WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 |
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского М.В. Денисенко А.С. Деребенко С.М. Кашин А.М. Сатанин ВЫЧИСЛЕНИЕ БЛОХОВСКИХ ФУНКЦИЙ ЭЛЕКТРОНА В ОДНОМЕРНОМ ПЕРИОДИЧЕСКОМ ПОТЕНЦИАЛЕ Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией физического факультета для студентов ННГУ, обучающихся по направлениям подготовки 010700 «Физика», 210600 «Нанотехнология», 210100 «Электроника и микроэлектроника», специальностям 010701 «Физика», 210601 «Нанотехнология», 010803 «Микроэлектроника и полупроводниковые приборы» Нижний Новгород 2010 Аннотация к методической работе: «ВЫЧИСЛЕНИЕ БЛОХОВСКИХ ФУНКЦИЙ ЭЛЕКТРОНА В ОДНОМЕРНОМ ПЕРИОДИЧЕСКОМ ПОТЕНЦИАЛЕ»; авторы: Денисенко М.В., Деребенко А.С., Кашин С.М., Сатанин А.М.

Пособие посвящено изложению оригинального метода численного решения уравнения Шредингера для электрона, движущегося в одномерном периодическом потенциале. Суть метода состоит в сведении расчета блоховской функции и дисперсионных кривых к задаче рассеяния на элементарной ячейке, которая решается с использованием устойчивой численной процедуры. Приведен алгоритм и программа численного расчета, которая тестируется на примере точно решаемой модели.

Данное пособие предназначено для студентов старших курсов физического факультета ННГУ, обучающихся по направлениям подготовки 010700 «Физика», 210600 «Нанотехнология», 210100 «Электроника и микроэлектроника», специальностям 010701 «Физика», 210601 «Нанотехнология», 010803 «Микроэлектроника и полупроводниковые приборы» и специализирующихся в области физики наноструктур.

Рецензент: доцент, к.ф.м.н. В.В. Карзанов 2 СОДЕРЖАНИЕ Введение ……………...……………………………………………….. 4 1. Общие представления об электронной теории твердых тел.…….. 4 2. Теорема Блоха..….….….……..….….….….….…..….….….….….. 6 3. Зоны Бриллюэна..….….….……..….….….….….…..….….….….. 8 4. Метод вычисления блоховских функций и зонного спектра.…… 5. Модель Кронига–Пенни ….….….……..….….….…….….….……. 6. Алгоритм отыскания зонного спектра.….……..….……………… 7. Численный алгоритм ….….……..….….….…….….……..….……. 8. Программа в среде Mathematica ….….……..….….….…….….….. Заключение ….….……..….….….…….….……..….….….…….…… Литература ………………………..….….……..….….….…….….….

Введение Как известно, твердые тела – металлы и полупроводники – представляют собой многочастичные системы: в них электроны движутся в поле ядер и взаимодействуют друг с другом. Однако часто можно оправдать приближение самосогласованного поля, согласно которому движение выделенного электрона можно рассматривать в сглаженном поле других частиц. В этом случае применимо одноэлектронное приближение, а для расчета волновой функции электрона можно использовать одночастичное приближение, когда потенциал определяется периодической плотностью зарядов – периодической функцией. Согласно теореме Блоха состояние электронов с энергией, принадлежащей разрешенной зоне, описываются блоховской волновой функцией, представляющей собой произведение периодической функции на плоскую волну. Аналитический расчет блоховских функций возможен только для определенного класса модельных потенциалов, поэтому необходимо использовать численные методы для получения результатов.

Цель данной работы: развить простой численный метод расчета блоховских функций и нахождение зонного спектра электрона в одномерном периодическом потенциале.

1. Общие представления об электронной теории твердых тел Уравнения Шредингера для системы многих частиц включает кинетическую энергию всех электронов и ядер, потенциальную энергию взаимодействия электронов, ядер и электронов с ядрами. Понятно, что в общем виде решение такого уравнения не представляется возможным, поскольку оно содержит слишком много переменных. Поэтому задачи, связанные с поведением электронов в кристалле, решаются при некоторых упрощающих приближениях, правомерность которых определяется конкретными свойствами кристалла. Подобный путь решения приводит к зонной теории твердого тела.

