WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 |
МГТУ им. Н.Э. Баумана Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В.

Методические указания к решению задач по курсу общей физики.

Раздел «Квантовые свойства атомов».

Москва, 2003.

В методических указаниях содержится краткий обзор основных понятий и соотношений квантовой теории атомов, необходимых для решения задач. Изложена методика решения типовых задач и приведены условия задач для самостоятельного решения. Представленный материал предполагает проработку раздела курса общей физики «Элементы квантовой механики».

Для студентов 2-го курса всех специальностей МГТУ им. Н.Э. Баумана.

1. КВАНТОВО-МЕХАНИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ВОДОРОДОПОДОБНЫХ АТОМОВ.

К числу важных физических объектов относятся атомные системы. Наиболее простыми из таких систем являются водородоподобные атомы, т. е. атомы или ионы, в которых один единственный электрон движется в кулоновском поле ядра с зарядом +Ze, где е - элементарный электрический заряд, - атомный номер элемента. Для атома водорода Z=1, для однократно ионизированного атома гелия Не+ =2, для двукратно ионизированного атома лития Li++ Z=3.

В 1913 г.. Бор предложил теорию, которая позволила рассчитать полную энергию электрона в водородоподобных атомах. Одним из постулатов этой теории является тот, согласно которому электрон может двигаться вокруг ядра только по таким стационарным орбитам, для которых момент импульса электрона имеет определенные дискретные значения L= n, где n=1, 2, 3, … - номер стационарной орбиты, - рационализированная постоянная Планка. Теория Бора не является законченной теорией атомных систем и не может описать всех их свойств, так как она не учитывает наличия у электрона волновых свойств.

Полностью описать свойства водородоподобных атомов смогла только квантовая механика. В этой теории для того, чтобы найти волновые функции, описывающие квантовые состояния электрона в водородоподобном атоме, необходимо решить стационарное уравнение Шредингера (1.1) = E где - оператор полной энергии (гамильтониан), а Е - полная энергия электрона.

Так как потенциальная энергия электрона, находящегося в электрическом поле ядра на расстоянии r от него, Ze(1.2) U(r)= -, 40r то гамильтониан в рассматриваемой задаче = - +U(r), 2mгде m0 - масса электрона.

Уравнение Шредингера (1.1) может быть представлено в виде 2m0 Ze(1.3) + =E+ 40r Уравнение (1.3) удобнее решать в сферической системе координат (r,, ), центр которой совпадает с центром ядра атома. Будем считать ядро неподвижным. В такой системе координат волновая функция имеет вид =(r,, ), а оператор Лапласа (1.4) = r +, rсодержит радиальную часть (1.5) = r r r r r и угловую часть 1 1 (1.6), = sin +.

sin sin2 Волновая функция, являющаяся решением уравнения (1.3), зависит от трех квантовых чисел.

1. Главное квантовое число n принимает значения n=1, 2, 3, … и определяет полную энергию электрона в заданном квантовом состоянии me4 Z2 Z0 (1.7) En =- =-13,6 эВ.

2 3220 n2 nВ связанном состоянии электрон в атоме имеет дискретный энергетический спектр, лежащий в области отрицательных значений. На рис. 1 приведен энергетический спектр электрона в атоме водорода (=1). Положительные значения энергии на этом рисунке соответствуют свободному электрону, поэтому изображенный на рисунке переход 2 соответствует отрыву электрона от ядра, т. е. ионизации атома. Из (1.7) следует, что величина энергии ионизации атома водорода Ei=Е1=13,6 эВ.

2. Орбитальное (азимутальное) квантовое число l в квантовых состояниях с заданным значением главного квантового числа n может иметь следующие значения:

l=0, 1,..., (n - 1).

Это квантовое число определяет орбитальный угловой момент импульса электрона (1.8) L= l(l +1) и соответствующий магнитный момент (1.9) pM = µБ l(l +1).

Здесь универсальная постоянная e Дж µБ = = 0,92710-= = = 2m0 Тл служит единицей измерения магнитных моментов атомов и называется магнетоном Бора.

3. Магнитное квантовое число m в квантовых состояниях с заданным значением орбитального квантового числа может принимать (2l + 1) различных значений:

m=0, ± 1, ± 2,..., ± l.

Магнитное квантовое число определяет проекции механического и магнитного моментов на выделенное внешним полем направление z:

(1.10) Lz = m, M (1.11) pz = mµБ.

