WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Материалы к лабораторной работе О-24 «Изучение дифракции Френеля и Фраунгофера» Составлены Вишняковым В.И.

Цель работы – изучение дифракции Френеля и Фраунгофера.

Теоретическая часть Под дифракцией света в оптике понимают круг явлений, связанных с отклонениями от законов геометрической оптики, возникающих при прохождении света в среде, имеющей оптически неоднородные области, в частности, в среде с непрозрачными преградами.

Согласно принципу Гюйгенса точки волнового фронта можно рассматривать как центры вторичных возмущений, которые вызывают элементарные сферические волны, а волновой фронт в любой более поздний момент времени является огибающей этих волн.

Френель смог объяснить явление дифракции света, дополнив принцип Гюйгенса утверждением, что вторичные волны интерферируют между собой. Это сочетание принципа Гюйгенса с идеей интерференции получило название принципа Гюйгенса-Френеля.

Рассмотрим часть произвольной волновой поверхности S световой волны, распространяющейся от некоторого источника света (рис.1). Амплитуда светового колебания в точке Р, лежащей перед этой поверхностью, может быть найдена следующим образом.

Каждый элемент поверхности служит источником вторичной волны, амплитуда А которой пропорциональна площади самого элемента dS. Поскольку амплитуда сферической волны убывает с расстоянием r от источника по закону 1/r, то, следовательно, от каждого участка волновой поверхности dS в точку Р придет световое колебание:

n dS r P Рис.1 d(P) = K()[A/r] cos(t – kr+)dS (1) где r – расстояние от элемента поверхности dS до точки Р; k=2/; - длина волны; K() – коэффициент наклона, описывающий изменение амплитуды вторичных волн в зависимости от направления; - угол между нормалью n к поверхности и направлением излучения вторичной волны. Согласно Френелю K() должен принимать максимальное значение при = 0, быстро уменьшаясь с увеличением угла, обращаясь в нуль при =/2.

Результирующее колебание в точке Р представляет собой суперпозицию колебаний (1), взятых для всей волновой поверхности (P )= K ( )A cos ( t - kr + )dS ( )= ( ) ( - + ) ( )= ( ) ( - + ) ( )= ( ) ( - + ) (2) r S Формулу (2) можно рассматривать как аналитическое выражение принципа ГюйгенсаФренеля. Вычисления по этой формуле достаточно сложны. Однако, как показал Френель, в случаях отличающихся симметрией, нахождение амплитуды результирующего колебания может быть осуществлено простым алгебраическим суммированием.

Рассмотрим дифракцию на круглом отверстии, помещенном меду точечным источником света О и экраном Э (см.рис.2) Пусть диаметр отверстия d, а расстояние между отверстием и источником a. Так как в действительности обычно диаметр отверстия значительно меньше указанных на рис.2 длин a и b, то длину a можно считать равной расстоянию от источника света О до преграды, а b - от преграды до точки наблюдения Р. Наиболее наглядно и просто характер дифракционной картины, возникающей на экране, можно выяснить с помощью метода зон Френеля. Зоны Френеля получаются при разбиении волновой поверхности S (см.рис.2) на кольцевые области (зоны) так, чтобы расстояние от краев каждой зоны до точки, наблюдаемой на экране Э, отличались на /2 ( - длина световой волны в той среде, где распространяется свет).

Поскольку полученные таким построением зоны оказываются приблизительно равновеликими по площади, а угол между нормалью к элементам зоны и направлением на точку Р растет с номером зоны m, то амплитуда Am колебания, возбуждаемого m-й зоной в точке P, монотонно убывает с ростом m. Таким образом, амплитуды колебаний, возбуждаемых в точке Р зонами Френеля, образуют монотонно убывающую последовательность:

/ PPd PP О n b a a) б) в) Рис.A1>A2>A3>…>Am-1>Am>Am+1>… Подберем расстояние b от отверстия до экрана таким образом, чтобы в отверстии укладывалось целое число m зон Френеля. Поскольку фазы колебаний, возбужденные соседними зонами Френеля, отличаются на, то результирующая амплитуда в центре экрана (точка Р) будет равна АР=А1- А2+ А3 - А4+…± Аm (3) причем знак «+» соответствует нечетному номеру зоны Френеля (m = 1, 3, 5,…), а «-» четному номеру зоны Френеля (m = 2, 4, 6,…).

