WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 |

Найденные значения ai (i = 1, 2, …, n) подставим в формулу (3.2.2), записанную для центрированных величин (напомним, что, не нарушая общности рассуждений, мы положили математическое ожидание равным нулю). Переходя к нецентрированным величинам, получим истинное значение случайной функции при заданном значении аргумента.

Очевидно, что методика, изложенная применительно к стационарным процессам одной переменной t, полностью применима и для пространственной интерполяции (экстраполяции) изотропных и однородных полей. Соответствующие формулы легко получаются заменой скалярного аргумента t векторным аргументом.

Метод оптимальной интерполяции, основанный на вероятностной модели согласования гидрометеорологических наблюдений, как показал опыт, обеспечивает по сравнению с другими методами картирования максимальную точность восстановления полей в узлах регулярной сетки.

В случае расчета карты одного крупномасштабного поля (по измерениям этого же поля) для оптимальной интерполяции, как мы уже убедились, необходима предварительная оценка корреляционной функции поля. Эта функция служит естественной характеристикой его пространственной изменчивости. Однако при практической оценке корреляционной функции приходится накладывать статистические ограничения на изменчивость поля, вводя предположения об однородности и изотропности его по отношению к корреляционной функции и о постоянстве его среднего значения. В этом случае корреляционная функция зависит не от координат точек, а только от скалярного расстояния между этими точками.

При океанографических съемках (в виду их высокой стоимости) целесообразно выполнять комплексные измерения многих компонентов полей океана на каждой станции. Большинство из измеряемых полей оказываются связанными между собой уравнениями динамики океана, которые отражают реально существующие в океане физические связи между параметрами состояния водных масс. Физические связи между полями создают существенные ограничения на их пространственную изменчивость, которые отражаются на форме взаимных корреляционных функций этих полей. Картирование крупномасштабной изменчивости океана является задачей комплексного использования всей доступной информации о каждом поле, содержащейся в измерениях различных полей. Так, в работе Неуймин Г. Г. и др. (см. список дополнительной литературы) методом оптимальной интерполяции в узлах регулярной сетки с шагом 2o построены карты оптических характеристик вод тропической зоны Атлантического океана по данным ряда экспедиций судов Морского гидрофизического института.

Дальнейшая проверка полученных расчетов хорошо подтвердила тот факт, что показатель ослабления оптических свойств в основном определяется содержанием планктона и продуктов его жизнедеятельности: в районах с повышенным содержанием биогенов величина показателя ослабления увеличивается, а в зонах конвергенции показатель ослабления уменьшается; в прибрежных водах прозрачность понижается не только за счет высокой продуктивности, но и за счет содержания терригенных веществ.

В метеорологии для крупномасштабной структуры, характеризующейся горизонтальными расстояниями порядка сотен километров, можно говорить об однородности и изотропности только в горизонтальном направлении или вдоль изобарической поверхности. С этой точки зрения при анализе крупномасштабной структуры целесообразно рассматривать значения какой-либо одной метеорологической величины на двух уровнях (или на двух изобарических поверхностях) как бы в качестве двух различных метеорологических переменных.

Свойства изотропности и однородности выполняются приближенно, и при расстояниях, сравнимых с радиусом Земли, они, по-видимому, нарушаются. Практически, как показывают многочисленные расчеты, корреляционные функции высот изобарических поверхностей можно считать функциями только расстояния до тех пор, пока это расстояние не превышает примерно 3 000 км.

Хотя гипотезы однородности и изотропности не являются столь уж принципиальными для ряда применений корреляционных функций, в том числе и для оптимальной интерполяции, однако принятие этих гипотез позволяет значительно облегчить использование корреляционных функций. Определение макромасштабных корреляционных функций производится путем обработки массового материала обычных аэрологических наблюдений. При выборе исходного материала необходимо соблюдать ряд требований, направленных на обеспечение однородности и репрезентативности данных: данные следует брать в пределах одного сезона или его части; не следует использовать данные за соседние сроки наблюдений из-за их связности (достаточно брать данные, отстоящие друг от друга на двое-трое суток); в качестве норм следует принимать средние значения по тому же материалу, который используется для определения корреляционных функций (то же относится и к дисперсиям).

