WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 |
1 МОСКОВСКИЙ ГОСУДАСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Н. Э. БАУМАНА Л. К. Мартинсон, Е. В. Смирнов МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО КУРСУ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ Раздел «Квантовая статистика Ферми – Дирака. Электронный газ» Москва, 2004 В методических указаниях содержится краткий обзор основных понятий и соотношений квантовой статистики, необходимых для решения задач. Изложена методика решения типовых задач и приведены условия задач для самостоятельного решения. Представленный материал предполагает проработку раздела курса общей физики «Элементы квантовой механики». Для студентов 2-го курса всех специальностей МГТУ им.Н.Э.Баумана. Работа имеет методический характер.

1. ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ СИСТЕМЫ ТОЖДЕСТВЕННЫХ ЧАСТИЦ Квантовая механика существенно отличается от классической механики в подходе к анализу поведения систем, состоящих из одинаковых частиц. В качестве примера рассмотрим систему, состоящую из двух одинаковых частиц, например, двух электронов, двух нейтронов, двух фотонов и т. д.

1 1 2 2 Рис. 1 С классической точки зрения каждая из частиц характеризуется своей траекторией, и, если известны положения частиц в начальный момент, а также их траектория, можно определить положения частиц в любой последующий момент времени. Если частицы пронумеровать, то всегда можно указать, где находится частица 1, а где – частица 2 (рис. 1). Таким образом, с классической точки зрения одинаковые частицы принципиально отличимы одна от другой, или, как говорят, индивидуализированы. Если поменять координаты и скорости обеих частиц, то получится, вообще говоря, новое состояние системы.

В квантовой механике частицы наряду с корпускулярными обладают волновыми свойствами. Состояние системы частиц описывается волновой функцией, зависящей от обобщенных координат частиц q1 и q2 и времени t =(q1, q2, t).

Здесь qi – набор трех пространственных координат и спиновой координаты (т. е. проекции спина на некоторое направление) для i-й частицы.

Поскольку функция имеет вероятностное толкование, то обнаружив в какой-либо момент времени одну из частиц, принципиально невозможно указать, будет ли это частица 1 или частица 2. Поэтому в квантовой механике при перестановке двух одинаковых частиц не возникает нового состояния системы. Оно остается абсолютно тем же, что и до перестановки. С точки зрения квантовой механики одинаковые частицы принципиально неразличимы, тождественны; можно говорить о состоянии системы одинаковых частиц только в целом, а не о состоянии каждой частицы в отдельности.

Это положение формулируют в виде принципа тождественности одинаковых частиц: в системе одинаковых частиц реализуются только такие состояния, которые не меняются при перестановке местами двух любых частиц. Это очень важный квантово-механический принцип.

Он логически не вытекает из основных положений квантовой механики, но и не противоречит им. Его справедливость подтверждается всей совокупностью экспериментальных данных.

Проанализируем вид волновой функции системы, состоящей из двух одинаковых частиц.

Отвлекаясь от ее зависимости от времени, волновую функцию можно записать в виде = (q1, q2).

Переставив местами частицы 1 и 2, мы получим функцию (q2, q1). Эту операцию можно рассматривать как действие на функцию (q1, q2) оператора перестановки P, который меняет частицы местами:

P q1,q2 = q1,q2 = P q1,q( ) ( ) ( ) Переставив эти частицы еще раз, получаем P q1,q2 = P q2,q1 = q1,q2 = P2 q1,q2.

( ) ( ) ( ) ( ) Отсюда следует, что P2=1, а P= ± 1.

Таким образом, для квантово- механической системы, состоящей из тождественных частиц, возможны два вида волновых функций.

1. Симметричная волновая функция S (q1, q2)= S (q2, q1).

Эта волновая функция при перестановке частиц не меняется.

2. Антисимметричная волновая функция A (q1, q2)=- A (q2, q1).

Эта волновая функция при перестановке частиц меняет знак.

Полученные результаты можно обобщить на систему, состоящую из произвольного числа тождественных частиц. При этом симметрия или антисимметрия волновой функции имеет место при перестановке любых двух одинаковых частиц.

