WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 |
Государственный комитет СССР по народному образованию А. И. САВЕЛЬЕВ, И. Н. ФЕТИСОВ Обработка результатов измерений при проведении физического эксперимента Методические указания к лабораторной работе М-1 по курсу «Общей физики» Под редакцией С. П. ЕРКОВИЧА Издательство МГТУ 1990 1 Аннотация САВЕЛЬЕВА А.И., ФЕТИСОВ И.Н. Обработка результатов измерения при проведении физического эксперимента: Методические указания к лабораторной работе M-1 по курсу «Общая физика» / Под ред. С.П. ЕРКОВИЧА. — М.: Изд-во МГТУ, 1990. -32 с., ил.

ISBN 5–7038–0347–0 Изучаются погрешности измерений и методы обработки экспериментальных данных. Методические указания предназначены для студентов 1-го курса всех специальностей.

Таблиц — 13, иллюстраций — 10, Библиографических названий — 6.

Рецензент Б.А. РОЗАНОВ © МГТУ им. Н.Э. БАУМАНА, 1990.

Погрешности измерения 2 Цель работы — ознакомление с погрешностями измерений и методами их оценки.

1 Погрешности измерения Измерить физическую величину — значит опытным путём с помощью специальных технических средств определить её численное отношение к однородной eй величине, принятой за единицу.

Поскольку не существует абсолютно точных приборов и методов измерений, то результат измерения xизм в какой-то мере отличается от истинного значения x. Абсолютной погрешностью (ошибкой) измерения называют разность между измеренным и истинным значениями физической величины x = xизм - x (1) В задачу измерения входит также оценка погрешности измерения, так как без этого нельзя судить о том, в какой мера достоверен полученный результат. Поскольку истинное значение обычно неизвестно, вычислить погрешность по (1) разумеется, нельзя, погрешность определяют, исходя из точности измерительных приборов, разброса экспериментальных данных, методики измерения и т. д. В результате получают не x, а её приближённое значение x, в котором неизвестен, как правило, даже знак.

Типичная форма представления результата измерения x = xизм ± x (2) означает, что истинное значение с достаточно высокой вероятностью находится в интервале xизм - x < x < xизм + x (3) Интервал (3) называется доверительным. Например, для ЭДС элемента получим E = (1.4 ± 0.1) В, т. е. искомая величина заключена в доверительном интервале 1.3... 1.5 В.

Относительная погрешность измерения — отношение абсолютной погрешности к измеряемой величине x x = (4) x xизм Погрешности измерения Относительную погрешность можно выразить также в процентах. Качество измерений, их точность удобно характеризовать именно относительной погрешностью. Например, скорость света c = 299 792 459 м/с измерена с абсолютной погрешностью c = 1 м/с или относительной погрешностью = 3 10-9 = 3 10-7 %. Это очень высокая точность измерения. Если с такой же абсолютной погрешностью измерена малая скорость, например, v = 10 ± 1 м/с, то = 10 % — это весьма посредственная точность.

Без указания погрешности результаты измерений имеет малую ценность, что видно из следующего примера.

Пример 1. Испытания на прочность стальной проволоки сечением 1мм2 показали, что разрыв происходит под действием силы FA = 1400 H для стали A и FB = 1300 H для B. Можно ли считать, что сталь A прочнее, чем B На этот вопрос нельзя ответить обоснованно, не зная погрешностей измерения. Пусть они достаточно малы, например F = 10 H. Тогда прочность стали A лежит в интервале FA = 1390... 1410 H, а стали B — FB = 1290... 1310 H. Сравнивая эти интервалы, видим, что с учётом погрешностей измерения FA > FB, т. е. сталь A прочнее. Иная ситуация возникает при больших погрешностях, например F = 200 H. В этом случае, сравнивая интервалы FA = 1200... 1600 Н и FB = 1100... 1500 H, видим, что они сильно перекрываются и поэтому не можем утверждать, что материалы отличаются по прочности.