С помощью статистического анализа были исследованы корреляционные крупномасштабные функции различных метеорологических величин. Эти корреляционные функции в метеорологических рекомендациях для различных метеовеличин даны или в форме таблиц, или аналитических зависимостей. Так, например, для высоты поверхности 500 гПа (АТ500) нормированная корреляционная функция аппроксимируется выражением R(r) = (1+ 0,98r)exp(- 0,98r) – формула М. И. Юдина, sin(1,51r)exp(- 0,25r) – формула Т. И. Олевской.

R(r) = 1,51r Пространственная корреляционная функция скорости ветра на поверхности 500 гПа:

r R(r) = 1- при r 1,;

1,временная нормированная корреляционная функция приземного давления имеет вид:

t t 1+ exp R(t)= -.

30 Здесь r – расстояние в тысячах километров, t – время в часах.

Следует заметить, что приведенные формулы надо рассматривать как рабочие.

Пример.

На метеорологических станциях в какой-то стандартный срок проведены наблюдения за полем высот изобарической поверхности 500 гПа. Относительная ошибка измерения = 0,02. Эти измерения представлены в виде отклонений от соответствующих значений стандартной атмосферы. Используя для каждой точки регулярной сетки данные наблюдений по четырем ближайшим метеостанциям, рассчитать методом оптимальной интерполяции высоту данной изобарической поверхности в каждом узле регулярной сетки, если в качестве нормы принята средняя арифметическая (гп.м), рассчитанная по всему полю. Нормированную корреляционную функцию аппроксимировать формулой М. И. Юдина. Решение поставленной задачи продемонстрируем для одного из узлов регулярной сетки, в окрестности которого находятся метеорологические станции, имеющие следующие значения высот для рассматриваемой изобарической поверхности: первая станция – H1=150 гп.м, вторая – H2=150 гп.м, третья – H3=187 гп.м, четвертая – H4=187 гп.м. Истинное значение высоты изобарической поверхности в данном узле обозначим через H0. Расположение станций дано на схеме. Расстояние между точками (0)-(1) составляет 600 км, (0)-(2) ………….. 600 км, (0)-(3) ………….. 300 км, 1 (0)-(4) ………….. 300 км.

Решение:

Так как норма отлична от нуля, то формула оптимальной интерполяции (3.2.2) будет в данных обозначениях иметь вид:

H0 - H = (H - H), где H – норма.

a j j j=Для расчета коэффициентов a нам надо решить следуюj щую систему линейных алгебраических уравнений:

a1(R11 + ) + a2R12 + a3R13 + a4R14 = R01, a R21 + a2(R22 + )+ a3R23 + a4R24 = R02, a R31 + a2R32 + a3(R33 + )+ a4R34 = R03, a1R41 + a2R42 + a3R43 + a4(R44 + ) = R04.

Для расчета нормированных корреляционных функций, зависящих только от расстояния, предварительно найдем расстояния между пунктами в тыс. км:

r11 = r22 = r33 = r44 = 0 ;

r13 = r31 = r24 = r42 = 0,900 ;

r23 = r32 = r14 = r41 = 0,671;

r01 = r02 = 0,600 ;

r12 = r21 = 0,848;

r34 = r43 = 0,424 ;

r03 = r04 = 0,300.

Здесь индексы означают номера соответствующих пунктов.

Найдем нормированные корреляционные функции по формуле М. И. Юдина, подставляя в нее соответствующие найденные расстояния. В результате получим:

R11 = R22 = R33 = R44 = 1;

R13 = R31 = R24 = R42 = 0,779;

R23 = R32 = R14 = R41 = 0,859;

R01 = R02 = 0,882;

R12 = R21 = 0,797;

R34 = R43 = 0,934;

R03 = R04 = 0,964;

Система линейных алгебраических уравнений примет вид:

1,020a1 + 0,797a2 + 0,779a3 + 0,859a4 = 0,882, 0,797a +1,020a2 + 0,859a3 + 0,779a4 = 0882, 0,779a + 0,859a2 +1,020a3 + 0,934a4 = 0,964, 0,859a1 + 0,779a2 + 0,934a3 +1,020a4 = 0,964.