Представим выражение (3) для результирующей амплитуды в следующем виде:

АР=А1/2+ (А1/2-А2+А3/2)+(А3/2-А4+ А5/2)+…+ Аm-1/2 - Аm (4) если m – четное АР=А1/2+ (А1/2-А2+А3/2)+(А3/2-А4+ А5/2)+…+ Аm/2 (5) если m – нечетное Поскольку зоны Френеля равновелики по площади (амплитуда колебаний пропорциональна площади зоны), то амплитуду m-й зоны Френеля можно приближенно записать в виде Аm = (Аm-1+Аm+1)/2 (6) Тогда согласно (6) выражения, стоящие в круглых скобках, в формулах (4) и (5), можно приближенно считать равными нулю, а последние два слагаемых в формуле (4) приближенно равными (-Аm /2).

В итоге для результирующей амплитуды в точке Р можно записать приближенную формулу АР = (А1 ± Аm)/2 (7) Выясним характер дифракционной картины, получающейся на экране.

Для малых m амплитуда Am мало отличается от A1 и, следовательно, для четных m результирующая амплитуда в центре экрана AP 0, а в случае нечетных m AP A1. Таким образом, в зависимости от того какое число зон Френеля укладывается в отверстии, в центре экрана может быть либо минимальная, либо максимальная освещенность.

Сместимся теперь немного относительно точки Р в любом радиальном направлении вдоль экрана, например, в точку Р1. Проведя аналогичные построения зон Френеля для точки Р1, можно убедиться, что в этом случае отверстие будет перекрывать верхнюю часть m-ой зоны, одновременно открывая нижнюю часть m+1 зоны. Тогда, в зависимости от того, четное или нечетное число зон Френеля укладывалось в отверстии, мы будем иметь соответственно либо увеличенные, либо ослабленные интенсивности в т. Р1. Наконец, в некоторой точке Р2 интенсивность достигает или максимума или минимума. При дальнейшем перемещении вдоль экрана к точке Р3 интенсивность вновь будет либо уменьшаться, либо увеличиваться, так как в отверстии дополнительно появится частично (m+2) –я зона и частично (m+1) –я зона.



Вследствие симметричного расположения отверстия относительно прямой ОР дифракционная картина, получающаяся на экране, будет представлять собой систему чередующихся светлых и темных колец.

примерное распределение интенсивности вдоль экрана для четного m показано на рис.2.б, а для нечетного m на рис.2в.

Рассмотрим теперь кратко дифракцию от диска, помещенного между точечным источником света О и экраном Э (см. рис.3).

Пусть расстояние b от диска до экрана таково, что диск закрывает m зон Френеля. В этом случае результирующая амплитуда в центре экрана (точка Р) будет равна AP = Am+1 – Am+2 +Am+3 + … = Am+1/2 + (Am+1/2 – Am+2 +Am+3/2) + … Учитывая соотношение (6) получаем:

AP = Am+1/2 (8) Если m невелико, то Am+1 мало отличается от амплитуды центральной зоны A1, и в точке Р интенсивность будет почти такой же как и без преграды. Отметим, что, как следует из формулы (8), в центре дифракционной картины всегда наблюдается светлое пятно, получившее название пятно Пуассона.

Распределение интенсивности вдоль экрана при дифракции от диска показано на рис.3б.

Рассмотренные выше случаи дифракции, когда преграда, источник света и экран находятся на конечном расстоянии друг от друга, носит название дифракции Френеля.

/P d O n a b a) б) Рис.Различают и другой случай дифракции. Когда источник света О и экран Э настолько удалены от преграды, лучи, падающие преграду, и лучи, идущие в точку Р, образуют параллельные пучки, то говорят о дифракции Фраунгофера.

Такой вид дифракции можно наблюдать, если выполнить условия a >> d и b << d, или, если за источником света О и перед точкой наблюдения Р поставить линзы таким образом, чтобы точки О и Р оказались в фокальной плоскости соответствующей линзы.