Частицы, состояние которых описывается симметричными волновыми функциями, называются бозе- частицами, или бозонами. Такое название они получили потому, что состоящие из них системы подчиняются статистике Бозе – Эйнштейна. К бозонам относятся фотоны, - мезоны, К- мезоны и другие частицы с нулевым или целым спином.

Частицы, состояние которых описывается антисимметричными волновыми функциями, называют ферми- частицами, или фермионами. Такое название связано с тем, что системы, состоящие из этих частиц, подчиняются статистике Ферми – Дирака. К фермионам относятся электроны, протоны, нейтроны и другие частицы с полуцелым спином.

Эта связь между спином частицы и статистикой справедлива и для сложных частиц, которые состоят из элементарных, например, атомных ядер, атомов, молекул и т. д. Сложные частицы, состоящие из нечетного числа фермионов, являются фермионами, а из четного числа – бозонами. Например ядро атома, т. е. -частица, состоит из двух протонов и двух нейтроHe нов. Спин этого ядра равен нулю, т. е. оно является бозоном. Бозоном будет и сам атом He в нормальном состоянии. А ядро легкого изотопа гелия – атома He - состоит из нечетного числа (трех) частиц со спинами 1/2: двух протонов и одного нейтрона. Спин этого ядра будет полуцелым, следовательно, оно является фермионом. Фермионом будет и сам атом.

He Свойство антисимметрии волновых функций системы ферми- частиц приводит к очень важному ограничению на их состояния, известному как принцип Паули: в системе тождественных фермионов не может быть двух частиц, находящихся в одном и том же состоянии. Это означает, что если в системе фермионов какая-либо частица находится в некотором определенном состоянии, то никакая другая частица этой системы не может находиться в этом же состоянии.



Таким образом, фермионы являются частицами- индивидуалистами.

Принцип Паули сыграл очень важную роль в обосновании периодической системы элементов Менделеева, а также в объяснении атомных и молекулярных спектров.

Что же касается бозонов, то свойство симметрии волновых функций не накладывает на их состояния никаких ограничений. В одном и том же состоянии может находиться произвольное число одинаковых бозонов, т. е. бозоны, в отличие от фермионов, являются частицами- коллективистами.

2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ФЕРМИ – ДИРАКА Различие в поведении ферми- и бозе- частиц приводит к тому, что статистика свойств квантовых систем, состоящих из одинаковых фермионов, и систем, состоящих из одинаковых бозонов, будут существенно отличаться друг от друга.

Для фермионов закон распределения частиц по состояниям с различной энергией Е имеет вид < n >Ф- Д =.

(1) E - EF exp + kT Здесь k – постоянная Больцмана, T – температура, EF - энергия Ферми (уровень Ферми). Функция Ф-Д называется функцией распределения Ферми – Дирака, она определяет среднее число частиц, находящихся в квантовом состоянии с энергией Е. Поскольку Ф-Д 1, то говорят, что распределение (1) определяет вероятность того, что квантовое состояние с энергией Е занято частицами при температуре Т.

Энергию Ферми EF можно определить как энергию таких состояний, вероятность заполнения которых частицами равна 1/2. Действительно, из (1) следует, что < n >Ф- Д EF,T =.

( ) Энергия Ферми системы фермионов зависит от концентрации частиц n и от температуры Т. В общем случае эта зависимость оказывается достаточно сложной, однако при kT <

( ) 12 EF 0 ( ) Здесь EF (0) – значение энергии Ферми при абсолютном нуле температуры, которое определяется выражением 2 (3) EF 0 = 32n, ( ) ( ) 2mгде m0 – масса частицы.

Мы будем, как правило, рассматривать системы, для которых EF(0)>>kT. При этом, согласно (2), зависимостью энергии Ферми от температуры можно пренебречь и считать, что EF=EF(0). Однако следует иметь в виду, что в некоторых физических явлениях, таких, например, как термоэлектрические явления, слабая зависимость энергии Ферми от температуры играет определяющую роль.

На рис. 2 приведена зависимость функции распределения Ферми – Дирака от энергии Е.

