WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 11 |
3 Предисловие Методы нечеткой алгебры, формирующие один из новых подходов к анализу и моделированию прикладных задач, находят все более широкое применение. Увеличивается поток литературы об этих методах и их конкретных приложениях, что, несомненно, отражает рост популярности данной проблематики среди специалистов. В настоящее время к нечеткой логике привлечено внимание широкого круга исследователей, работающих в таких областях прикладной математики как обработка информации, моделирование, исследование операций, управление, прогнозирование, а также в различных социально-экономических науках. Возможность успешного применения подходов, основанных на нечеткости, во многом определяется гибким математическим аппаратом, используемым при анализе и обработке данных, способным адекватно отразить не только не подлежащие строгой формализации зависимости и взаимосвязи, но и учесть неточные, субъективные оценки специалистов, лежащие в их основе.

Авторский коллектив постарался изложить в монографии современные основы нечеткой алгебры, рассматривая ее как расширение булевой.

Это естественное расширение традиционной двузначной логики позволяет создавать гибкие конструкции, лежащие в основе моделирования трудноформализуемых процессов. В главе 1 вводится система логических операций, построение которой основано на обобщении обычных (стандартных) логических операций. Следуя логике изложения, операции над нечеткими множествами и отношениями определены не на основе традиционных максминных операций, а на основе ранее введенных логических операций: инвертора, t-нормы, t-конормы, что позволяет более гибко подходить к формализации прикладных задач средствами нечеткой логики. Выбор материала для монографии осуществлялся авторами на основе требований системности изложения и необходимости последующего использования тех или иных сведений в конкретных приложениях.

Отметим, что в рамках одной монографии невозможно отразить все многочисленные на сегодняшний день разделы теории нечеткой алгебры, по различным направлениям которой существуют разнообразные пособия и статьи. В библиографии приведен список использованной монографическойиобзорнойлитературы, по которойможно ознакомиться ис другими разделами нечеткой алгебры.

В главе 2 рассматривается ряд приложений нечеткой алгебры: нечеткие реляционные уравнения, модели и методы принятия решений в условиях неопределенности, нечеткие системы вывода, гибридные нейронечеткие системы. Основное внимание здесь уделяется не непосредственному практическому использованию тех или иных методов, а описанию возможных приложений и их теоретическому обоснованию. Все указанные приложения могут использоваться в различных системах искусственного интеллекта: нечеткие реляционные уравнения — в системах медицинской и иной диагностики, модели принятия решений — в системах поддержки принятия решений, нечеткие и нейро-нечеткие системы — в системах управления различными процессами. В главе 2 представлено математическое наполнение названных систем, приведены подходы к их моделированию, необходимые алгоритмы и примеры использования алгоритмов при решении типовых задач. Математические модели и методы, лежащие в основе функционирования систем, опираются на введенные в главе 1 операции над нечеткими множествами и отношениями; выбор того или иного вида операции зависит от конкретной постановки задачи и, как правило, вопрос такого выбора должен решаться индивидуально для каждой проблемной ситуации. Авторы, указывая на возможный спектр операций, обосновывают или дают рекомендации по конкретному выбору операций.

Глава 1 ориентирована на широкий круг читателей, поэтому ее изложение построено в доступной и понятной форме со множеством графических иллюстраций. При этом от читателя требуется предварительное знакомство с основами общей алгебры и математической логики. Глава адресована специалистам и разработчикам систем, знакомым с основами линейной алгебры, математического моделирования, теории принятия решений, базовыми понятиями нейронных сетей и методами оптимизации.

Основу монографии составляют идеи и работы С.Л. Блюмина. Глава 1 написана И.В. Черпаковым (пп. 1.1, 1.4), И.А. Шуйковой (пп. 1.2, 1.3), Глава 2 — И.В. Черпаковым (п. 2.1), И.А. Шуйковой (п. 2.2), П.В. Сараевым (пп. 2.3, 2.4). Окончательное редактирование всего текста монографии выполнено С.Л. Блюминым.

Авторы выражают благодарность рецензентам Ю.И. Кудинову и О.Я. Кравцу, замечания которых были полезны при подготовке данного издания. Авторы будут благодарны всем, кто пожелает сообщить свои отзывы на данную монографию.

1. Основы нечеткой алгебры 1.1. Операции на единичном интервале 1.1.1. Нечеткая алгебра как расширение булевой Булева алгебра представляет собой структуру , для которой справедлива следующая система аксиом [5]:

1) x + x = x, x · x = x (идемпотентность);

2) x + y = y + x, x · y = y · x (коммутативность);

3) x +(y + z) =(x + y) +z, x · (y · z) =(x · y) · z (ассоциативность);

4) x + x · y = x, x · (x + y) =x (поглощение);

5) x · (y + z) =x · y + x · z, x + y · z =(x + y) · (x + z) (дистрибутивность);

6) x +0=x, x · 1 =x;

7) x + x =1, x · x =0.