Точность, с которой следует проводить измерения, должна быть согласована с целями измерений. Предположим, что в данном примере измерения проводились с целью выбора более прочной стали, тогда точность F = 10 H достаточна и её дальнейшее повышение может привести к неоправданной трате времени и средств.

Из примера также видно, что, если мы ошиблись в оценке погрешности даже в 2 раза, т.е. считали её равной 5 или 20 Н вместо 10 Н, то это не мешает сделать правильный вывод о большей прочности стали A.

Поэтому во многих случаях лучше дать хотя бы приближённую оценку погрешности, чем никакой.

Некоторые экспериментаторы сильно занижают погрешности, потому что недостаточно критически относятся к своей работе или хотят представить более «качественный» результат. Это совершенно недопустимо, так как ведёт к ошибочным выводам. Другая крайность состоит в произвольном увеличении погрешности в несколько раз (для запаса), что также не рекомендуется, так как обесценивает результаты хороших Систематические погрешности измерений.

Иногда при проведении эксперимента возникают грубые погрешности — промахи, являвшиеся результатом низкой квалификации экспериментатора, его небрежности или неожиданных сильных воздействий на измерения. Промахи приводят обычно к очень большим погрешностям, и поэтому возможность их возникновения должна быть полностью исключена. Для этого следует соблюдать аккуратность и тщательность в проведении опыта, записях результатов. В дальнейшем будем считать, что промахи в рассматриваемых измерениях отсутствуют.

По характеру проявления погрешности подразделяют на систематические и случайные.

2 Систематические погрешности Систематические погрешности — это составляющая погрешности измерения, которая остается постоянной или закономерно изменяется при повторных измерениях одной и той же величины. Например, результаты измерения времени будут завышены, если часы спешат.



Причины, вызывающие систематические погрешности, детально исследуются в тех разделах физики или техники, в которых разрабатывается методика соответствующих измерений; там же определяются правила исключения из результатов измерения систематических погрешностей.

Систематические погрешности можно разделить на несколько групп.

1. Погрешности, природа которых известна и которые могут быть достаточно точно определены. В этой случае в результаты измерений можно внести поправку и тем самым исключить погрешность или существенно её уменьшить.

Пример 2. Ток J и напряжение U на резисторе R измеряются по схеме (рис. 2). Принимая U равным показанию U1 вольтметра (B), мы допускаем систематическую погрешность Jr, равную напряжению на сопротивлении r амперметра (A). Введя поправку Jr, получим правильное значение U = U1 - Jr.

2. Погрешности известного происхождения, но неизвестной величины. Например, температура горячего тела измеряется по схеме (рис. 1). Очевидно, что результаты измерения будут занижены, так Систематические погрешности как погрешность, зависящая от теплового контакта термометра с телом, трудно поддаётся оценке. Самое лучшее, что можно предложить в подобных случаях, — это изменить саму методику измерений, т.е. влияние воздуха на термометр надо уменьшить, как показано на рис. 1а, б.

Рис. 1. Измерение температуры 3. Погрешности, о существовании которых мы не подозреваем, хотя их величина может быть значительной. Например, в схеме на рис. поверхность металла в клеммах a и b окислилась, и сопротивление контактов сильно возросло. В этом случае результат измерения напряжения на резисторе может оказаться неверным. Такого типа погрешности самые опасные, особенно при сложных измерениях и в мало изученных областях исследования.

Погрешности измерительных приборов в значи Jr a тельной степени также систематические; они будут A рассмотрены ниже.

Из приведённых примеров видно, что системати R ческие погрешности могут быть столь велики, что B U1 U совершенно искажают результаты измерений. По b этому учёт и исключение систематических погреш- J ностей составляют важную часть экспериментальной работы. Необходимо очень тщательно продумыРис. 2. схема вать методику измерений и подбирать приборы, проводить контрольные измерения, оценивать роль мешающих факторов и т. д. Один из способов убедиться в отсутствии систематических погрешностей — это повторить измерения другим методом и в других условиях. Совпадение полученных результатов служит некоторой гарантией их правильности.