При абсолютном нуле температуры (кривая 1) Ф-Д имеет вид ступенчатой функции 1 при E < EF ( ). (4) < n >Ф- Д = ( ) 0 при E > EF При Т=0 все квантовые состояния (энергетические уровни) вплоть до уровня Ферми EF (0) полn < >Ф-Д kT 1/EF E (0) Рис. ностью заняты частицами, а все квантовые состояния с энергией E>EF (0) – свободны. Поэтому энергию Ферми при абсолютном нуле температуры EF(0) можно определить как максимальную энергию частиц данной системы при Т=0.

При температуре, отличной от нуля, зависимость функции распределения Ферми – Дирака от энергии Е представлена на рис. 2 кривой 2. За счет нагрева системы часть частиц, энергия которых при Т=0 была меньше EF (0), приобретает энергию E > EF (0). Это приводит к тому, что вблизи EF (0) возникает область частично заполненных квантовых состояний, т. е. область, в которой 0 < n <1.

Ф- Д Именно в области, энергетическая ширина которой порядка нескольких kT, происходит переход от заполненных уровней к пустым. При низких температурах этот переход происходит очень резко. Чем выше температура, тем больше ширина переходной области и тем более полого идет ниспадающий участок кривой 2.

Квантовые системы, свойства которых отличаются от свойств классических систем вследствие взаимного квантово- механического влияния частиц, обусловленного неразличимостью одинаковых частиц, называются вырожденными системами. Статистические свойства вырожденных систем описываются распределениями Ферми – Дирака (для фермионов) и Бозе – Эйнштейна (для бозонов), тогда как невырожденные системы классических частиц подчиняются статистике Максвелла – Больцмана.

Как следует из вида функции распределения Ферми – Дирака (1), статистические свойства квантовых систем в существенной степени зависят от температуры. При малых энергиях частиц, для которых значение параметра (E – EF)/kT невелико, т. е.

(E – EF)/kT <1, квантовая система является вырожденной. При достаточно больших значениях энергии, для которых (E – EF)/kT>>1, квантовое распределение Ферми – Дирака совпадает с классическим распределением Максвелла – Больцмана. В этом случае вырождение снимается и квантовая система ведет себя как невырожденная классическая система частиц.

Температура, ниже которой начинают проявляться квантовые свойства системы, обусловленные тождественностью частиц, называется температурой вырождения. Температура вырождения для невзаимодействующих ферми- частиц (идеального ферми- газа) называется температурой Ферми и определяется как EF ( ) TF == 32n. (5) ( ) k 2kmКак следует из (5), температура вырождения тем больше, чем меньше масса частиц и чем больше их концентрация. Поэтому TF особенно велика у электронного газа в металлах. Действительно, масса электронов очень мала (m0=me=9,110-31 кг), а концентрация электронов в металлах достаточно велика (n~10281029 м -3), что приводит к значению TF ~ 104 K. Таким образом, даже при температурах, близких к температуре плавления металла (~ 103 K), газ электронов в металле остается вырожденным.





Для обычных газов, состоящих из атомов или молекул, являющихся ферми- частицами, температура вырождения близка к абсолютному нулю. Поэтому такие газы во всей области температур вплоть до температуры сжижения обладают свойствами классического газа.

3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТИЦ ПО ЭНЕРГИЯМ В статистической физике, изучающей свойства систем, состоящих из большого числа частиц, важное значение имеет понятие функции распределения частиц по энергиям F(E). Обозначим через dn число частиц в единице объема, энергия которых заключена в бесконечно узком интервале энергий от Е до Е+dE. Тогда функция распределения частиц по энергиям определяется соотношением (6) dn = F E dE.

( ) Число частиц в единице объема, энергия которых находится в конечном интервале от Е1 до Е2, получается интегрированием (6):

E(7) n E1,E2 = F E dE.

( ) ( ) EПусть n – концентрация частиц, т. е. полное число частиц в единице объема, тогда, согласно (7), n = n 0, = F E dE.

( ) ( ) Если функция F(E) известна, то можно найти среднее значение любой физической величины f, зависящей от энергии частицы Е:

f E F E dE ( ) ( ) (8) < >= = ff E F E dE.

( ) ( ) n F E dE ( ) Так, например, среднее значение энергии частиц системы равно (9) < E >= EF E dE.

