WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 6 |
С. В. Богословский, А. Д. Дорофеев ДИНАМИКА ПОЛЕТА ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ Учебное пособие 2002 УДК 629.7.01(075) ББК68.53 Б74 Богословский С. В., Дорофеев А. Д.

Б74 Динамика полета летательных аппаратов: Учеб. пособие / СПбГУАП.

СПб., 2002. 64 с.: ил.

Содержит материалы по математическому моделированию в курсе “Динамика полета”, а также описание методов анализа устойчивости и управляемости летательных аппаратов.

Предназначено для студентов всех специальностей и форм обучения.

Рецензенты:

кафедра аэродинамики и динамики полета АГА;

кандидат технических наук В. А. Бородавкин - © Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения, 2002 С. В. Богословский, А. Д. Дорофеев, © 2002 2 ПРЕДИСЛОВИЕ В динамике полета изучается движение летательного аппарата (ЛА) под действием сил инерции и сил тяги, а также внешних сил и моментов, т. е. связь между силами, моментами и кинематическими параметрами движения: скоростью, ускорением, угловой скоростью и угловым ускорением.

Основным содержанием такого исследования является изучение динамических свойств ЛА, к которым относятся устойчивость движения ЛА и его управляемость.

Исследованию этих динамических свойств предшествует изучение статики – движения ЛА, при котором отсутствуют силы инерции (например, при равномерном и прямолинейном движении). Статика характеризуется статической управляемостью и статической устойчивостью ЛА, которые связаны с вопросами балансировки сил и моментов, действующих на ЛА в полете, и которые, в известной мере, предопределяют эти свойства.

Исследование математических моделей современных ЛА и их систем управления производится с использованием мощной вычислительной техники. Однако постановке задач на компьютере предшествует качественный анализ, выполняемый на упрощенных моделях.

Такой анализ позволяет оценить необходимость тех или иных исследований, а в случае их выполнения – оценить достоверность полученных результатов и аргументированно обосновать новые технические решения. Тем самым уменьшается возможный ущерб от неэффективного использования вычислительной техники, от изготовления некачественной продукции и от техногенных катастроф.

В учебном пособии рассматриваются и простейшие математические модели ЛА, пригодные для качественного анализа динамики полета, и современная обобщенная математическая модель, которая может использоваться только при исследованиях с использованием современной вычислительной техники.

Как известно, при решении уравнений динамики полета и исследовании динамических свойств ЛА широко используются как классический, так и операторный методы. В качестве примеров этого использования применены оба метода: классический – при исследовании устойчивости движения и операторный – при изучении динамических свойств ЛА рассматриваемого в качестве элемента системы управления.

Учебное пособие может быть использовано при изучении курсов “Динамика полета”, “Динамика полета и конструкция ЛА”, а также раздела “Динамика полета” в курсе “Летательные аппараты”.

1. ОПИСАНИЕ ДИНАМИКИ ПОЛЕТА С ПОМОЩЬЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Основой для изучения динамических свойств ЛА служит его математическая модель.

В основе описания в пространстве состояний лежит вывод дифференциальных уравнений, описывающих динамику ЛА, путем изучения физических законов функционирования последнего. Полученная система дифференциальных уравнений выявляет внутреннюю взаимосвязь между всеми физическими величинами, характеризующими работу объекта. Эти физические величины в заданный момент времени называют состоянием объекта управления и обозначают вектором х(t), а набор физических величин и/или их линейные комбинации являются переменными состояния хi(t) (i = 1,..., n), n – число переменных состояния (размерность пространства состояния).

Обозначим через u(t) – вектор управляющих воздействий, а через y(t) – вектор выхода системы (, n ). Тогда линеаризованной моделью объекта в пространстве состояния принято считать следующую систему линейных дифференциальных уравнений, записанную в векторно-матричной форме:

x(t) = Ax(t) + Bu(t); (1) y(t) = Cx(t), (2) где А, В, С – матрицы размером (nn), (nr), ( n) соответственно.

Элементы матриц могут зависеть от времени, тогда модель объекта называется нестационарной; если элементы матриц не зависят от времени, то модель называется стационарной. В учебном пособии рассматриваются лишь стационарные модели. Форма записи (1), (2) дифференциального уравнения называется нормальной формой Коши.