Случайные погрешности 3 Случайные погрешности 3.1 Вероятность случайного события Случайными называются такие события, о появлении которых не может быть сделано точного предсказания. Например, выпадение тройки при бросании игральной кости, выигрыш в лотерее и т.д.

Хотя в таких случаях невозможно точное предсказание, можно указать вероятность появления того или иного результата. Поясним понятие вероятности на следующем примере. Пусть стрелок делает n прицельных выстрелов, из них m раз попадает в цель и n-m раз промахивается. Тогда отношение m/n называется частотой попадания. При увеличении n частота стремится к некоторому пределу, который и есть вероятность попадания в цель. Результаты, полученные одним из стрелков, приведены в табл. 1. Из неё видно, что при малых n частота подвержена большим флуктуациям, а при больших n — стремится к некоторому пределу. Для данных условий стрельбы вероятность попадания в цель равна 0.66, если считать n = 500 достаточно большим.

Число выстрелов n Число попаданий m Частота попадания m/n 2 2 5 2 0.10 6 0.100 68 0.500 330 0.Таблица 1. данные эксперимента Если некоторый эксперимент проводится n раз и m раз появляется событие A, то предел отношения m/n при увеличении n определяется как вероятность P (A) события A. Вероятность может принимать значения 0 P 1.

3.2 Характеристики случайных погрешностей.

Погрешность единичного измерения Случайная погрешность — это составляющая погрешности измерения, которая изменяется случайным образом при повторных измерениях одСлучайные погрешности ной и той же величины.

Пример 3. Для измерения периода колебаний маятника экспериментатор запускает секундомер, когда маятник достигает максимального отклонения, и останавливает его по прошествии одного полного колебания. Небольшая часть полученных данных представлена в табл. 2.

Из неё видно, что результаты измерений отличаются друг от друга на несколько сотых или десятых долей секунды, т.е. содержат случайную погрешность. Погрешность отсчёта показания секундомера, непостоянство реакции экспериментатора, который нажимает кнопку секундомера то несколько раньше, чем нужно, то несколько позже, случайные воздушные потоки, которые влияют на движение маятника, — всё это вызывает разброс результатов измерений.

Результаты измерения периода маятника, с 1.87 1.97 1.86 2.23 1.88 2.04 1.95 2.10 2.03 2.06...

Таблица 2. Результаты измерения периода маятника Случайные погрешности являются следствием многих причин, роль каждой из них незначительна и изменчива, поэтому исследовать каждую из причин, предусмотреть её влияние при данном измерении оказывается невозможным. Можно принять меры для уменьшения случайных погрешностей. Например, погрешность, обусловленную реакцией человека, можно уменьшить, если использовать автоматическое устройство для включения секундомера.





Случайные погрешности измерений являются случайными величинами и подчиняются определённым статистическим закономерностям, которые изучаются математической теорией погрешностей. Ниже мы приведём без доказательства некоторые выводы этой теории. Для иллюстрации основных положений теории будем использовать результаты 300 измерений периода маятника (см. пример 3 на стр. 7).

Изучение закономерностей, которым подчиняются случайные погрешности, можно сделать наглядными, если построить диаграмму, которая показывает, как часто получались те или иные результаты измерения.

Такая диаграмма называется гистограммой распределения результатов измерения. Для этого разобьём весь диапазон полученных значений периода маятника на равные интервалы и подсчитаем, сколько раз результат измерения попал в каждый интервал.

Случайные погрешности На рис. 3 приведены гистограммы, построенные для различного числа n измерений. На гистограмме (рис. 3а) для n = 5 едва лишь намечается картина разброса результатов; на гистограмме (рис. 3б) для n = уже проявляется определённая закономерность, которая становится ещё более отчётливой на рис. 3в для n = 300.

