WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 8 |
Московский государственный технический университет им. Н.Э.Баумана Кафедра «Технологии обработки давлением» Власов А.В.

Основы теории напряженного и деформированного состояний Учебное пособие по курсу лекций «Теория обработки металлов давлением» в 5 семестре для студентов специальности 150201 Москва 2006 г.

Оглавление 1. Теория напряженного состояния.................................................................... 3 1.1. Основные гипотезы механики сплошных сред...............................................3 1.2. Внешние силы и напряжения............................................................................4 1.3. Напряжения в координатных площадках. Индексация. Правило знаков.....5 1.4. Напряженное состояние в точке.......................................................................7 1.5. Закон парности касательных напряжений.......................................................9 1.6. Тензор напряжений...........................................................................................10 1.7. Главные нормальные напряжения. Инварианты тензора напряжений.......13 1.8. Элипсоид напряжений......................................................................................16 1.9. Разложение тензора напряжений на шаровой тензор и девиатор................18 1.10. Максимальные касательные напряжения.......................................................20 1.11. Октаэдрические напряжения...........................................................................23 1.12. Интенсивность напряжений............................................................................25 1.13. Диаграммы напряжений Мора........................................................................26 1.14. Дифференциальные уравнения равновесия (движения)...............................34 1.15. Дифференциальные уравнения равновесия для осесимметричного напряженного состояния.................................................................................1.16. Плоское деформированное и плоское напряженное состояния..................1.17. Приближенные уравнения равновесия в анализе формоизменяющих операций листовой штамповки.......................................................................2. Теория деформированного состояния.......................................................... 2.1. Описание движения сплошной среды. Переменные Эйлера и Лагранжа..2.2. Понятие деформации, виды деформации.......................................................2.3. Компоненты перемещений и малых деформаций.........................................2.4. Тензор деформаций..........................................................................................2.5. Интенсивность деформаций, максимальные сдвиговые и октаэдрические деформации.......................................................................................................2.6. Истинные деформации. Приращения деформаций.......................................2.7. Закон постоянства объема при пластической деформации..........................2.8. Условие совместности деформаций...............................................................2.9. Скорости деформации и скорости деформирования....................................2.10. Схемы напряженного и деформированного состояний. Механическая схема деформации............................................................................................2.11. Зависимости между напряжениями и деформациями в упругой области.

Обобщенный закон Гука.................................................................................2.12. Экспериментальное определение напряжений по результатам тензометрирования...........................................................................................Предметный указатель.......................................................................................... 1. Теория напряженного состояния 1.1. Основные гипотезы механики сплошных сред Современная теория обработки металлов давлением основывается на фундаментальной науке – механике сплошных сред. В механике сплошных сред устанавливаются уравнения, характеризующие кинематические характеристики (т.е. деформированное состояние) и силовые характеристики (напряженное состояние) деформируемого тела, а также уравнения взаимосвязи между напряженным и деформированным состоянием (теории упругости и пластичности). Т.о. теория напряженного состояния, теория деформированного состояния и теория пластичности являются разделами механики сплошных сред.

Основными гипотезами этой фундаментальной науки являются следующие:

Гипотеза сплошности тела;

Гипотеза о естественном ненапряженном состоянии;

Гипотеза изотропности свойств материала;

Гипотеза однородности свойств материала Известно, что металлы представляют собой совокупность атомов, упорядоченно расположенных в кристаллической решетке – т.е. имеют дискретное строение. Атомы воздействуют друг на друга силами, не подчиняющимися законам классической механики. Вполне обоснованным мог бы являться подход, основанный на анализе этих сил – т.е. на рассмотрении законов взаимодействия атомов. Однако это очень сложный путь и на современном этапе развития науки и техники он пока не достижим.

Действительно, в 1 см3 металла, находящегося в твердом состоянии содержится более 1020 атомов. Для описания взаимодействия их между собой (а необходимо написать уравнения, связывающие каждый атом с каждым) необходимо огромное число уравнений, с решением которых не справится любая, даже суперЭВМ. Кроме того, как вы знаете из курса материаловедения механизм пластической деформации это процесс дислокационный. Он определяется возникновением и движением несовершенств кристаллической решетки материала – т.н. дислокаций.



Математическое описание движения и возникновения дислокаций до настоящего момента не получило строгого экспериментального подтверждения.

С другой стороны с практической точки зрения важно не поведение отдельных атомов, а всего тела в целом. Это позволяет строить теорию не на атомном, а на макроскопическом уровне. Для этого вводится гипотеза сплошности: объем, занимаемый телом, непрерывно заполнен материей.

Бесконечно малый объем материала называют материальной частицей Экспериментальная проверка гипотезы сплошности показывает ее достаточную точность для практических расчетов. Еще одним несомненным достоинством этой гипотезы является то, что для сплошной среды применима классическая механика, а также аппарат дифференциального и интегрального исчисления.