Для обозначения квантовых состояний электрона в атоме используют спектроскопические символы (табл. 1).

Таблица Квантовое число l 0 1 2 3 … Символ состояния s p d f … Следующие квантовые числа обозначают буквами g, h и далее по латинскому алфавиту.

Перед спектроскопическим символом указывают значение главного квантового числа n.

Поэтому электрон в квантовом состоянии с n=1 и l=0 обозначается символом 1s, а в состоянии с n=2 и l=1 - символом 2р и т. д.

Приведем выражения для нормированных волновых функций nlm(r,, ) в некоторых квантовых состояниях электрона в водородоподобных атомах (табл. 2). В качестве характерного размера выберем первый боровский радиус 40 a= = 0,52910-10 м, mer а в качестве безразмерной радиальной координаты – величину = Z.

a Таблица n l m Состояние nlm 3 1 Z exp 1 0 0 1s (( ) ( ) ( ) ) a 3 1 Z - 2 0 0 2- exp 2s ( ) ( ) ( ) ( ) a 4 3 1 Z - 2 1 0 exp cos 2р a 4 3 1 Z - exp 2 1 +1 2р exp sin i ( ) ( ) ( ) ( ) a 8 3 1 Z exp sin exp - 2 1 -1 2р (-i ) a 8 Состояние с наименьшей полной энергией электрона (1s - состояние) называется основным состоянием атома, а все остальные - возбужденными состояниями. Переход 1 на рис. 1 соответствует возбуждению атома водорода.



Возбужденный атом самопроизвольно переходит в состояние с меньшей энергией, испуская при таком переходе квант энергии излучения. Поэтому, если переход осуществляется из состояния с главным квантовым числом n1 в состояние с главным квантовым числом n2, то (1.12) 12 =En1 - EnС учетом (1.7) отсюда находим частоту излучения при таком переходе 1 2 (1.13) 12 =Z R 2 -, n1 >n2, n2 n где постоянная Ридберга me R = = 2,07 1016 c-.

3220 Согласно (1.13), оптический спектр излучения водородоподобного атома состоит из спектральных серий, каждая из которых задается номером n2 нижнего энергетического уровня, на который происходят переходы. Спектральные серии имеют следующие названия: n2=1 - серия Лаймана (ультрафиолетовое излучение); n2=2 - серия Бальмера (видимый свет); n2=3 - серия Пашена (инфракрасное излучение) и т. д. Для атома водорода (=1) на рис. 1 изображены переходы, соответствующие линиям излучения серий Лаймана и Бальмера.

В релятивистской квантовой механике (П. Дирак, 1928 г.) состояние электрона в атоме характеризуют уже заданием четырех квантовых чисел. Четвертое квантовое число принимает два значения: ms=± s и называется спиновым квантовым числом, причем для электрона спин s=1/2. Спин электрона характеризует собственные, т. е. не связанные с движением в атоме, меM ханический LS и магнитный pS моменты электрона, которые определяются выражениями:

(1.14) LS = s(s+1)= ;

M (1.15) pS = 2Б s(s+1)= 3Б.

Проекции этих моментов на выделенное в пространстве направление:

(1.16) LSZ = mS = ± ;

M (1.17) pSZ = 2mSБ = ±Б Следовательно, электрон в атоме обладает как орбитальным моментом импульса L, так и спиновым (собственным) моментом импульса LS. Сумма этих двух моментов дает полный момент импульса электрона в атоме, величина которого определяется выражением (1.18) Lj = j j +1.

( ) ( ) ( ) ( ) Здесь j - квантовое число полного момента. Оно принимает значения в нашем случае j=l + s и j=l - s, (1.19) j=l + 1/2 и j=l – 1/2, Примеры решения задач.

Задача 1.1. Определите для водородоподобного атома радиус n-й боровской орбиты, скорость электрона на ней v и его полную энергию Е.

Решение. В теории Бора электрон в атоме может двигаться только по определенным стационарным орбитам, для которых выполнено условие квантования момента импульса:

L= n, где n=1,2, … - номер орбиты. Для круговых орбит L=m0vr·и условие вращения электрона по стационарной орбите можно записать в виде m0v2 Ze=, r 40r m vr = nh.

Решая эту систему уравнений, находим радиус n-й орбиты 40 n2 a rn = = n2.

me2 Z Z Для скорости электрона на n-й орбите получаем значение Zevn =.

40 n Полная энергия электрона, движущегося по n-й стационарной орбите, равна сумме кинетической и потенциальной энергий:

m0v2 Zen E=EK +U= -.