( ) n В классической статистике Максвелла – Больцмана, которая применяется к классическому газу, функция распределения частиц по энергиям F(E) зависит от температуры газа Т и имеет вид 1 1 E - (10) 2 2 kT F E = 2n k3T E e.

( ) ( ) В квантовой статистике Ферми – Дирака функция распределения представляет собой произведение двух функций:

(11) F E = g E < n >Ф- Д E,T.

( ) ( ) ( ) Здесь < n >Ф- Д E,T - функция распределения Ферми – Дирака (9), а g(E) – плотность кванто( ) вых состояний, которая определяется выражением 2m0 (12) g E = E, ( ) 2 где m0 – масса частицы. Плотность квантовых состояний g(Е) определяет число квантовых состояний в единице объема в единичном интервале энергий. Из (12) следует, что плотность квантовых состояний растет с ростом энергии ферми- частиц Е пропорционально E1 2.

Таким образом, функция распределения частиц по энергиям F(E), согласно (11), равна произведению плотности квантовых состояний g(E) на вероятность того, что квантовое состояние с энергией Е занято частицами при температуре Т:

2m0 EF E =.

( ) (13) E - EF 2 3exp + kT При Т=0 функция распределения Ферми – Дирака Ф-Д является ступенчатой функцией энергии Е (см. (4)), следовательно, 2m0 (14) E2 при E < EF ( ).

F E = ( ) 2 ( ) 0 при E > EF В статистической физике наряду с распределением частиц по энергиям F(E) используется также распределение частиц по скоростям F(v) (или по импульсам F(p)). Соответствующие функции распределения F(E) и F(v) связаны соотношением == dn F E dE F v.

( ) ( ) Учитывая, что m0v и dE = m0vdv, E = можно от функции распределения F(E) перейти к функции распределения F(v):

m0 vF v =.

( ) (15) 2 - 2EF + m0vexp 2kT При Т=0 это распределение принимает вид mv2, v < vmax (16) F v =, ( ) 2 0, v > vmax где vmax максимальная скорость электронов при Т=0, определяемая выражением 2EF ( ).

vmax = m4. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Задача 1. Идеальный ферми- газ концентрации n состоит из частиц массы m0. При каких температурах Т будут проявляться квантовые свойства газа, обусловленные тождественностью его частиц, т. е. газ будет вырожденным Решение. Решим эту задачу двумя способами.

Способ 1. Ферми- газ будет вырожденным, если его температура Т будет ниже температуры вырождения TF, определяемой соотношением (5), т. е.

2 T < 32n.

( ) 2kmЭтот способ решения позволяет сразу получить ответ, однако физическое содержание задачи более подробно раскрывается во втором способе решения.

Способ 2. Газ является вырожденным, если среднее расстояние между его частицами а будет порядка или меньше средней длины волны де Бройля частиц Б, т. е.

a<Б.

Именно в этом случае проявляются квантовые свойства частиц, и одинаковые частицы становятся неразличимыми.

Поскольку a = n, а Б =, 2mE ( ) где Е – средняя энергия частиц, то это условие принимает вид n < 2mE ( ) или 22 2 E < n3.

mПоскольку среднее значение энергии частиц ферми- газа при температуре Т E>kT, то для оценки Т получаем соотношение 22 2 T < n3.

kmОтметим, что найденное значение T совпадает по порядку величины с температурой вырождения, определяемой соотношением (5).

Задача 2. Оценить энергию Ферми EF для меди, считая, что на каждый атом меди приходится по одному свободному электрону.

Решение. Энергия Ферми при не очень высоких температурах зависит от температуры слабо.

Так, согласно (9), при kT<< EF.

2 kT EF EF 0 1-.

( ) 12 EF ( ) Поскольку неравенство kT<< EF(0) выполняется в широком диапазоне температур вплоть до температуры плавления меди, то с достаточно точностью можно считать, что 2 EF EF 0 = 32n.

( ) ( ) 2m Для того чтобы оценить величину EF, нужно знать концентрацию свободных электронов n. По условию задачи эта концентрация равна концентрации атомов меди nат. Найдем ее.

Относительная атомная масса меди Ar=63,5, плотность =8,93103 кг/м3, молярная масса М=0,0635 кг/моль. Число молей, содержащихся в единице объема веществ, равно =.

Pages:     || 2 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.