WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 7 |
Летняя школа «Современная математика» Дубна, июль И. В. Аржанцев Градуированные алгебры и -я проблема Гильберта Учебное пособие Москва Издательство МЦНМО УДК.. Проведение летних школ «Современная математика» и издание её материалов поддержано Московской городской ББК.

Думой и Департаментом образования г. Москвы, а также А фондом «Династия», фирмой «НИКС» и корпорацией Boeing.

Рецензенты: д. ф.-м. н., профессор Э. Б. Винберг к. ф.-м. н., доцент Т. Е. Панов Аржанцев И. В.

А Градуированные алгебры и -я проблема Гильберта:

Учебное пособие. — М.: МЦНМО,. — с.

ISBN ---Учебное пособие посвящено классическим задачам коммутативной алгебры и теории инвариатов. Помимо начальных сведений о градуированных алгебрах, их рядах Пуанкаре и многочленах Гильберта, приводятся доказательства теоремы Маколея о размерностях компонент стандартных градуированных алгебр, формулы Молина для ряда Пуанкаре алгебры инвариантов конечной линейной группы и теоремы Нагаты—Стейнберга о том, что алгебра инвариантов некоторой явно заданной линейной алгебраической группы не является конечно порожденной. Последний результат является контрпримером к -й проблеме Гильберта. Пособие содержит более задач, к каждой из которых даны подробные указания. Излагаемый материал доступен студентам младших курсов физико-математических специальностей университетов.

Для студентов, аспирантов, преподавателей и научных работников, интересующихся алгеброй, геометрией и комбинаторикой.

ББК.

ISBN 978-5-94057-491-0 © Аржанцев И. В.,.

9785940574910> © МЦНМО,.

Оглавление Введение.....................................

§. Основные понятия и примеры....................

§. Ряды Пуанкаре и многочлены Гильберта.............

§. Последовательности размерностей компонент.........

§. Теорема Маколея.............................

§. Комбинаторный вариант теоремы Маколея...........

§. Теорема Грина...............................

§. Алгебра инвариантов линейных преобразований.......

§. Формула Молина.............................

§. Контрпример Нагаты—Стейнберга.................

§. Указания и комментарии к задачам................

Предметный указатель............................

Литература....................................

Введение Что такое современная математика Это стройные теории, состоящие из цепочки определений, несложных утверждений и эффектных примеров Или это глубокие и технически сложные теоремы, на разбор только схем доказательств которых может понадобиться несколько часов или дней Пожалуй, это и то и другое, и трудно отыскать золотую середину, лежащую между двумя описанными крайностями.

В этом пособии мы продолжаем поиск недостижимой середины. Здесь излагаются как фрагменты классических теорий, так и доказательства двух трудных результатов: теоремы Маколея о последовательностях размерностей компонент стандартных градуированных алгебр и теоремы Нагаты—Стейнберга о том, что алгебра инвариантов некоторой линейной группы не является конечно порожденной. Последний результат обеспечивает контрпример к -й проблеме Гильберта.

В настоящее время стало возможным провести доказательства этих теорем, опираясь только на факты из курса линейной алгебры. Этот подход и будет реализован ниже.

Остановимся подробнее на содержании пособия. В первых параграфах излагаются стандартные факты о коммутативных градуированных алгебрах, определяются ряды Пуанкаре и многочлены Гильберта, доказывается теорема о представимости ряда Пуанкаре конечно порожденной градуированной алгебры рациональной функцией. Затем мы переходим к изучению последовательностей размерностей компонент dim Ai градуированной алгебры A = Ai.

s Какие числовые последовательности так реализуются Этот вопрос наиболее интересен для конечно порожденных алгебр, которые порождаются элементами первой степени. Такие алгебры являются факторалгебрами [x1, …, xn]/I алгебры многочленов со стандартной градуировкой. Несложно показать, что идеал I можно заменить на идеал, порожденный одночленами, так, что последовательность размерностей компонент не изменится. Трудная часть теоремы Маколея — это обоснование перехода от произвольного мономиального идеала к лекссегментному идеалу, т. е. идеалу, являющемуся линейной оболочкой конечных отрезков последовательностей одночленов фиксированных степеней в лексикографическом порядке. В § мы доказываем этот результат, следуя работе []. Теперь проверка реаВведение лизуемости данной числовой последовательности сводится к проверке того, что линейная оболочка некоторого набора одночленов есть идеал. Такой критерий является эффективно проверяемым, однако его можно улучшить.