Приведенная система аксиом является зависимой. Можно, например, ограничиться только тождествами 2) и 5)–7).

В классической логике операции отрицания, конъюнкции и дизъюнкции на двухэлементном множестве {0; 1} задают таблично x y x y x y x x 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 или определяют на этом множестве следующие функции: x = 1 - x, x y = min(x, y) и x y = max(x, y). Подобным образом в булевой алгебре на {0; 1} вводятся соответственно операции,· и +. Несложно проверить, что они удовлетворяют указанной выше системе аксиом.



При переходе к нечеткой алгебре, вводимой на [ 0, 1], выполнимость части аксиом нарушается. Например, сохраняя стандартный вид дополнения x =1 - x, имеем невыполнимость законов 7) для произвольного x [ 0, 1] : max(x, 1 - x) =1 и min(x, 1 - x) =0.

Стремление наиболее полно сохранить выполнимость аксиом приводит к необходимости изменения существующих операций или введения новых. Можно добиться выполнимости законов 7), если положить 6 Основы нечеткой алгебры x y = min(1, x+ y) и x y = max(0, x+ y - 1). В этом случае для произвольного x [ 0, 1] выполняются x x =1 и x x =0. Легко проверить, что и коммутативны, ассоциативны, но не связаны дистрибутивным законом. Более того, существует связь между старыми и новыми операциями: x (y z) =(x y) (x z) и x (y z) =(x y) (x z), то есть имеется дистрибутивность и относительно и соответственно.

Нечеткая алгебра представляет собой структуру < X, +, ·,, 0, 1 > c заданной системой аксиом. Символы операций выбраны исключительно для простоты формулировок, их не следует воспринимать как соответствующие арифметические или логические операции. Пусть x y =(x + y · y), x y =(x · y)+y. Cистема аксиом, адекватная нечеткой алгебре, имеет вид (например, [8]):

1. x + y = y + x,1’. x · y = y · x, 2. x +(y + z) =(x + y) +z,2’. x · (y · z) =(x · y) · z, 3. x + x =1,3’. x · x =0, 4. x +1=1,4’. x · 0 =0, 5. x +0=x,5’. x · 1 =1, 6. x + y = x · y,6’. x · y = x + y, 7. x = (x), 8. 0 =1, 9. x y = y x,9’. x y = y x, 10. x (y z) =(x y) z,10’. x (y z) =(x y) z, 11. x +(y z) =(x + y) (x + z). 11’. x · (y z) =(x · y) (x · z).

Подалгебра тех элементов из X, для которых x + x = x (или, что равносильно, x·x = x), является булевой алгеброй, в которой x+y = xy, x · y = x y.

Выбирая различные операции +, ·,, 0, 1, удовлетворяющие указанной системе аксиом, получаем различные нечеткие алгебры.

1.1.2. Расширение стандартных логических операций В [3,39] изложены основы обобщения обычных логических операций.

Рассмотрим действительный отрезок L =[ 0, 1]. Отображения L L и L2 L будем рассматривать как унарную и бинарную функции соответственно. Введем на L новые операции.

1.1. Операции на единичном интервале Определение 1.1. Инвертором (нечетким отрицанием) N называется унарная строго убывающая функция, удовлетворяющая условиям N(N(x)) = x, N(0) = 1 и N(1) = 0.

В аксиоматической форме:

N : L L, N1: N(0) = 1;

N2: (x L)(N(N(x)) = x);

N3: (x1, x2 L)(x1 N(x2)).

Аксиома N1 — граничное условие, устанавливающее поведение инвертора на границе отрезка, N2 — правило двойного отрицания, N3 — наиболее существенное требование: изменение порядка последовательности значений из L.

Из N1 и N2 следует, что N(1) = 0, поэтому, заменив N1 на N(1) = 0, получим эквивалентную систему аксиом.

Пример 1.1. Существует множество функций, удовлетворяющих N1–N3. Наиболее простая и часто используемая из них N(x) = 1 - x.

Определяя инвертор подобным образом, имеем выполнимость всех аксиом: N(0) = 1 - 0 =1, N(N(x)) = 1 - (1 - x) =x и 1 - x1 < 1 - x2 при x1 >x2. Нередко данную функцию называют стандартным инвертором и обозначают NS(x).

В качестве нетривиального примера можно указать -4x +1, 0 x<0.2, N(x) = - 1 x +, 0.2 x 1.