Кратко рассмотрим несколько основных используемых приближений.

Адиабатическое приближение. Известно, что скорости электронов в кристаллах приблизительно на два порядка больше, чем скорости ядер, поэтому для любой, даже неравновесной конфигурации ядер, всегда будет устанавливаться соответствующее ей электронное равновесие. По этой причине движением ядер можно пренебречь и считать их неподвижными. В этом представлении исключается обмен энергией между электронной и ядерной системами, поэтому приближение называется адиабатическим. Естественно, что в адиабатическом приближении нельзя рассматривать такие явления, как диффузия, ионная проводимость и др., связанные с движением атомов или ионов.

Валентное приближение. Электроны атомов в кристалле можно разделить на внутренние и внешние (валентные). Внутренние электроны сильно связаны с ядром, они формируют так называемый остов атома (core). Взаимодействие Одноэлектронное приближение. В этом приближении вместо взаимодействия данного электрона с остальными электронами и ядрами по отдельности рассматривают его движение в некотором результирующем усредненном поле остальных электронов и ядер. Такое поле называют самосогласованным. В одноэлектронном приближении, таким образом, задача сводится к независимому описанию каждого электрона в среднем внешнем поле с потенциальной энерги ей V (r ). Вид функции V (r ) определяется свойствами симметрии кристалла.

Основное свойство самосогласованного поля заключается в том, что оно имеет тот же период, что и поле ядер.

Аналитическое решение одноэлектронного уравнения Шредингера также невозможно получить в общем виде для произвольного потенциала V (r ). Здесь необходимо сделать дополнительные предположения. Часто используют следующие приближения:



1) Приближение слабой связи. В этом приближении электроны в кристалле рассматривают как почти свободные частицы, на движение которых оказывает слабое возмущение поле кристаллической решетки. Данное допущение применимо, когда потенциальная энергия взаимодействия электрона с решеткой много меньше его кинетической энергии. Такой подход, который иногда называют "приближением почти свободных электронов", позволяет получить решение некоторых задач, связанных с поведением валентных электронов в металлах.

2) Приближение сильной связи. В этом приближении состояние электрона в кристалле мало отличается от его состояния в изолированном атоме. Приближение сильной связи применимо, когда потенциальная энергия электрона значительно больше его кинетической энергии. Этот метод применим чаще всего в полупроводниках для анализа их физических свойств.

Рассмотрим немного подробней одноэлектронное приближение. Исходя из качественных соображений, можно примерно представить вид типичного кристаллического потенциала: вблизи иона он должен напоминать потенциал отдельного атома и выравниваться в области между ионами (Рис.1.1).

Рис. 1.1 Типичный кристаллический периодический потенциал, изображенный вдоль линии местонахождения ионов и вдоль линии, проходящей посередине между плоскостями ионов. Черные кружки – равновесные положения ионов, сплошные кривые – потенциал вдоль линии ионов, точечная кривая – потенциал вдоль линии между плоскостями ионов, а штриховые кривые – потенциал отдельных изолированных ионов.

Итак, нам необходимо изучить те общие свойства одноэлектронного уравнения Шредингера 2 H V r, (1.1) 2m которые обусловлены периодичностью потенциала V (r ).

Независимые электроны, каждый из которых подчиняется одноэлектронному уравнению Шредингера с периодическим потенциалом, называют блоховскими (в отличие от «свободных», к которым блоховские электроны сводятся, если периодический потенциал тождественно равен нулю). Из периодичности потенциала V (r ) вытекает одно очень важное свойство стационарных состояний блоховских электронов.

2. Теорема Блоха Феликс Блох в 1928 году [1] доказал замечательную теорему, которая лежит в основе одноэлектронной теории твердых тел [2-6].

Согласно теореме Блоха, волновые функции, являющиеся решениями одноэлектронного уравнения Шредингера (1.1) с периодическим потенциалом, имеющим период реФеликс Блох (1905-1983) – один из осшетки, представляют собой плоновоположников современной физики. Лауские волны, модулированные переат Нобелевской премии по физике за создание теории ядерного магнитного резонанса риодической функцией, то есть (1952).