Решая полученную систему, например методом Гаусса, найдем a1 = a2 = 0,166; a3 = a4 = 0,354.

Тогда H0 - H = a1(H1 - H)+ a21(H2 - H)+ a3(H3 - H)+ a4(H41 - H).

Или Н0 = 100+0,166(150-100)+0,166(150-100)+0,354(187-100)+ + 0,354(187-100) = 178,196 (гп.м).

Оценим ошибку интерполяции, использовав формулу (3.2.10), =1- R0i =1- 2(0.166 0,882 + 0,354 0,964)= 0,025.

a i i=3.3. Четырехмерный численный анализ Мы рассмотрели методы объективного анализа (в частности, полиномиальную и оптимальную интерполяции) гидрометеорологических полей на плоскости и в пространстве по данным синхронных наблюдений, т. е. наблюдений, проводимых в единый момент времени (синоптические наблюдения), который соответствует различному местному времени в разных пунктах земного шара. Между тем для новейших наблюдательных гидрометеорологических систем (например, спутниковых) характерны асиноптические, т. е. несинхронные наблюдения.

Для усвоения спутниковых наблюдений, а также несинхронных экспедиционных данных в процессе численного анализа необходимо, чтобы анализ допускал возможность использования данных, относящихся не только к различным точкам пространства, но и к различным моментам времени, иначе говоря, перейти к пространственно-временному анализу гидрометеорологических полей.

Такой пространственно-временной анализ, как мы уже говорили, называется четырехмерным анализом гидрометеорологических полей или четырехмерным усвоением (ассимиляцией) гидрометеорологической информации.

Существует две принципиально различные схемы четырехмерного анализа: 1. Дискретная, предусматривающая построение диагностических полей лишь для синоптических сроков наблюдений. В этом отношении она не отличается от существующих методик объективного анализа. Различие же состоит в том, что при построении каждого диагностического поля, наряду с данными наблюдений, относящихся к рассматриваемому сроку, используется также асиноптическая информация, относящаяся к другим, более ранним моментам времени. 2. Наиболее логичной является другая непрерывная схема четырехмерного анализа, в рамках которой каждое наблюдаемое значение (синоптическое или асиноптическое) усваивается соответственно тому времени, к которому это наблюдение относится. Это усвоение заключается в изменении результатов численного прогноза для момента времени, соответствующего поступившему наблюдению. Иначе говоря, каждый результат наблюдения вводится в численную прогностическую модель, которая действует непрерывно.

Рассмотрим, например, один из подходов решения задачи четырехмерного анализа – полиномиальный. Метод полиномиальной интерполяции обобщается следующим образом. При представлении поля скалярного аргумента, например температуры, геопотенциала, давления и пр., в виде какого-либо полинома время t рассматривается в качестве одной из независимых переменных.

Так, при использовании полинома второго порядка на плоскости принимается, что 2 (xi,yi,ts)= is = a0 + a1xi + a2yi + a3xiyi + a4xi + a5yi + + a6ts + a7xits + a8yits + a9ts.

Коэффициенты a (j = 0,1,2,...,9), как и ранее, находятся из j условия минимума:

n m 2 2 [is -(a0 + a1xi + a2yi + a3xiyi + a4xi + a5yi + a6ts + a7xits + a8yits + a9ts)] pis, i=1s=где индекс i показывает положение точки на плоскости, а индекс s – момент времени, т. е. суммирование распространяется на все точки на плоскости и на все моменты времени. Значение весовой функции pis может быть выбрано из каких-либо дополнительных соображений (в простейшем случае pis = 1). Далее, согласно методу наименьших квадратов, составляется нормальная система уравнений для определения коэффициентов a (j = 0, 1, 2, …, 9).

j Аналогично можно рассматривать и метод оптимальной интерполяции.

3.4. Метод контроля исходной информации Наряду с небольшими ошибками в данных наблюдений, которые неизбежны и можно считать случайными, встречаются также и значительные (грубые) по величине ошибки, причины появления которых могут быть вызваны неисправностью аппаратуры, просчетами при первичной обработке данных на станциях, искажениями при кодировании во время передачи или приема данных.