Общее решение линейного неоднородного уравнения (1) при начальном условии x(t0) = x0 имеет следующий вид:

t A(t0-) x(t) = eA(t-t0) x0 + e Bu()d, (3) t где eAt – условное обозначение матрицы размером (nn), определяемой по формуле Aktk eAt = (4) k! k=и называемой матричной экспонентой.

Если матрица А имеет n попарно различных собственных чисел 1, 2,..., n, n линейно независимых правых 1, 2,..., n и левых v1, v2,..., vn собственных векторов, то матричную экспоненту можно представить n it T eAt = ivi.

e (5) i=Одной из важных характеристик линейной системы управления (1)–(2) являются понятия управляемости и наблюдаемости.

Система (1) называется полностью управляемой, если только существует управление u(t), переводящее ее из любого заданного начального состояния х(t0) в любой заданный начальный момент времени t0 0 к любому заданному конечному состоянию х(t1) за конечное время t1 – t(t1 > t0).

Условие управляемости для линейной стационарной системы может быть получено из рассмотрения дискретного аналога системы дифференциальных уравнений (1) x(1) = Ax(0) + Bu(0);



x(2) = Ax(1) + Bu(1) = A2x(0) + ABu(0) + Bu(1);

(6) - x( ) = A x(0) + A Bu(0) + + Bu( -1).

Если число совпадает с размерностью вектора х, то система (6) рассматривается как система уравнений, позволяющая определять необходимые значения координат вектора управления, переводящего систему (1) из состояния с номером (0) в состояние с номером ( ). Условие управляемости будет выполнено, если эта система алгебраических уравнений будет иметь решение относительно координат вектора управления, т. е. определитель матрицы A -1B,,B () не будет равен нулю.

Другими словами, если система с постоянными параметрами (1)–(2) управляема, то ранг матрицы Z = A -1B,,B () должен быть равен размерности вектора состояния (7) rank Z = rank[B,AB,...,An-1B] = n, где Z – матрица (n n) управляемости пары матриц А, В.

В противном случае система называется неуправляемой. В такой системе возможно перевести лишь ряд состояний в любые конечные состояния или все состояния можно перевести не в любые, а в определенные области пространства состояний. Аналогично определяются условия наблюдаемости системы.

Система (1)–(2) называется наблюдаемой, если только на основе знания входного u(t) и выходного у(t) векторов на любом конечном интервале времени [t0, t1] за этот интервал может быть восстановлен полный вектор состояния x(t),(t1 > t0 0).

Для системы уравнений (2) составим уравнения для нахождения вектора начального состояния по измерениям координат вектора в последующие моменты времени y(0) = Cx(0);

y(1) = Cx(1) = CAx(0);

(8) y( ) = CA x(0).

Система с постоянными параметрами (1)–(2) является наблюдаемой тогда и только тогда, когда rank Z = rank CT,AT CT,,(An-1)T CT = n, (9) () где Z – (nn ) – матрица наблюдаемости пары матриц С, А.

Система (1)–(2) называется идентифицируемой, если по измерениям координат вектора состояния можно определить матрицу А.

Составим систему уравнений для определения коэффициентов матрицы А:

x(1) = Ax(0);

x(0) x(1) x(2) = Ax(1) = A2x(0); x(2) Ax(0) или = A, x(n) An-1x(0) x(n) = Anx(0).

откуда следует условие идентифицируемости rank Z = rank xT (0),xT (0)AT,,xT (0)(An-1)T = n.

() Фундаментальные понятия управляемости, наблюдаемости и идентифицируемости сформулированы только для линейных стационарных систем. Для нелинейных и нестационарных систем они могут быть приближенно использованы только в окрестности точек, интересующих исследователя. Для конкретного вида нелинейных и нестационарных систем могут быть получены частные критерии управляемости, наблюдаемости и идентифицируемости.

Обобщенная математическая модель динамики летательного аппарата Исследование статики и динамики полета ЛА проводится на основе предварительно составленной математической модели – системы уравнений движения, представляющей собой математическую запись условий равенства нулю действующих на ЛА сил в проекциях на оси прямоугольных систем координат.

