2009. — 40 с.

ISBN 978-5-94057-441-5 Теория цепных дробей связана с теорией приближений вещественных чисел рациональными, с теорией динамических систем, а также со многими другими разделами математики. В брошюре рассказано о связи цепных дробей с геометрией выпуклых многоугольников. Из этой связи следует, например, что цепная дробь периодична в тех и только тех случаях, когда выражаемое ей число является корнем квадратного уравнения с целыми коэффициентами. Рассказано также о том, насколько часто среди элементов цепной дроби, выражающей произвольное вещественное число, встречается единица (двойка, тройка,...).

В заключительном разделе брошюры содержится обзор результатов, связаных с многомерными обобщениями классической теории цепных дробей, полученных в последнее время.

Текст брошюры представляет собой дополненную обработку записи лекции, прочитанной автором для школьников 9—11 классов 2 декабря 2000 года на Малом мехмате МГУ.

Брошюра рассчитана на широкий круг читателей, интересующихся математикой: школьников старших классов, студентов младших курсов, учителей, а отчасти она будет интересна и профессиональным математикам.

Первое издание книги вышло в 2001 году.

ББК 22.130 Серия «Библиотека „Математическое просвещение“» Арнольд Владимир Игоревич ЦЕПНЫЕ ДРОБИ Выпуск 14 Серия основана в 1999 году Редакторы В. А. Клепцын, Е. Н. Осьмова Художник П. М. Юрьев Тех. редактор Д. Е. Щербаков Подписано к печати 22/XII 2008 г. Формат 60 90116. Бумага офсетная № 1.

/ Печать офсетная. Объём 2,50 + 0,25 (вкл.) печ. л. Тираж 1000 экз. Заказ.

Издательство Московского центра непрерывного математического образования.

119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11. Тел. (495) 241 74 83.

Отпечатано с готовых диапозитивов в ППП «Типография „Наука“».

119099, Москва, Шубинский пер., 6.

© В. И. Арнольд, 2009.

ISBN 978-5-94057-441-5 © Издательство МЦНМО, 2009.

ЧТО ТАКОЕ ЦЕПНАЯ ДРОБЬ Теория цепных дробей — одна из древнейших математических теорий. Чтобы показать, что такое цепная дробь, начнём с простого примера. Возьмём дробь. Наибольшее целое число, не превосходящее эту дробь — это 1:

10 3 =1+ <1.

7 7 «Перевернём» дробь :

10 3 =1+ =1+.

7 Наибольшее целое число, не превосходящее дробь — это 2. Получаем:

10 3 1 =1+ =1+ =1+.

7 7 2+ 3 Это и есть цепная дробь для числа, которая, между прочим, даёт очень хорошие приближения: довольно близко к 1, но если 1 хотите точнее, то это примерно 1+, ну а 1+ — это точное 2+ значение.

Таким же способом можно представлять все числа. Если число иррациональное, то этот процесс будет продолжаться бесконечно, никогда не остановится, а для рациональных чисел дробь такого вида конечна.

Цепная дробь для числа p Что такое p В докладах Академии наук за 1935 год я читал две статьи биологов, в которых упоминалось число p. Одна статья называлась «О долбящей деятельности дятлов», другая — «О фонтанирующей деятельности китов».

В последней описывалась такая задача из практики китоловов. Допустим, вы заметили вдалеке фонтан кита и хотите определить, стоит ли отправляться на охоту за этим китом или количество мяса, которое вы добудете, незначительно. Для этого нужно было выяснить зависимость между фонтанирующей деятельностью и объёмом кита. Поэтому в статье была приведена формула для объёма кита: V = pr2l, где r — оценка половины ширины кита, l — его длины (кит считался цилиндрическим). И только было трудно объяснить китоловам, что такое p. В статье было такое объяснение:

«... где p — константа, которая для гренландских китов равна 3». Но для китов других пород, по-видимому, нужно использовать другие значения.

Приближения числа p знали уже древние. Вот, например, очень хорошее приближение, которое связывают с именем Архимеда, но 22 которое было известно и до него: p =3. В действительности, 7 это как раз начало цепной дроби, в которую можно разложить число p. Эта дробь бесконечна, и, беря всё более длинные начальные куски этой дроби, можно получать всё более точные приближения, см. с. 5.