(r) uk (r)eikr. (2.1) k Здесь uk (r) некоторая периодическая функция с периодом решетки, зависящая от величины квазиволнового вектора k, характеризующего квантовое состояние электрона в кристалле. Ниже, для полноты изложения и введения необходимых понятий, мы приведем доказательство теоремы Блоха (в основном следуя [3]).

Запишем условия периодичности потенциальной энергии электрона в кристалле:

V (r ) V (r n), (2.2) где вектор n :

n n1a n2b n3c. (2.3) В (2.3) a, b, c – векторы единичных трансляций; n1, n2, n3 – произволь ные числа. При смещении кристалла на вектор n он совмещается сам с собой.

Из условия трансляционной симметрии следует, что волновая функция элек трона (r) отличается от волновой функции (r n) некоторым постоянk k ным множителем, т. е.

(r n) C (r). (2.4) k k Из условия нормировки следует, что С 1. (2.5) Условию (2.5) можно удовлетворить, если положить C eikn. (2.6) Действительно, С eikn 1.

Естественно, что показатель степени экспоненты должен быть безразмерной величиной. Поскольку n имеет размерность длины, k должен иметь размерность, обратную длине, т. е. см-1.

Модуль вектора k называется квазиволновым числом:

k k. (2.7) С учетом (2.6) перепишем (2.4) в виде (r n) eikn k (r) (2.8) k или ikn (r) e (r n) uk (r)eikr, (2.9) k k здесь через uk (r) обозначена функция ik (n r ) uk (r) e (r n), (2.10) k являющаяся периодической с периодом решетки. В силу (2.8) и (2.10) имеем ik (n r n') uk (r n') e (r n n') k (2.11) ik (n r n') ik (n r ) e eikn' k (r n) e (r n) uk (r ).

k Таким образом, действительно, волновая функция электрона в кристалле представляет собой стоячую волну eikr, модулированную периодической функ цией uk (r), имеющей период решетки и зависящей от квазиволнового вектора k. Функция (r), определяемая выражением (2.1), получила название функk ции Блоха. От квазиволнового вектора k зависит также и энергия электрона.

Конкретный вид этой зависимости может быть найден при решении уравнения Шредингера H (r ) (r ).

k k 3. Зоны Бриллюэна Состояние свободно движущегося электрона характеризуется энергией и импульсом p. При этом p. (3.1) 2m Этому электрону соответствует волна де Бройля с длиной h h, (3.2) p m где – скорость электрона. Учитывая, что k k 2, перепишем (3.2) в виде p k. (3.3) Видим, что волновой вектор пропорционален импульсу электрона. Энергия k свободного электрона связана с соотношением k. (3.4) 2m Если на электрон никакие силы не действуют, то его энергия остается постоянной ( (k ) const ). Это означает, что не меняется k, и остается посто янным импульс p. По существу, это есть законы сохранения энергии и импульса. На электрон, движущийся в кристалле, всегда действует периодическое поле решетки. Энергия этого взаимодействия является периодической функцией координат. Следовательно, энергия и импульс электрона в кристалле изменяются со временем под действием этого поля, т. е. не сохраняются. Однако, пользуясь понятием квазиволнового вектора k, введенного для электрона в кристалле, т. е. входящего в функцию Блоха (2.1), можно ввести характеристику, аналогичную импульсу:





P k. (3.5) Чтобы подчеркнуть сходство и одновременно отметить отличие фигури рующей в (3.5) величины k от истинного импульса, эту величину называют квазиимпульсом электрона. Если какая-либо физическая величина сохраняется, то оператор этой величины коммутирует с оператором Гамильтона. Таким об разом, квазиимпульсу P должен соответствовать некоторый оператор P, коммутирующий с гамильтонианом кристаллической решетки:

P, 0. (3.6) Следовательно, можно утверждать, что при движении электрона в перио дическом поле решетки собственные функции операторов P и должны быть одинаковы, а между их собственными значениями должна быть определенная функциональная связь:

(P). (3.7) Это означает, что энергия электрона должна быть функцией квазиим пульса. Ясно, что оператор P не может иметь вид обычного оператора импуль са p i, поскольку он не коммутирует с гамильтонианом решетки 2 V (r):