Уравнения движения жесткого недеформируемого ЛА получают согласно теореме о количестве движения, т. е.теореме импульсов:

d(mV) = Fdt и в соответствии с ней (10) dK = Mdt, где mV – количество движения ЛА; K = r (mV) – момент количества движения; M = r F – момент внешних сил; F – вектор внешних сил, действующих на ЛА в полете.

Эти уравнения необходимо дополнить кинематическими соотношениями и уравнениями наблюдения. В результате может быть получена обобщенная математическая модель динамики ЛА следующего вида:

dX/dt = A(X, t) X + BA CA(X) + F(U) + Fвн, где X – вектор состояния системы размерности Nx = Nt + 2 n + m + 3; XT= = (x0, y0, z0, dx0/dt, dy0/dt, dz0/dt,,,,,, x, y, z) ; t – текущее время; n – количество управляемых координат ЛА; F(U) – вектор управляющих функций; U = (u1,u2,…, um) – вектор управлений; m – размерность вектора управлений; (x0, y0, z0) – координаты неподвижной, трубной системы координат; A(X) – функциональная матрица с переменными коэффициентами, элементы которой не зависят от типа ЛА при n = nmax, имеющая Nx строк и Nx столбцов; Nx – размерность вектора Х. Блочная структура матрицы А имеет вид 03, 3 E3, 3 03, (Nx – n) 03, Nx 0n, n+3 Pэ–1 0n, (Nt + m + 3) A =, A w 0Nt, Nx где 0i, j – матрица, составленная из нулей размером i j (с числом строк i и числом столбцов j); Ei, i – квадратная матрица тождественного преобразования размером i i, диагональные элементы которой равны единице, а остальные – нулю;

-sin 0 Pэ = cossin cos 0, coscos -sin Рэ – матрица перехода от осей связанной системы координат к осям, определяемым векторами угловых скоростей d/dt, d/dt, d/dt; Fвн – вектор внешних воздействий; Рэ–1 – матрица, обратная по отношению к матрице Рэ:

0 sin / cos cos / cos -Pэ = 0 cos -sin ;

1 tgsin tgcossin 0 I - Iz z ( ) y A = 00 Iz ( - Ix x ;

) Ix - I y ( ) y BA – матрица размером Nx NCA, блочная структура которой имеет вид 03, NCA 03, (NCA–3) PcT BFA BA = 03, NCA 03, 3 BMA 03, (NCA – n) 0Nt, n ENt, Nt 0m+3, NCA BFA = (( V2 S) / 2m) E3,3; BMA = ( V2 S l / 2) J–1; m – масса ЛА; J – тензор инерции ЛА; CAT = (CFT; CMT; L1,...., LNt); L1 = 1 = const; NCA = n + Nt;

CF = CF0(); CМ = CM(X) – аэродинамические коэффициенты в связанной системе координат;

Вектор наблюдаемых величин определяется соотношением Y = AH X +, где Y = (x0, y0, z0,,,,, ); = {i} – вектор случайных величин размерностью (n + m + 1), моделирующий погрешности измерений; при n = nmax матрица Aн имеет вид E3,3 03,(Nx-3) 03,6 E3,3 03,(Nx-9) Aн =.





0n,(nt+12) En,m 0n,01,12 E1,1 01,(Nx-13) В свою очередь вектор управляющих функций F(U) должен быть доопределен системой алгебраических или дифференциальных уравнений, описывающей динамику процессов управления.

2. СТАТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ И СТАТИЧЕСКАЯ УПРАВЛЯЕМОСТЬ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА 2.1. Аэродинамические силы и моменты, действующие на летательный аппарат в полете Системы координат Вторые производные от линейных и угловых координат, стоящие в левой части уравнений системы (10), используются при изучении динамики для моделирования сил инерции, возникающих при ускоренном движении ЛА. При изучении статики вторые производные полагаются равными нулю.

Система уравнений (10) в общем случае дополняется уравнениями, устанавливающими соответствие между различными системами координат, которые были использованы при проектировании сил и моментов, а также уравнениями, дополняющими систему (10) до замкнутой системы уравнений. Например, если учитываются силы и моменты, создаваемые органами управления в зависимости от изменяющихся линейных и угловых координат ЛА, систему уравнений необходимо дополнить уравнениями контуров измерения координат и уравнениями контуров управления.