Заметьте, что числитель дроби — всего лишь двузначное число, знаменатель — однозначное, а точность приближения, которое даёт эта дробь, — три десятичных знака (а). Шесть правильных десятичных знаков можно получить, оборвав эту цепную дробь дальше (в). Новое приближение — это отношение двух трёхзначных чисел. Вот правило, помогающее запомнить эту дробь: надо записать длинное число 113355, разбить его на два трёхзначных числа и разделить большее на меньшее. Получим:

1 p 3+ =.

7+ По моему мнению, математика и физика — части одной экспериментальной науки. Физикой называется та часть, где стоимость каждого эксперимента — миллиарды долларов, математикой — та, где эксперименты дёшевы. Кроме того, математика едина, её нельзя разделить на алгебру, геометрию и т. п. В частности, вычисления, которые мы проводили, возникли при изобретении календаря, когда дробью было отношение солнечного года и периода Луны. Ближайшее приближение к этому отношению — 12 (как 3 для p), далее идут всякие поправки: високосные годы; в григорианской системе, которая поправляет юлианскую, не только високосные годы, но и раз в сто лет ещё одна поправка, и раз в четыреста лет — ещё одна...



Так вот, все эти поправки в соизмеримость оказались особенно важны, когда начали развиваться небесная механика и астрономия. Например, соизмеримость периодов обращений Юпитера и Сатурна вокруг Солнца (отношение 2:5) приводит к очень сильным возмущениям, которые сбивают планеты с их орбит. Это так называемые неравенства в движении Юпитера и Сатурна, которые p = 3 +.....

.

.

7 + а)................

.

.

15 + б).................

.

1 + в)................

.

.

292 + г).................

.

1 + д).................

.

1 + е)................

.

.

1 + ё).................

.

2 + ж)................

.

.

1 + з).................

.

3 + и).................

.

1 + й)................

.

.

14 + к).................

.

2 + л)...............

.

.

.

1 +.

.

м)..........

.

.

Рациональное приближение Количество числа p 3,14159265358979324 совпавших цифр а) 3,142 б) 3,14151 в) 3,1415929 103 г) 3,1415926530 33 104 д) 3,1415926539 33 208 е) 3,141592653467 66 312 ё) 3,1415926536 99 833 ж) 3,141592653581 265 1 146 з) 3,141592653591 364 4 272 и) 3,1415926535894 1 360 5 419 й) 3,1415926535898 1 725 80 143 к) 3,1415926535897926 25 510 165 707 л) 3,1415926535897934 52 746 245 850 м) 3,14159265358979316 78 256 имеют период около 800 лет. В расчёте таких периодов цепные дроби и связанные с ними приближения имели огромное значение и потребовали серьёзного развития математического аппарата.

Это развитие привело довольно быстро1 к пониманию того, что эта арифметика является на самом деле геометрией.

Далее я представлю некоторые сведения из теории цепных дробей и покажу, основываясь на экспериментальных принципах, геометрический смысл этих сведений: сначала в виде примера, а потом в виде формулировок теорем.

Эта геометрия стала популярной около ста лет назад благодаря великому математику Герману Минковскому, который назвал её геометрией чисел. Предшественники Минковского пользовались этой теорией, не давая ей названия, и потому забыты.

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ В основе геометрии чисел по Минковскому лежит школьная тетрадка в клеточку — плоскость, на которой нарисована координатная сетка. Рассмотрим прямую y=ax; возьмём для примера a =.

Если a — рациональное число, то на этой прямой, кроме начала координат, будут ещё целые точки. В нашем случае прямая пройдёт через точку (7, 10).

Оказывается, построение цепной дроби числа a связано с нахождением целых точек, которые лежат близко от нашей прямой.

А именно, имеется геометрический алгоритм, который мне объяснил (когда я учился на первом курсе) крупнейший российский математик Борис Николаевич Делоне. Он выразительно называл этот алгоритм «вытягиванием носов». Алгоритм позволяет строить ближайшие к прямой целые точки одну за другой и одновременно получать цепную дробь.