2m d p 1 1 2 2 2 p p i V (r) V (r) i ( V ). (3.8) dt i i 2m 2m C другой стороны, ясно и то, что между оператором квазиимпульса P и оператором импульса должна быть связь. Предположим, что потенциальная энергия решетки становится некоторой константой, т.е. V 0. В этом случае квазиимпульс тождественно переходит в импульс. Представим оператор квазиимпульса в виде P i i(r), (3.9) где (r) – некоторый оператор, обеспечивающий коммутацию и P. Очевид но, что (r) 0 при V 0. Для отыскания оператора (r) запишем уравнение:

P (r) P (r), (3.10) k k в которое подставим P в виде (3.9), а волновую функцию в виде функции Блоха:

P (r ) iik (r ) eikr ( i uk (r ) i (r )) k k k (3.11) k (r ) i[ lnuk (r )] (r ) P (r ).

k k k Отсюда можно записать:

P k ; lnuk (r). (3.12) Если V 0, то uk (r) в функции Блоха (2.1) будет стремиться к некоторой константе. При этом (r) 0 и квазиимпульс тождественно обращается в обычный импульс.

Волновой вектор электрона в кристалле, в отличие от волнового вектора свободного электрона, неоднозначен. Чтобы показать это, рассмотрим трансляционное условие (2.8), накладываемое на волновую функцию электрона, движущегося в периодическом поле решетки. Это условие не нарушится, если вол новой вектор k заменить на вектор k 2 H, где H ha * kb * lc * – вектор обратной решетки. Действительно, ei(k 2 H )n eiknei2 (Hn) eikn, (3.13) в силу того, что Hn m e2 im. Таким образом, мы приходим к выводу, что и k состояния, характеризуемые волновым вектором и волновым вектором k 2 H, физически эквивалентны. Следовательно, энергия электронов, находящихся в этих двух состояниях, одинакова. Другими словами, и волновая функция, и энергия электрона в кристалле являются периодическими функция k 2 H ми волнового вектора с периодом (или квазиимпульса P с периодом 2 H ).

(k ) (k 2 H), (3.14).

(P) (P 2 H) (3.15) Если в k – пространстве построить обратную решетку, растянутую в раз, т.е. решетку с векторами 2 a, 2 b, 2 c то все k -пространство можно разделить на области, в которых имеются физически эквивалентные состояния.

Эти области называются зонами Бриллюэна. Многогранник минимального объ ема, построенный вокруг начала координат в k, содержащий все возможные различные состояния, называется первой, или основной, зоной Бриллюэна. С помощью векторов обратной решетки любую точку k можно перевести в первую зону Бриллюэна, которая представляет собой элементарную ячейку Вигнера – Зейтца для обратной решетки, растянутой в 2 раз. Для определения вида первой зоны Бриллюэна нужно построить обратную решетку с параметра ми ячейки 2 a, 2 b, 2 c и построить в ней ячейку Вигнера-Зейтца. Вторая зона Бриллюэна строится аналогичным образом. В обратной решетке, параметры которой увеличены в 2 раз, узел выбранный при построении первой зоны Бриллюэна за начало отсчета соединяют прямыми линиями с ближайшими эквивалентными узлами, но уже лежащими па поверхности второй координационной сферы. Затем, как и при построении первой зоны, строят плоскости, перпендикулярные этим прямым и проходящие через их середину. В результате получают вторую зону Бриллюэна в виде замкнутого многогранника. Третья и последующие зоны строятся таким же образом, используя ближайшие эквивалентные узлы обратной решетки, лежащие на третьей, четвертой и т. д. координационных сферах.

На рис. 3.1. для простой кубической решетки построены несколько зон Бриллюэна. Эквивалентность физических состояний, принадлежащих различ ным зонам Бриллюэна, позволяет при движении электрона в k -пространстве рассматривать его траекторию только в пределах первой зоны Бриллюэна. Любой реальный кристалл является ограниченным. Эта ограниченность приводит к тому, что волновой вектор электрона в кристалле может принимать только дискретный ряд значений. Для того чтобы подсчитать число допустимых состояний в зоне Бриллюэна, необходимо учесть граничные условия.

Рис. 3.1. Зоны Бриллюэна для простой кубической решетки: 1 – первая; 2 – вторая; 3 – третья зона Бриллюэна и т.д.

Pages:     || 2 | 3 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.