Первая группа уравнений системы (10) отражает движение центра масс, а вторая – движение вокруг центра масс ЛА.

Как следует из рассмотрения системы (10), для изучения особенностей движения ЛА необходимо составить математические модели сил и моментов, действующих на ЛА. Такие модели должны отражать зависимость действующих на ЛА сил и моментов от конструктивных параметров и от параметров законов управления ЛА.

Движение ЛА моделируется обычно в нескольких системах координат (земной, связанной, скоростной, нормальной), выбираемых исследователем при постановке задачи.

Оси и начало координат нормальной земной системы координат (OXgYgZg) связаны с выбранной точкой на земной поверхности и с направлением местной вертикали.

Оси нормальной системы координат (OXgYgZg) имеют то же направление, что и оси нормальной земной системы координат, но начало координат размещается в центре масс ЛА.

Продольная и нормальная оси и начало координат связанной системы координат (OXYZ) расположены в плоскости продольной симметрии ЛА; продольная ось OX направлена вперед, нормальная – к верхней части ЛА, поперечная – к правой части ЛА перпендикулярно к плоскости симметрии; начало координат обычно помещают в центр масс ЛА.

Оси и начало координат скоростной системы координат (OXаYаZа) связаны с положением вектора скорости центра масс ЛА; при этом направление скоростной оси OXа совпадает с направлением скорости ЛА, ось подъемной силы OYа лежит в плоскости продольной симметрии ЛА и направлена к верхней его части, боковая ось OZа направлена в сторону правого борта ЛА.

Силы, действующие на ЛА в полете 1. Сила тяжести. Если пренебречь кривизной и вращением Земли, сила тяжести G равна гравитационной силе и направлена вертикально вниз; ее проекции на оси связанной системы координат Gx =-G sin; Gy =-G coscos ; Gz =-G cossin.

2. Аэродинамические силы. Это силы, вызываемые взаимодействием между атмосферой и движущимся в ней ЛА. Главный вектор аэродинамических сил называется аэродинамической силой планера, обозначается RA и направлен в сторону, противоположную скорости. Его проекции на оси скоростной системы координат: Xa – сила лобового сопротивления; Ya – аэродинамическая подъемная сила; Za – аэродинамическая боковая сила.

Проекции RA на оси связанной системы координат называются, соответственно, аэродинамической продольной силой, аэродинамической нормальной силой и аэродинамической поперечной силой.

Каждой из этих проекций ставится в соответствие коэффициент пропорциональности, например для скоростной системы координат Ya суa =, qS V q = где – скоростной напор; S – характерная площадь ЛА (например, площадь крыла).

3. Сила тяги. Сила тяги P – это главный вектор системы сил, действующих на ЛА со стороны двигателя в результате его функционирования. Ее проекции на оси связанной системы координат Px = Pcosр; Py = Psinр.

2.2. Продольное движение летательного аппарата Моменты аэродинамических сил, которые действуют на летательный аппарат в продольном движении При движении ЛА в атмосфере в общем случае на него действуют аэродинамические силы, создающие моменты относительно трех осей OX, OY, OZ и зависящие от режима: скорости V, высоты полета Н, положения управляющих плоскостей (н, в – углы и – угловые скорости отклонен,в ния рулей направления и высоты; э – углы отклонения элеронов).

Главный момент всех аэродинамических сил M определяется как момент главного вектора аэродинамических сил относительно центра масс. Проекции главного момента на оси связанной системы координат имеют названия: проекция на ось OX (Mx) – аэродинамический момент крена; проекция на ось OY (My) – аэродинамический момент рыскания;

проекция на ось OZ (Mz) – аэродинамический момент тангажа. Каждой из этих проекций ставится в соответствие коэффициент пропорциональности, например для аэродинамического момента тангажа M = mzqSbA, z где bA – средняя аэродинамическая хорда (САХ), характерный размер ЛА при определении параметров продольного движения.

Под средней аэродинамической хордой крыла произвольной формы в плане понимают хорду равновеликого прямоугольного крыла, моментные характеристики которого совпадают с моментными характеристиками данного крыла.

Общее выражение для момента тангажа Результирующий момент MR определяется аэродинамическим моментом M и моментом от тяги двигателя MP:

MR = M + MP.

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 6 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.