В работе П. Макмюллена [] в связи с проблемой характеризации g-векторов симплициальных многогранников возникли числовые неравенства, связанные с разложениями натуральных чисел в суммы биномиальных коэффициентов. Это позволило P. Стенли включить в теорему еще одно эквивалентное условие — числовое неравенство на следующий член последовательности, определяемое предыдущим членом. В терминах этого условия M. Грин получил индуктивное доказательство трудной части теоремы Маколея, в котором используется переход от алгебры A к факторалгебре A/(a), где a — элемент общего положения компоненты A1. Результаты Грина приведены в §.



О приложениях теоремы Маколея в теории выпуклых многогранников и топологии можно прочитать в гл. книги [].

В последних параграфах обсуждаются подалгебры инвариантов линейных групп в алгебре многочленов. Хорошо известно, что алгебра инвариантов конечной группы конечно порождена. Мы приводим три доказательства этой теоремы. Одно из них, принадлежащее Э. Нётер, показывает, что если основное поле имеет нулевую характеристику, то алгебра инвариантов порождается многочленами, степени которых не превосходят порядка группы. Это позволяет для групп небольших порядков явно находить образующие алгебры инвариантов. Параграф посвящен формуле для ряда Пуанкаре алгебры инвариантов конечной группы, которая была найдена Ф. Э. Молиным в г. Дальнейшие сведения о рядах Пуанкаре алгебр инвариантов линейных групп можно найти в работах [, § ] и [].

Пусть G — бесконечная подгруппа группы GLn( ). Верно ли, что алгебра инвариантов [x1, …, xn]G конечно порождена Этот вопрос известен как -я проблема Гильберта. История этой проблемы весьма драматична. На втором Международном конгрессе математиков, проходившем в августе года в Париже, Д. Гильберт поставил несколько проблем, решение которых, по его мнению, должно было определить основные направления развития математики XX века.

В самом докладе Гильберт предложил проблем, и интересующая нас проблема там не фигурировала. Однако в опубликованном тексте доклада проблем было уже, и проблема о конечной порожденности Приведенные здесь сведения заимствованы из комментариев В. Л. Попова в книге []. Там же дан обзор известных в настоящее время результатов, связанных с -й проблемой.

Введение алгебры инвариантов имела номер. На самом деле при постановке этой проблемы Гильберт ссылается на работу Л. Маурера г., в которой конечная порожденность алгебры инвариантов была доказана для любой подгруппы G GLn( ), и ставит более общий вопрос.

• Пусть K (x1, …, xn) — некоторое подполе поля рациональных функций, содержащее поле. Верно ли, что алгебра [x1, …, xn] K является конечно порожденной Однако, как вскоре выяснилось, работа Маурера содержала ошибку, и с тех пор -я проблема Гильберта рассматривается именно как проблема о конечной порожденности алгебры инвариантов. В первой половине XX в. было получено несколько положительных результатов в этом направлении. Однако в г. на конгрессе в Эдинбурге М. Нагата — весьма неожиданно — привел пример группы, для которой алгебра инвариантов не допускает конечного числа порождающих, см. [] и []. Недавно Р. Стейнбергу удалось модифицировать контрпример Нагаты и заменить в доказательстве тонкие соображения из алгебраической геометрии плоских кривых вполне элементарными аргументами; см. []. Эти аргументы мы приводим в §. В настоящее время -ю проблему естественно формулировать так: охарактеризовать те подгруппы G GLn( ), для которых алгебра инвариантов [x1, …, xn]G конечно порождена. В такой формулировке проблема еще очень далека от окончательного решения.

Наш текст включает много заданий для самостоятельного решения. Они разделены на упражнения и задачи. Упражнения — это или совсем простые утверждения, или рутинные проверки. Читатель легко справится с ними самостоятельно. В свою очередь, все задачи снабжены решениями или подробными указаниями.