4 Пусть на множестве M определена бинарная функция O : M2 M, тогда O(x, y) M при (x, y) M2. Зафиксируем сначала значение x = x0 M, затем y = y0 M. Будем называть полученные унарные функции O1 и O2 частными функциями O. Если, например, для фиксированного y0 имеет место O1(x1) x2, то O1 —функция, изменяющая частный порядок по первой переменной. Если же O1(x1) > O1(x2) при x1 > x2, функцию будем называть сохраняющей частный порядок по этой переменной. Аналогично можно ввести понятие функции изменяющей (сохраняющей) порядок по второй переменной.

В случае, когда функция сохраняет (изменяет) порядок по всем переменным, будем говорить просто о функции, сохраняющей (изменяющей) порядок.

8 Основы нечеткой алгебры Определение 1.2. t-нормой T называется коммутативная, ассоциативная бинарная функция, частные функции которой сохраняют порядок, имеющая 1 в качестве нейтрального элемента и для которой выполняются условия T (x, 0) = 0 и T (x, 1) = x, x L.

Аксиоматическое определение t-нормы:

T : L2 L, T1: (x, y L)(T (x, y) =T (y, x));

T2: (x1, x2, x3 L)(T (x1, T(x2, x3)) = T (T (x1, x2), x3));

T3: (x L)(T (x, 1) = x, T (x, 0) = 0);

T4: (x1, x2, y0 L)(x1 x2 T (x1, y0) T (x2, y0)).

Пример 1.2. Типичной t-нормой является взятие минимума (логическое произведение) M(x, y) = min(x, y). Другие часто используемые tнормы: t-норма Лукасевича (Lukasiewicz) или граничное произведение W (x, y) = max(x + y - 1, 0), алгебраическое произведение P (x, y) =xy и драстическое произведение y, x =1;

Td(x, y) = x, y =1;

0, в противном случае.

На рис. 1.1 в единичном кубе изображены P (x, y) и W (x, y).

а) алгебраическое произведение б) t-норма Лукасевича Рис. 1.1. Основные t-нормы В дальнейшем будем считать t-норму непрерывной функцией. Укажем некоторые важные свойства, непосредственно следующие из T1 – T6.

1.1. Операции на единичном интервале PT1: (x, y L)(T (x, y) min(x, y)).

Доказательство. Из T3 и T4 следует, что T (x, y) x. Действительно, y L, y 1 при фиксированном x выполняется T (x, y) T (x, 1) = x. Используя T1, получим T (x, y) y. Учитывая предыдущее неравенство, имеем T (x, y) min(x, y).





PT2: (x, y L)(T (x, y) Td(x, y)).

Доказательство. При x =1, y =1 справедливо T (x, y) Td(x, y) =0.

Если x = 1, то T (1, y) = y = Td(1, y). Аналогично, при y = T (x, 1) = x = Td(x, 1), то есть утверждение справедливо.

PT3: (a L)(rng(T (x, a)) = [0, a]).

Доказательство. Для любого x L выполняется T (0, a) T (x, a) T (1, a), т.е. 0 T (x, a) a.

Определение 1.3. t-конормой (s-нормой) S называется коммутативная, ассоциативная бинарная функция, частные функции которой сохраняют порядок, имеющая 0 в качестве нейтрального элемента, и для которой выполняются условия S(x, 0) = x и S(x, 1) = 1, x L.

Аксиоматическое определение s-нормы:

S : L2 L S1: (x, y L)(S(x, y) =S(y, x));

S2: (x1, x2, x3 L)(S(x1, S(x2, x3)) = S(S(x1, x2), x3));

S3: (x L)(S(x, 0) = x, S(x, 1) = 1);

S4: (x1, x2, y0 L)(x1 x2 S(x1, y0) S(x2, y0)).

Пример 1.3. Логическая сумма S(x, y) = max(x, y) является типичной t-конормой. Кроме нее можно указать алгебраическую сумму S(x, y) = x + y - xy, граничную сумму S(x, y) = min(x + y, 1) и драстическую сумму y, x =0;

Sd(x, y) = x, y =0;

1, в противном случае.

На рис. 1.2 в единичном кубе изображены алгебраическая и граничная сумма.

10 Основы нечеткой алгебры а) алгебраическая сумма б) граничная сумма Рис. 1.2. Основные t-конормы Пусть t-конорма непрерывна. Укажем некоторые ее свойства, следующие из S1 – S4:

PS1: (x, y L)(S(x, y) max(x, y)).