2 40rn Подставляя сюда найденные значения rn и vn, находим полную энергию электрона в водородоподобном атоме me4 ZE=-.

3222 nЗадача 1.2. Определите кратность вырождения энергетических уровней водородоподобного атома.

Решение. Кратностью вырождения энергетического уровня называется число возможных квантовых состояний с одинаковым значением полной энергии электрона, равным энергии этого уровня.

Полная энергия электрона в атоме определяется (см. 1.7) значением главного квантового числа n. В нерелятивистской квантовой механике Шредингера квантовое состояние электрона в атоме задается тремя квантовыми числами, причем для заданного значения n орбитальное квантовое число l может принимать n значений от 0 до n-1, а каждому значению соответствует (2l+1) значений магнитного квантового числа m.

Поэтому кратность вырождения энергетического уровня N в этой теории подсчитаем, найдя число возможных комбинаций чисел l и m для заданного значения квантового числа n.

Следовательно, без учета спина электрона, кратность вырождения энергетического уровня n-N= +1.

( ) ( ) (2l ) ( ) l=Для этой арифметической прогрессии, содержащей n слагаемых, значения первого и последнего членов прогрессии a1=1, an=2n-1.

Поэтому по формуле суммы арифметической прогрессии находим a1 +an n 1+ 2n ( ) ( -1 n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) N=Sn = = =n2.

С учетом спина электрона и двух возможных значений спинового квантового числа mS=± 1/2, кратность вырождения уровней удваивается. Поэтому окончательно, для кратности вырождения n -го энергетического уровня в водородоподобном атоме, получаем значение N= 2n2.

Задача 1.3. Определите разность длин волн между головными линиями серий Бальмера Б и Лаймана Л в спектре излучения иона Li++ (Z=3).

Решение. Головной линией спектральной серии излучения водородоподобного атома называется спектральная линия, соответствующая переходу на уровень с главным квантовым числом n2 с ближайшего энергетического уровня, т. е. с уровня, для которого n1=n2 + 1. Так как для линий серии Лаймана n2=1, а для линий серии Бальмера n2=2, то для частот головных линий этих серий из (1.13) получаем следующие значения:

1 1 Л =Z R 2 - = Z R;

1 1 1 Б =Z R - = Z R.

22 32 Длины волн излучений для этих линий 2с 8с 2с 72с Л = = ; Б = =.

Л 3Z R Б 5Z R Отсюда находим искомую разность этих длин волн 176 с = Б - Л =.

15 Z R Подставляя числовые значения, находим =5,9310-8 м = 59,3 нм.

Задача 1.4. Найдите наиболее вероятное расстояние rB электрона от ядра в водородоподобном атоме, находящемся в 1s - состоянии. Определите вероятность нахождения электрона в области rrB.





Решение. В основном 1s - состоянии (n=1, l=0, m=0) волновая функция электрона в водородоподобном атоме 3 1 Zr -Z exp 100 = aa не зависит от угловых координат.

Поэтому по смыслу волновой функции вероятность dP обнаружить электрон в тонком шаровом слое радиуса r и толщины dr в сферически симметричном квантовом состоянии dP = 100 dV.

Здесь dV=4r2dr - объем рассматриваемого шарового слоя. Следовательно, dP = 100 4r2dr = r dr, ( ) ( ) ( ) ( ) где радиальная плотность вероятности Zr -2Z.

r = 4 r2exp ( ) ( ) ( ) ( ) aa Наиболее вероятным расстоянием электрона от ядра будет расстояние rB, для которого радиальная плотность вероятности (r) будет максимальна.

Приравняв производную (r) по r к нулю, получим, что при r=rB r 2Z r r Z 2r -2Z - r2 exp -2Z = 2r -2Z r = 0.

exp exp 1- a a a a a Отсюда находим, что Z rB =.

a Вероятность того, что электрон находится в шаровой области rrB, rB a Z r -2Z 2 1 Z a P r rB = 100 4r2dr = e 4r2dr = ( ) ( ) ( ) ( ) a a Z -2Z 1 r rr = a = 2Z e d 2Z x2e-xdx.

2 aa Интегрируя по частям, получаем e-x -x2 - 2x - 2 =1-5e-2 = 0,323.

P r rB = ( ) () Задача 1.5. Вычислите вероятность нахождения электрона в основном состоянии в атоме водорода вне границ классической области движения.