Допустим, что для некоторой физической величины X получено n независимых результатов измерений: x1, x2,..., xn.

ni n = Тогда в качестве наилучшего значения из- меряемой величины следует взять их сред xi, c 0 1.8 2.0 2.а нее, обозначаемое x или x :

ni n n = x1 + x2 +... + xn x = = xi (5) n n i=xi, c 0 1.8 2.0 2.б ni Чем больше n, тем ближе среднее к =0.неизвестному истинному значению X, т.е.

n = x X при n. Это справедливо толь X ко в том идеальном случае, когда система- xi-X, c -0.2 0 0.в тические погрешности полностью исклюni чены.

Среднее значение периода маятника =0. z для n = 300 соответствует x = 2.00 с. По- скольку 300 это довольно большое число, то для некоторых дальнейших рассуждеxi, c X ний и выводов можно приближённо при1.8 2.0 2.г нять, что истинное значение X x = Рис. 3. Число результа2.00 с. Перенесём (см. рис. 3в) начало котов измерений в интерваординат в точку X = 2.00 с, тогда по оси ле 0.05с абсцисс будут представлены не результаты измерения xi, а их случайные погрешности: xi - X = xi - 2.00.

Гистограммы, построенные по большому числу измерений, позволяют изучить закономерности, присущие случайный погрешностям. Рассмотрим их. Гистограмма на рис. 3в практически симметрична, имеет вид колокола, положение её максимума близко к X. Это означает, что случайные погрешности приблизительно с одинаковой частотой принимают Случайные погрешности как положительные, так и отрицательные значения; большие погрешности встречаются реже, чем малые.

Ширина гистограмма, практически не зависящая от числа измерений, характеризует зону ni рассеяния результатов измерений, т.е. случай ные погрешности единичных (отдельных) измерений. Она зависит от приборов, методов и условий измерений. Это видно из сравнения с гистограммой на рис. 4, полученной при измеxi,c 1.9 2.0 2.рениях периода того же маятника другим методом: секундомер запускался и останавливался Рис. 4. Число реэлектрическим сигналом от фотоэлемента, козультатов в интергда падающий на него луч перекрывался маятвале 0.01с ником. Гистограмма (рис. 4) также имеет вид колокола, но ширина её в 5 раз меньше, чем на рис. 3в.

Необходимо отметить следующее важное обстоятельство. Гистограммы распределения результатов измерения, полученные при измерениях физических величин, выполненных с помощью разнообразных приборов и методов, в большинстве случаев очень похожи по форме на гистограммы рис. 3в и 3в. Они различаются только шириной гистограммы и положением максимума, т.е. величиной X. Про такие распределения говорят, что они подчиняются закону Гаусса (распределение Гаусса или нормальное распределение). В теории погрешностей даётся математическое выражение для распределения Гаусса, которое будет приведено ниже.

Основной характеристикой случайной погрешности является средняя квадратическая погрешность. Необходимо чётко различать среднюю квадратическую погрешность для единичного (отдельного) измерения и среднюю квадратическую погрешность x для среднего значения x.

Средняя квадратическая погрешность единичного измерения вычисляется по результатам n измерений x1, x2,..., xn:

n (xi - x) i=(x1 - x)2 + (x2 - x)2 +... + (xn - x) = =, (6) n - 1 n - где x — среднее из n измерений.

Случайные погрешности Значение является основной характеристикой для определения точности данного способа измерений, оно характеризует ширину гистограммы распределения результатов измерения.

Иногда встречаются распределения результатов измерений, отличающиеся от нормального, например прямоугольные. Мы не будем рассматривать эти менее типичные случаи, поэтому и все дальнейшие выводы будут сделаны для нормального распределения.

Хотя величина характеризует случайную погрешность результата единичного измерения, выполненного данным методом, сама она может быть определена только из результатов достаточно большого числа измерений и тем точнее, чем больше n (на практике можно ограничиться значением n = 10... 50).

Pages:     || 2 | 3 | 4 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.