Такие ошибки необходимо уметь выявлять, исправлять или отбрасывать. Все эти действия, естественно, должны выполняться автоматически по некоторому алгоритму контроля данных. Практика показала, что ни один из методов контроля не является универсальным для полного исправления или отбраковки грубо ошибочных данных. Однако наилучшие результаты достигаются в том случае, если различные методы контроля взаимосвязаны.

Применяемые в настоящее время методы контроля можно условно разбить на три группы: 1) вертикальный контроль; 2) горизонтальный контроль; 3) контроль при согласовании. Каждая из названных групп, в свою очередь, подразделяется на подгруппы, в основе разделения которых заложены различные методы. Так, например, в различных схемах численного анализа и прогнозах гидрометеорологических полей, используемых в нашей стране, применяется один из следующих трех методов вертикального контроля: статистический контроль производных по высоте, разработанный С. Л. Белоусовым; статистический контроль при использовании автокорреляционных матриц, предложенный М. Ю. Юдиным;

статический (гидростатический) контроль высот изобарических поверхностей и температуры.

Рассмотрим для примера наиболее часто встречающийся статический контроль высот изобарических поверхностей и температуры. Этот контроль заключается в проверке выполнимости уравнения статики для политропной среды в слоях между каждыми соседними главными изобарическими поверхностями.

Уравнение статики атмосферы и гидросферы имеет вид:

dp = -g, dz где p – давление, g – ускорение свободного падения, – плотность, ось z направлена вертикально вверх.

Заменим высоту z геопотенциальной высотой Н. Известно, что геопотенциальная высота Н представляет собой отношение геопотенциала G к нормальному (стандартному) ускорению свободного падения g0 :

z G 1 g H = = = gdz g0 z, (g0 9,8 м/с2).

g0 g0 На практике часто бывает наиболее удобно представлять геопотенциальную высоту Н следующим образом:

g g H = z = z.

10g0 Полученная рабочая формула дает размерность геопотенциальной высоты Н в гп. дам (геопотенциальный декаметр).

Из последнего выражения найдем z = 98 H/g и подставим его в уравнение гидростатики, предварительно записав его в виде:

dz 1 98dH 1 98dH = - ; = - ; или =.

dp g gdp g dp В последнем дифференциальном уравнении разделим переменные, предварительно выразив плотность из уравнения состояния идеального газа p = RT :

RT dp dH = -, 98 p где Т – температура по шкале Кельвина, R – универсальная газовая постоянная.

Проинтегрируем это уравнение в слое между главными изобарическими поверхностями pi и pi+1:

Hi+1 pi+RT dp dH = -, или 98 p Hi pi R R pi Hi+1 - Hi = - (ln pi+1 - ln pi)Tm = ln Tm, (3.4.1) 98 98 pi+где Tm – средняя абсолютная температура слоя. Заменяя ее приближенно полусуммой температур Ti и Ti+1 на границах слоя и переходя к температуре t0C, получим:

R pi (ti + 273)+ (ti+1 + 273) Hi+1 - Hi = ln = 98 pi+1 273R pi R pi = ln + ln (ti + ti+1).

98 pi+1 196 pi+Обозначим в последнем равенстве первое слагаемое в правой части через Ai, а выражение перед скобкой во втором слагаемом – через Bi. Тогда Hi+1 - Hi = Ai + Bi(ti + ti+1).

Невязкой статического контроля называется разность между левой и правой частями последнего уравнения:

i = Hi+1 - Hi - Ai - Bi(ti + ti+1).

Эта невязка может быть обусловлена отклонением профиля температуры от линейного относительно ln p, а также случайными ошибками измерения и округления. Максимальное по модулю значение i, обусловленное указанными причинами, обозначим i. Если i превышает допустимое значение, то весьма вероятна грубая ошибка, по крайней мере, в одной из четырех величин:

Hi,Hi+1, ti, ti+1. Анализ соотношений в различных слоях часто позволяет выяснить, какая из величин ошибочна, оценить величину этой ошибки и внести соответствующие исправления.

Пример. Основываясь на уравнении статики и считая, что значения температуры даны без ошибок, произвести контроль распределения высот изобарических поверхностей по следующим данным:

Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.