В процессе нагружения внешними силами материальные частицы могут менять свое положение. Материальная среда считается деформируемой, если в процессе движения материальных частиц изменяются расстояния между ними. В теории сплошных сред полагают, что движение материальных частиц под действием внешних сил непрерывно. С математической точки зрения это означает, что все величины, определяющие деформируемую среду, являются непрерывными функциями координат.

Гипотеза о естественном ненапряженном состоянии предполагает отсутствие напряжений в теле до приложения нагрузок. В действительности такие напряжения существуют. Это могут быть остаточные напряжения, связанные с неоднородностью пластической деформации на предыдущих этапах технологического процесса, литейные напряжения, возникающие в процессе неравномерной кристаллизации материала и др. Использование этой гипотезы, во-первых, связано с неопределенностью в общем случае таких напряжений, а во-вторых, с необходимостью определения напряжений, вызванными конкретной внешней нагрузкой.

В механике сплошных сред обычно считают, что тело однородно и изотропно. Первое означает, что механические характеристики материала неизменны в рассматриваемой области, а второе – равенство свойств материала в любом направлении. Неоднородность материала физически может быть связана, например, с различными посторонними включениями.

Примером не изотропного материала является металлический лист, полученный прокаткой. В направлении прокатки его характеристики существенно отличаются от свойств в направлении перпендикулярном прокатке. Физически это связано с появлением текстуры деформации.

1.2. Внешние силы и напряжения Напряженное состояние – это состояние тела, вызванное действием внешних сил. Внешние силы бывают двух основных видов: поверхностные и объемные.

Поверхностные силы приложены к поверхности тела. К объемным (массовым) силам относятся силы, действующие на все материальные точки тела и пропорциональные их массам.

Из курса «Сопротивление материалов» известно понятие «напряжение». Для определения вектора полного напряжения в некоторой площадке, проходящей через материальную точку М тела, последнее мысленно разделяется сечением, проходящим через точку М на две части ( Рис. 1.1). Одна из частей мысленно отбрасывается, а ее действие на оставшуюся часть заменяем системой внутренних сил. Пусть на бесконечно малую площадку этого сечения F действует сила P. В общем случае направление действия силы P не совпадает с направлением нормали к площадке n.

P n M F Рис. 1.1. К определению напряжения Вектором напряжения (полного напряжения), действующего в площадке, проходящей через точку М, называют предел:

P p = lim (1.1) F F Через точку можно провести бесконечное число площадок, каждая из которых будет иметь свое направление нормали. Величина полного напряжения p будет зависеть от направления нормали к элементарной площадке. Таким образом:

pn = p(n) Направление вектора полного напряжения pn в общем случае не совпадает с направлением нормали n. В этом случае его можно разложить на нормальное и касательное напряжения:

n = p cos; n = p sin (1.2) очевидно 2 2 pn = n +n (1.3) 1.3. Напряжения в координатных площадках. Индексация.

Правило знаков Немного позже мы докажем, что полное напряжение в произвольной площадке однозначно определяется векторами напряжений в трех взаимно перпендикулярных площадках, проходящих через точку и направлением нормали.

В качестве таких трех площадок удобно рассматривать площадки, расположенные параллельно координатным плоскостям. Такие площадки носят название координатных.

Наиболее распространенной является декартова система координат и прежде, чем перейти к определению полного напряжения рассмотрим обозначения нормальных и касательных напряжений в координатных площадках декартовой системы координат.

Проведем через напряженную точку М три плоскости, параллельные плоскостям координат. Построим параллелепипед, ребра которого примем бесконечно малыми. Тогда на гранях такого элементарного параллелепипеда, проходящих через точку М, можно изобразить векторы напряжений, действующих в каждой из трех взаимно перпендикулярных площадок (Рис.

1.2). Напряжения в каждой площадке разложим на три (любой вектор м.б.

разложен на три взаимно перпендикулярных): нормальное – направленное перпендикулярно площадке и два касательных – расположенных в плоскости площадки и направленных вдоль координатных осей.

Введем следующее правило индексации напряжений:





Первый индекс указывает направление нормали площадки, второй - направление оси, на которую проектируется вектор напряжения. Например, обозначая напряжение xy, имеем в виду, что это касательное напряжение действует в площадке, перпендикулярной к оси x в направлении оси y.

Z z Y zx zy X yz xz M y yx xy x Рис. 1.2. Индексация напряжений в координатных площадках.

Очевидно, что для нормальных напряжений направление нормали к площадке и направление действия совпадает, поэтому для краткости вместо xx используют запись x, аналогично и для других осей.