Доказательство. Из S3 и S4 следует, что S(x, y) x. Действительно, для любого y L, y 0 при фиксированном x выполняется S(x, y) S(x, 0) = x. Используя S1, получим S(x, y) y. Учитывая предыдущее неравенство, имеем S(x, y) max(x, y).

PS2: (x, y L)(S(x, y) Sd(x, y)).

Доказательство. При x =0, y =0 справедливо S(x, y) Sd(x, y) =1.

Если x =0, то S(0, y) =y = Sd(0, y). Аналогично, при y =0 выполняется S(x, 0) = x = Sd(x, 0), то есть утверждение справедливо.

PS3: N(T (N(x), N(y))) удовлетворяет S1–S4, где T и N — любые tнорма и инвертор соответственно.

t-норма и t-конорма играют важную роль в ряде приложений, связанных с нечеткими выводами, системами управления и т.д. В [3] описано их применение в различных сферах промышленности и экономики.

Рассмотренные понятия представляют собой классы функций. Встречаются семейства t-норм, зависящих от параметра. К ним относятся (sx - 1)(sy - 1) TS(x, y) = logS 1+, 0 < s < — семейство s - t-норм Франка, 1.1. Операции на единичном интервале xy T(x, y) =, 1 2 —семейство t-норм +(1- )(x + y - xy) Хамакера.

Возможность выбора наиболее подходящей для конкретной задачи функции обеспечивает достаточную гибкость и эффективность на практике.

Чаще всего, правда, используются логические произведение и сумма.

Определение 1.4. Импликатором I называется бинарная функция, частные функции которой изменяют порядок по первой переменной, сохраняют по второй, и для которой выполняются условия I(x, 1) = 1, I(1, y) =y, I(0, y) =1, x, y L.

Аксиоматическое определение импликатора:

I : L2 L, I1: (x1, x2, y0 L)(x1 x2 I(x1, y0) I(x2, y0));

I2: (x0, y1, y2 L)(y1 y2 I(x0, y1) I(x0, y2));

I3: (x, y L)(I(x, 1) = 1, I(1, y) =y, I(0, y) =1).

Пример 1.4. Ниже приведены некоторые часто используемые импликаторы:

I(x, y) =1 - x + xy;

I(x, y) = max(1 - x, y) — импликатор Клина-Дайнеса (Kleene-Dienes);

I(x, y) = min(1 - x + y, 1) — импликатор Лукасевича.

На рис. 1.3 изображены два последних импликатора.

а) импликатор Клина-Дайнеса б) импликатор Лукасевича Рис. 1.3. Основные импликаторы Укажем без доказательств свойства импликатора, следующие из I1-Iи определений t-нормы и t-конормы:

12 Основы нечеткой алгебры PI1: N(T (x, N(y))) удовлетворяет I1-I3 для любых N и T.

PI2: S(N(x), y) удовлетворяет I1-I3 для любых N и S.

PI3: Если I(x, y) представим в виде N(T (x, N(y))) или S(N(x), y), то для любого a L имеет место rng(I(x, a)) = [a, 1], rng(I(a, x)) = [N(a), 1], где rng — образ соответствующих функций.

PI4: I(x, 0) как унарная функция является инвертором.

Свойства PI1 и PI2 позволяют конструировать неограниченное число импликаторов. Говорят, что инвертор N и t-норма T индуцируют импликатор IT,N, если он представим в виде N(T (x, N(y))). Нетрудно заметить, что импликаторы примера 1.4 индуцированы стандартным инвертором и известными t-нормами M, P и W :

IM,N (x, y) = max(1 - x, y), S IP,N (x, y) =1 - x + xy, S IW,N (x, y) = min(1 - x + y, 1).

S Форма связывания I(x, y) с T (x, y) и S(x, y) подобна формулам обычной логики x y = xy и x y = x y. Непосредственно проверяется, что конъюнкция, дизъюнкция и импликация представляют собой частные случаи t-нормы, t-конормы и импликатора, удовлетворяя соответствующим системам аксиом.

Среди множества пар t-норм и t-конорм удобно выбирать такие, которые удовлетворяют условиям N(T (x, y)) = S(N(x), N(y)), N(S(x, y)) = T (N(x), N(y)).

Для четких множеств эти формулы соответствуют закону де Моргана, в нашем случае они носят название нечетких законов де Моргана. Используя аксиомы нечеткого отрицания, t-нормы и t-конормы, из одной из этих формул можно вывести другую. Если выбранные t-норма и t-конорма удовлетворяют этим законам, они называются взаимно дуальными на основе соответствующего нечеткого отрицания.

1.2. Нечеткие множества. Операции над нечеткими множествами Прежде чем перейти к основам нечетких множеств, изложим основные понятия нечеткой логики.

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 11 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.