Алгоритм «вытягивания носов» # # Пусть e– и e– — единичные векторы. Между ними расположена 1 # # наша прямая (рис. 1). А теперь к вектору e– будем прибавлять e– до 1 тех пор, пока не перескочим через нашу прямую. Иными словами, нужно найти наибольшее натуральное число a0, такое что конец Вся эта наука (включая «алгоритм Евклида» и теорию «пифагоровых троек» вроде 32 + 42 = 52) была известна древнеегипетским звездочётам за тысячи лет до Пифагора, Евклида и Эвдокса, сообщивших эти древние познания (в том числе строгую теорию иррациональных чисел) древним грекам.

y eee2 eex O Рис. # # # вектора e– = e– + a0e– всё ещё ниже нашей прямой.

3 1 В данном случае a0 =1.

# Продолжаем. Чтобы получить вектор e–, прибавим # # к e– вектор e– (который уже построен), умноженный 2 на коэффициент a1. Коэффициент a1 выбираем так, чтобы не перескочить через прямую, т. е. чтобы вектор e4 оставался выше прямой, а если к нему прибавить e3, то мы перескочим через прямую. Как видите, a1 =2. Рис. Векторы получаются всё более длинные, поэтому алгоритм и назвали «вытягиванием носов».

# # # Далее, e– = e– + a2e–. Взяв a2 =3, попадаем как раз на прямую.

5 3 Итак, a0 =1, a1 =2, a2 =3, 1 1 a0 + =1+ =.

1 a1 + 2+ a2 Можно доказать, что этот алгоритм всегда даёт целые числа a0, a1, a2,..., которые и будут получаться при разложении a в цепную дробь. Точки, которые мы получаем, дают нам сразу же и элементы цепной дроби.

Доказательство этого факта несложно. Главное — это то, что прямая с уравнением y= Ax в какой-либо системе координат задаётся также уравнением x = y в системе координат с переставленными A осями абсцисс и ординат. А прямая с уравнением y= Ax в системе с базисными векторами e (на оси x) и f (на оси y) задаётся при A = a + B уравнением z = Bw в системе с базисными векторами e + af (на оси w) и f (на оси z). Цепная дробь получается при последовательном применении (поочерёдно) этих двух (очевидных) фактов.

Я докажу две леммы, которые составляют основу геометрии чисел.

Две леммы геометрии чисел Лемма 1. Рассмотрим на плоскости с координатной сеткой «пустой» параллелограмм с вершинами в узлах сетки, т. е. такой, что ни внутри, ни на его границе нет других узлов сетки, например, как на рис. 2. Площадь этого параллелограмма равна 1.

Конечно, не так трудно посчитать площадь параллелограмма, но я расскажу, как эту задачу решает физик. С точки зрения математиков это не доказательство, оно не использует b ba аксиом.





bВ «Исповеди» Жан-Жака Руссо написано, что, когда он начал учиться в школе и научился раскрывать a a2 ab скобки, он вывел замечательную формулу — формулу квадрата суммы: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. Но, хотя он сам это открыл и не сомневался, что раскрывал скобa b ки правильно, поверить в эту формулу не мог — до тех Рис. 3 пор, пока не нашёл другое доказательство, без скобок.

Вот это доказательство: разрежем квадрат со стороной a + b на четыре части (рис. 3), откуда видно, что его площадь равна a2 + ab + ba + b2. После этого все сомнения пропадают.

Я называю такие доказательства физическими, и, на мой взгляд, это единственно настоящие, убедительные доказательства, благодаря которым математика становится понятной. Никакое раскрытие скобок, никакая алгебра убедительными никогда не являются, там всегда могут быть ошибки, и даже в компьютере бывают сбои.

Так вот, эту лемму я сейчас докажу физическим способом, «по Руссо».

Д о к а з а т е л ь с т в о л е м м ы 1. Сдвигая наш параллелограмм на всевозможные комбинации векторов, на которые он натянут, мы можем покрыть всю плоскость равными параллелограммами, подобно тому, как её покрывали единичные квадратики, образованные линиями координатной сетки (рис. 4).