Используют также другую запись, когда все составляющие напряжений в площадках, параллельных декартовым плоскостям (и нормальные и касательные) обозначают через. В этом случае, если подстрочные индексы совпадают, например yy, то это нормальное напряжение, если нет, например yz, то это – касательное. Правила индексирования аналогичны принятым выше (первый индекс – направление нормали, второй, направление действия). В этом случае всю совокупность напряжений в координатных площадках можно обозначить как ij, где i,j принимают значения x,y,z.

Для напряжений в координатных площадках принято следующее правило знаков: если внешняя нормаль к площадке совпадает с положительным направлением координатной оси, то за положительное направление напряжений, действующих на этой площадке, принимают положительное направление соответствующих осей. Если внешняя нормаль к площадке совпадает с отрицательным направлением координатной оси, то за положительное направление напряжений принимают отрицательное направление координатных осей.

Руководствуясь этим правилом, следует признать, что все напряжения, показанные на рисунке – имеют положительное направление.

Положительные нормальные напряжения называют растягивающими, а отрицательные нормальные напряжения – сжимающими.

1.4. Напряженное состояние в точке Напряженное состояние в точке будем считать известным, если известен вектор полного напряжения на любой площадке, проходящей через данную точку.

Если мы знаем напряженное состояние в каждой точке тела, следовательно, мы знаем напряженное состояние всего тела.

Докажем, что если заданы напряжения в трех взаимно перпендикулярных площадках, проходящих через заданную точку, то ее напряженное состояние полностью определено. Иными словами, если мы знаем напряжения в трех взаимно перпендикулярных площадках, то мы знаем и напряжения в любой площадке, проходящей через данную точку.

Для этого рассмотрим в окрестности точки М бесконечно малый тетраэдр МАСВ, так, чтобы три его грани были параллельны координатным плоскостям, а четвертая была бы наклонена к координатным плоскостям (Рис. 1.3).

Z C z x p z Nn xy p n z x yx y n y Y M p y p x z y B zx x zy z X A Рис. 1.3. К определению напряжений в наклонной площадке.

Положение этой четвертой, наклонной грани определится направляющими косинусами нормали n наклонной площадки относительно единичных векторов координатных направлений ex,ey,ez :

nx = cos(n,ex ) = cos ; ny = cos(n,ey ) = cos ; nz = cos(n,ez ) = cos ;

x y z Пусть площадь наклонной грани F, тогда площади остальных граней:

Fx = F nx; Fy = F ny; Fz = F nz ;

Пусть также в наклонной грани действует какое-то полное напряжение pn.

Разложим вектор полного напряжения pn на три составляющие:

T pn = px, py, pz ( ) Очевидно 2 pn = px + p2 + pz.

y Напомним, что напряжения в координатных площадках x,y,z мы считаем известными. Для равновесия тетраэдра сумма проекций сил на направления координатных осей должны быть равны нулю.

X = 0; = 0; = 0.

Y Z Рассмотрим первое уравнение:

- Fx - Fy - Fz + pxF = 0.

x yx zx Уже получено:

Fx = F nx; Fy = F ny; Fz = F nz ;

Тогда, сокращая на F, получаем px = nx + ny + nz.

x yx zx Рассматривая проекции сил на остальные координатные оси, окончательно получим систему уравнений:

px = nx + ny + nz x yx zx py = nx + ny + nz (1.4) xy y zy pz = nx + ny + nz xz yz z Выражения (1.4) можно упростить, используя знак суммирования:

pi = n, i, j = x, y, z ji j j Выражения такого вида удобно представлять в сокращенной записи.

Правило сокращенной записи введено Альбертом Эйнштейном и заключаются в следующем:

Знак суммы опускается, а по каждому повторяющемуся в одночлене индексу ведется суммирование. Повторяющийся индекс называют немым, а неповторяющийся – свободным. В выражении для напряжения в свободной площадке повторяющийся (немой) индекс – j, а неповторяющийся (свободный) – i.

В сокращенной записи система уравнений примет вид:

pi = n, i, j = x, y, z. (1.5) ji j Полученные нами выражения показывают, если известны девять компонентов напряженного состояния в трех взаимно перпендикулярных плоскостях, проходящих через точку, то можно определить полное напряжение на любой площадке, проходящей через рассматриваемую точку.

Таким образом, напряженное состояние в точке полностью определено девятью компонентами напряжений в трех взаимно перпендикулярных площадках, проходящих через эту точку.

Нормальное напряжение в наклонной площадке определяется как сумма проекций компонент px, py, pz на нормаль к площадке n ( ) = pxnx + pyny + pznz = pini = pini = n ni = n ni, (1.6) n ji j ji j i i j Касательная составляющая напряжения согласно выражению (1.3) определится по формуле 2 = pn -. (1.7) n 1.5. Закон парности касательных напряжений Составим еще три уравнения равновесия элементарной пирамиды:

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 8 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.