1.Дифракция Френеля на круглом отверстии.

b + m/P O a b Рис.Найдем радиус m-ой зоны Френеля, схематически изображенной на рис.4. Радиус m-ой зоны, как это видно из рис.4, может быть найден из рассмотрения треугольников ОАВ – АРВ. Действительно, имеем:

из ОАВ rm = a2 – (a - )из АРВ rm = (b + m /2)2 – (b + m/2)Исключая эатем из этого уравнения и отбрасывая члены второго порядка малости, получим:

ab = rm = m = = + a + b + + Для наблюдения дифракции Френеля необходимо, чтобы выполнялось соотношение:

b << d2/ В этом случае в отверстие помещается не менее одной зоны Френеля. Действительно, согласно формуле (8) радиус первой зоны Френеля r b при a.

Таким образом, выбор точки наблюдения должен удовлетворять условию (9) – условию наблюдения дифракции по Френелю.

В этом случае освещенность центра дифракционной картины в точке О будет зависеть от числа зон Френеля, вырезаемых отверстием из поверхности волнового фронта. Число таких зон m, согласно формуле (8) равно m= d2(a + b)/(4ab) (10) Тогда, подсчитав число m (по виду дифракционной картины) и измерив расстояния а и b можно вычислить длину световой волны.

Экспериментальная часть Принципиальная схема установки показана на рис.5.

b K OK S Л C D b’ Свет от источника собирается при помощи конденсора на очень малом круглом отверстии D, играющем роль точечного источника О. Это отверстие помещено в специальную оправу на трубе. На противоположный конец трубы надевается крышка К с круглым дифракционным отверстием диаметра d.

Дифракционная картина наблюдается при помощи окуляра ОК, который можно перемещать по оптической скамье. Окуляр имеет указатель, позволяющий отсчитывать по линейке расстояние (с точностью до 1 мм).

Отметим, что положение источника света, конденсора и трубы на оптической скамье фиксируются при настройке установки, и поэтому изменить их положение в процессе работы нельзя.

Выполнение эксперимента.

1. Включите источник света и, перемещая окуляр вдоль оптической скамьи, наблюдайте изменение дифракционной картины.

2. Приблизить окуляр к отверстию так, чтобы края отверстия были четко видны. Тогда точка наблюдения совпадает с плоскостью отверстия, т.е. расстояние b от отверстия до точки наблюдения равно нулю. Это положение принять за нулевое ( b0 ).

3. Отодвинуть окуляр до конца оптической скамьи и, постепенно приближая его к отверстию, отметьте положение, при котором в центре появиться темная точка ( открыты две зоны Френеля m =2).

4. Затем, передвигая окуляр далее до появления в центре картины светлого пятна, фиксируем отсчет этого положения ( b’ ).

5. Продолжая приближать окуляр к отверстию, отметьте последующие 5 - 6 положений, при которых освещенность в центре картины экстремальна.

6. Зарисовать каждую картину, отметив их характерные особенности.

7. Подсчитать значения b = b’ – b0, соответствующие всем наблюдаемым картинам.

8. По формуле ( 9 ) вычислить для каждого m диаметр отверстия. Значения a, a и, указаны на установке, m – определите по характеру картины.

9. Поставить светофильтр, выделяющий определенную, но неизвестную длину волны, и проделать указанные выше операции (п.п.1 - 8).





10. Пользуясь вычисленными ранее значениями d, определить для каждого d длину волны.

11. Полученные результаты занести в таблицу 1.

Таблица nR <> 12. Найти полуширину доверительного интервала и результат представить в виде R = ± R = <> ± II. Определение размеров мелких частиц с помощью лазера дифракционным методом, Дифракция Фраунгофера.

На пути лучей света мелкие частицы представляют собой непрозрачные преграды в форме дисков.

К Э Л Рис.Дифракцию от мелких круглых частиц легко наблюдать, если на пути луча лазера Л поставить прозрачную камеру К с частицами *) и экран Э. На рис.6 приведена схема такой установки.

Поместим камеру с круглыми частицами на такое расстояние от экрана, чтобы выполнялось неравенство b>>d, где d – диаметр частичек. Поскольку лазерный пучок имеет ничтожно малый угол расхождения, то можно считать, что кювета К освещается практически параллельным пучком лучей. Таким образом, условия a>>d и b>>d с достаточной степенью точности выполнены и в данном случае применимо приближение Фраунгофера, т.е. можно говорить о дифракции Фраунгофера от диска, что существенно упрощает задачу расчета дифракционной картины.