Для дальнейшего изучения предмета хочется рекомендовать работы Р. Стенли [] и []. Помню свое впечатление от прочтения этих работ: вот каким должен быть математический текст! Часть изложенного ниже материала заимствована оттуда. В будущем я надеюсь развить намеченный Р. Стенли элегантный подход к изучению коэн-маколеевых и горенштейновых алгебр, полных пересечений и сизигий, где абстрактные понятия коммутативной алгебры вводятся для градуированных алгебр и иллюстрируются на примерах алгебр инвариантов конечных групп, и расширить пособие за счет включения этих тем.

Вопрос о конечной порожденности алгебры инвариантов является частным случаем этого вопроса: достаточно рассмотреть в качестве подполя K подполе рациональных функций, инвариантных относительно действия группы.

Введение Основой для пособия послужили материалы курсов, прочитанных на IV и VII летних школах «Современная математика». Эти школы проводятся ежегодно в июле в доме отдыха «Ратмино» недалеко от города Дубна. Также излагаемые темы обсуждались на совместном с Д. А. Тимашёвым спецсеминаре «Алгебраические группы и теория инвариантов» на механико-математическом факультете МГУ им.

М. В. Ломоносова и на спецкурсе в Независимом московском университете. Я благодарен слушателям этих курсов и семинаров за ценные замечания и оригинальные решения ряда задач.

Хочу поблагодарить рецензентов пособия профессора Э. Б. Винберга и доцента Т. Е. Панова, а также П. В. Бибикова, А. Ю. Перепечко и Н. А. Печёнкина, прочитавших предварительную версию текста и сделавших ряд ценных замечаний и исправлений.

Дальнейшие замечания прошу высылать на электронный адрес автораarjantse@mccme.ru.

§. Основные понятия и примеры Напомним, что алгеброй над полем называется -векторное пространство A с заданной на нем бинарной операцией (умножением) A A A, (a, b) ab, удовлетворяющей следующим требованиям:

) a(b + c) = ab + ac, (b + c)a = ba + ca для любых a, b, c A;

) (a)b = a(b) = (ab) для любых, a, b A.

Всюду далее мы будем дополнительно предполагать, что ) в A имеется единица, т. е. такой элемент 1, что 1a = a1 = a для любого a A;

) алгебра A ассоциативна, т. е. (ab)c = a(bc) для любых a, b, c A.

Заметим, что наличие единицы позволяет считать поле канонически вложенным в алгебру A по формуле 1 (проверьте, что это вложение).





Укажем несколько примеров алгебр:

) алгебра многочленов [x1, …, xn];

) алгебра квадратных матриц Matnn( );

) алгебра C[0, 1] непрерывных вещественнозначных функций на отрезке [0, 1] с поточечным умножением на скаляр, сложением и умножением функций. В этом примере =.

Для двух подпространств U, V A определим их произведение UV как линейную оболочку элементов вида ab, где a U и b V. Аналогично определяется произведение любого конечного набора подпространств.

Определение. Градуировкой на алгебре A называется такое разложение A в прямую сумму подпространств A = As, s + что As As As +s2 для любых s1, s2 0.

1 2 Градуированная алгебра — это алгебра с фиксированной градуировкой. Градуировку будем называть тривиальной, если A0 = A и, значит, As = 0 при s > 0. Тривиальная градуировка имеется на любой алгебре.

Подпространства As называются (однородными) компонентами градуированной алгебры A. Элемент a называют однородным, если a As для некоторого s 0. В этом случае говорят, что элемент a имеет §. Основные понятия и примеры степень s, и записывают deg a = s. Степень элемента 0 не определена, и можно считать, что она принимает все возможные значения.

Произвольный элемент a A единственным образом записывается в виде суммы a = aj + … + aj однородных элементов, которые мы 1 k будем называть (однородными) компонентами этого элемента.

Задача. Докажите, что единица — это однородный элемент степени нуль.

Приведем примеры градуировок на алгебре многочленов:

) A = [x], deg x = 1, [x] = x x2 x3 …;

i1 in ) более общим образом, A= [x1, …, xn] и deg x1 …xn =i1+…+in;

i1 in ) A = [x1, …, xn] и deg x1 …xn = 2i1.