Возьмём кусок плоскости большой площади A и посчитаем, сколько в нём, с одной стороны, наших параллелограммов, с другой стороны, целых точек. Пусть площадь параллелограмма равна S, тогда, если площадь A очень велика, число параллелограммов приблизительно равно A/S (этот кусок плоскости не обязательно состоит из целых параллелограммов, поэтому равенство будет неточным;

впрочем, можно взять кусок, состоящий из целых параллелограммов, тогда получится точное равенство). Понятно, что число целых точек примерно равно A.

Посчитаем теперь число целых точек в нашей области другим способом. На каждый параллелограмм приходится 4 точки (его вершины), но при этом мы считаем каждую вершину 4 раза, и если мы посчитаем число всех вершин всех параллелограммов, то получится в 4 раза больше, чем число всех целых точек вообще. Поэтому целых точек и параллелограммов одинаковое количество. Получается, что A A/S при очень большом A.

Значит, S =1.

З а м е ч а н и е. Это рассуждение легко обобщается на случай, когда у параллелограмма с вершинами в целых точках есть ещё k целых точек внутри и l целых точек на сторонах. Площадь такого параллелограмма S =1+bk +gl. Чи- Рис. тателю предлагается самому найти коэффициенты b и g и тем самым получить ответ (его можно проверить экспериментально при небольших k и l).

Лемма 2 (формула площади параллелограмма). Рассмотрим параллелограмм, натянутый на векторы с координатами (a, b) и (c, d) (числа a, b, c, d не обязательно целые), рис. 5. Будем считать, что его площадь имеет знак плюс, если поворот от первого вектора ко второму идёт в ту же сторону, что и поворот от оси Ox к оси Oy, и знак минус в противном случае. Тогда S = a b c d = ad- bc называется определителем матрицы ).

a b (число a b c d c d Д о к а з а т е л ь с т в о. Площадь параллеy лограмма является линейной функцией векc тора: если заменить первый вектор на сумму двух других, то соответствующие площади сложатся. Кроме того, если векторы переста S>вить, то площадь изменит знак (по условию d про ориентацию). Из этих двух фактов и из b того, что площадь единичного квадрата равx O a на единице, сразу вытекает, что S= a b — c d единственно возможная формула. Это единРис. ственная функция, которая линейна по первому аргументу, линейна по второму, антисимметрична (меняет знак при их перестановке) и равна 1 на двух базисных векторах.

В алгебре эта наука называется теорией определителей. Чтобы повысить авторитет своей науки, алгебраисты скрывают, что их определители — это просто площади, объёмы и т. п., потому что, если определять их как ужасные многочлены, построенные по сложным правилам, вся наука об определителях становится абсолютно непонятной. Если же начать с того, что определителем называется площадь или объём, то все теоремы, какие есть в теории определителей, совершенно очевидны и мгновенно получают доказательства, которые я называю физическими, доказательствами в стиле Руссо.

# # Вернёмся к нашему алгоритму. Векторы e– и e– определяют еди1 ничный квадратик, и поэтому соответствующий определитель # # # равен единице. Возьмём вектор e–. От e– к e– вра3 2 ek+щение в отрицательную сторону, внутри и на сторонах параллелограмма, натянутого на эти векторы, нет целых точек, поэтому этот определитель равен -1. Продолжая дальше, мы видим, что построение на каждом шаге такое: имеется паралek # – # лелограмм (натянутый на векторы ek-1 и e–), к k # – одной его стороне (ek-1) мы прибавляем другую несколько раз, заменяем первую сторону на эту # – # – # сумму (ek+1 = ek-1 + ak-2e–) и меняем стороны меk стами. Абсолютная величина площади не меняетРис. ся, меняется только знак. Пусть (qk, pk) — коорди# наты вектора e–; qk и pk — целые числа. Площадь Sk параллелоk qk pk.

# # – грамма, натянутого на векторы e– и ek+1, равна qk+1 pk+k Основное утверждение теории цепных дробей:

Теорема. Sk =(-1)k+1 (k 1).

Действительно, мы показали, что Sk =±1 и знак каждый раз меняется, поэтому Sk =(-1)k или Sk =(-1)k+1 для всех k; при этом S1 =1.

pk Следствие. Дробь является невероятно хорошим приближеqk нием для нашего числа a. Формула pk a, k 3, qk даёт точность порядка.

Pages:     || 2 | 3 | 4 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.