Решение. Полную энергию электрона в основном состоянии в атоме водорода найдем из (1.7) при Z=1 и n=1. Имеем meE=-.

3222 Так как по классическим представлениям полная энергия движущейся частицы не может быть меньше ее потенциальной энергии U, то в границах классической области движения EU.

Потенциальная энергия электрона в поле ядра eU(r)= -.

40r Поэтому классическая теория допускает движение электрона, находящегося в основном состоянии, лишь в области пространства, для которой me4 e- -.

3222 40r Отсюда находим границу шаровой области, в которой может двигаться электрон с точки зрения классической теории:

80 rКЛ = = 2a, meгде а - первый боровский радиус.

Вероятность нахождения электрона вне классической области движения 2r 2 a P r rКЛ = 100 4r2dr = e 4r2dr = ( ) a2a 2a 1 2r 2r 2r =e d = x2e-xdx.

a 2 aa 2a Интегрируя по частям, находим e-x P r rКЛ = -x2 - 2x - 2 =13e-4 = 0,238.

( ) () Таким образом, искомая вероятность обнаружить электрон в основном состоянии атома водорода вне границ области, разрешенной для движения электрона в классической механике, оказалась равной 23,8 %.

Задача 1.6. Электрон в атоме водорода находится в квантовом состоянии, описываемой волновой функцией вида =А(1 + r)е r, где А, и - некоторые постоянные. Определите значения постоянных,, и полную энергию электрона Е.

Решение. Уравнение Шредингера для атома водорода (1.3) можно записать в следующем виде:

e- - = E.

2m0 40r Поскольку заданная в условии задачи волновая функция зависит только от радиальной координаты r, то оператор Лапласа содержит только радиальную часть (1.5), т. е.

1 2 = r = +.

r r r r r r Найдем первую и вторую производные волновой функции по r:

= Aer + Arer = A + er + Arer ( ) () ;

r r = A + er + Aer + A2rer = A 2 + er + A2rer ( ) ( ) rПодставляя производные в уравнение Шредингера, получим 2A A 2 + er + A2rer + + er + rer - ( ) ( )2A 2mr r e- A 1+ r er = EA 1+ r er.

( ) ( ) 40r Aer Сокращая обе части равенства на и собирая слагаемые с одинаковыми степенями r, приходим к соотношению 2 e2 er-1 - 2 + ( )- + r0 - 4 + 2 - - E + () 2m0 40 2m0 +r+1 - 2 - E = 0.

2m Для того чтобы левая часть этого равенства обращалась в нуль при любых значениях r, необходимо, чтобы коэффициенты при всех степенях r были равны нулю. Это приводит к следующей системе уравнений 2m 2 + E = 0;

e 4 + 2 + + E = 0;

() 2m e (+ + = 0.

) m Из первого уравнения этой системы находим E =- 2.

2mПодставляя это значение во второе уравнение, получаем me2 =- =-.

80 2a Теперь из третьего уравнения находим me2 ==- =-.

80 2a Следовательно, постоянные и найдены, а полная энергия электрона meE =- 2 =-.

2 2m0 Теперь волновая функция может быть записана в виде r r 2a = A1 - e.

2a Коэффициент А найдем из условия нормировки волновой функции r 4r2dr =1.

( ) Подставляя в это соотношение найденную волновую функцию, получим r r a 4A2 1 - e r dr = 1.

2a Вводя новую переменную интегрирования x=r/a, приводим это равенство к виду 4A2a3 x2 - x3 + x4 e-xdx =1.

Вычисляя по частям интегралы I1 = x2e-xdx = 2, I2 = x3e-xdx = 6, I3 = x4e-xdx = 24, находим, что 8A2a3=1.

Отсюда A ==.

8a3 2 2aИтак, волновая функция электрона r 1- r e- 2a r = ( ) 2 2a3 2a точно соответствует волновой функции 200, описывающей квантовое состояние 2s - электрона (см. табл. 2). Найденная полная энергия электрона также соответствует формуле (1.7) для n=2.

Задача 1.7. Для основного состояния электрона в атоме водорода определите средние значения следующих величин: а) расстояния электрона от ядра r, б) модуля силы взаимодействия электрона и ядра; в) потенциальной энергии взаимодействия электрона с ядром.

Решение. В соответствии с основными положениями квантовой механики среднее значение физической величины f, которой соответствует квантово-механический оператор, определятся соотношением < >= fdV.

Pages:     || 2 | 3 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.