Эти примеры можно обобщить, рассмотрев градуировку алгебры A = [x1, …, xn], определенную условиями deg xi = di. Целые неотрицательные числа di называют весами переменных. Назовем такие градуировки на алгебре многочленов весовыми. Для весовой градуиi1 in ровки deg x1 …xn = i1d1 + … + indn. В частности, во втором примере d1 = … = dn = 1, а в третьем d1 = 2 и d2 = … = dn = 0.

Упражнение. Приведите пример градуировки на [x], для которой x не является однородным элементом.

Задача. Докажите, что алгебры a) Matnn( ); б) C[0, 1] допускают только тривиальную градуировку.

Всюду далее мы считаем алгебру A коммутативной, т. е. предполагаем, что ab = ba для любых a, b A.

Определение.. Элемент a A называется обратимым, если найдется такой элемент b A, что ab = 1.

. Элемент a A называется делителем нуля, если a = 0 и найдется такой элемент b A, b = 0, что ab = 0.

. Элемент a A называется нильпотентным, если a = 0 и найдет ся такое n, что an = 0.

Упражнение. Докажите, что в конечномерной градуированной алгебре однородный элемент положительной степени является нильпотентным.

Определение. Подпространство U градуированной алгебры A называется однородным, если U = (U As).

s Упражнение. Проверьте, что подпространство U однородно тогда и только тогда, когда для каждого u U все его компоненты лежат в U.

§. Основные понятия и примеры Напомним, что подалгеброй алгебры A называется подпространство B, которое само является алгеброй относительно той же операции умножения. Мы предполагаем, что подалгебра содержит единицу.

Подалгебра B градуированной алгебры A называется однородной, если она является однородным подпространством в A. Заметим, что однородная подалгебра B является градуированной алгеброй с однородными компонентами Bs = B As.

Для изучения градуированных алгебр важно уметь эффективно задавать такие алгебры, а также конструировать новые градуированные алгебры из уже имеющихся. Помимо перехода к однородной подалгебре нам будет полезна конструкция градуировки на факторалгебре.

Напомним, что идеал алгебры A — это такое подпространство I A, что aI I для любого a A. Отметим, что идеал I = A не является подалгеброй в A, так как не содержит единицу. На множестве A/I смежных классов по подпространству I формулы (a + I) + (b + I) = a + b + I, (a + I) = a + I, (a + I)(b + I) = ab + I корректно определяют операции сложения, умножения на скаляр и умножения. Полученная таким образом алгебра называется факторалгеброй алгебры A по идеалу I. Предположим, что идеал I является однородным подпространством градуированной алгебры A. Тогда A/I есть прямая сумма подпространств As + I, причем (As + I)(As + I) 1 As +s2 + I. Тем самым, для однородного идеала I факторалгебра A/I имеет каноническую градуировку.

С каждым подмножеством F A можно связать идеал I = r1 f1 + … + rk fk : k, ri A, fi F.

Этот идеал называется идеалом, порожденным подмножеством F, и обозначается (F). Легко проверить, что (F) является наименьшим идеалом в A, содержащим F. Если алгебра A градуирована и все элементы подмножества F однородны, то идеал (F) также однороден.

Обратно, в однородном идеале можно выбрать однородные порождающие.

Пример. Пусть A = [x1, x2]/(x1, x1x2), deg x1 = deg x2 = 1.

Тогда 2 A = x1, x2 x2 x2…, dim A1 = 2, а прочие компоненты одномерны.

§. Основные понятия и примеры Упражнение. Можно ли эту градуированную алгебру реализовать в качестве однородной подалгебры некоторой градуированной алгебры многочленов Задача. Приведите пример градуированной алгебры, в которой есть неоднородный обратимый элемент.

Напомним, что гомоморфизм из алгебры A в алгебру A — это такое линейное отображение : A A, что (ab) = (a)(b) для любых a, b A и (1) = 1, где 1 (соответственно 1) — это единичный элемент алгебры A (соответственно A). Легко проверить, что ядро гомоморфизма Ker является идеалом алгебры A.

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 7 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.