Попадание в область луча большого числа N мелких частиц усиливает по интенсивности дифракционную картину от каждой частицы N раз. Поскольку область лазерного пучка очень маленькая, то все частицы, попавшие в эту область, дают очень близкорасположенные на экране дифракционные картины. В результате получается достаточно резкая результирующая дифракционная картина, представляющая собой систему чередующихся широких темных и светлых концентрических колец.

В теории дифракция показывается, что в случае дифракции Фраунгофера на диске соотношения, связывающие угол дифракции с диаметром частиц – диском d и длиной волны падающего света, имеют вид:

для темных (нечетных) колец:

d sin 1 = 1,22; d sin 3 = 2,22; d sin 5 = 3,24 (4) для светлых (четных) колец:

d sin 2 = 1,64; d sin 4 = 2,70; d sin 6 = 3,72 (5) (нумерация колец начинается с первого темного кольца).

Для определения диаметра частиц d необходимо знать значение угла дифракции i.

Угол дифракции i связан с диаметром i-го темного или светлого кольца Di и расстоянием между кюветой и экраном очевидным соотношением tg = D 2 b = = = (6) i i Окончательно расчетную формулу для определения размера частиц можно записть в виде k i (7) d = = = = [ ( )] sin [arctg (D 2 b )] [ ( )] [ ( )] i где ki принимает значения 1,22; 2,22; 3,24 –для нечетных темных колец (i = I,3,5 ) и ki = 1,64;

2,70; 3,72 – для четных светлых колец (i = 2, 4, 6) соответственно.

Выполнение эксперимента.

1. Установить камеру с частичками на оптическую скамью на достаточном удалении от экрана (30-40 см ).

2. Включить лазер и, перемещая камеру по вертикали, добиться наиболее четкой дифракционной картины на экране.

3. Измерить расстояние b от камеры до экрана. Длину световой волны принять равной 632,8 нм. Погрешность в измерениях b и пренебречь по сравнению с ошибкою в определении диаметра кольца Di.

4. Измерить диаметр Di соответствующего i-го темного или светлого кольца. Измерения диаметра Di повторить n раз, например 5, для различных направлений. Измерения целесообразно начать с первого темного кольца (i = 1 ). Все измерения проводить по средней линии кольца.

5. Найти среднеарифметическое значение диаметра кольца по формуле n Di = = = = D ik n k== = = *) В работе используются частички ликоподия – споры растения плауна.

6. Найти среднюю квадратичную погрешность среднеарифметической величины отдельных экспериментов по формуле n 1 = (Dik - Dik ) = ( - ) = ( - ) = ( - ) Di ( - ) n(n -1) ( - ) ( - ) = k== = 7. Определить полуширину доверительного интервала при заданной надежности 0,9 и числе измерений n=Di = t(n) , t(5)= где t(n) коэффициент Стьюдента.

8. Вычислить диаметр частички по формуле (4), подставив в неё среднеарифметическое значение диаметра .

9. Вычислить полуширину доверительного интервала по формуле K b d 2 I d = D = = = = = = = i i D sin[arctg ( D 2b)]+ D [ ( )]+ [ ( )]+ [ ( )]+ (4b + D ) D ( + ) ( + ) i i ( + ) I i 10. Для большей точности определения диаметра частички повторить вычисления, указанные в пп.5 – для других колец и найденные значения диаметра частичек dj, и соответствующие полуширины доверительных интервалов dj занести в таблицу.

j Номер кольца Диаметр частички dj Полуширина доверительного интервала dj.

.

.

m 11. Найти среднеарифметическое значение диаметра частичек:

m d = d = = = j m = j== = где m – число проведенных экспериментов.

12. Найти полуширину доверительного интервала m d = d = = = j m = = = j = 13. Ответ представить в виде ± d Контрольные вопросы 1. Что такое дифракция света 2. Что такое дифракция Френеля и дифракция Фраунгофера 3. В чем заключается метод зон Френеля 4. Какой вид имеет дифракционная картина от отверстия и диска и как она объясняется с точки зрения зонной теории Френеля 5. Почему в центре дифракционной картины от диска всегда наблюдается светлое пятно Литература.

1. Савельев И.В. Курс общей физики,т.2.-М.:Наука,1979.

2. Ландсберг Г.С. Оптика. – М.: Наука, 1976.

3. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. – М.: Наука, 1970.

4. Матвеев А.Н. Оптика. – М.: Высшая школа, 1985.

5. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Оптика. – М.: Наука, 1980.











© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.